CC BY
7
DOI 10.36622^Ти.2022.18.4.009 УДК 004.94
ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ЭВOЛЮЦИОННОГО ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОСТАДИЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ
С.А. Олейникова, И.А. Селищев, Д.А. Тюников
Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия
Aннотация: объектом исследования является многостадийная система, отличительная особенность которой заключается в случайной длительности последовательно-параллельных работ, которая зависит не только от случайных факторов, но и от выбора исполнителя. Таким образом, необходимо одновременно решить две задачи: задачу о назначениях, заключающуюся в определении зависимости между работами и специалистами, и задачу планирования, позволяющую назначить оптимальное время начала каждой работе. Для каждого класса этих задач существуют свои методы, однако они неприменимы для случая, когда данные задачи необходимо решать одновременно. В связи с этим требуется разработка собственных методов, отличительной особенностью которых является возможность получения комплексного решения двух задач. Анализ возможных подходов к решению исследуемой задачи позволил остановиться на эволюционных алгоритмах для ее решения. В частности, экспериментальные исследования показали, что генетические алгоритмы являются достаточно эффективными для случаев, когда классические методы не применимы. Однако для получения близких к оптимальным решений необходимо разработать такие этапы, как скрещивание и мутация с учетом всех особенностей решаемой задачи. Именно этим вопросам будет посвящена данная работа. Научная новизна заключается в разработке подхода к скрещиванию, основанного на одноточечном кроссинговере и обеспечивающего возможность доопределения времени начала и окончания в хромосоме потомка с учетом графика занятости специалистов, а также мутации, позволяющей случайным образом менять гены исполнителя, начиная со случайно выбранной работы и доопределять гены начала и окончания работ. Практическая значимость заключается в возможности использования разработанных алгоритмов для любых многостадийных систем, требующих определения графика выполнения работ и закрепления за ними специалистов.
Ключевые слова: генетический алгоритм, скрещивание, мутация, сетевое планирование, задача о назначениях
Введение
Рассматривается задача формирования план-графика для системы, предназначенной для выполнения множества последовательно-параллельных работ. Длительность каждой отдельной операции является случайной величиной, которая зависит, кроме различных случайных факторов, также от исполнителя. Кроме того, выполнение работы может потребовать одного или нескольких «типов» ресурсов (специалистов, оборудования и т.д.). В зависимости от выбора ресурса (исполнителя, материалов и т.д.) работа может быть выполнена с разной степенью эффективности и за разное время. Завершение обслуживания заявки приносит определенный объем прибыли, которая зависит от качества выполнения работы, наличия или отсутствия штрафных санкций и т.д. Необходимо для каждой поступающей заявки подобрать такой график обслуживания и такие ресурсы для каждой работы, чтобы итоговая прибыль была бы максимальна.
Данная задача одновременно относится к двум классам задач: задаче о назначениях и задаче сетевого планирования и управления. Задача о назначениях позволяет поставить соответствие между исполнителями и выполняемыми ими работами с точки зрения некоторого критерия. Классический вариант предполагает одинаковое число работ и исполнителей и отсутствие какой-либо взаимной зависимости между работами. Исследуемая задача сложнее, поскольку исполнитель, выполняя некоторую работу в данный момент времени, не может одновременно выполнять другую работу, но освободившись, опять может быть закреплен за каким-либо заданием. Существующие алгоритмы (Венгерский метод и другие методы линейного программирования) не учитывают такую специфическую особенность.
Задача определения времени начала работ может быть решена методом критического пути или методом PERT [1]. Однако их использование предполагает заранее известную информацию о длительности выполнения каждой работы, что невозможно без решения задачи о назначениях.
© Олейникова С.А., Селищев И.А., Тюников Д.А., 2022
Таким образом, задачу о назначениях и задачу сетевого планирования и управления необходимо решать одновременно на каждой итерации. На такую особенность исследуемой задачи ни один из существующих подходов ни ориентирован. В связи с этим необходима разработка собственного метода ее решения.
Особенности задачи и обзор методов ее решения
Рассмотрим более подробно следующую задачу. Пусть имеется некоторый проект, включающий в себя множество последовательно-параллельных работ, каждая из которых характеризуется случайной длительностью. Пусть данная случайная величина зависит не только от внешних факторов, но и от исполнителя, которого назначат на выполнение данной работы. Иными словами, имеется множество взаимно-зависимых работ, окончательную длительность которых можно определить, лишь назначив им определенных исполнителей.
Необходимо сформировать график выполнения работ и назначить им исполнителей таким образом, чтобы минимизировать общее время выполнения всего проекта.
Проанализируем специфику данной задачи. Определение времени начала взаимно-зависимых работ относится к задачам сетевого планирования и управления или управления проектами [2]. В частности, существуют формулы метода CMP, позволяющие определить раннее начало каждой из взаимно-зависимых работ, затем оценить длительность всего проекта, а в завершении оценить длительность позднего начала работ. Это позволяет для каждой работы установить временной резерв и выделить среди всего множества работ, так называемые, критические работы, сдвиг начала выполнения которых приведет к увеличению срока выполнения всего проекта. Формулы метода CPM представлены в [1, 2, 3].
Однако для данной задачи они не могут быть применены в связи с тем, что длительность выполнения каждой работы и, как следствие, время ее завершения будут зависеть от выбранного для этой работы исполнителя. В связи с этим, рассмотрим задачу соответствия между определенным множеством работ и исполнителями. Эта задача в классическом варианте является задачей о назначениях. Классический вариант подразумевает множество работ и множество (такой же мощности) испол-
нителей, между которыми необходимо установить соответствие с точки зрения некоторого критерия. Для такой задачи разработан Венгерский метод, который, отличаясь небольшой вычислительной сложностью, позволяет получить оптимальное решение [4].
Рассматриваемая задача назначения работ исполнителям сложнее, поскольку:
- количество исполнителей и работ в общем случае не совпадает;
- задача является многостадийной, и к началу данного этапа определенный исполнитель может быть занят выполнением других работ, однако через некоторое время он может освободиться.
Таким образом, очевидно, что существующие методы не могут быть применены к решению поставленной задачи. В связи с этим, требуется либо разработка алгоритма, разработанного на базе их синтеза, либо реализация совершенно другого подхода к ее решению.
В данной работе предложена попытка решения задачи с помощью эволюционных алгоритмов. В частности, в случаях, когда классические методы дискретной оптимизации по той или иной причине невозможно применить к исследуемым задачам, можно использовать подходы, отличающиеся достаточно быстрой сходимостью и обеспечивающие возможность получения решения, близкого к оптимальному. Ярким примером эволюционных методов являются генетические алгоритмы [5]. По аналогии с такими этапами развития популяции людей, как скрещивание, мутация и, как следствие, получение нового поколения, генетические алгоритмы позволяют на каждом шаге получать особи, отличающиеся улучшенными значениями целевой функции (поскольку особи с худшими значениями к следующей популяции будут отброшены). Как только в течение нескольких поколений улучшения целевой функции не происходит, алгоритм заканчивает свою работу.
Общий алгоритм решения задачи
Исходя из специфики имеющейся задачи, разработаем основные этапы генетического алгоритма для ее решения. Под хромосомой будем понимать множество генов, каждый из которых хранит информацию об отдельной работе (идентификатор работы, идентификатор назначенного для ее исполнения специалиста, время начала и время окончания).
Таблица 1
Пример гена для решаемой задачи
Иденти- Испол- Время Время
фикатор нитель начала окончания
работы
1-2 3 0 4
Определив, таким образом, гены, получим хромосому, представляющую собой полную информацию о времени начала всех работ и их исполнителей. Эта хромосома может выглядеть, например, следующим образом (табл. 2).
Таблица 2
Пример хромосомы
Иден- Испол- Время Время
тифика- нитель начала окончания
тор работы
1-2 3 0 4
1-3 2 0 6
1-4 1 0 8
2-5 4 6 12
2-6 5 4 8
3-5 4 6 11
3-6 1 6 15
3-7 2 6 12
4-6 5 8 16
4-7 3 11 18
5-8 4 11 14
6-8 1 16 24
7-8 5 18 25
Общий генетический алгоритм решения данной задачи был представлен в [6]. Выделим следующие его этапы:
- формирование начальной популяции;
- пока не завершится работа алгоритма в цикле:
- выполнить операцию скрещивания;
- выполнить операцию мутации;
- отобрать особей для следующего поколения.
В [6] также был представлен алгоритм формирования начальной популяции. Разработаем операции скрещивания и мутации, исходя из специфических особенностей хромосомы.
Операция скрещивания
Для выполнения операции скрещивания необходимо выбрать родителей и разработать специфику обмена генами между родителями для получения потомков [7].
Родителей будем выбирать случайным образом. Обмен генами будем производить с помощью одноточечного кроссовера, делящего хромосому ориентировочно пополам (если в
хромосоме нечетное число генов N то первому потомку достанутся [N/2]+! генов от родителя 1 и [N/2] генов от родителя 2, а второму потомку - наоборот). Таким образом, будем разбивать массив хромосом точкой К:
четное 2 (1) ^¡2 + нечетное
Опишем схему обмена генами. Наиболее простым вариантом является полный обмен всеми генами между родителями при операции скрещивания. Иллюстрация данного вида кроссовера приведена на рис. 1.
Досцющивэния
А
13
После СКрОЩИВДНИЯ
А1
В
Рис. 1. Иллюстрация одноточечного кроссовера
Однако в данной задаче полный обмен генами невозможен, поскольку время выполнения данной работы данным исполнителем будет зависеть от следующих факторов:
- времени начала данной работы;
- времени, когда данный исполнитель освободится от выполнения других работ.
Поскольку работы связаны зависимостью типа «финиш»-«старт», время начала работы (без учета исполнителя) будет зависеть от времени завершения всех непосредственно предшествующих ей работ. Поэтому при операции скрещивания вторая часть хромосомы должна быть заполнена следующим образом. После назначения исполнителей всем работам необходимо с учетом указанных ранее факторов определить возможное время начала каждой работы и ее длительность. Таким образом, алгоритм скрещивания будет следующим.
Шаг 1. В цикле пока не получено заданное количество потомков.
Шаг 2.1. Выбрать случайным образом двух претендентов на родителей.
Шаг 2.2. Разделить массив, описывающий хромосому, точкой К.
Шаг 2.3. Скопировать в первого потомка все элементы от родителя 1 для элемента К включительно.
Шаг 2.4. Скопировать в первого потомка идентификаторы исполнителей в элементы, начиная от номера К+1 до N включительно.
Шаг 2.5. В цикле по i от К+1 до N.
Шаг 2.5.1. Оценить время начала работы i
Шаг 2.5.2. Оценить время окончания работы г
Таким образом, разработан алгоритм скрещивания. Он состоит из двух этапов. На первом этапе происходит стандартный обмен генами между двумя родительскими хромосомами за исключением того, что второй родитель передает информацию лишь об исполнителях (поскольку начало работы, которую будет выполнять данный исполнитель, может быть задержано из-за того, что согласно первой части хромосомы, он занят выполнением некоторой другой работы). На втором этапе происходит доопределение второй части потомка, исходя из занятости исполнителей и ограничения работ на взаимную зависимость.
Операция мутации
В первую очередь, оператор мутации в генетических алгоритмах необходим для защиты от схождения решений к некоторому локальному экстремуму. Кроме того, при достаточно небольшом числе особей на каждом шаге будут получаться однотипные потомки, с помощью которых в принципе невозможно будет получить наилучший результат. В связи с этим, замена отдельных генов позволяет получить новую особь, отличающуюся некоторыми генами, которые отсутствуют у родителей, и которая как сама может выступать в роли более качественного решения, так и потомки, созданные на ее основе, могут отличаться наилучшими значениями фитнес-функции. Мутация всегда должна носить некоторый вероятностный характер, чтобы в поколении потомков были особи с уникальным набором генов.
Предложим следующий алгоритм мутации.
Шаг 1. Выбираем случайным образом номер гена L, начиная с которого будут вноситься изменения в хромосому.
Шаг 2. В цикле по i от L до N.
Шаг 2.1. С помощью некоторого вероятностного распределения выбираем исполнителя для работы г
Шаг 2.2. С учетом длительности выполнения работы i данным исполнителем выбираем время ее окончания.
Как видно из данного алгоритма, мутация одного гена изменит большинство последующих генов, потому что:
- исполнитель, которого выбрали для выполнения данной работы, может быть назначен для выполнения некоторой другой работы, пересекающейся по времени с текущей работой, что приведет к невозможности выполнения второй работы в заданный срок;
- поскольку изменение исполнителя для работы автоматически меняет ее длительность, может измениться время начала всех непосредственно следующих за данной работой других работ.
В связи с этим, необходимо изменить гены, соответствующие всем работам, которые будут следовать за выбранной работой. В частности, как отмечено в шаге 2.2 алгоритма, будут вноситься изменения в ген, отвечающий за время окончания работы.
Пример реализации описанных этапов алгоритма
Рассмотрим действие каждого из предложенных этапов генетического алгоритма на следующем примере. Пусть, без ограничения общности, имеется граф, представленный на рис. 2.
Рис. 2. Граф проекта
Пусть задана матрица, описывающая длительность выполнения каждой работы каждым из сотрудников.
Таблица 3
Длительность выполнения работ сотрудниками
Раб/исп 1 2 3 4 5
1-2 4 5 6 7 6
1-3 7 6 5 5 6
1-4 8 8 7 6 7
2-5 4 5 7 6 5
2-6 5 5 6 7 4
П родолжение табл. 3
3-5 7 7 6 5 5
3-6 9 8 7 8 7
3-7 7 6 5 4 6
4-6 8 8 7 9 8
4-7 6 6 7 7 5
5-8 5 4 4 3 5
6-8 8 8 7 4 4
7-8 7 6 5 6 7
В данной таблице по строкам отложены работы; по столбцам - исполнители. В ячейках указано время, требующееся данному исполнителю для выполнения данной работы.
Предположим, на этапе формирования начальной популяции сформировано N особей. Выделим две из них для скрещивания. Пусть особь 1 задана следующим набором генов (табл. 4).
Таблица 4
Особь 1
Раб/исп исп вр.нач вр.ок.
1-2 3 0 6
1-3 5 0 6
1-4 2 0 8
2-5 4 6 12
2-6 1 6 11
3-5 5 6 11
3-6 2 6 14
3-7 3 6 11
4-6 4 12 21
4-7 3 11 18
5-8 2 14 18
6-8 1 21 29
7-8 5 18 25
Значение фитнес-функции для данной хромосомы равно 29.
Пусть вторая хромосома представлена следующим набором генов (табл. 5).
Таблица 5
Значение фитнес-функции для данной хромосомы равно 25.
Выполним операцию скрещивания. Выпишем первую часть нового потомка. Она будет выглядеть следующим образом (табл. 6).
Таблица 6
Фрагмент первого потомка
Раб/исп исп вр.нач вр.ок.
1-2 3 0 6
1-3 5 0 6
1-4 2 0 8
2-5 4 6 12
2-6 1 6 11
3-5 5 6 11
3-6 2 6 14
Для окончательного формирования потомка сначала запишем в столбец «исполнители» исполнителей из второй особи, а затем определим время, исходя из данного выбора. В результате получим следующего потомка.
Таблица 7
Потомок 1
Раб/исп исп вр.нач вр.ок.
1-2 3 0 6
1-3 5 0 6
1-4 2 0 8
2-5 4 6 12
2-6 1 6 11
3-5 5 6 11
3-6 2 6 14
3-7 3 6 11
4-6 4 12 21
4-7 1 11 17
5-8 5 12 17
6-8 2 21 29
7-8 5 17 24
Значение фитнес-функции для первого потомка также равно 29.
Теперь выполним процедуру мутации. Выберем произвольным образом работу. Пусть это будет работа 4-6. В данный момент ее выполняет исполнитель 1. Выберем любого другого исполнителя (случайное число от 1 до 5, за исключением 4). Пусть это будет 3. Заменим значение исполнителя в соответствующей ячейке на 3 и пересчитаем время завершения работы. После этого пересчитаем времена для всех последующих работ (в частности, для всех работ, которые позже будет выполнять исполнитель 3, или тех работ, которые являются взаимно-зависимыми с работой 4-6). Получим мутированную хромосому.
Особь 2
Раб/исп исп вр.нач вр.ок.
1-2 2 0 5
1-3 4 0 5
1-4 1 0 8
2-5 3 5 12
2-6 1 8 13
3-5 5 5 10
3-6 2 5 13
3-7 3 12 17
4-6 4 8 17
4-7 1 8 14
5-8 5 12 17
6-8 2 17 25
7-8 5 17 24
Таблица 8
Результат мутации
Раб/исп исп вр.нач вр.ок.
1-2 3 0 6
1-3 5 0 6
1-4 2 0 8
2-5 4 6 12
2-6 1 6 11
3-5 5 6 11
3-6 2 6 14
3-7 3 6 11
4-6 3 11 19
4-7 1 11 17
5-8 5 12 17
6-8 2 19 27
7-8 5 17 24
Значение фитнес-функции для модифицированного потомка равно 27.
Данный алгоритм был положен в основу работы программного средства, предназначенного для автоматизации процесса расчетов времени начала и окончания каждой из взаимно-зависимых работ и закрепления за ними исполнителей. Фрагмент результирующей формы с расчетами по исходным данным из табл. 3 приведен на рис. 3.
Таким образом, на основании данных алгоритмов было реализовано программное средство, автоматизирующее процесс расчетов характеристик работ и их исполнителей. Как видно из рис. 3, оно позволяет по исходным данным получить наилучшего исполнителя для каждой работы и, в соответствии с выбранным индивидуумом, определить время окончания.
Рэд'Пьтзтьялаырымя
у/Ш НВйЙМ Мш Et** "Т-Л-Л kw
] L-: i 0
1 1-3 2 0 6
1 L-J 4 D 6
-1 1-S 3 4 ii
5 2-й J s
(i i-s J 6 ¡1
7 3-6 1 6 SJ
3-7 •у 6
<> -1-Й S 1«
< 1
Крк1ич<х*№В[Х!мл 25 I Рж&кгать
Рис. 3. Результаты работы приложения
Выводы
Целью работы являлась разработка алгоритма для решения задачи определения времени начала каждой из взаимно-зависимых работ и назначения им исполнителя. Предложенный подход основывался на использовании генетических алгоритмов. Получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной.
1. Предложен двухэтапный подход для скрещивания, отличающийся дополнением в особи-потомке генетической информации, соответствующей не только генам каждого родителя, но и взятой от взаимной зависимости работ и занятости исполнителей.
2. Предложен алгоритм мутации, изменяющий, начиная с некоторого номера, случайным образом исполнителя и корректирующий в соответствии с новым работником все последующие гены (время начала и время окончания работ).
3. Реализовано программное средство, автоматизирующее процесс работы разработанных алгоритмов.
Также приведены примеры работы каждого из этих этапов генетического алгоритма. В результате получен алгоритм решения задачи о назначении исполнителей и взаимной зависимости работ и определении их длительностей.
Литература
1. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. М.: Синтег, 1997. 188 с.
2. Кофман А., Дебазей Г. Сетевые методы планирования и их применение. М.: Прогресс, 1968. 182с.
3. Project Management ToolBox:Tools and Technics for the practicing Project Manager, 2nd Edition. New Jersey: John Willey& Sons. 2016. 460 p.
4. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование / под ред. Д.Б. Юдина. М.: Наука, 1969. 368 с.
5. Dorigo M., Gambardella L.M. Ant colony system: a cooperative learning approach to the traveling salesman problem// IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 1997. Vol. 1. No. 1. pp. 53-66. DOI: 10.1109/4235.585892.
6. The general scheme of the genetic algorithm for solving the task scheduling problem for a multistage system and assigning time for jobs / S.A. Oleinikova, O.Ja. Kravets, I.A. Aksenov, O.Yu. Frantsisko, P.A. Rahman, I.V. Atlasov // International Journal on Information Technologies & Security. 2021. № 4 (vol. 13). pp. 47-58.
7. Курейчик В.В. Эволюционные методы решения оптимизационных задач. Таганрог: ТГРУ, 1999. 95 с.
Поступила 30.05.2022; принята к публикации 17.08.2022
Информация об авторах
Олейникова Светлана Александровна - д-p техн. наук, доцент, профессор, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: s.a.oleynikova@gmail.com; ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0333-2313
Селищев Иван Алексеевич - аспирант, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: selishcheviv@gmail.com
Тюников Дмитрий Алексеевич - магистр, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: tyunikov98@mail.ru
MAIN STAGES OF THE EVOLUTION OF NUMERICAL METHOD FOR DETERMINING THE PARAMETERS OF A MULTI-STAGE STOCHASTIC SYSTEM
S.A. Oleynikova, I.A. Selishchev, D.A. Tyunikov
Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia
Abstract: the object of research is a multi-stage system, the distinctive feature of which is the random duration of seriesparallel work, which depends not only on random factors but also on the choice of the performer. Thus, it is necessary to solve two problems simultaneously: the assignment problem, which consists in determining the relationship between jobs and specialists, and the planning problem, which allows you to assign the optimal start time for each job. Each class of these tasks has its own methods, however, they are not applicable to the case when these tasks must be solved simultaneously. In this regard, we developed our own methods, a distinctive feature of which is the possibility of obtaining a comprehensive solution of two problems. An analysis of possible approaches to solving the problem under study made it possible to dwell on evolutionary algorithms for solving it. In particular, experimental studies have shown that genetic algorithms are quite efficient for cases where classical methods are not applicable. However, in order to obtain solutions, close to optimal, it is necessary to develop such stages as crossing and mutation, taking into account all the features of the problem being solved. It is these questions that this work will be devoted to. The scientific novelty lies in the development of an approach to crossing based on a single-point crossing over and providing the possibility of redefining the start and end times in the offspring chromosome, taking into account the employment schedule of specialists, as well as a mutation that allows you to randomly change the genes of the performer, starting from a randomly selected job and redefine the start genes and completion of work. The practical significance lies in the possibility of using the developed algorithms for any multi-stage systems that require the definition of a work schedule and the assignment of specialists to them
Key words: genetic algorithm, crossover, mutation, network planning, assignment problem
References
1. Burkov V.N., Novikov D.A. "How to manage projects" ("Kak upravlyat' proektami"), Moscow, Sinteg, 1997, 188 p.
2. Koffman A., Debazey G. "Network planning methods and its applications" ("Setevye metody planirovaniya i ikh prime-neniye"), Moscow, Progress, 1968, 182 p.
3. "Project Management ToolBox: Tools and Technics for the practicing Project Manager", New Jersey: John Willey& Sons, 2016, 460 p.
4. Korbut A.A., Finkelshtein Yu.Yu. "Discrete programming" ("Diskretnoe programmirovanie"), Moscow, Nauka, 1969, 368
p.
5. Dorigo M., Gambardella L.M. "Ant colony system: a cooperative learning approach to the traveling salesman problem", IEEE Transactions on Evolutionary Computation, April 1997, vol. 1, no. 1, pp. 53-66, doi: 10.1109/4235.585892.
6. Oleinikova S.A., Kravets O.Ja., Aksenov I.A., Frantsisko O.Yu., Rahman P.A., Atlasov I.V. "The general scheme of the genetic algorithm for solving the task scheduling problem for a multistage system and assigning time for jobs", Int. J. on Information Technologies & Security, 2021, vol. 13, no. 4, pp. 47-58.
7. Kureychik V.V. "Evolutionary methods for solving optimization problems" ("Evolutsionnye metody resheniya optimi-zatsionnyh zadach"), Taganrog: TGRU, 1999, 95 p.
Submitted 30.05.2022; revised 17.08.2022
Information about the authors
Svetlana A. Oleynikova, Dr. Sc. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 324006, Russia), e-mail: s.a.oleynikova@gmail.com, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0333-2313
Ivan A. Selishchev, graduate student, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 324006, Russia), e-mail: selishcheviv@gmail.com
Dmitriy A. Tyunikov, MA, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 324006, Russia) e-mail: tyunikov98@mail.ru
