CC BY
48
ность оценивания угла места в системе координат с направляющими косинусами ux = sin a cos b, Uy = sin b при a, b > 0 лучше, чем азимута, так как оценка азимута
a является зависимой от b.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лифанов Е.И., Козлов В.И., Горкин В.Б. Алгоритм однозначного измерения угловой координаты цели интерферометрическим методом // Радиотехника. 1991. № 2. С.3-6.
Н.С. Анишин, И.Н. Булатникова
ОСНОВНЫЕ ФОРМАЛИЗМЫ РАЗНОСТНО-ИТЕРАЦИОННЫХ
АЛГОРИТМОВ
Разностно-итерационные алгоритмы (РИА) - это неаналитические итерационные алгоритмы, обеспечивающие на основе вычисления конечных приращений (текущих разностей) итерируемых величин цифровое моделирование итерационного процесса, сходящегося к искомым (вычисляемым) величинам.
В работах А.М. Оранского [1] и других авторов приводится ряд алгоритмов, например такой (для х>0, у>0):
Ч]-1 = 51ёп(Х]-1 - ^-О;
2 +2
Хо = х; ^ = Хи -^_1 • 21-■•; Хп ® ; (1)
х - у
Уо = у; у = У|-1 -^-1 • 21-■•; Уп ® Хп,
где j=1, 2, ..., n-2 - номер итерации, n - разрядность чисел.
Достоинством РИА является отсутствие операций умножения и деления, труднореализуемых на микропроцессорах или аппаратурно. Они относятся к классу алгоритмов «цифра за цифрой», более известных как алгоритмы Волдера и Меджита.
Вместе с тем отметим, что известные РИА позволяют вычислять ограниченный набор функций. Все они получены эвристическим путём, обоснование их достоверности произведено путём цифрового моделирования на ЭВМ, а не аналитически. Ни в одной работе по РИА не даётся методики оперирования с рекуррентными выражениями, которая бы помогала производить анализ известных и синтез новых РИА.
Отсутствие таких методик приводит к неоптимальности предлагаемых РИА, их избыточности, к незамечаемым даже их создателями опечаткам и ошибкам в них.
Это же отмечает и А.М. Оранский: «Теория разностно-итерационных алгоритмов разработана недостаточно, и синтез алгоритмов идёт эвристическим путём» [1. С. 143].
В настоящей статье рассмотрена лишь часть проблем детерминированного проектирования РИА, а именно, основные формализмы РИА, позволяющие свести математическую модель итерационного процесса к алгебраическим уравнениям [2].
1) Машинный нуль. Посколько итераций n, то под сходимостью РИА будем понимать достижение индициируемой величиной (sign X) значения «машинного» нуля, т.е. нуля в пределах разрядной сетки вычислителя.
Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении
2) Деление на 2. Оно производится арифметическим сдвигом вправо на 7=1, 2, ..., п разрядов.
3) Накопленное значение приращений существует для каждой итерируемой величины, например для ”^, вычисляемой рекуррентно:
^ = ^-1 - 3 • 2-3 • и, (2)
Г
т. е. можно ввести 0Г = ^qj-l • 2-3.
3=1
Тогда (2) можно записать так:
Wj = W0 - 03 • и.
Если известен предел, к которому стремится Wj при 3 ® п (а это может быть Wj=[0]м - машинный ноль), то Wn = Wо - О0 • и . Отсюда
0. = . (3)
и
4) Теорема. Если одна из итерируемых величин Wj, равная
^ = Wj-l - 3 • 2-3 • и , (4)
является базовой для индикатора qj-l = signWj-l, то Wj стремится к машинному нулю [0]м, если и > ^()| .
23
Доказательство. Умножим левую и правую части (4) на — (по условию
и
и ^ 0) и введём новую итерируемую переменную величину WjM = 23 • Wj. После этого выражение (4) запишется так:
WjM = 2WjMl - ^-ь
м №>|
с начальным значением Wo = (]--1) < 1.
и
Тогда никакое WjM не может не стать по модулю большим 1, так как
WM І-1
не более 2, ^-1] =1 или 0, а знак у qj-l выбирается так, чтобы разность 2WjMl - qj-l уменьшалась по модулю. Это утверждение справедливо для любых3 В том же случае, когда qj-l=0, все последующие qГ,qГ-1-, как и одноименные по индексу ^Г , WГ-1 ..., также равны 0.
Таким образом, в любом случае
WM
< 1 . Возвращаясь к Wп, имеем, что
| < 2 п, т.е. является машинным нулём при представлении её п-разрядным числом.
5) Разностно-итерационный аналог бесконечно малой величины - это
разность между пределом интегрируемой величины при п ® ¥ и её текущим 3-м значением, определяемым в каждой 3-й итерации. Для неё будем именовать буквой
е с индексом по имени итерируемой величины, к которой относится данная бесконечно малая величина, например, е—, еу и т. п.
Для сходящихся алгоритмов первого типа индицирующие итерируемые величины суть машинные нули, которые мы будем обозначать [0]м.
6) Классификация РИА. Они бывают двух типов.
Первый тип характеризуется тем, что для него --------— = 1. Для этих алго-
3^-1
ритмов один из этапов (формирование q0, q1, ..., qn-1) осуществляется с помощью деления без восстановления остатка (квазиделения).
Условием сходимости таких алгоритмов является представимость частного
п
от деления двух чисел Wо и какой-то константы и в виде ^qj-l • 2-3, где
3=1
qj-1 = signWj-1, W0 = Wj = Wj-1 - qj-1 • 2-3 • и, Wn ® 0 .
ТС'
< 1, так как сумма весов двоичного пред-
и
ставления (2-1+2-2+...+2-п) не может превышать 1. Таким образом, сходимость та-
Сходимость обеспечена, если
зния (2 1 +2 2+. +2 п ких алгоритмов: Wо < и .
Второй тип характеризуется тем, что -----— ^ 1. Обычно это равно 2, так
5^_1
как умножение на 2 легко реализуется сдвигом вправо
qj-1 = signWj-1, W0 = Wj = 2Wj-1 - qj-1 • и, Wn • 2-п ® 0 .
Условие сходимости остаётся тем же самым.
В первом приближении эти два типа РИА соотносятся между собой так же, как алгоритмы Волдера и алгоритмы Меджита.
Эти формализмы совместно с рекуррентными формулами часто используемых преобразований позволяют составлять математические модели РИА (в виде алгебраических соотношений) для успешного анализа и синтеза РИА.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Оранский А. М. Аппаратные методы в цифровой вычислительной технике. -Минск: Изд-во БГУ, 1977. - 208с.
2. Анишин Н. С. и др. Математические модели разностно-итерационных алгоритмов // Новые информационные технологии: Сборник трудов 7-й Всероссийский научнотехнической конференции. М. 2004. С. 3-5.
С.С Фролов, В.Д. Шевеленко
ГЕНЕРАЦИЯ ФУНКЦИИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
В статье приведены результаты работы над повышением точности аппроксимации функции специального вида
)
Ок-(х) =—. (!)
