CC BY
6
соискание ученой степени кандидата экономических наук / Самарский государственный экономический университет. Самара, 2009
7. Кравченко, А.И. Основы менеджмента: управление людьми / А.И. Кравченко, К.А. Кравченко. - М.: Академический проект, 2003
8. Менеджмент XXI века [Текст] / Под ред. С. Чоудхари // М.: Инфра-М. -2002
9. Миротин, Л.Б. Основы менеджмента и управление персоналом. (Логистическая концепция) / Л.Б. Миротин, А.К. Покровский, В.М. Беляев. -М.: ГЛТ, 2010
10. Парабеллум А., Мрочковский Н. «Трансформация бизнеса -построение эффективной компании»// Издательство Питер. - 2013
УДК: 519.23, 330.4
Соловьёв А.С. Россия, г. Ростов-на-Дону ОСНОВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
АЛГЕБРЕ КЛИФФОРДА Аннотация. В работе рассматриваются методы обобщения математического моделирования материального мира в евклидовом пространстве в пространствах Клиффорда.
Ключевые слова: основное метрическое тождество, реальный и материальный мир, пространство Клиффорда, число Клиффорда, гомотетия, симметрия, спин, гамильтониан, вероятность, информация.
Solovyov A.S. Russia, Rostov-on-don A BASIC METRIC IDENTITY IN GEOMETRIC ALGEBRA
CLIFFORD.
Abstract: The paper deals with methods of generalisation of mathematical modeling of the material world in Euclidean space in Clifford spaces.
Keywords: : a basic metric identity, the real and material world, the space of Clifford, the number of Clifford, homothety, symmetry, spin, hamiltonian, probability, information.
Двойственность определения понятия "материя" в физической интерпретации - реального мира [1], и в его философском содержании - как отражения физической среды этого мира в сознании (в примитивном или высокоразвитом), ставит нас перед проблемой выбора изложения материала. Остановимся на втором представлении, поэтому под объектом x множества X будем понимать образ реального объекта, абстракцию, а под множеством X - генеральную совокупность отражения элементов реальной действительности, выделяемых определёнными свойствами, где каждому свойству (признаку) объекта ставится в соответствие та или иная метрическая шкала, что избавляет нас от обращения к физическим конструктивным особенностям наблюдаемого явления. Каждая шкала несёт
информационное описание объекта и её можно оцифровать. Например, бинарная шкала, отвечающая на вопрос "темно - светло" содержит всего бит информации, а вербальная школьная шкала "плохо - отлично" содержит уже два бита (= 1о§2 4). Описание объекта по п признакам будет на п оцифрованных действительных шкалах. В таком случае говорят об описании объекта в п-мерном аффинном пространстве An. Состоянию наблюдаемой в этом пространстве будет отвечать точка, в координатах которой будет "закодирована" вся наблюдаемая информация об объекте в признаковом пространстве En (либо в признаковом пространстве En+1 с учётом "движения во времени"). В связи с определением объекта как "воображаемой материальной точки" в аффинном пространстве появляется отличие реального и материального миров и перемещения их элементов во времени.
При фиксировании начала координат в аффинном пространстве его можно обратить в векторное пространство, задав на нём группу параллельных переносов Яп. Если, к тому же, неотрицательно определённой симметричной формой ^(х, у) задать метрику, то оно обратится в евклидово пространство Еп.
Не нарушая общности будем рассматривать объекты в я-мерном евклидовом пространстве Еп. Таким образом, любое наблюдение объекта, прежде всего, опирается на метрические свойства признаков объекта путём сравнения соответствующих состояний.
Пусть X и У - два множества наблюдений. При этом У может быть выборкой X, т.е. У £X. Тогда на данных наблюдениях можно определить соответствие к = (X, У, К) с графиком ^с к = К £ Х*У и бинарным отношением Я £ О* О, О (^ХиУ„ построить систему сравнения наблюдений, например, х Е X и у Е У, когда х, у Е О, если (х, у) Е Я, [2, 3]. Если функциональная метрика ^(х, у) действует в одном из пространств X, У, на множестве О, то её аргументы следует перевести преобразованием координат А в это пространство. Например, если данная метрика наследует метрику пространства О Е У, то необходимо построить оператор А: X ^ О, х* = Ах ЕО, такой, чтобы метрическая функция принимала вид: ^(Ах, у).
В пространстве Еп построим канонический базис {у1, у2, ..., уп}, возьмём произвольный набор к векторов а, Ь, ..., w и составим произведение
А = аЬ...п = (^^(Г/^У/) ...(2?=1 ™1Уд = 1рЛруР. (1)
Получаем линейную комбинацию в виде разложения по произведениям уР = у1у2 ... ур, 0 < р < к. При этом выполняются условия
= ±1; (2)
[/¿У/ + У/У; = 0,1* ).
Все элементы полного набора произведений уР, а их количество равно т = 2я, линейно независимы и, следовательно, множество всевозможных произведений (1) имеет структуру векторного пространства с базисом {уР}, индуцированным базисом {у/} евклидова пространства Еп, и само обращается в топологическое векторное пространство 8 = 8т. Пространство
8 называется пространством Клиффорда, а его элементы - числами Клиффорда. Как следствие заключаем, что методы пространства Клиффорда 8т является дальнейшим расширением и обобщением методов евклидова пространства Еп.
На пространстве Клиффорда построим три метрических пространства, которые на бинарном соответствии (А, В) определим
1) некоммутативным произведением АВ = Х(А, В), с обозначениями: ДА) = Л(А, А) = А2, которое определяется как скаляр;
2) внутренним произведением А • В = ^(А, В), характеризуемое положительно определённой симметрической билинейной 2-формой ^ в 8x8;
3) внешним произведением А Л В = у (А, В), характеризуемое билинейной кососимметрической 2-формой в 8x8,
так, что
Х(А, В) = а^(А, В) + @У(А, В), (3)
где а, в - метрические коэффициенты связности пространств. Естественно, что эти коэффициенты можно полагать равными единице [4, 5]. При перестановке элементов в (3) получим
А(В, А) = а^(В, А) + (]у(В, А) = а^(А, В) - (]у(А, В). (4) Рассмотрим произведение (3) и (4) и введём на бинарном отношении (А, В): новый симметрический положительно определённый метрический функционал Д(А, В) = Х(А, В)Х(В, А), который обладает свойством
й(А,В) = й(А)0(В), (5)
симметрический положительно определённый метрический функционал
Г(А,В) = - У2(А,В) (6)
и соотношения р = а2 и ^ = р2, обладающие вероятностными свойствами
Р + Ч = 1. (7)
Приходим для бинарного соответствия (А, В) относительно элементов пространства Клиффорда 8 к основному метрическому тождеству [6], принимающему вероятностный вид
Б (А, В) = р112 (А, В) + цГ(А, В), (8)
которое связано с евклидовым пространством Еп представлением элементов (а, Ь, ..., Е Еп числами Клиффорда А = аЬ..^ Е 8. Здесь первое слагаемое правой части определяет гомотетию, второе слагаемое -вращательную симметрию, спин. В отличие от физического перемещения отклонение от симметрии при изменении состояния А на состояние В происходит за счёт учёта внутренних, качественных, фазовых изменений состояния поэтому геометрическая интерпретация вращения определяется как "спин" - изменение фазового состояния объекта. При достоверном наблюдении у системы только гомотетии (которую определим как симметрию) [7, стр. 57] имеем
НАЛ-.В ^ А + кАВ. (9)
При этом второе слагаемое обращается в нуль, т.е.
Б(А,В) = /2(А,В). (10)
При достоверном наблюдении у системы только вращательной симметрии имеем
О(ДВ)=Г(ДВ). (11)
Из (8) и (10) следует неравенство Коши-Буняковского
О (А, В) > /2(А,В), а из (8) и (11) вытекает обобщённое неравенство Адамара
О (Л, В) > Г (А, В). Выражения (3) и (4) показывают, что оценка (5) представима в виде произведения множителей А+ и Х-, каждый из которых можно записать в комплексно сопряжённой форме и в полярных координатах
Х+ = а/ + ¿ДМ = ТОехр(Ш), X" = а/- ¿дДМ = ТОехр(—16). Здесь
Е ( М а\
6 = агсЬа — (Е = —, к = —).
к \ / р/
определяется как фазовая характеристика состояния. При а^ »
имеем 6 ~ Е/Н, или Е ~ И6.
С другой стороны, предположим, что состояния определяются
известными своими модулями и фазовыми характеристиками относительно
некоторого эталона
А± = а±1с = г(А)е±9(А), В± = Ь±Ш = г(В)е±9(ь).
Тогда
О(Д В) = А+А"В+В" = О + (Д В)О"(Д В),
где
О±(Д В) = г(А, В)е±9(А,в\ г(А, В) = г(А)г(В), 6(А, В) = 6(А) - 6(В).
Если В наблюдаемая и в начальный момент 1о В = В(?о), а в момент наблюдения ^ наблюдаем состояние А = В(?), то можно записать 6(А, В) = 0(?) = 0(Й) - 0(?о). Если период наблюдения невелик, то, раскладывая данный показатель в ряд по малому параметру ? и удерживая первый член разложения, при соответствующей замене обозначений параметров получим
О+(0 = г(г)еШ1 = г(0ехр^Е^,О"(0 = = гфехр (-^Е^.
Следовательно, если бинарное соответствие (А, В) рассматривается как сопоставление начального и конечного состояний объекта на достаточно малом временном отрезке ? = И - Ю, то находим оценку усилия, под действием которого происходят масштабированные качественные преобразования (структурные сдвиги)
Е = кш. (12)
Хотя оценку явления можно проводить по бинарному, тернарному и, вообще, по любому п-арному сравнению, как правило, в основу сопоставления закладывают первое. В таком случае каждому явлению на
соответствующем уровне соответствия ставятся две (и только две) основные взаимозависимые и взаимно связанные характеристики: г(А, В) -интегральная, внешняя количественная объёмная (форма), и дифференциальная, внутренняя качественная циклическая (содержание) -фазовая характеристика ю(А,В). Если объёмная характеристика линейно квантуется на прямолинейной координатной оси I, то фазовая характеристика квантуется циклически последовательными собственными числами ю на окружности, лежащей на ортогональной координатной плоскости Р. Таким образом оценка проектируется в координатное трёхмерное пространство 1хР [8].
Из соотношений (8) - (11) заключаем, что основное метрическое тождество (8) является реализацией в пространстве Клиффорда "основного положительного принципа суперпозиции состояний квантовой механики" [9, стр. 21], результатом которой является представление эволюции состояния А в состояние В как наложение гомотетии (9), т.е. симметрии, и вращательной симметрии (11) - асимметрии.
Пусть X У с 8, к = (X, У, К) и существует оператор их V: К ^ фхф; (х, у) = (и<р, Vф) Е К , ф Е Ф с 8. Пусть на множестве К скалярным произведением определена метрика в которой бинарному соответствию (х, у) состояний ставится выражение
д(х,у) = х • у = у*х = (УуУиу = (13)
Из (8) находим гамильтониан задачи
Н = рН0 + ЯН±, (14)
где введены обозначения: н = У*М*и, Н0 = У*ми, Н± = У*яи, Я = М*-М, М = У(рц)*и*.
Из уравнения Шредингера и (14) находим энергетическое воздействие в виде наложения
Е = рЕ0 + цЕг,
которое осуществляет эволюцию состояния у в состояние х и которое описывается как отображение UV-1: у ^ х.
В случае, когда имеют место представления
1 1
рН0 = а2Н0 = - Р2шк, = р2Нг =- 02^К,
2 2
(здесь уходим от обозначений вероятностных характеристик, освобождая из для обозначения координаты q и импульса р), получаем гамильтониан простого гармонического осциллятора [10, гл. 3, стр. 61]
1 ✓ о 1ч Р2
H = -(P2 + Q2)hы=^- + cq,
2 2т
где
ут
Отметим, что в основном метрическом тождестве (8) оба слагаемых в правой части равенства неотрицательны и, следовательно, если ввести обозначения
а = ар(А,В), Ь = р\у(А,В)\,
с =
^0(А,В),
оно принимает вид
с2 = а2 + Ь2.
Последнее представляет тождество Пифагора.
Тождество Пифагора служит основой геометрических измерений и метрического алгебраического анализа. Треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Эллины (VII—V веках до н. э.) дали ему название "Египетский треугольник". Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения. Обобщение Пифагором (535 г. до н. э.) отношения квадратов сторон на любые прямоугольные треугольники привело к доказательству им знаменитой теоремы [11]. Расшифровка глиняной вавилонской таблички "Плимптон 322", которой 3700 лет [12], показывает, что основное метрическое тождество проявляло себя в хозяйственной деятельности (геодезии, строительстве) задолго до открытия тригонометрии древними греками, а табличка служила, своего рода, расчётным планшетом.
Тождество Пифагора обнаруживает, что евклидовость структуры пространств Еп и 8п ведёт к представлению сравнения бинарного соответствия состояний на высшем уровне к двум (и только двум), показанным выше, одинаково существенным и взаимно дополняемым характеристикам. Первая - определяется скалярным произведением А • В и характеризует симметрию их отношения, вторая - определяется кососкалярным произведением А Л В и характеризует асимметрию. Наложение состояния А на состояние В либо их гомотетия даёт нулевое значение кососкалярного произведения. Приходим к симметрии. Если кососкалярное произведение отлично от нуля, то представлении состояния выпуклой линейной комбинацией (4) говорит о присутствии в явлении асимметрии. Квантовая периодичность качества, например, обнаруживается у кристаллов.
Под состоянием здесь понимается не только состояние физического тела, но и любого явления, процесса или закона [13]. Основное метрическое тождество (8) отвечает, как-бы, пространственному расположению наблюдаемой, а соответствие - категорией-распознавателем [14]. Геометрическая суть основного метрического тождества позволяет применять к результатам алгебраического анализа сложных для понимания явлений с помощью простейших геометрических построений, как, например, это делается в работе [15] при интерпретации физических явлений квантовой физики.
Представление основного метрического тождества (8) в виде
тождества Пифагора (15) устанавливает его связь с фибоначчиевой системой счисления и золотым сечением [16] и, по существу, превращает его в фундаментальное метрическое тождество явлений природы [17].
Использованные источники:
1. http://iupr.ru/domains_data/files/zurnal_33/Solovev%202ya.pdf
2. Брауэр В. Введение в теорию конечных автоматов /М., Радио и связь, 1987.
3. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений /М., Наука, 1989.
4. http: //stu. alnam. ru/book_valg-1
5. http: //plotnikovna. narod.ru/ga. pdf
6. Соловьёв А.С. К корпускулярно-волновой интерпретации материи /е.-ж. "Экономика и социум", №2(33),2017, www.iupr.ru
7. Берже М. Геометрия, т.1 /М., Мир, 1984.
8. Идлис Г.М. Единство естествознания по Бору и единообразные взаимосвязанные периодические системы физики, химии, биологии и психологии /Исследования по истории физики и механики, 1990 //М., Наука, 1990.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика /М., Наука, 1989.
10.Грин Х. Матричная квантовая механика /М., Книжный дом "Либроком", 2009.
11.https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%d0%95%d0%b3%d0%b8%d0%bf %d0%b5%d 1 %82%d 1%81 %d0%ba%d0%b8%d0%b9_%d 1 %82%d 1 %80%d0%B 5%D 1 %83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D 1 %8C%D0%BD%D0%B8%D0%B A&veaction=edit§ion=0
12.Шедевр древневавилонской математики /https://www.nkj.ru/news/32106/
13. Симметрия и асимметрия /http://www.13min.ru/nauka/simmetriya-asimmetriya/
14.Объяснение-анализ соответствий и антисоответствий. Сохранение и изменение, покой и перемещение /http://sci-book.com/osnovyi-filosofii/jbyyasnenie-analis-sootvetstviy-64639.html
15.Окунь Л.Б. Теория относительности и теорема Пифагора /УФН, т.178, №6, 2008, стр.653 - 663, (DOI:
http://dx.doi.org/10/3367/UFNr.0178.200806l.0653).
16.Бендукидзе А. Д. Золотое сечение //«Квант» № 8, 1973
17. Голубев С.Н. Квазикристаллическая структура вакуума: Ключ к разгадке тайны живых клеток и квантовых частиц. -М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2014. - 262с.
