Оснащение семейства двумерных плоскостей в пятимерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные науки

УДК 514.76

ОСНАЩЕНИЕ СЕМЕЙСТВА ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПЯТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.А. Молдованова

Томский политехнический университет E-mail: nv@pochta.ru

Статья посвящена инвариантному оснащению семейства Sq двумерных плоскостей в пятимерном эквиаффинном пространстве A при всех допустимых значениях q: 2 < q < 8. Это оснащение строится с помощью подвижного максимально канонизированного репера, которому дается полная аналитическая и геометрическая интерпретация. Основные обозначения и терминология соответствуют общепринятым, а все функции, встречающиеся в данной статье, предполагаются аналитическими.

1. Аналитический аппарат

Рассмотрим пятимерное эквиаффинное пространство А5, отнесенное к эквиаффинному подвижному реперу Я = (А, -}, (/ = 1,5) с деривационными формулами:

" (1.1)

dA = a'ei, dei = a1iej.

где a', aï - формы Пфаффа, удовлетворяющие уравнениям структуры аффинного пространства

Da' = a' л®j, Da) = aj лю; , (i, j ,k = 1Д), (1.2)

и соотношению al + al + ... +a55 = 0 вытекающему из условия эквиаффинности (-, -, ... , -) = 1.

В пространстве A5 рассматривается q-мерное семейство Sq(2<q <8) двумерных пло—костей l2. Присоединим к Sq репер R так, что_12 = (A, -, -). Здесь и в дальнейшем символом ls = (A , Xj, Xl, ... , xs) обозначается s-плоскость (s - мерная плоскость), прохо-дящ-ая через точку A, параллельно векторам X-1, X-2, ..., -. Тогда дифференциальные уравнения многообразия Sq можно записать в следующем параметрическом виде:

aa = AsaOa, al = Аашва, (a,/3 = 1,2; a,0 = 3Д (1.3) где параметрические формы ва удовлетворяют структурным уравнениям:

D6a = въ л6аъ ; DQI =вЪ лва + вслвьт ,...(a,Ъ,c = й),

а величины A aa и A aa удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

dAt - Af6"a - Aîaaa + AC = B%6a,

(а,Ь = 1,д; а, в = 3,5; а, в= 1,2). (1.4) Параметрические формы ва можно считать базовыми формами некоторого дифференцируемого многообразия М, каждой точке В которого отвечает вполне определённая 2-плоскость /2е$,. В дальнейшем будем рассматривать пространство Ц, изоморфное касательному пространству Т9 к Ид в точке В. При этом в Ц с центром в точке В вводится центроаффинная структура, определяемая локальным центроаффинным репером е = (В, ¿а}, где

5в = еь ¿Ь, ёь =в1

а а Ь ' а а

Каждой плоскос-

в" = 0

ти l2 из A5 поставим в соответствие однозначным образом 3-плоскость l3 так, чтобы выполнялись условия:

1Ъ П12 = A, 1Ъ U12 = 4, 1Ъ = (A, ё3, ё4, ё5) (1.5) Тогда а" = Сааа + Dfae, аа = Сааав + Щ а в,

" а в в а ав ав в

где A =CA + Al= С-Д + Лав Apa,

(а,в = 1,2; а,в = 3,5; a,b = 1,q).

Эта 3-плоскость l3 называется нормалью в смысле А.П. Нордена [3] или оснащающей плоскостью, или просто оснащением 2-плоскости l2.

В данной статье решается задача об инвариантном определении оснащения q-семейства 2-плос-костей l2 в A5, т.е. выяснения случаев, когда величины Aa и Asa, являются вполне определенными функциями величин Aâ, A

dAt -At 6: -AL a в + A t at= B£„ 6b

a

2. Основные направления и гиперплоскости при 2< д< 8

На многообразии Мч, (2 < д < 8), рассмотрим некоторую линию, проходящую через точку БеМ.

ва = 1ав, Вв=влв1,

dta -te, + tb9" = t"9,

(a, b = 1, q).

(2.1)

Касательную к этой линии в точке B будем обозначать

t = ta (B, Sa )

(2.2)

Babfff = 0, (a, b, c = 1, q),

(2.4)

где величины Babc определяются по формулам:

Babc =

1

A3 A4 A5

(2.5)

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

, в" -Bb 9a" = Bb 9a(2.6)

aa,c b aba , c abca , ' y '

dB, - B b 9a - B

abc a,bc a

или [5]), если они не принадлежат этому гиперконусу и каждая гиперплоскость У является линейной полярой соответствующего ему направления уЬ£уЬ относительно этого гиперконуса.

Теорема 2.1. Каждой точке Б еИч в Ц в общем случае отвечает конечное число основных направлений уЬ и соответствующих им гиперплоскостей уь относительно (д > 2).

Доказательство. Пусть точке Б еИч в Ц соответствуют направления уЬ = у?(БД), (а,Ь = 1,д). Для этих направлений линейными полярами относительно уд-1 будут гиперплоскости вида.

^ wb = (у15 vv v ) о

и называть направлением. Пусть точкаX = А + Хк + х2-является фокусом [2] плоскости 12 = (А, к, к) вдоль (2.2). Тогда выполняется условие (йХ, к, к) = = 0, из которого с учетом (1.1) и (2.1) получаем. (хА + А?)Г = 0, (а = 1,2; а = 3,4,5; а = (2.3) Обозначим Х" = 1, А| = А|а, тогда система (2.3) примет вид.

х^АКаГ = 0, ( к = 0, 1,2; I = 3,4,5; а = 1д). (2.3') Система (2.3') имеет нетривиальные решения относительно х0, х1, х2 тогда и только тогда, когда с!е1[А;|а?а] = 0, т.е., когда

^vab : = Biaaa v"v"2v" = 0, (a ф b).

(2.9)

Таким образом, для определения уЬ получаем систему д(д ~ 1) алгебраических уравнений 3-го порядка с д2 неизвестными. Кроме того, выполняются следующие соотношения

В V"1 V"2Vа Ф 0. (2.10)

а1а2а3 а а а

Рассмотрим матрицу Якоби системы (2.9):

I =

ЗУ", dvd

, (a, b, c, d = 1, q),

(2.11)

где частные производные вычисляются по фор

= 2B v,au,a3 (a ф b) дфаЪ

мулам

Dv'

^ ■>",(" Ф b),

dvb

= B va"v"3,

a,a22"з a a 5

(а, Ь, с, а1 = 1,д; а = 0, 1, 2), ( а ~ номера строк).

Таким образом, множество всех фокальных направлений в Ц образует алгебраический конус Уз^1 третьего порядка и размерности д к 1 с вершиной в точке Б. Уравнение конуса имеет вид (2.4). Рассмотрим в Ц направление У = (Б, еа)уа проходящее через точку Б. Этому направлению в Ьчотвечает гиперплоскость Удк1. БаЬсу"уЧс = 0 которая является линейкной полярой или полярой порядка 2 направления У относительно гиперконуса (2.4) в смысле [4, С. 1316]. Каждой точке БеИч в Ьч поставим в соответствие д направлений

V = < (В, ёа), (а, ъ = \Гч) (2.7)

и соответствующих им д гиперплоскостей

™Ъ = (У\, ^vъ+l.....VX (18)

проходящих через дк1 направлений уа, кроме Уь(а ФЬ).

Определение 1: Направление уЬеЬч и соответствующие им гиперплоскости У называются основными относительно гиперконуса у^1 (в смысле [4]

(a ф b). Дальнейшие рассуждения с учётом (2.9) -(2.11) аналогичны приведённым в статьях [4] и [5] в соответствии с [6, С. 146-147, теорема III, С. 183184, теорема I]. В общем случае ранг матрицы (2.11) равен Q. Это означает, что система (2.9) состоит из Q алгебраических независимых уравнений с Q* = q2 неизвестными. Следовательно, она определяет конечное число основных направлений vb и гиперплоскостей wb. Если Rang I< Q, то в этом случае система (2.9) состоит из алгебраически зависимых уравнений и определяет бесчисленное множество основных направлений и гиперплоскостей в Lq. Заметим, что теорема имеет место в предположении, что 2 < q < 8. Кроме того, величины Вадаз зависят от Q = 9q величин Айа и Aa, на которые накладывается q2 соотношений. Поэтому должно быть q2 < 9q ^ q < 9. Проведем в q - плоскости Lq точки В &Mq (2 < q < 8)^ такую канонизацию центро-аффинного репера R, при которой:

Baab = 0, Baaa Ф 0, B Ф 0, (а Ф b), (2.12)

Из дифференциальных уравнений (2.6) получаем, что формы вьа, (a^b), являются главными, т.е. вьа = Bbbcd0, (a£b). Геом-етрически это означает, что направления v° = (B,s-&Lq и гиперплоскости wq-1a = (B,sl,s2,...,sa-l,sa+l,sq) являются основными относительно гиперконуса уз-1. При этом из рассмотрения исключается случай Baaa = 0, когда Vie^f', и B = 0, когда основные va и wq_ia определя-

ются бесчисленным числом способов. Заметим, что канонизация центроаффинного репера Я? в Ц типа (2.12) существует в соответствии с [7].

3. Случай q= 2

В этом параграфе будет дано построение оснащения 2-семейства плоскостей /2 в А5. Как отмечено в предыдущем параграфе, гиперконус у3 представляет собой совокупность трех основных направлений, проходящих через точку ВеИ2, которые в силу (2.4) и (2.5) определяются из алгебраического уравнения третьего порядка:

Вш + 3ВШЯ + 3В221Х + В222Х — 0, г = Яг,

B,,, =

Л3 Л Л Л3 л/4 Л2

Л3! Л B у 444 Л/ Л Л/

Л3 Л41 А41 Л44 Л44 Л24

Л3 Л4 Л/ Л3 Л Л^

л3 Л Л4 + Л4 +

1 Л3 Л44 A!3 Л24 Л25

3 Л/ Л4 Л5

+ Л14 Л ЛЦ

Л3 44 Л4 41 A43

Л3 Л/4 Л/ Л3 Л4 Л

Л3 Л4 14 Л5 14 + A34 A45 Л4 +

1 Л3 41 Л24 Л24 Л24 A245 Л24

3 Л/ Л/4 Л

+ Л14 Л4 14 A33

Л3 44 Л4 44 A!3

(3.1)

Проведем в L2 канонизацию центроаффинного репера R типа (2.12):

Д112 = 0 B22 1 = 0 Д1 11 Ф 0

b222 ф 0 :

• B — — B111B222 ф 0.

(3.2)

Из (3.1) следует, что в Ь2 каждой точки ВеИ2 основными направлениями будут

VI = (Б, е), V — (Б, ¿2), V = (Б, ¿1 + ее2),(е* 0), (3.3)

где величина е определяется из уравнения

В222е3 + В111 = 0, (е* 0, ¿Ф<ю). (3.4)

Рассмотрим в пространстве А5 гиперплоскость Г4, отвечающую_точке ВеИ2 и проходящую через плоскость /2 = (А ,_,_):

Г '4 (^х). 1 ^С I ^С — 0.

(3.5)

Найдем й?[_,е2] = (ю} + ю2)[_,е2] + ю ^[е а, ё2] + ю ![__а]. Здесь символом [_,е2] обозначается бивектор векторов _, _2. Следовательно, Г4(х) содержит /2 и параллельна (/2)', смежной /2 вдоль некоторого направления

в1 :в2 — г1 : г2

тогда и только тогда, когда

Хз ЛУ + x4 Л1/ + x5 Д5^ — 0,

<3

I4 ta

1a 4

.(5 j a

1at 5

[ Х3Азаг + Х4А2аг + Х5А2аг — 0

т.е., когда выполняется условие:

(3.6)

(3.7)

Rang

Л3 ta Л4 ta Л5 ta

1a 1a 1a

3 + a л 4 -a A 5 -a

лз ta Л ta Л ta

2 a 2a 2a

— 2.

Каждому направлению (3.6) в А5 отвечает одна гиперплоскость Г4(/':/2) типа (3.5), которая вдоль этого направления параллельна (/2)'. Тангенциальные координаты х3, х4, х5 такой гиперплоскости при заданных ¡2 определяются из системы (3.7). Рассмотрим гиперплоскости, отвечающие направлениям (3.3) и определяемые соответствующими системами (3.7):

Х3 Ац + Х4 Ац + Х5 Ац — 0, Х3 Д31 + Х4 А41 + Х5 ■А51 = 0,

/445 —Г4(й;) — Г4 (1, 0): Rang

Л3 Л4 Л Л11 Л11 Л11

Л31 Л21 Л21

— 2.

(3.8)

с — Г4 (v2) —Г4(0, 1):

Rang

Л1 Л4 Л 12 12 12

л22 Л42 Л22

Х3 Л12 + Х4 Л12 + Х5 Л12 — 0,

Х3Л232+Х4Л42+Х5Л42 — 0, — 2.

(3.9)

С —ад) —

— Г4(0,1):

Rang

Х3 (Л131 + еЛ^ ) + Х4 (Л41 + еЛ^2 ) +

+Х5( Л151 + еЛ152) — 0,

Х3(Л21 + е Л22 ) + Х4(Л4 1 + еЛ42 ) +

+Х5(Л451 +еЛ44) — 0, Лц + е Л3 Лц + еЛ^ Лц + s Л5 Л41 + S Л// Л241 + S .¿Л/22 Л21 + s Л42

— 2.

(3.10)

Проведем следующую канонизацию аффинного репера Я в А5 в соответствии с [7]:

А11 — 0 аА31 — 0' А12 — 0 ^22 — 0

Аи + е^1 2 — 0, А21 + е^ — 0,

А

А?.

(1)

Л —

(3)

Л —

Л4 Л11 Л5 Л11

Л3 12 Л4 Л11

Л22

(2)

ф 0; Л —

Î3

1^2

Л1 2 Л42

ф 0;

ф 0.

(3.11)

441

Тогда следующие формы становятся главными. ®§ = Аава, ( 1^/3), величины 43а удовлетворяют дифференциальным уравнениям. йА^ к АвЬвЬ к к 43,ю1 = А§аЬв", (а,в = 3,4,5; а,Ь = 1,2). Фиксация (3.11) геометрически означает, чтл гиперплоскости (3.8аа.10) имеют вид. к445 = (к, О, к, а4, а5), /45= (А, к, О, О, 0), А4= (А, л, к, к, к4). Отсюда вытекает геометрическая характеристика 3-плоскос-тей, проходящих через /2. /3 =_(А, к, к, 0) = 14"п/345, /3 = (А, к, к2, 0)= / 44П/ 45, / 3 = (А, к, к2, 0) = / 445П/ 345. Заметим, что из (3.11) вытекают следующие соотношения.

0)1 = Я®2, ю34 = Я2®2,

ю35 = Яю25, ю25 = А252 (с£в1 +в2),

А12 = ^1^22 , А11 — Я2 Л21,

Л12 — Я А2>2 ' 4 — Я 4л •

(3.12)

Причем величины Я, &3 удовлетворяют следующим соотношениям.

ЗВ112 = 4344145 (& )+43434 & )+ +А4432451 (Я)+А5 43243 (Я -А,)=0,

3В221 = 4343422 - &)+4432 45 & )+ +4543244, & - &)+ 42443245, & с & ) = 0, В\11 = 4\3A44141 (А )Ф 0, В222 = 4443244 (& а&)ф 0. (3.13)

(1) 4 5

4 — A441 43& -&) ф 0,

(4) 3 5

4 = A235 452&лЯ) Ф 0,

(3) 3 3

4 — A23з43(Я-&) Ф 0. (3.14)

Пусть точка с радиус - вектором X = А + х'а + х20 + х4! + х5! описывает характеристику [2] Г435 гиперплоскости /4 вдоль основного_направления с2 = (В,е2), (в'=0, в2Ф0). Тогда из (¿0,0,0,0,0) = 0 получаем следующую систему, определяющую указанную характеристику.

Г45 :423 + х1432 + х2432 + х44432 + х5432 = 0, х3 = 0. (3.15)

Здесь (йХ, к, 0,0,0) = 0 означает линейное выражение вектора йХ через векторы л, л2, л4и у. Аналогично получаем уравнения характеристики Г35 ги-перплкоскости /345 вдоль основного направления

а = (В,Д), (в'^0, в2=0).

Г3

4., + х 4.33 + х + х 4.33 + х — 0, х4 — 0.

(3.16)

Рассмотрим точку

С — 4 + с% + с2ё2 — ¡2 П Г345 П Г35. (3.17)

Тогда из (3.15-3.17) получаем следующую систему для определения с1 и с2.

х — 0, х4 — 0, х — 0,

4 + с Л13 + с Л22 — 0 Л14 + с1433 + с243 — 0.

(3.18)

Определитель системы (3.18) отличен от нуля в силу (3.11). Поэтому в плоскости /2, отвечающей точке Б еМ2, в общем случае существует одна точка

л.

Проведем такую канонизацию аффинного репера Я в А5, при которой.

43 — 0, Д3 — 0 ^ О

3/а 1

—

ю3 — A24в2• (3.19)

Она приведет к следующим дифференциальным уравнениям. юа = Ааава, йАаа - АвЬ + А^юЦ + +А3юз = Бчьв", (а,Ь = 1,2; а = 1,2; 3 = 3,4,5). Заметим, что с учётом [7] фиксация типа (3.19) существует. Из (3л18) следует, что после фиксации (3.19) точка С = А. Кроме того, из (3.13) и (3.14), используя (3.4) и (3.19), получаем следующие соотношения.

Д (4\42л 4\ 4)+£4 (442л 4, 4) — 0, 43^;52 (Я л & ) + ^4443 A25l (Я л & ) — 0, 45 + е45 — 0.

Обычным путем находятся следующие уравнения.

1) характеристика Г1 -плоскости /3 = (А ,0,0,0) вдоль направления а = (Б,л]), (в'Ф 0, в2 = 0) определяется линейными уравнениями.

4,1 х + 421 х + 43, х — 0, 45 + 431 х1 + 43 х2 + 433 х3 — 0,

х4 — 0,

х5 — 0,

2) характеристика Г4 -плоскости /3 = (А ,0,0,0) вдоль направления у = (Б,а), (в2Ф 0, в1 = 0) определяется линейными уравнениями.

4,2 х + Л55 х + 434 х — 0,

22

42

4-) + 4,2 х + Л55 х + х — 0,

22

х3 — 0, хэ — 0,

3) характеристика Г5уплоскости /5 = (А ,к,0,0) вдоль направления 0 = (Б Д + егС2), (в2 = ев1) определяется линейными уравнениями.

4, + е 4,2 х + е 422 х + +(43 +еЛ532 ) х5 — 0,

еЛ24 + 43. х1 + 43 х2 +

+(43 +е43) х5 — 0,

х3 — 0, х4 — 0.

Проведем заключительную канонизацию аффинного репера Я в соответствии с [7]:

Л31 = 0 Л31 = 0 Л42 = 0 Л42 = 0

А +£а32 = о, 44 +е442 = о.

Отсюда в силу (1.3) следует, что

(3.20)

< = л;2в2, ©4 = л^в, = л32в, ®4 = а5101 т53 = ЛЗгС-ев1 +в2), т54 = л42(-ев1 +в2),

а — Л а ¿Л а

т =

йЛ%а - Л^в" + Лвт + Мтв = Вав

Та—им образом, при фиксации (3.20) прямые ¡1 = (Л,-), ( а = 3,4,5), выбираются следующим образом: Поэтому заключаем, что оснащение ¡3 геометрически характеризуется тем, что оно содержит прямые /1:

/з = (Л, ёъ, ё4, ё5) = /3 и/4 и/15. (3.21)

4. Оснащение семейства St при 2 < д < 8

В этом параграфе будет дано построение инвариантного оснащения при 2 < " < 8. При этом будем предполагать, что в пространстве Ц, соответствующем каждой точке ВеМр проведена фиксация цент-роаффинного репера Я, осуществленная по формулам (2.12) при .любых " (2 <— —8). Рассмотрим в плоскости /2 = (А,-,-) точку X = А + х1- + х2-2, отвечающую точке ВеЫг Пусть эта точка является фокусом плоскости ¡2 вдоль (фокальной) интегральной линии, принадлежащей распределению Д32: в4 = = в5 = ... = в" = 0 в смысле [8]. Это распределение каждой точке Ве.Мч ставит в соответствие 3-плос-кость-Т = (В ,е1,|2,ё3)оЦ", натянутую на направления VI = (-,-), У = (Ви VI = (-Д). Тогда (йХД,-)^, в4 = в5 = ... = в" = 0. Отсюда получаем следующую систему, определяющую фокусы и фокальные направления:

х-Л-шв- = 0, ха = 0, в4 = в5 = ... = в" = 0. (4.1) х° = 1, та = та, (- = 0,1,2; а = 3,4,5; - = 1,2,3).

Система (4.1) имеет нетривиальные решения относительно в- тогда и только тогда, когда

det[xХЛХx] = 0, (4.2)

или, когда

Ф3: л--а-зх" х"2х"3 = 0, ха = 0,

(а15 *2, *3 = 0,1,2 ). (4.3)

Здесь симметрические величины Лг_m.s опреде-л-ются по формулам: Лx¡m = 1/3ЛХlffl Л4т1 Л5т\, ( - - номера строк), и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

^Л*а2а3 Лаа2а3 та1 Ла**Г3 ®а2

-Л-- т" = Л___ва

а"2а а3 а**3 а '

Таким образом, множество всех фокусов плоскости ¡2 образует фокусную алгебраическую кривую Ф1 третьего порядка, определяемую уравнениями (4.3). Каждой точке этой кривой отвечает фокальное направление, определяемое из системы (4.1) при условии (4.2). Из (4.3) замечаем, что линейным полюсом несобственной прямой плоскости ¡2 относительно Ф1 (т.е. центром фокусной кривой Ф1) является точка С = Л + с1- + с2-, где с1, с2 определяются из системы Л0 авс"- +Л>0в = 0, (а,в = 1,2). Эта система будет иметь единственное решение отно-ситель-но са (т.е. существует единственный центр С) тогда и только тогда, когда Л = ёе1;[Л0в ^ 0, (а,в = 1,2). В противном случае она будет иметь бесчисленное множество решений (т.е. существует прямая центров) или вовсе не будет иметь решений (т.е. кривая Ф31 не имеет центра).

Проведем в Л5 такую канонизацию аффинного репера Я, при которой

Лооа = 0, Л * 0,

(4.4)

что приводит к дифференциальным уравнениям: та = Лава, йЛа-Ль в" + Л те + Лт = ЛааЬв". Откуда следует, что эта канонизация репера Я существует в соответствии с [7]. Теп-рь -ентром фокусной кривой Ф1 является точка С = Л. Из (4.3) с учетом (4.4) замечаем, что кривая второго порядка К: Л0¡^хах^ + +Л00в = 0 является квадратичной полярой точки С относительно Ф3, а прямые Г;: Лсфгхахвхг = 0, х1 = 0 образуют в ¡2 асимптотические направления относительно фокусной кривой Ф31. Заметим, что в силу (4.4) кривая К не вырождается. Будем иметь вдоль Д32: йЛ = та- + ю"Та\в4= = в1 = 0 = ГгвГ: где

ГГ = Л- -+Л- -а, - = 1,2,3; а = 1,2; а = 3,4,5). (4.5)

Заметим, что векторы (4.5) линейно независимы, когда Ка^Л- ;Л'а ]__= 3. В этом случае все касательные к линиям (Л), описываемым точкой Л вдоль интегральных кривых распределе-ни-я -Д132-, лежат в одной и той же 3-плоскости /3 = (Л Д^Д).

Проведем в соответствии с [7] заключительную канонизацию аффинного репера Я в Л5:

Аа = 0, A=det[ЛГ ] ^ 0, (4.6)

что приводит к дифференциальным уравнениям:

та = Л 1ава, йЛа а -Лав + Л§тЪ -Лват!, = Л^в".

Геометрически канонизация (4.6) означает, что

(4.7)

Из (1.5) следует, что 3-плоскость (4.7) является оснащением. Это оснащение будем называть основным оснащением.

ь

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кругляков Л.З. Основы проективно-дифференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей. Учебное пособие. — Томск. Изд-во Томского ун-та, 1980. — С. 110.

2. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга г // Изв. вузов. Сер. Математика. — 1957. — № 1. — С. 9—19.

3. Остиану Н.М. Об инвариантном оснащении семейств многомерных плоскостей в проективном пространстве. Труды геометрического семинара. — М.. ВИНИТИ АН СССР, 1969. — Т. 2. — С. 247—262.

4. Ивлев Е.Т. О многообразии ЕЩЬ,,,^]) в я-мерном проективном пространстве Ря(т>2) // Сибирский математический журнал. — 1967. — Т. 8. — № 6. — С. 1307—1320.

5. Ивлев Е.Т. О многообразии T(0,n-m,m) в n-мерном проективном пространстве Pn(m>2,n<m(m+1)) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 8. - № 5. - С. 1143-1156.

6. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Т. I. -М.: ИЛ, 1954.

7. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl (RNR). - 1962. -V. 2. - P. 231-240.

8. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Непроков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С. 7-246.

УДК 681.518:519.68

НЕЧЕТКОЛОГИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ВЕЛИЧИН

И.А. Ходашинский

Томский университет систем управления и радиоэлектроники E-mail: ila@tes.tomsk.elektra.ru

Рассмотрена система оценивания величин, выраженных в виде нечетких множеств. Основой для оценивания является нечеткая логика. Определены способы задания основных логических операций. Приведены результаты анализа оценивания величин при различных функциях принадлежности и различных функциях, задающих операторы t-норм и t-конорм.

Введение

Под величиной будем понимать сущность, в которой проявляются измеряемые, вычисляемые или оцениваемые свойства, свойства эти являются частью описания объекта, явления, процесса и определяют аспекты их поведения. Характерным признаком величины является изменчивость, причем пределы возможных изменений могут быть достаточно точно определены априори.

В теории оценивания можно выделить несколько подходов.

— логико-философский (аксиологический) подход, здесь оценка к это субъективное сравнение или отношение, касающееся объектов, событий, явлений и выраженное в положительной или отрицательной форме, в форме согласия или критики, в предпочтении или неприятии, одобрении или осуждении [1];

- когнитивно-лингвистический подход предполагает переход от ценностной ориентации оценок к расширенному их толкованию [2], здесь различают четыре типа оценок. 1) количественные оценки, выраженные через описание размерности оцениваемых объектов; 2) прототипические оценки к это сравнение со свойствами, присущими большинству рассматриваемых предметов оценивания; шкала прототипических оценок содержит значения нормы, минимум и максимум; 3) гомеостатические или целевые оценки харак-

теризуют имеющиеся у оценивающего субъекта ресурсы, требующиеся для достижения некоторой цели; шкала данного типа оценок упорядочивает затраты ресурсов от минимального до максимального; 4) общие оценки к это по сути оценки в их логико-философском толковании;

— статистическая теория оценок нацелена на определение количественных характеристик случайных величин в условиях ограниченного числа испытаний, основана она на методах теории вероятностей; основой этих методов является положение о том, что усредненные случайные характеристики изучаемых объектов, событий и явлений приближаются к детерминированным при возрастании числа измерений, испытаний или наблюдений;

— оценивание в интервальном анализе имеет своей целью получение приближенного ответа при решении задач и получение оценки возможной погрешности, полученного результата. Природа неопределенности величин, с которой имеет дело интервальный анализ, принципиально отличается от той, с которой оперирует статистический анализ. Последний имеет дело со случайными величинами, в то время как интервальный анализ с ненадежными данными. Основным понятием в интервальном анализе является интервальное число, которое задается двумя вещественными числами, являющимися нижней и верхней оценками [3].