CC BY
21
УДК 539.3
Осесимметричные упругие нестационарные процессы в несжимаемой среде с конечными необратимыми предварительными деформациями
Ю.Н. Кульчин, В.Е. Рагозина, О.В. Дудко
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток, 690041, Россия
Выполнено обобщение кинематических соотношений мультипликативной градиентной модели больших упругопластических деформаций для упрочняющихся материалов с различными главными направлениями тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций. На основе учета промежуточной конфигурации предложен алгоритм анализа упругих динамических процессов в среде с предварительными необратимыми деформациями. Применение алгоритма проиллюстрировано на примере цилиндрических ударных упругих волн в несжимаемой упругопластической среде.
Ключевые слова: большие упругопластические деформации, градиентная мультипликативная модель, пластическое упрочнение, упругая динамика, осесимметричные ударные волны
DOI 10.24411/1683-805X-2019-16004
Axisymmetric nonstationary elastic processes in an incompressible medium with preliminary finite irreversible deformations
Yu.N. Kulchin, V.E. Ragozina, and O.V. Dudko
Institute of Automation and Control Processes, FEB RAS, Vladivostok, 690041, Russia
The kinematic relations of the multiplicative model of large elastic-plastic deformations are generalized for hardening materials with different principal directions of the stress tensor and the plastic strain rate tensor. By taking into account the intermediate configuration, an algorithm is proposed for analyzing elastic dynamic processes in a medium with preliminary irreversible deformations. The use of the algorithm is illustrated by the example of cylindrical shock elastic waves in an incompressible elastic-plastic medium.
Keywords: large elastic-plastic deformations, gradient multiplicative model, plastic hardening, elastic dynamics, axisymmetric shock waves
1. Введение
Стремительное развитие индустрии новых материалов и технологий их обработки, использующих современный комплекс лазерных, механических, электрических и др. воздействий [1-4], требует учета различных масштабных уровней структурных изменений вещества [5-8] для создания адекватных физико-математических моделей. При описании состояния твердого тела в терминах механики сплошных сред это требование проявляется в необходимости перехода от упрощающей и чаще всего вынужденной линеаризации к более общим моделям нелинейного типа. В частности, для технологий, основанных на важнейшем свойстве твердых тел — необратимой деформации, существует проблема разработки моделей больших упругопластических де-
формаций [9-11]. Ключевые различия известных сегодня моделей [11-15] состоят в принципиально разных подходах к разделению деформаций на обратимую и необратимую части, согласованию сделанного выбора с принятым тензором деформаций и связи со скоростными деформационными характеристиками среды. Разработка конкретной модели больших упругопластичес-ких деформаций, как и любой модели твердого тела, обязана содержать общие математические формулировки, связь с экспериментальными данными, примеры эффективного применения к решению конкретных краевых задач. Если все перечисленное имеет место и подтверждается результатами исследователей [16, 17], то дальнейшее развитие модели заключается в расширении области ее применения. Именно такое направление
© Кульчин Ю.Н., Рагозина В.Е., Дудко О.В., 2019
выбрано целью настоящей статьи в отношении одной модели больших упругопластических деформаций [12].
Соотношения модели [12] основаны на разделении левой меры деформаций Альманси [11, 18] на упругую и пластическую части. Наиболее полное отражение результатов в области применения модели [12] к решениям одномерных краевых задач упругопластичности с дополнительным учетом тепловых полей и вязких свойств среды содержится в монографиях [16, 17], обобщающих многочисленные публикации их авторов. Модель [12] в работах [16, 17] использована для вычисления остаточных напряжений, что невозможно сделать в рамках линейной жесткопластической модели [19]. Также она показывает исключительно важное для определения итоговой геометрии конструкционных элементов перераспределение пластических деформаций на стадии упругого деформирования, что невозможно описать на основе линейной модели Прандтля-Рейсса [19]. Таким образом, применение модели [12] к задачам одномерного деформирования можно признать достаточно успешным для идеальнопластических сред [16, 17] или для модификации законов пластического течения с сохранением соосности тензора напряжений и тензора скорости пластических деформаций (например, модель Шведова-Бингама [19]). Именно такие механизмы пластического течения выбраны в [16, 17]. Свойство пластического упрочнения у материалов под действием высоких давлений (например, в технологиях повышения эксплуатационной прочности) проявляется значительно чаще [9], чем поведение, близкое к идеальной пластичности. Поэтому первой задачей, решаемой в статье, является изменение и обобщение кинематических соотношений модели [12] для их корректного согласования с законами упрочнения [19, 20]. Решение такой задачи необходимо, т.к. существующая сейчас кинематика [12, 16, 17, 21] справедлива только в частном случае соосных тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций.
Поведение материалов в динамических процессах также следует признать малоизученным направлением применения модели [12]. Известны несколько частных решений [16, 17, 21-25], где описана одномерная динамика разгрузки упругопластической среды [16, 17, 2124] или изучается автомодельный режим плоской упругой деформации в среде с предварительными деформациями-константами [25]. В перечисленных работах принято приближение о постоянстве пластических деформаций. Поскольку модель [12] исходно создана для описания взаимодействия и изменения всех типов деформаций на любой стадии процесса, то следует заключить, что модельные возможности использованы не полностью. Таким образом, второй задачей исследования является развитие алгоритма описания упругой динамики деформирования в рамках модели [12] для среды с предварительными обратимыми и необратимыми
деформациями. Основой данного алгоритма служит специальное представление кинематики среды [26-29] с выделением промежуточной конфигурации. Ранее [28, 29] такой подход позволил определить возможные типы ударных волн, записать формулы для их скоростей, описать скачкообразный поворот пластических деформаций на передних фронтах ударных волн в задачах плоской деформации. Алгоритм [26-29] в настоящей статье применяется к теоретическому решению задачи определения типов и скоростей осесимметричных упругих ударных волн в несжимаемой среде с предварительными большими осесимметричными деформациями.
2. Об изменении кинематики модели больших упругопластических деформаций с целью учета пластического упрочнения
Известно [9], что модели больших упругопластичес-ких деформаций должны описывать поведение материалов при больших давлениях, когда упругие и пластические деформации могут иметь общий порядок и не являться малыми. На уровне математических уравнений, определяющих кинематику среды, это обстоятельство проявляется в согласовании нелинейных членов уравнений с теми взаимодействиями разных типов деформаций, которые должна описывать модель. Хорошо известное изложение [12, 16, 17] кинематических соотношений рассматриваемой модели корректно согласуется с принятыми в [16, 17] законами пластического течения [19] только при условии соосности тензора истинных напряжений (тензора Коши о) и тензора скоростей пластических деформаций. Любые отклонения от этого условия (будь то неизотропное упрочнение [19] или учет вязкости на всех стадиях деформирования по типу [22]) требуют согласованного изменения кинематических соотношений [12] с учетом новых элементов в определяющих уравнениях, что и представлено в настоящей части статьи. Дополнительно следует отметить, что, несмотря на достаточно долгую историю развития модели [12] (с 90-х годов прошлого века), в практически неизменном изложении ее кинематики не появлялось пояснений авторов [12, 16, 17] в отношении механического смысла основных объектов, определяющих обратимую и необратимую части деформации. Таким образом, считаем необходимым установить взаимосвязь между [12] и общим подходом E.H. Lee [13] мультипликативного представления для тензора-градиента деформаций [18]. Краткое упоминание этой возможности представлено в [26]. Далее приводятся кинематические соотношения [12] с изменением их терминологии в соответствии с [26] и в форме, позволяющей учесть свойства упрочнения.
Движение и деформация элементарного объема сплошной среды в трехмерном евклидовом пространстве полностью определяются тензором-градиентом де-
формации F = г ® Roг. При этом отображение, задаваемое тензором F, строится согласно [13] как суперпозиция отображений F = Fe • Fp, для которых выполняется
Fe = Ve • Я Re • ЯТ = Яр • Я
2А = I - F ЭЯ
F = V • Я
р р р'
V = V1 V = V1
т е те' т р тр'
I,
Р Р
-1Т е-1 = I - V;1 •
• V-2 • ЯТ • V-1
(1)
Я
ду-
г- =-
t=0
Эг
)гг = ЯО ® = I.
В (1) £ = 0 и £ > 0 — моменты времени для свободной (ЯО) и актуальной (г) конфигурации среды; у — координаты Лагранжа; Ее и Fp — упругий и пластический тензоры-градиенты деформации (в общем случае каждый из них сам по себе не может соответствовать среде в евклидовом пространстве); Уе, V и Яр — левые тензоры искажений и собственно ортогональные тензоры ротации; I — единичный (метрический) тензор; А и Е-1Т • Е-1 — тензор деформаций Альманси и тензор левой меры деформаций [18]. Переход от формулы (1) для тензора А к его представлению [12] возможен при условии Яе = I и V"1 = Яе • V"1 • Такое исключение Яе из числа модельных переменных ограничивает форму связи напряжений и упругих деформаций только изотропными упругими средами. Также следует исключить применение модели [12] к задачам с конечными поворотами среды на упругой стадии (например, вращение среды во внешнем поле). Вместе с тем, существует достаточно широкий круг задач [16, 17], для которых соотношения модели [12] вполне эффективны.
Для моделей пластического течения [19] законы формулируются в терминах скоростных характеристик деформаций. Поэтому с учетом Яе = I и стандартных подходов механики сплошных сред [18], а также принятой в (1) терминологии для [12] запишем
Е-1+е-1 • L = о, V;1 = ц, • V"1 - V"1 • ц V;2 = -Ц, •V,-2 -V;2 •ц,, Ц = D + W = (V®V)1 = Е• Е-1, ц, = Е, • Е,-1,
D = Ц(8) V
D = Т(я) Dp = ТР '
W = Ц(а) р Тр '
V = г
" = ц(а)
—-= у7г ® г,, ду " 7
Тр = V;1 • X + " + а-1 (Е2^ - Elf2 + fз),
X = ХТ,
fl = Ve-1 • D - D • У,-1, f2 = V,:2 • D - D • V, fз = V"2 • D • V"1 - V,-1 • D • V"2, Е = I ••V,-1, Е2 = I ••Ve->1' Ез = det V,
а, = Е1Е2 - Е3.
(2)
-1 ,,
В (2) и далее точка над тензором обозначает материальную производную по времени, индексами и (а) обозначены симметричная и антисимметричная части тензоров; L и Цр — тензоры-градиенты скорости среды V и «пластической скорости»; D и Dp — тензоры скоростей деформаций и скоростей пластических деформаций; W и "р — тензор вихря и тензор пластического вихря; тензор X пока не определен. Запись (2) на данной стадии изложения отличает от [12] унификация терминологии относительно пластических и полных деформаций, которая позволяет выделить тензор скоростей пластических деформаций до обращения к анализу основного термодинамического тождества [18]. Уравне--1 -2
ния для изменений V и V в (2) показывают связь этих изменений между собой. В частности, из [12] следует, что в упругом процессе (когда Dp = 0) при
-2 -2р
^ Ф 0 происходит вращение тензора ^ как жесткого целого и перенос вместе с элементарным объемом, зависящие от изменений упругой деформации V"1.
Если Dp = Тр-1 — основные переменные, описывающие мгновенное изменение пластического состояния, то из представления (2) для Цр, содержащего тензор X, следует
Ve-1 • X + X • V- = 2Dp. (3)
Определяя из (3) X и подставляя найденное решение в формулу (2) для Ьр, получим
X = £у,- gг-, gl = Dp' g2 = V- • Dp + Dp • Ve-1'
г=1
-1
р ' е ,
gз = Ve-2 • Dp + Dp • Ve-2' g4 = Ve-1 • Dp • V g5 = Ve-1 • Dp • Ve-2 + Ve-2 • Dp • Ve-
(4)
g6 = Ve-2 • Dp • Ve-2'
У1 =а-1(Е2 - Е1Е2Е3-1 - Е2),
у2 =а"1Е2ЕгЕз-1, Уз = Ез-1,
у 4 = Ез-1 - а-1(Е1з Ез-1 + Е1Е2 Ез-1), у5 = а-ЕЕз-1, у6 = -а^ЕЕ"1, Цр = Цр> + Ц(ра) = Dp + "р = Dp + " + " + "рр, "ре =а--1( Е^-Elf2 "рр =а^1(Е2,1 -Е1Р2 +Рз),
Р1 = Ve-1 • Dp - Dp • Ve-1' р2 = Ve-2 • Dp - Dp • Ve-2'
Рз = Ve-2 • Dp • Ve-1 - Ve-1 • Dp • Ve-2. Тензор пластического вихря "р включает компоненту "р', ненулевую только в процессе активного пластического течения фр Ф 0) и при условии несоос-ных тензоров Бр и V,-1. Таким образом, переход в [12] от идеальнопластических законов к более общим моделям пластического течения [19] связан для пластического градиента Ер с изменением его скорости Цр как
за счет модификации закона пластического течения (т.е. отличий в поле Dp), так и за счет отличий в формировании пластического вихря Wp. Последнее обстоятельство для мультипликативной модели [12] ранее не упоминалось. В [16, 17] утверждалось, что Dp =(1 - е)• X, —1 р V, = I - е. Такой подход справедлив только при соосности трех тензоров V"1, Dp и о, что сужает возможности модели [12]. Решение (4) для Lp и его включение в (2) не связано с такими ограничениями.
Дополнительно представим еще несколько дифференциальных соотношений — следствий (2), (4), которые могут быть полезными при работе на основе [12]. Из (2) и [12] легко следует
V"1 = Яр • У"1 - Ур"1 • Lp, Яр = Яр • Яр,
Яр = -ярр = Я р • я р = Wp+w*,
W* = а-1(Р12К1 -^к 2 + к3),
К1 = Ур-1 • Dp - Dp • Ур-1,
(5)
к2 = Ур-2 • Dp - Dp • Ур-2,
кз = Ур-2 • Dp • Ур-1 - Ур-1 • Dp • Ур-2,
«р = РР> -Рз, Р =1 "V, Р2 = I^р-', Рз = detVp-1.
В (5) Яр — тензор спина пластического градиента.
р -1 Уравнения (5) совместно с уравнением (2) для Уе образуют систему относительно V"1, V"1, Rp. В соответствии с (5), пластический вихрь Wp является частью тензора пластического спина Яр, которая проявляется в модели [12] через влияние на систему (2). Часть Яр, обозначенная как W*, — дополнительное «скрытое» вращение, не зависящее в своем представлении напрямую от упругой части V"1 и в процессе деформации общего типа обусловленное отклонением главных осей Dp от главных осей достигнутых значений V"2.
3. Определяющие соотношения мультипликативной градиентной модели больших деформаций
В области установления законов упругой деформации и пластического течения модель [12] основана на подходе, подробно изложенном в [9]. Его суть состоит в максимальном применении законов, построенных и сформулированных ранее в более простых теориях с корректировкой их записи, необходимой в соответствии с (1), (2). Такой прием позволяет для констант, характеризующих упругие, пластические и вязкие свойства материала, выбрать вычисленные ранее значения [9, 30] в качестве первого приближения.
Из анализа основного термодинамического тождества [18] следует, во-первых, изотропная квазипотенциальная связь напряжений о и упругих деформаций V"1:
О = -рТ' • Уе-1 = -рУе-1 V
где Т(Уе-1, 6) — свободная энергия среды; 6 — абсолютная температура. В [12] принято, что Т не зависит от пластической деформации, что соответствует сходному углу в диаграммах «напряжение - деформация» для упругой части и для ветви разгрузки. Отметим, что напряжения в (6) могут зависеть от V"2 через скалярный множитель р (плотность среды в актуальном состоянии), если только закон пластического течения допускает пластическое сжатие [19]. Во-вторых, из основного термодинамического тождества [18] диссипативная функция ю для модели [12] определяется как
ю = о ••) р. (7)
Определение напряжений, таким образом, достигается заданием в (6) функции свободной энергии Т ^ в зависимости от 6 и инвариантов тензора Уе [30]. Для установления связи скорости пластических деформаций Dp с остальными переменными задачи принимаются соотношения ассоциированного закона пластического течения [19]:
Dp = у/о , (8)
где f— функция нагружения в модели упрочняющейся пластической среды [19, 20] или функция текучести в модели идеальной пластичности [19]; V — скалярный множитель. Если заданием f в законе (8) выбирается модель анизотропного упрочнения (например, модель трансляционного упрочнения [19]), то ей должна соответствовать кинематика (2)-(4), уточняющая кинематику [16, 17].
Дополнительный реологический механизм — вязкость среды [19] обычно учитывается [16, 17] на стадии пластического течения как фактор, замедляющий течение и позволяющий квазистатическую деформацию (модель Шведова-Бингама [19] для функции течения У). При этом о и Dp остаются соосными.
В последнее время [21] на основе кинематики [12] предлагается учет вязких свойств и на стадии упругой деформации (необходимое условие описания свойств ползучести среды и релаксации напряжений [31]) с делегированием тензору V"2 роли одновременной меры как вязких, так и пластических деформаций. В этом случае принятая в [21] модификация закона (8) в форме
Dp - Dp = У/о, f = f (о^ - (9)
(где Dp — значение скоростей необратимых деформаций в момент перехода элементарного объема от вязкой к пластической деформации) также означает различие главных осей о и Dp, что в [12, 16, 17] не отмечалось. Поэтому модификацию кинематики [12] в виде (4) необходимо признать актуальной и для этого направления модели.
4. Алгоритм включения промежуточной конфигурации в кинематику модели больших упругопластических деформаций для решения динамических упругих задач
Подробное изложение алгоритма построения кинематики для упругопластической среды [12], основанного на учете промежуточной конфигурации, приведено в [26-29]. Данный подход направлен на решение краевых задач динамики упругого деформирования (динамическая разгрузка или повторная нагрузка), не связанных с появлением новых пластических деформаций. Относительно имеющихся в среде предварительных необратимых деформаций делается несколько принципиальных для алгоритма [26-29] утверждений: процесс необратимой деформации квазистатический или необратимые деформации образуют статическое распределение; упругий потенциал — функция внутренней энергии (как и функция свободной энергии Т) не зависит от V"2; динамика среды описывается в адиабатическом приближении. Принятые утверждения позволяют использовать модельные соотношения нелинейно-упругих изотропных сред [30] при выборе связи напряжений о и упругих деформаций V"1. В области механизмов пластического течения [19] также допустимы все перечисленные выше законы, а в отношении поля необратимых квазистатических деформаций большой массив результатов исследований представлен в [16, 17]. Инициирование динамического нестационарного процесса путем мгновенного изменения краевых условий в момент Т0 может быть связано с плановыми и неплановыми технологическими ситуациями, а также с возникновением ударных волн в природных геообъектах. По своей сути ударные волны могут быть описаны только в нелинейных моделях твердых тел [32, 33]. Известно [33], что даже нелинейно-упругое моделирование нестационарной динамики с необходимым привлечением сложных вычислительных методов вызывает существенные математические затруднения. Это обстоятельство повышает ценность общетеоретических сведений и приближенных аналитических решений. Алгоритм [2629] для нестационарной упругой деформации в модели [12] легко встраивается и в теоретический, и в вычислительный анализ. Его основная идея состоит в учете промежуточной конфигурации среды при моделировании поля перемещений [26-29]. Несмотря на то что при изложении общих модельных соотношений [12, 16, 17] промежуточной конфигурации обычно избегают (считая это усложнением модели), ее использование в упругой динамике оказывается эффективным для разделения упругих деформаций на исходные и итоговые, а также для построения точной формулы поворотного тензора, задающего вращение пластических деформаций V"2. В задаче плоской деформации [28, 29] введение промежуточной конфигурации позволило определить типы
и скорости всех возможных ударных волн. Еще одна ключевая особенность алгоритма [26-29] — решение динамической задачи в терминах перемещений без обращения к дифференциальной системе (4).
Кратко представим основные положения алгоритма [26-29]. Для элементарного объема среды в моменты времени г = 0, г = г0 и г > г0 определим три конфигурации:
ЯО = ЯО (У, 0), гО = гО у, г0), Г = гу, г), ^ > Т>, (10)
где г = 0 — момент нахождения среды в свободном состоянии; г — момент для актуальной конфигурации; г0 — индивидуальное время перехода частицы среды к упругой динамике (время запаздывания г0 - Т0 > 0); Т0 — момент быстрого изменения краевых условий.
В соответствии с (10) определяются ковариантные и контравариантные базисы и метрические тензоры, а также тензоры-градиенты деформаций:
ЭЯО О ЭгО V — _ Эг V — _
ду1 , г=0 Г- = Эу1 , г, = а -г=0 Эу
= ЯО • , ¿О = г • гО, gij = г • г7,
= Я,, гО- = g, Г- = ,
,, ■ ■ . (11) = g = = 8к,
Е = г, ® Я1-, ¥ = г, ® гО1,
Ф = г. ® Roi, F = ¥ Ф.
В (11) §к — дельта-символ Кронекера, итоговое отображение F реализуется через последовательность отображений ¥ и Ф.
С учетом промежуточной конфигурации определяем поле перемещений:
и = г - ЯО = Ь(г, г)+иО (г - Ь(г, г), г),
О О О О (12)
h = г - г , и = г - Я .
В (12) Ь(г, г) — неизвестная часть перемещений, связанная с динамическим процессом; иО — исходное статическое перемещение (тогда в (12) исключается собственная зависимость иО от времени) или перемещение, известное из решения квазистатической задачи. Учет функции Ь (г, г) в аргументах и° задает перераспределение начального состояния. Подчеркнем, что строгое разделение всех конфигураций реализуется только в нелинейной модели твердого тела [18].
В соответствии с (11), (12), связь тензоров деформаций АО и А в моменты г0 и г имеет вид
I - 2А = (I -V® Ь) • (I - 2АО) • (I - (V® Ь)Т),
. ЭЬ ■ . , Т (13)
V®h = г- ® — = Цг1 ®г7, ¥-1 = I-(У®^Т.
Для большего удобства включения решений квазистатических задач [16, 17] в описываемый метод запишем каждый из тензоров АО и А, выделяя в V"1, ХО-1,
Ур2, V 2 единичный тензор [34]: I - 2А0 = (I - Е0) • (I - 2Р0) • (I - Е0), £ = Е0 - Ео2/2,
I - 2А = (I - Е) • (I - 2Р) • (I - Е), (14)
£ = Е - Е2/2.
В (14) и далее Р — тензор пластических деформаций. Если Р = 0, то А = Е - Е1 ¡2 = £, где £ — тензор упругих деформаций; Е — соосный с £ базовый тензор упругой деформации.
Предполагая согласно [12] единственно возможными в упругом процессе изменениями тензора V"2 (и, соответственно, Р) только поворот и движение как жесткого целого при движении элементарного объема, получаем связь итоговой упругой деформации £ с промежуточным значением £° и полем h(г, () в виде [26-29]: I - 2£ = (I -V® ^ • (I - 2£°) • (I - (V® ^т). (15) При этом тензор пластических деформаций Р вращается по закону
Р = С • Р° • Ст, С • Ст = Ст • С = I,
1 0 (16) С = (I - Е)-1 • (I -V® Ь) • (I - Е°).
Формулы (15), (16) совместно с утверждением [12] о независимости свободной энергии от пластических деформаций позволяют решать краевую динамическую задачу для бездиссипативного процесса относительно поля перемещений Ь(г, () без перехода к скоростным характеристикам деформации (4). Ранее в терминах перемещений построены частные решения задачи динамической разгрузки наклонного упругопластического слоя [16, 17] и разгрузки цилиндрического слоя упру-говязкопластического материала [23], однако эти результаты получены методами приближенного анализа. В пользу алгоритма (10)-(16) говорит то, что он оперирует только точными соотношениями. Это особенно важно, когда упругие и пластические деформации имеют общий порядок, что, в частности, характерно [9, 35] для интенсивных ударных нагрузок, рассматриваемых далее.
5. Задача определения типов и скоростей упругих ударных волн в среде с предварительными обратимыми и необратимыми деформациями
Для ограничения объема приводимых далее вычислений исключаем в модельных соотношениях (14) слагаемые со второй степенью упругой деформации Е: А = Е + Р - Е • Р - Р Е. (17)
Такой подход означает, что упругую часть деформаций теперь определяет Е, а не £ = Е - Е2/2. Это приближение было выбрано ранее [29] для описания одномерных плоских ударных волн. Оно согласуется с (15), (16) с учетом слагаемых до первого порядка включительно по степеням Е. Для решаемой задачи переход к общей
модели (14) не отличается принципиально по результатам и лишь увеличивает объем формул.
Рассматриваем упруго и пластически несжимаемую изотропную среду. Связь напряжений о с тензором упругой деформации E представим в адиабатическом приближении с учетом свойства несжимаемости [30]:
о = -pI + We -(I-2E),
We(E) = W\ex, e2) =
2 2 (18) = (a -ц)е1 + ae2 + be1 -Ke1e2 + de2 +..., v !
e1 = I - -E, e2 = I - -E2, p = p0 = const.
В (18) We (e1, e2) — упругий потенциал среды с упругими модулями ц, a, b, к, d [30, 33, 36]; p — функция дополнительного гидростатического давления. Запись We в (18) включает минимальное число слагаемых по степеням инвариантов e1, e2, необходимых для отражения нелинейных динамических свойств несжимаемой среды [33] (с учетом для e1, e2 общего второго порядка по степеням градиента перемещений). Многоточием обозначены слагаемые более высокой степени относительно e1, e2. Дальнейшее изложение строится без ограничения количества членов разложения We (т.е. деформации считаются конечными, что характерно для несжимаемых сред [35]). Такой подход [33] связан с предположением о максимально широком диапазоне значений упругих модулей, поскольку сведений об упругих константах четвертого порядка (b, к, d) и выше в настоящий момент мало [30, 36].
Связь о и E в форме (18) для общей модели (14) должна быть изменена [16, 17] с использованием представления We в виде функции инвариантов £:
о = -pI + WeE - (I - E) = -pI + We£ - (I - 2£).
Для механизма пластического течения [19] ограничимся законом, обобщающим условие идеальной пластичности Мизеса за счет включения тормозящего механизма внутренней вязкости (модель Шведова-Бингама
[19]):
f (о, Dp) о -3^I-nDp j--
о -i^I-nDp j = 2K2, ^ = о--I. (19)
В (19) K — предел текучести; п — коэффициент вязкости материала, определяемые согласно [31]. Пластический потенциал в форме (19) представлен здесь с единственной целью конкретизации модели. Одновременно отметим наличие детального исследования квазистатической осесимметричной задачи в несжимаемой среде, выполненное при условии (19) в [37]. Его результаты в отношении распределения остаточных деформаций и перемещений служат основой для задания начального состояния среды в решаемой здесь динамической задаче.
Рис. 1. Общее перемещение частицы среды в проекции на плоскость ^1, z 2}
Из закона пластического течения (8), (19) и условия несжимаемости среды р = р0 = const получим
рр-1 = det F-1 = д/ det ((I - E) • (I - 2P) • (I - E)) =
= V det (I - 2E +...) = 1, (20)
det (I - 2P) = 1.
Для модели [12] среды с определяющими соотношениями (17)—(20) ставим задачу определения типов и скоростей ударных осесимметричных волн, движущихся с момента T0 от границы r = r0 (поверхности кругового цилиндра) по среде, заполняющей полуограниченное пространство r > r0. Деформация среды при t < t0 и
t > t0 связана с винтовым движением всех ее точек [371 2
39] в цилиндрической системе координат х = r, х = = ф, х3 = z:
ur = r(1 - cosy0), иф = r siny0, u° = u0,
hr = r (1 - cos у), Нф = r sin y, hz = h, V0 = V0(r, t), U0 = u0(r, t), y = y(r, t), h = h(r, t),
где иГ, иф, иГ, и hr, Кф, hz — физические проекции векторов ur и h соответственно в базисе [e°r, eф, eZ} и {e r, e ф, e z}. На рис. 1 представлена проекция U = Ur + h
(21)
общего перемещения u = ur + h на плоскость х = z =
12
= 0 (z , z — декартовы координаты на плоскости х3 = 0, z1 = r cos ф, z2 = r sin ф).
До момента t = T0 полная деформация среды в базисе {er, e ф, e °z} определяется как
Or = -2((rv0)2 + (u0)2), афф = a°zz = <z = 0,
'фф ^zz KÁ'фz
, Эи0 , Эу0
r _ r V0 r _ и0 ' _ ~ —0 ' _
агф = аrz = и0 =~d_, V0 = d
(22)
В [16, 17, 21-25, 34, 37] принято, что связь напряжений и упругих деформаций на стадии необратимого деформирования аналогична упругой стадии. В частности, упругие деформации, имевшие нулевые значения на упругой стадии процесса, остаются и далее нулевыми. Для соотношений (22), (17) в процессе активной пластической деформации это приводит к наличию всех шести комп°нент , рп, рфф, р°гг, , р°ф при ефф = е^ = eфz = 0 и ненулевых е^, еОф, еп. Кинематика (21) не может создавать в евклидовом пространстве ненулевые компоненты афф, а^, а^. Но, как уже было отмечено, формула (1) задает тензоры-градиенты Ер и г, , каждому из которых не соответствует реальное положение среды в евклидовом пространстве. В этом смысле компоненты рфф, рZz и р°2ф должны исчезнуть за счет поворота тензора РО в процессе упругой разгрузки, приводящем к обращению в ноль тензора Е (если такой процесс для частицы среды осуществим). Из (21), (22) и общего представления (14) следует
иг = г(1 -соб(¥ + ¥0)), иф =гsin(¥ + ¥0),
и. = ш + к,
a rr =-2((r (v0 + v'))2 + (и0 + h')2),
(23)
a
=1 r( + y'),
гф 2 a rz = "2(и0 + h'\
афф=а zz =aфz = 0.
Из условия пластической несжимаемости, условия (20) несжимаемости среды в целом, а также из связи (15) кинематики с £О, £ в динамическом процессе (связи с ЕО, Е в модели (17)) нетрудно получить
r + rv
erф + 2
e^ = el + -
h
= -2(e^+e2 ) =
= el - 4e
r V
h
r ф
- 4el— - 2
V /
f rv_ 12
'К л
(24)
= -2((еГф )2 + (e0* )2),
= V =
Отметим, что (24) следуют из (15) только при условии записи тензора ЕО, исходно заданного в базисе {еГ, еф, еО} (рис. 1), в базисе актуальной конфигурации {е г, е ф, е 2}. Согласно рис. 1, для решаемой задачи эти базисы связаны преобразованием поворота с углом ¥(г, г).
На основе (18), для компонент тензора напряжений из (24) следуют уравнения
°rr =- Р1 + 2
dW e dWe
= 2 Her.
de2 dex a_ = 2 H&...
dWe , 2 2 2 ч - 4-(err + erq> + e^,),
de-,
н=р (1 - ^ )-р-¿в/ ,
ое2 де1
Р «
Р1 = Р-, Р0 = ^
к=0
(25)
Эе1
в1 = 2(а + Ь + к + d),
е1 = егг = - /,
е2 = 4 + ^ + 2е2 = / 2 + /.
Соотношения (25) показывают характерное свойство несжимаемой среды: инварианты е1 и е2 имеют общий порядок по степеням упругой деформации. В (25) предполагается возможность записи ряда (18) для Рe с произвольной необходимой точностью. Нелинейные эффекты динамического поведения сплошной среды проявляются при сохранении в (18) слагаемых не менее четвертой степени относительно компонент Е [33]. В (25) не записаны компоненты стфф и ст22, поскольку они не входят в анализ скоростей и типов ударных волн для кинематики (21).
Пусть динамический процесс Ь(г, t) возникает в среде (г > г0) вследствие интенсивного воздействия на границе г = г0, связанного в момент Т0 с ненулевыми значениями производных Эу/Э^=Т и Эй/Т . Такой процесс может быть вызван как мгновенной разгрузкой предварительно деформированной среды, так и новым нагружением. Предполагаем, что уровень динамически меняющихся напряжений не приводит к новому пластическому течению.
Один из ключевых вопросов в нестационарной динамике твердого тела [18, 33] — определение возможных типов ударных волн и их скоростей для задания краевых условий динамической задачи на подвижных поверхностях разрывов. Если наличие ненулевых разрывов первых производных функций у(г, () и й(г, () в момент Т0 связано с образованием в среде ударных волн, то для таких волн необходимо выполняются динамические, геометрические и кинематические условия совместности разрывов [33, 40]. Следуя динамическим условиям совместности, из (25) получим
[] = [] = -Р0С[]> [] = -Р0С[],
^ ]=[г ], V]=[й„], , к,=дй,
где G — скорость ударной волны в направлении единичной внешней нормали п = {1; 0; 0}; V = {Vг, , V2} — вектор скорости среды; квадратными скобками обозначен скачок величины, заключенной в них ([] = 5 + - 5", + -
5 и 5 — предельные значения 5 перед ударной волной и позади нее). Начальный квазистатический процесс связан с гладким распределением поля V0 в момент Т0, когда нестационарная динамика возникает на границе. Передние фронты динамических процессов сущест-
венно быстрее движутся по среде, чем изменяется ее состояние в квазистатическом режиме. Поэтому состояние частицы среды в конкретной точке пространства совпадает с ее состоянием в момент Т0 и остается неизменным при Т0 < £ < ¿0 (в соответствии с (10) ¿0 — момент прихода первого фронта нестационарной динамики в эту точку). В (26) учитывается гладкость начального поля и то, что даже при ненулевой скорости V0 скачки компонент V определяются только разрывами производных Ь(г, ¿).
Первое из уравнений (26) не несет информации о скоростях ударных волн, но с учетом (25) оно задает связь разрыва функции р с остальными разрывами. Подстановка формул (24), (25) во второе и третье уравнения (26) с учетом кинематического условия совместности [40] приводит к системе двух уравнений
(2е0ф + (гу')+) [Н] + (Н + - [Н ] - Р0в2) [гу'] = 0,
(27)
(24 + (к')+) [Н ] + (Н + - [Н ] - Р0&2) [Й] = 0. Система (27) записана при условии гладкости исходного состояния [е0ф ] = [е02 ] = 0 и в предположении, что перед фронтом ударной волны уже может существовать поле Ь(г, ¿). Это возможно, если ударный фронт — не первый из нескольких возникших или если динамический упругий процесс переходного типа и ударная волна сформировалась позже момента Т0.
Ранее [38, 39] были определены типы и скорости осесимметричных одномерных упругих ударных волн в несжимаемой упругой среде. Для решаемой здесь задачи эти результаты следует считать частным случаем е0ф = е02 = е0г = 0. Таким образом, (25)-(27) является обобщением более ранних работ [38, 39] с учетом предварительных пластических и упругих деформаций.
Из системы (27) следуют две возможности для скорости ударной волны. Во-первых, если [Н] = [/] = 0, то, предполагая [[]2 + [[]2 Ф 0 и учитывая (25), из (27) получаем
С = у1 Н+Р-1 ^р-1(р0 + Р/ ++р2(/ + )2 +...). (28)
Хотя для упругих деформаций в форме (24) величины /и [ У] вычисляются сложнее, чем в чисто упругих задачах, условие [/] = 0 сохраняет свою смысловую нагрузку: / + = /- означает, что для такой ударной волны квадрат интенсивности упругой части исходного сдвига остается неизменным, а изменяться может только направленность упругой части сдвига. Подчеркивая изменения упругой части деформации и следуя известным результатам для плоских ударных волн в несжимаемых упругих средах [33], назовем такую поверхность разрывов упругой вращательной ударной волной.
Если [Н] Ф 0 ([[] Ф 0), то из (27) получим 2е°ф + (гу')+ = [гу'] + -
2е; + (й')+
или [Й] е.
Гф
Гф
(
G = >о \H ++ [Я]
[e
-1
Тф J
(29)
(
= р-1 \ H ++ [Я ]
— 1
К
Из соотношений (29) следует, что для такой ударной волны скачком меняется интенсивность упругой части сдвига без изменения ее направленности. Такой тип разрыва в соответствии с [33] назовем плоскополяризован-ным по упругой деформации.
Вопрос о последовательности прохождения перечисленных ударных волн по среде должен решаться с привлечением следствия второго закона термодинамики [41] в форме дополнительного неравенства на разрывах. Решение этого вопроса является отдельной задачей и здесь не рассматривается.
Если необходимая точность решения допускает пренебрежение квадратами упругих деформаций относительно их первых степеней всюду (в том числе и внутри самих упругих деформаций), то можно предположить егг ~ 0, е0г = 0. При линеаризации (28), (29) приходим
к единственно возможной скорости О = д/м-Р^1 . Для такой волны меняются и интенсивность, и направление начальных упругих деформаций. Такое приближение особенно уместно, если не ставится цель описать упругое состояние среды как физически нелинейное, а упругость важна только как процесс, меняющий исходное распределение пластических деформаций.
Полученная система краевых условий (26)-(29) для ударных волн совместно с краевыми условиями (относительно перемещений или напряжений на нагружаемой границе г0) в отношении поля перемещений Ь(г, 1) позволяет решать систему уравнений движения Э 2у даГ2 « Э 2Й Р° Э?
dv+2 ^ТФ.
= Ро т-
= Ро — (30)
дг г дг дг г
отдельно от определения сопутствующих изменений пластических деформаций. Последнее обстоятельство исключительно важно для динамики нелинейных задач ввиду сложности их решения даже на стадии чисто упругого деформирования. Эта сложность приводит к необходимости проведения численного эксперимента [33] или к методам приближенного теоретического анализа (как, например, в [39]). Для всех этих методик возможность разделения решения на самостоятельные части существенно упрощает его осуществление. Как уже говорилось ранее, определение поля перемещений Ь(г, 1) лежит вне основных задач, решаемых в данной статье, и требует отдельного объемного описания. Соотношения (27)-(29) получены без дополнительного предположения о малости упругих деформаций и без использования приближенного анализа. Они могут быть перенесены на динамические процессы в цилиндрических телах (г < Л) и цилиндрических слоях (г0 < г < R),
(31)
а также на переход от модели (17) к общей модели [12], где A = I - (I -E) • (I - 2P) • (I -E).
6. Поворотный тензор для предварительных пластических деформаций Po в несжимаемой упруговязкопластической среде
Определим поворотный тензор C для тензора Po при осесимметричных винтовых движениях деформируемой среды в рамках модели (17)-(19), учитывая принятые выше краевые условия и кинематику с промежуточной конфигурацией [26-29]. В этом случае соотношения (16) задают C с необходимой для (17) точностью до линейных по E членов:
C = (I + E) • (I -V® h) • (I - Eo),
I + E = (I -E)-1, P = C• Po • CT.
Согласно рис. 1, тензор Po вместе с частицей среды переходит из точки Ao в точку A. Поэтому его компоненты p¡j будут изменяться, во-первых, за счет записи Po в «чужом» базисе {eТ, еф, ez} вместо «родного» {еТ, еф, e°} и, во-вторых, за счет вращений (31). Таким образом, для компонент pij получим
pij =YikY jspks, Yik =cijsjk,
I-V®h =
( cos y-r sin y-V -sin y-r cos y-V -h'\ sin y cos y о
V 0 0 1
( 1 -ry'/2 -h'l2^ ' (32)
C • S = ry'/2 1 0
h'l 2 0 1
V ' /
где S задает поворот от {еТ, еф, e°z} к {еТ, еф, ez} на угол y. В (32) исключены все объекты со второй степенью относительно компонент E°, E и для функций r y', h' введено предположение об одном с упругими деформациями порядке. Эти ограничения не являются необходимыми и приняты только для сокращения объема и повышения наглядности формул. Из (24), (32) для компонент pij получим
Ртт = P°r - Р«рТУ'- P°rzh',
ртф ртф + (prr рфф )
ry
h
^Тф
фф/
Jфz
= о + (о - о ) h - о ту
р rz р rz (р ТТ - Pzz ) — - Рф^-Г ,
(33)
Рфф = Рфф+ РтфТУ
фф
Тф'
ry
h
pфz pфz + prz 2 + ртф 2 '
Pzz = P°zz + P°zh'-
Из (33) следует, что компоненты рфф, p°zz исходно меньшие базовых компонент р°гф, р°г.
и Pфz, [37], в
упругом процессе изменяются сопоставимо со своими начальными значениями (поскольку в идеальной ситуации полной разгрузки частицы эти компоненты должны обратиться в ноль). Одновременно, изменение ргг сопоставимо с р°гг, а изменения ргф и рГ2 малы относительно их начальных значений. Данная оценка малости не будет иметь место, если пластические и упругие деформации несжимаемого материала достигают значительного уровня [9, 35]. Отметим, что приближение (33) не зависит от компонент е-.
Из (33) для скачков пластических деформаций [Р] на ударных волнах получим
\Ргт ] = -ргфТф - рк Tz,
[] =
Pфz
тф - —-— т.
[ ] =
_ p;; Pфф
p;; - pzz г PФz
Tz 2 Тф,
(34)
[['фф ] ¡^Гф^ф, [ ] p;zTz
\p ] = ±^Lт + .QZт
\z ] 2 ф 2 '
\rVl = r\V] =тф' \hhJ =TZ.
Формулы (34), как и (33), показывают преобладание значений [\фф], \J' \p„.J и \рфгJ над J, \]- Отметим, что сложная перекрестная зависимость p ] от тф и Tz связана с тем, что упругие деформации создают вращение Po.
Все представленные здесь и в предыдущем разделе результаты распространяются на осесимметричную деформацию с кинематикой винтового типа для произвольных обобщений определяющих соотношений (19) при условии сохранения связи агф, arz с егф, erz, err (е = E - E2/2). Дополнительно отметим, что алгоритм [26-29] позволяет показать независимость скачков упругих деформаций от скачков пластических деформаций.
7. Заключение
Предлагаемый в настоящей статье вариант изложения кинематических соотношений для модели больших упругопластических деформаций [12] устанавливает ее прямую связь с общим мультипликативным подходом E.H. Lee [13] и тем самым определяет ее конкретное место в общей иерархии [10, 11] моделей больших необратимых деформаций. Ранее [12, 16, 17, 21, 22, 37] такая связь не указывалась. Уточненная нами кинематика модели [12] позволяет корректно согласовать ее с другими модельными законами пластического течения, не предполагающими соосность тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций. В частности, открывается возможность перехода к решению
краевых задач с большими необратимыми деформациями для анизотропно упрочняющихся сред [19].
Динамика больших деформаций — еще одна область применения модели [12]. В настоящей статье акцент сделан на проблеме упругого динамического деформирования среды при наличии в ней больших необратимых деформаций (актуальной задаче для производственных процессов обработки материалов и эксплуатации конструкций). Показана эффективность модели [12] c учетом промежуточной конфигурации [2629] для решения задачи определения характера ударных волн и их скоростей в случае осесимметричной упругой динамики несжимаемой упругопластической среды.
Все представленные в статье результаты ориентированы на максимальное расширение области применения модели [12] по типу материалов и по условиям краевых задач. Предложенные кинематические соотношения и методы решения носят универсальный характер и не требуют приближенного анализа для каждой конкретной задачи, что может быть исключительно полезным и для теоретических, и для вычислительных схем решения.
Литература
1. Шибкое А.А., Золотое А.Е., Гасанов М.Ф., Желтое М.А., Проскуряков К.А. Влияние импульсного лазерного ИК-излучения на по-лосообразование и прерывистую деформацию алюминий-магниевого сплава АМгб // Письма в ЖТФ. - 2015. - Т. 41. - № 24. -С. 70-76.
2. Jablonska M., Smiglewicz A. A study of mechanical properties of high manganese steels after different rolling conditions // Metalurgija. -
2015. - V. 54. - No. 4. - P. 619-622.
3. Zimniak Z, Dobras D. Electroplastic effect of high manganese auste-nitic steel // Arch. Metallurg. Mater. - 2019. - V. 64. - No. 1. - P.431-436. - doi 10.24425/amm.2019.126269.
4. Zayarny D.A., Ionin A.A., Kudryashov S.I., Makarov S.V., Kuchmi-zhakA.A., Vitrik O.B., Kulchin Yu.N. Surface ablation of aluminum and silicon by ultrashort laser pulses of variable width // JETP Lett. -
2016. - V. 103. - No. 12. - P. 752-755. - doi 10.1134/S0021364016 120158.
5. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения / Под ред. В.Е. Панина. -Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.
6. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеханики // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.
7. Панин В.Е., Сурикова Н.С., Смирнова А.С., Почивалов Ю.И. Мезо-скопические структурные состояния в пластической деформации наноструктурных металлических материалов // Физ. мезомех. -2018. - Т. 21. - № 3. - C. 12-17. - doi 10.24411/1683-805X-2018-13002.
8. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. - М.: Мир,
1972. - 408 с.
9. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. - Киев: Наукова думка, 1987. - 232 с.
10. Dafalias Y.F. Plastic spin: Necessity or redundancy? // Int. J. Plasticity. - 1998. - V. 14. - No. 9. - P. 909-931. - doi 10.1016/S0749-6419(98)00036-9.
11. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 262 с.
12. Шитиков А.В., БыковцевГ.И. Конечные деформации упругопластических сред // Доклады Академии наук СССР. - 1990. - Т. 311. — № 1. - С. 59-62.
13. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // ASME J. Appl. Mech. - 1969. - V. 36. - P. 1-6. - doi 10.1115/1.3564580.
14. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Elastoplasticity beyond small deformations // Acta Mech. - 2006. - V. 182. - P. 31-111. - doi 10.1007/ s00707-005-0282-7.
15. Volokh K.I. An approach to elastoplasticity at large deformations // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2013. - V. 39. - P. 153-162. - doi 10.1016/ j .euromechsol.2012.11.002.
16. Буренин A.A., Коетанюк Л.В. Упругие эффекты при интенсивном необратимом деформировании. - Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2011. - 280 с.
17. Буренин A.A., Коетанюк Л.В. Большие необратимые деформации и упругое последействие. - Владивосток: Дальнаука, 2013. - 312 с.
18. Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. -М.: Физматлит, 2009. - 624 с.
19. Ишлинский А.Ю., Иелее Д.Д. Математическая теория пластичности. - М.: Физматлит, 2003. - 704 с.
20. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity. - New York: Oxford University Press, 1998. - 355 p.
21. Бегун A.C., КоетанюкЛ.В., Лемза А.О. Смена механизмов накопления необратимых деформаций материалов на примере их визко-зиметрического деформирования // Изв. РАН. МТТ. - 2018. -№ 1.- С. 103-112.
22. Буренин A.A., КоетанюкЛ.В., Панченко Г.Л. Движение упруговяз-копластической среды в круглой трубе при ее нагреве за счет пристеночного трения // ПММ. - 2016. - Т. 80. - № 2. - С. 265-275.
23. Gerasimenko E.A., Kovtanyuk L.V., Burenin A.A. One-dimensional interaction of a cylindrical unloading wave with a moving elastic-plastic boundary // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2018. - V. 59. -No. 2. - P. 316-325. - doi 10.1134/S0021894418020153.
24. Манцыбора A.A., РусаноеM.M. Автомодельная задача о динамике разгрузки упругопластического полупространства // Сиб. журн. индустр. матем. - 2013. - Т. 16. - № 2. - С. 122-129.
25. Буренин A.A., Дудко О.В., Манцыбора A.A. Распространение обратимых деформаций в среде с накопленными необратимыми деформациями // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 5. - С. 162-170.
26. Кульчин Ю.Н., Рагозина В.Е., Дудко О.В. О распространении упругих возмущений в среде с большими необратимыми предварительными деформациями // Доклады Академии наук. - 2019. -Т. 484. - № 5. - С. 547-549. - doi 10.31857/S0869-56524845547-549.
27. Кульчин Ю.Н., Рагозина В.Е., Дудко О.В. Учет влияния полей остаточных деформаций в современных физико-механических технологиях обработки конструкционных материалов // Письма
в ЖТФ. - 2019. - Т. 45. - № 1. - С. 27-30. - doi 10.21883/PJTF.2019. 01.47152.17487.
28. Рагозина В.Е., Дудко О.В. Некоторые свойства упругой динамики среды с предварительными большими необратимыми деформациями // Сиб. журн. индустр. матем. - 2019.- Т. XXII. - № 1(77). -С. 90-103. - doi 10.33048/sibjim.2019. 22.109.
29. Дудко О.В., Рагозина В.Е. О динамике разгрузки и упругих волнах в среде с предварительно накопленными пластическими деформациями // Изв. РАН. МТТ. - 2019. - № 3. - С. 41-53. - doi 10.1134/ S0572329919020041.
30. Лурье A.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1980. - 512 с.
31. Огибалое П.М., Ломакин ВЛ., Кишкин Б.П. Механика полимеров. - М.: Изд-во МГУ, 1975. - 528 с.
32. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. - М.: Мир, 1972. - 184 с.
33. КуликоескийAT., СеешникоеаЕ.И. Нелинейные волны в упругих средах. - М.: Московский лицей, 1998. - 412 с.
34. Буренин A.A., Быкоецее Г.И., Коетанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // Доклады Академии наук. - 1996. - Т. 347. - № 2. - С. 199-201.
35. Грин A., Aдкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. - М.: Мир, 1965. - 456 с.
36. Порубое A.В. Локализация нелинейных волн деформаций: асимптотические и численные методы исследования. - М.: Физматлит, 2009. - 208 с.
37. Буренин A.A., Устиноеа A.C. Развитие и торможение винтового вязкопластического течения с расчетом упругого отклика после остановки и разгрузки // Успехи механики сплошных сред: к 70-летию ак. В.А. Левина: Сб. науч. тр. - Владивосток: Дальнаука, 2009. - С. 91-102.
38. Буренин A.A., Рагозина В.Е. К закономерностям распространения деформаций изменения формы // Моделирование и механика: Сб. науч. статей / Под ред. С.И. Сенашова. - Красноярск: СибГУ им. М.Ф. Решетнева, 2012. - С. 31-36.
39.Ragozina V.E., Ivanova Yu.E., Dudko O.V. On the special properties of the shear shock wave in an incompressible elastic medium without preliminary deformations // J. Physics. Conf. Ser. - 2019. - V. 1158. -No. 4. - P. 042002. - doi 10.1088/1742-6596/1158/4/042002.
40. Tomas T. Y Plastic Flow and Fracture in Solids. - New York: Academic Press, 1961. - 267 p.
41.Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. - М.: Мир, 1964. - 456 с.
Поступила в редакцию 12.08.2019 г., после доработки 26.11.2019 г., принята к публикации 29.11.2019 г.
Сведения об авторах
Кульчин Юрий Николаевич, д.ф.-м.н., проф., ак. РАН, научн. рук. ИАПУ ДВО РАН, kulchin@iacp.dvo.ru Рагозина Виктория Евгеньевна, к.ф.-м.н., снс ИАПУ ДВО РАН, ragozina@vlc.ru Дудко Ольга Владимировна, к.ф.-м.н., внс ИАПУ ДВО РАН, dudko@iacp.dvo.ru
