Научная статья на тему 'Основные формализмы разностно-итерационных алгоритмов'

Основные формализмы разностно-итерационных алгоритмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
124
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Основные формализмы разностно-итерационных алгоритмов»

ность оценивания угла места в системе координат с направляющими косинусами ux = sin a cos b, Uy = sin b при a, b > 0 лучше, чем азимута, так как оценка азимута

a является зависимой от b.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лифанов Е.И., Козлов В.И., Горкин В.Б. Алгоритм однозначного измерения угловой координаты цели интерферометрическим методом // Радиотехника. 1991. № 2. С.3-6.

Н.С. Анишин, И.Н. Булатникова

ОСНОВНЫЕ ФОРМАЛИЗМЫ РАЗНОСТНО-ИТЕРАЦИОННЫХ

АЛГОРИТМОВ

Разностно-итерационные алгоритмы (РИА) - это неаналитические итерационные алгоритмы, обеспечивающие на основе вычисления конечных приращений (текущих разностей) итерируемых величин цифровое моделирование итерационного процесса, сходящегося к искомым (вычисляемым) величинам.

В работах А.М. Оранского [1] и других авторов приводится ряд алгоритмов, например такой (для х>0, у>0):

Ч]-1 = 51ёп(Х]-1 - ^-О;

2 +2

Хо = х; ^ = Хи -^_1 • 21-■•; Хп ® ; (1)

х - у

Уо = у; у = У|-1 -^-1 • 21-■•; Уп ® Хп,

где j=1, 2, ..., n-2 - номер итерации, n - разрядность чисел.

Достоинством РИА является отсутствие операций умножения и деления, труднореализуемых на микропроцессорах или аппаратурно. Они относятся к классу алгоритмов «цифра за цифрой», более известных как алгоритмы Волдера и Меджита.

Вместе с тем отметим, что известные РИА позволяют вычислять ограниченный набор функций. Все они получены эвристическим путём, обоснование их достоверности произведено путём цифрового моделирования на ЭВМ, а не аналитически. Ни в одной работе по РИА не даётся методики оперирования с рекуррентными выражениями, которая бы помогала производить анализ известных и синтез новых РИА.

Отсутствие таких методик приводит к неоптимальности предлагаемых РИА, их избыточности, к незамечаемым даже их создателями опечаткам и ошибкам в них.

Это же отмечает и А.М. Оранский: «Теория разностно-итерационных алгоритмов разработана недостаточно, и синтез алгоритмов идёт эвристическим путём» [1. С. 143].

В настоящей статье рассмотрена лишь часть проблем детерминированного проектирования РИА, а именно, основные формализмы РИА, позволяющие свести математическую модель итерационного процесса к алгебраическим уравнениям [2].

1) Машинный нуль. Посколько итераций n, то под сходимостью РИА будем понимать достижение индициируемой величиной (sign X) значения «машинного» нуля, т.е. нуля в пределах разрядной сетки вычислителя.

Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении

2) Деление на 2. Оно производится арифметическим сдвигом вправо на 7=1, 2, ..., п разрядов.

3) Накопленное значение приращений существует для каждой итерируемой величины, например для ”^, вычисляемой рекуррентно:

^ = ^-1 - 3 • 2-3 • и, (2)

Г

т. е. можно ввести 0Г = ^qj-l • 2-3.

3=1

Тогда (2) можно записать так:

Wj = W0 - 03 • и.

Если известен предел, к которому стремится Wj при 3 ® п (а это может быть Wj=[0]м - машинный ноль), то Wn = Wо - О0 • и . Отсюда

0. = . (3)

и

4) Теорема. Если одна из итерируемых величин Wj, равная

^ = Wj-l - 3 • 2-3 • и , (4)

является базовой для индикатора qj-l = signWj-l, то Wj стремится к машинному нулю [0]м, если и > ^()| .

23

Доказательство. Умножим левую и правую части (4) на — (по условию

и

и ^ 0) и введём новую итерируемую переменную величину WjM = 23 • Wj. После этого выражение (4) запишется так:

WjM = 2WjMl - ^-ь

м №>|

с начальным значением Wo = (]--1) < 1.

и

Тогда никакое WjM не может не стать по модулю большим 1, так как

WM І-1

не более 2, ^-1] =1 или 0, а знак у qj-l выбирается так, чтобы разность 2WjMl - qj-l уменьшалась по модулю. Это утверждение справедливо для любых3 В том же случае, когда qj-l=0, все последующие qГ,qГ-1-, как и одноименные по индексу ^Г , WГ-1 ..., также равны 0.

Таким образом, в любом случае

WM

< 1 . Возвращаясь к Wп, имеем, что

| < 2 п, т.е. является машинным нулём при представлении её п-разрядным числом.

5) Разностно-итерационный аналог бесконечно малой величины - это

разность между пределом интегрируемой величины при п ® ¥ и её текущим 3-м значением, определяемым в каждой 3-й итерации. Для неё будем именовать буквой

е с индексом по имени итерируемой величины, к которой относится данная бесконечно малая величина, например, е—, еу и т. п.

Для сходящихся алгоритмов первого типа индицирующие итерируемые величины суть машинные нули, которые мы будем обозначать [0]м.

6) Классификация РИА. Они бывают двух типов.

Первый тип характеризуется тем, что для него --------— = 1. Для этих алго-

3^-1

ритмов один из этапов (формирование q0, q1, ..., qn-1) осуществляется с помощью деления без восстановления остатка (квазиделения).

Условием сходимости таких алгоритмов является представимость частного

п

от деления двух чисел Wо и какой-то константы и в виде ^qj-l • 2-3, где

3=1

qj-1 = signWj-1, W0 = Wj = Wj-1 - qj-1 • 2-3 • и, Wn ® 0 .

ТС'

< 1, так как сумма весов двоичного пред-

и

ставления (2-1+2-2+...+2-п) не может превышать 1. Таким образом, сходимость та-

Сходимость обеспечена, если

зния (2 1 +2 2+. +2 п ких алгоритмов: Wо < и .

Второй тип характеризуется тем, что -----— ^ 1. Обычно это равно 2, так

5^_1

как умножение на 2 легко реализуется сдвигом вправо

qj-1 = signWj-1, W0 = Wj = 2Wj-1 - qj-1 • и, Wn • 2-п ® 0 .

Условие сходимости остаётся тем же самым.

В первом приближении эти два типа РИА соотносятся между собой так же, как алгоритмы Волдера и алгоритмы Меджита.

Эти формализмы совместно с рекуррентными формулами часто используемых преобразований позволяют составлять математические модели РИА (в виде алгебраических соотношений) для успешного анализа и синтеза РИА.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Оранский А. М. Аппаратные методы в цифровой вычислительной технике. -Минск: Изд-во БГУ, 1977. - 208с.

2. Анишин Н. С. и др. Математические модели разностно-итерационных алгоритмов // Новые информационные технологии: Сборник трудов 7-й Всероссийский научнотехнической конференции. М. 2004. С. 3-5.

С.С Фролов, В.Д. Шевеленко

ГЕНЕРАЦИЯ ФУНКЦИИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

В статье приведены результаты работы над повышением точности аппроксимации функции специального вида

)

Ок-(х) =—. (!)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.