ОСЕСИМЕТРИЧНА ТЕМПЕРАТУРНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМИ ТіЛ ЦИЛіНДР-ШАР Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

■а о

Побудовано розв’язок осесиметричної температурної задачі для системи тіл циліндр-шар, який лежить на жорсткій основі з круговою виїмкою, у випадку ізотропних матеріалів. Тепловий контакт між тілами припускається неідеальний. Отримано формули для визначення температурних полів на бічних поверхнях циліндра і шару. Досліджено вплив контактної провідності на розподіл температурних полів у зоні контакту двох тіл Ключові слова: осесиметрична температурна задача, ізотропні матеріали, неідеальний тепловий контакт, контактна провідність

□---------------------------------□

Построено решение осесимметричной температурной задачи для системы тел цилиндр-слой, который лежит на жесткой основе с круговой выемкой, в случае изотропных материалов. Тепловой контакт между телами допускается неидеальный. Получены формулы для определения температурных полей на боковых поверхностях цилиндра и слоя. Исследовано влияние контактной проводимости на распределение температурных полей в зоне контакта двух тел

Ключевые слова: осесимметричная температурная задача, изотропные материалы, неидеальный тепловой контакт, контактная проводимость -----------------------□ □---------------------------

УДК 539.3

ОСЕСИМЕТРИЧНА ТЕМПЕРАТУРНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМИ ТІЛ ЦИЛІНДР-ШАР

Б. С. Окрепкий

Кандидат фізико-математичних наук, доцент* А. М. Алілуйко

Кандидат фізико-математичних наук, доцент* Е-mail: [email protected] *Кафедра економіко-математичних методів Тернопільський національний економічний університет вул. Львівська, 11, м. Тернопіль, Україна, 46004

1. Вступ

Визначення контактних деформацій і напружень, з урахуванням температурних полів, є важливою задачею для дослідження міцності деталей машин і елементів конструкцій у місцях їхньої взаємодії, при розрахунку конструкцій на пружній основі з метою раціонального використання матеріалу конструкції і несучої здатності основи. Тому визначення температурного поля для системи тіл циліндр-шар при неідеальному тепловому контакті є необхідним для знаходження напруженого стану контактуючих тіл.

2. Аналіз досліджень і публікацій

Аналіз основних теоретичних і експериментальних робіт по контактному теплообміну за останні 40 років проведено в роботі [1]. Вплив температурних факторів на характер контактної взаємодії тіл досліджується в багатьох працях [2 - 7]. Теплова контактна провідність між плоскими поверхнями розглядається в роботі [8]. В роботах [9, 10] розв’язана задача теплообміну між двома концентричними циліндрами, в роботі [11] - між циліндром та нескінченною областю. Зокрема осесиметричні температурні задачі для системи тіл циліндр-півпростір і циліндр-шар при неідеальному тепловому контакті для ізотропних і трансферсально-ізотропних матеріалів розв’язані в роботах [4 - 7]. Проте недостатньо вивченим є вплив умов неідеального теплового контакту на величину і характер температури в системі тіл циліндр-шар, який лежить на жорсткій основі з круговою виїмкою.

3. Мета і завдання дослідження

Побудувати розв’язок осесиметричної температурної задачі для системи тіл циліндр-шар, який лежить на жорсткій основі з круговою виїмкою, для ізотропних матеріалів, з урахуванням неідеального теплового контакту. Знайти формули для визначення температури в циліндрі і шарі, а також дослідити вплив контактної провідності на розподіл температурних полів у зоні контакту.

4. Розв’язуваня задачі теплопровідності

Нехай круговий циліндр радіуса Я і довжиною L знаходиться в неідеальному тепловому контакті з шаром скінченної товщини Н. На вільному торці циліндра задана постійна температура Т0, а бічна поверхня циліндра теплоізольована. На вільних поверхнях шару здійснюється теплообмін із зовнішнім середовищем по закону Ньютона. При зроблених припущеннях необхідно визначити температурні поля в циліндрі і шарі.

Введемо циліндричну систему координат г , 0, г , центр якої лежить на поверхні шару, а вісь OZ спрямована вздовж осі циліндра. Всі величини, які позначені верхнім індексом “1”, відносяться до шару, без індексів - до циліндра.

Граничні умови мають вигляд:

Т = Т0, (г = Ц0 < г < Я), (1)

дТ = 0, (г = Я; 0 < г < L), (2)

'Л’т'1 лТ лТ

^дТ =XzdT ^z= ho(T-T1), (z = 0; 0<г<R),(3) dz dz dz

дті

----+ H2T = 0 (z = 0;R < г <~),

dz

дті

------H3T1 = 0 (z = -H;0 < г < R.),

9z 3 v 1

дт1

------H1T = 0 (z = -H;0 < г <~),

dz

V2T = 0.

T(r,z) = A0 + B0z + D0 (r2 - 2z2) + j J0 (ßkr)( Akshßkz +

k=1

+ Bkchßkz) + ZI0 (Y kr) (Cksin Y kz + Dkcos Y kz),

k=1

Граничні умови (3)-(6) приводять до системи інтегральних рівнянь, які зв’язують функції фк(п) (к = 1,2) з коефіцієнтами С(к1)(к = 0,~):

(4)

(5)

де , НІ, Н2, Н3 - коефіцієнти теплопровідності

і теплообміну; Ь0 - контактна провідність.

Розв’яжемо крайову задачу для рівняння теплопровідності. Відомо [12], що в осесиметричному випадку температурне поле Т для ізотропного тіла визначається із рівняння

(7)

За допомогою методу Фур’є загальний розв’язок рівняння (7) для циліндра матиме вигляд

де Ak, Bk, Ck, Dk - довільні постійні; J0 (ßkr) -функція Бесселя першого роду дійсного аргументу; I0 (ykr) - функція Бесселя першого роду уявного аргументу; ßk , yk - власні значення, які визначаються із граничних умов.

Для знаходження температури в шарі введемо трансформанту Ганкеля функції T1(r,z) нульового порядку

T^z) = } rT1(r,z)J0(^ r)dr,

0

задопомогоюякої,ізрівняння(7)знаходимовираз T1(p,Z) через дві довільні функції ф1(п) і Ф2(п) :

T1(P,Z) = |[Ф1(П)епС + Ф2(П)е-пСJo(np)dn,

0

де р = г/R, Z = z/R.

Умова(2)задовольнятиметься,якш;опокласти D0 = 0, Dk = 0, Ck = 0 (k = 1, ~ ); ßk = |ik/R, де |ik - корені рівняння J1(^) = 0.

Гранична умова (1), з урахуванням ортогональ-ності функції Бесселя, приводить до деяких співвідношень між постійними Ak і Bk, в результаті чого, температурне поле в циліндрі виражається через одну нескінченну систему постійних C(k1) за формулою

І^ШП) ^2(Tl)]Jo(np)dn =

0

= C01) + jL^kJ0(^kP)C(k1) (Р< 1),

k=1

(9)

(6) | [ФЛп) + Ф2(п)и0(ПрМп =

=T0 і1 -г

1'

Vі + Ь0,

1

C01) -— х

0 ^z

xjJoO1kP) tW+vr ci1)[ (p< 1), k=1 l h /

(10)

І [(h2 + пЖ(п) + (h2 - ^2(n)]Jo(np)dn =

0

= 0 (P> 1),

| [(h3 - г|)е-пЧ(г|) + (h3 + пК^гОЩПрМп = 0

0

(0 <p < c),

(11)

(12)

І [(h -п)е-пЬф1(п) + (h1 + n)en42(n)]Jo(np)dn = 0 (13)

0

(P> c),

де h = H/R, h1 = H1R(i = 1,3), h0 = h0R/A,z, c = R1/R. Рівняння (11) і (13) представимо у вигляді:

І [(h2+пЖ(п)+(h2 - пЖ^Шпр^п=

0

= Y1(p)U(1 -р) (0<р<~),

| [(h1 - лЖ^л) + (h1 + ЛЖЧ2(П)1І0(ПРМЛ =

0

= Y2(p)U(c-р) (0<р<~),

(14)

(15)

де Y1(p), Y2(p) - невідомі функції, U(x) - функція Хевісайда:

U(x) =

1, x > 0, 0, x < 0.

Припустивши, що підінтегральні функції в рівняннях (14), (15) задовольняють умовам застосування інтегрального перетворення Ганкеля [13], одержимо:

(h2 + ЛЖ(п) + (h2 - лЖ(п) = n|pY1(p)Jo(np)dp,

(16)

Л1

T<P,0 = To І1 + С» £ ß-l)+ - ^

1=R (р< 1>.

Z sh^k(Z-1)C(k1)J0(^p)l, (h1 -пЖ'ЧХл) + (h1 + п)епЬф2(п) = n|pY2(p)Jo(np)dp.

(8)

Функції Y1(p) і Y2(p) наближено представимо у вигляді поліномів по функціям Бесселя:

€

ВД « а01) + ¿а^^р), Y2(p) » а02) + ¿аЦр!, (17)

к=1 к=1 V С У

де а(к1), а(к2) (к = 0,К) - невідомі, які необхідно визначити.

Підібравши N достатньо великим, представлення функцій Y1(p) і Y2(p) у вигляді поліномів можна зробити із як завгодно малою похибкою, якщо ці функції на відповідних інтервалах 0<р< 1 і 0<р<с задовольняють умови Діріхле. При цьому припускається існування і абсолютна збіжність інтегралів

|р2^(рМр, Jp2Y2(p)dp.

с 1 2^

Розв’язавши систему рівнянь (16), з урахуванням (17), знайдемо формули для визначення функцій ф1(п)

і Ф2(П) :

1

Ф1(П) = 2С)( )[(п+Ь1)епЬХ1(п) + (п-Ь2)Х2(п)],

С(п) (18)

1

Ф2(п)= 0ч[(п-^К^Х^п) + (п+Ь2)Х2(п)]. 2С(п>

Тут С(п) = (п2 + ЬЩ^ЬпЬ + (Ь1 + Ь2)псЬпЬ,

N а(1)т

ВД = а(01).І1(п) + п2і1(п):сат^,

01

. . 2 2 к=1 п -Цк

Х2(п) = а(02)сІ1(пс) + п2І1(пс)£ І0 (цк)

(2)

(19)

к=1 °^к' п2 - (Цз/с)2

Підставивши значення функцій ф1(п) і Ф2(п) (18) в рівняння (8), (9) і (12), з урахуванням (19) прийдемо до співвідношень, які зв’язують невідомі коефіцієнти С(к1) (к = 0,¡) і а(к1), а(к2) (к = 0,К):

[ак1)(р)ак1) +ак2)(р)а(к2)] = £і(р) (р < 1),

к=0

І [Р(к1)(р)аі1) + Рк2)(р)ак2) ] = к=0

= с01) + ХЦкІ0(Цкр)с(к1) (р< 1), к=1

^[Т(к1)(р)а(к1) + Т(к2)(р)а(к2)] = 0 (р < с).

(20)

(21)

(22)

Обчисливши невласні інтеграли згідно [14], одержимо:

)(р)=1

<

=г+2£

Р1(п)Л0(пр)І1(п)

dп =

С( п)

Р1*(Ут)І0(Утр)К1(Ут)

= .Цц к)1

С ,(іУт)

п^пЩпр) С(п)(п2 -цк)

(р< 1),

dп =

= І0(Цкр) 1-о

ПЦкР1(Ц к) і0(цкр)К1(ц к) + 2 С(Цк) ‘'(АРкК' 1ич'

+2^^ УтР1 (ут)І0(утр)К1(ут) 1 (р < 1)

т=1 с '(їут)(ут+цк) 11 ’’

гпЦпрШпс)

«02)(р) = с| І0(™(,|с^п =

■2сЕ

С( п) УтІ0(Утр)К1(Утс)

(р<с, р< 1),

а02)(р) = -2сУ УтІ1(Утс)К0(Утр) (с<р< 1), С ,(іУт)

(2)

= с^М п3Т[0(пр)/’<пс>)г] dп =

0С(п)[п -(Цк/с) ]

=с^ {-і® Т0 (“}

+2^Т^т

Уті0(Утр)К1(Утс)

т=1 С'(ІУт)[Ут + (Цк/с) ]

(р<с, р< 1),

ак2)(р) = -2сІ0(Цк)]^7^у-тІ1(Утс)К0(Утр)

2 , , Ч2П (с <р< 1),

=1С'(ІУт)[Ут + (Цк/с) ]

Р01)(р) =г

0 1 С(п)

= ь1 + 2^Г ^тЖ^ЖХО (р < 1), 12 И С'(ІУт)

= І (Ц )?п^1(п)-І0(прШпУ вк І0(Ц к)' С(п)(п2-цк) п

= І0(Цк)|^-^2 ЦкГ(ЦЦ))К1(Цк)І0(Цкр) +

+2 у УmRl(ym)I0(ymp)K1(ym) 1 (р < 1)

т= с '(іут)(ут+Цк) 11 ’’

P0•)<p>=-сь;

С( п)

1 - 1 ¡ УтІ0(Утр)К1(Утс)

= -сЬ12г2 - 2сЬ2 ^

(р<с, р< 1),

Р02)(р) = 2сЬ2 £ ^ХУт^^т^ (с <р< 1),

Рі2)(р) =

2сЬ2і0(Цк)? п3І0(пр)І1(пс)2 dп = -2сЬ2і0(Цк) х 2^к'-! С(п)[п2 - (Цк / с)2] 2^к'

х[ п Цк^ОкК (Цкр! + 2^

1 2с2 С(Цк/с) 01 с У ¿1С'(іУт)[Ут + (Цк/с)2]

ті0(утр)К1(утс)

(р<с, р< 1),

к

11

т

к

т

т=1

к

P(k2)(p) = 2ch2j0(!lk)Y ymIl(ymC)K0(ymp) 2 (c <p< 1),

“ ^k'm=1Q '(iym)[ym + (^k/c)2]

Помноживши рівняння (20), (21) на р, рІ0(Цкр) і проінтегрувавши в межах від 0 до 1, враховуючи при цьому властивості ортогональності функції Бесселя,

Y 01)(р) = (h‘3 - h1)i nJo(np)Jl(n)dn =

o 3 1 j Q(n)

= 2(h3 -h1)j + (h3 -h1)r2 (p<c, p< 1),

m_1 Q(iym)

Yk1)(p) = (h3 -h1)J0(^k)?n Jo(nP2)j1(n)dn k 3 JoQ(n)(n2-Mk)

= (h3- h1)Jo(^ k) |-2 ^Q(f)k>Jo (^kp)+

+2^7^

ymio(ymp)K1(ym)

m_1 Q,(iym)[ym + (MkA) ]

(p<c, p< 1),

Y(o1)(p) = -2(h3-h1)jT yml1(ym)Ko(ymp) (1 <p<c),

=1 Q/(iym )

Y k1)(p) = -2(h3 - h1)Jo(^k)^TrhL

ymi1(ym)Ko(ymP)

1Q/(іУm )(Угп +^k)

(1 < p < c),

Y (o2)(P) = cj

R2(n)Jo(np)J1(nc),

Ю UV—j _ ч ^П =

o

R2(ym)Io(ymP)K1(ym)

Q(n)

=c(h2+h3)+2 j-

Q (iy m )

(p < c),

одержимо співвідношення, які звязують невідомі ап , а(п2) (п = 0,К) і невідомі С(к1)(к = 0, ¡):

j

1ч 1+Ьї

c(1) = — т

Lo о o>

j[ak1nak1) +«k>k2)] + To^ Цп1 + 1^

J^Mnbn _

cn1) _ o, (23)

N 1

j [Pk1>a(k1) +Pk>k2) ]_ 2co1),

k_o 2

jj [Pk1nak1) + Pk2nak2) ]_ ^c-

де «kfl _4 r1 + 2j

1 I oV P*(ym)l1(ym)K1(ym)

2 m_1 УmQ (iym )

_ 2Jo(^k)jT ymP1(ym)I1(y2m)K1(ym),

м ^'¿1 Q'(iym)(ym+^k)

(2)

_ 1cr2 + 2cj I1(ym)K1(ymc),

1 Q (iy m )

(2)

_ 1cr2 + 2cj l1(ymc)K1(ym) (c < 1),

° 2 £1 Q (iy m)

Y(2)(p)_cJ (m )fn2R2(n)Jo(np)J1(nc)dn_ Yk (p)_cJo(Mk)j Q(n)[n2-(Mk/c)2]dn_

as _ |-і§Ш J1 (Mk)

2c Q(Mk)

c J

+2 j ymR*2(ym)Io(ymP)K1(ymc) 1 (p < c)

m_1 q'(iym)[ym+(Mk/c)2] j(p ),

P1(n)_ nch^h + h1shnh, R1(n)_ n(nshnh + h1chnh), R2(n) _ n2shnh + (h2 + h3 )nchnh,

R1* (ym) _ У m c0S Уmh + Ь Sin У.А

RI (ym) _ -ym Sinymh + Ь1 c0S У.А

ymi1(ym)K1(ymc)

m_1 Q/(iym ) [У m + (Mk / c) ]

(c > 1),

(2)

_ 2cJo(M

ymi1(ymc)K1(ym)

1Q '(iym)[ym + (Mk/c)2]

po1) _ ^ + 2 j Rl(ym)l1(ym)K1(ym), 2 12 m_1 У mQ/(iy m)

0(1) _ 2T (m )V ymR1(ym)I1(ym)K1(ym)

Hk,o - *‘Jo\\x'k)^ r\tr \/ 2 , 2 \ ’

■ m_1 q '(iym)(ym+мі)

(c < 1),

R2(y m ) _ -ym sin ymh - (Ь2 + Ь3 )ym Sin У.А

Q/(iym ) _ [(Ь1Ь2 - ym)h + h1 + h2 ] cos ymh --2 [2 + (h1 + Ь2)Ь] ym sin Уmh

ym (m _ 1,~) - корені рівняння Q(iy m ) _ o.

Po2^ _ - fch2r2 - 2ch2 j^ /)/K1(ymc)

1 Q/(iy m )

(c > 1),

po2) _ 2ch2 j (c< 1),

m_1 Q (іУ m )

2

z

m

k_1

+

+

m

m

E

Р(к20 =-2сЬ‘2І0(Цк) {--ЛЦкК1(Цк)І1 (Цк! +

2сС(Цк/с) 1V с

+2^7^

Уті1(Ут)К1(Утс)

1С '(ЇУт)[Ут + (Цк/с)2]

(с > 1),

Р(к20 = 2сЬ2і0(Цк)2 УтІ1(Ут2с)К1(Ут) 2 } (с < 1),

Нм 2^к ¡¿с '(їУт)[Ут+(Цк/с)2]]1 '

одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

,(1) я(2) ак , ак

відносно а(к1), а(к2) (к = 0,К):

2 [Уїї^її + УЇЇЧ2) ] = 0 (п = 0^

(25)

де

у010 = 2(Ь3 -Ь1 )с2І1(с;С^()К1()Ут)+^3 -Ь1) (с< 1), ' т=1 С(іУт) 2

т

(1)

,П = 2І0(Цп)2

УтР11(Ут)І1(Ут)К1(Ут)

У010 = -2(Ь3 -Ь1)2 (с > 1),

т=1 С(іУт)

«її =

к ф п,

п -ПЦпР1(Цп)М1(Цп)і2(Цп), к = п,

4 С(Цп)

а кп = 2І0(Цк)І0(Цп)^т^Е

УтР11(Ут)І1(Ут)К1(Ут)

!с ,(іУт)(Ут+Цк)(Ут+цпу

(2)

Уті1(У т )К1(Утс)

1С ,(ІУт)(Ут +Цп)

(с > 1),

Уті1(Ут)К1(Утс)

1С ,(ІУт)(Ут +Цп)

(с < 1),

О = сІ0(Цк 0 (Цп )

_П__________Ц3kN!<Цk>

2с3 С (Цк/с)[Цп - (Цк/с)2]11 V с

і! і +

+2^7^

Уті1(Ут)К1(Утс)

т=1 С/(ІУ т ) [У т + (Цк/с) ](Ут + Цп)

(с > 1),

7(2) _ Хк,п =

-2сІ0(цк)І0(цп)2---------Ут221(Утс)К1(Ут)2---

"0иі- 'т=1 с '(їУт )[Ут+(ц к / с)2](Ут+цп )

(с < 1).

тЦ=(ь3- і-^Цк^/1(Цчк) іі(ц кс)+

2 С(Цк)

+ 2с^Т^

Уті1(Утс)К1(Ут)

т=1 С'(ІУт)[Ут + (Цк/с) ]

(с < 1),

у $ =-2(Ь3 - ЦШЦк)!^

Уті1(Ут)К1(Утс)

1С ,(ІУт)(Ут +Цк)

(с > 1),

Т 020 = 2с(Ь2+Ь3)+2с]г

2 УтС (іУт)

V(2) = 2с2І(|. )2Г УmR2(Уm)I1(УmC)K1(УmC)

І к,0 “ ^ <І0\ЬХк/^ <^,г чг 2 ,/ / \2п ’

, С (іУт)[Ут + (Цк/с)]

у01П = 2(Ь3 -Ь1)сІ0(ц„)^7-Ут^К^ (с< 1),

т=1 С'(ІУт)[Ут + (ік/с) ]

у 01) = -2(Ь3 - Ь1)сІ0(Ц„)]Г УтІ1(Ут2)К0(Утс) 2

0,П 3 '(ЇУт)[Ут + (Цп/с)2]

(с > 1),

тк1п=(ь3-ь1)і0(Цк)і0(Цп) 1ПЦ2К;.(Цк) 2гЦп/1(Цп/с)

2 С(Цк) с2 [цк - (Цп/с)2]

Використавши с0!) , сП!) із (23) одержимо:

\ 1Ч 1+її

В(!)

Рк,0

'г \ 0 /

ак1) +

Уті1(Утс)К1(Ут)

і с '(їУт)[Ут+(іп/с)2][Ут+(ік /с)2]

(с < 1),

УМ = -2с(Ь3 - ^Щцк )10 (іп )с х

1

а(2) + ^г

ик,0 ^ Л

к г

+1 V1+її.

В(2)

Рк,0

а(2) =± Т к 2 0"

(24)

х2—

Уті1(Ут)К1(Утс)

с ,(іУп) [у т+(іп/с)2 ] [Ут+(ц к/с)2]

(с > 1),

/

1

а(1) +^г к,п ^ Л

г V

Шцп1 + Цп-ь0 )

ак1) +

Т к2П = сІ0(Цк) {-^ цпМц(№і0(цп)+ , [ 4 С(Ц„)

1

а(2) +^г к,п ^ л

К

thцn1 + Цп-Ь0 у

ак2) ] = 0.

Помноживши обидві частини рівняння (22) на р , І0 і —р І , проінтегрувавши по р в межах від 0 до 1,

+ 2І0(Цп)2

УmR2(Уm)I1(УmC)K1(УmC)

с ,(іУт)[Ут+(ік/с)2][Ут+(іп/с)2 ]

Розв’язавши систему лінійних алгебраїчних рівнянь (24), (25), знайдемо а(п1), а(п2) (п = 0,К), які необ-

т

а

а

к

т

к=0

+

к=0

+

т=1

з

хідні для знаходження температурного поля в циліндрі і в шарі.

Формула для обчислення температури в циліндрі:

л 1 N

Т(р,0 = Т {1 + 2А.(С- 1)£ [Р<к1>а(к1) + Р<2>а<2)] +

к=0

д.

зЬцт(^-1)

ЖУк" + Рк>к2) ]},

+2 АГ Е І0(^тр)гЬ|| , т2(и ^[Нк^к -Нк,,пак

А2 т=1 СП|т1ИтJ 0(|т)к=0

(Р< 1).

Формула для обчислення температури в шарі:

Г(р,0 = То {д(о‘д)(р,С)а(о1) + Ха(кХКр,0+

І к=1

+А0^(р,С)а(о2) + £а<к2)Д(»(р,С)} (і = 1,2; І = 3,4),

к=1

де д(і>(р,0 = }

01 { й(п)

1 + Ь1(Ь + 0 +„* G;(Уm,Z)Iо(УmP)Kl(Уm)

(26)

= х-г цдцті,; + 2Е

ь1ь2ь+Ь+ь2 ¿1 й'(іУт)

(р< 1),

Д02)(р,О = -2Е

Gl(Уm,Z)I0(Уm)K1(УmP)

ОХІУт)

(Р> 1),

кЛКЪ' ц(п)(п2-ик) к

х {--

піА(Ик,0 2 Ц(Ик)

^(ИкШИкр)+

+2Е УmGll(Уm,Z)I0(УmP)K1(Уm)l (р < 1)

^ Q'(iym)(ym+и2) г

дк2)(р,С)=-2То(ік)Е А3Др,0=с}

УmG1(Уm,Z)I0(Уm)K1(УmP)

1 й'^^+ик)

G2(n,Z)Jо(nр)Jl(nc),

(р> 1),

й(п)

^п =

УmG2(Иm,Z)I1(УmС)K0(УmP)

1 О'^Иу, + (Ик/с)2] ’

(р > С)

^(л,£) = ПсЬп(Ь + О+Ь^Ьп(Ь + £),

G2(n,Z) = ПсЬпС-Ь^ЬпС,

Gl(Уm,Z) = У,„ ^У,^ + О + ^Шу,^ + £),

^у,^ О=у, «^У,^ - ь2sin у,Л

„ . . ,1 ь0я

Якщо контактна провідність Ь = —------>}, то одер-

А 2

жимо розв’язок задачі у випадку ідеального теплового контакту.

Розглянуто числовий приклад для знаходження температури в шарі згідно формули (26) при 1 = 1, Ь = 1,5, с = 1,3, Аг/А = 0,1, Ь1 = 0,01, Ь2 = Ь3 = 10 (рис. 1).

Рис. 1. Зміна розподілу температури Т1^ в шарі у зоні контакту уздовж безрозмірної координати р при різних значеннях контактної провідності: крива 1 — Ь0 = 0,1; 2 — Ь2 = 1; 3 — Ь0 = 5 ; 4 — Ь0 = ¡

Для підвищення точності розрахунків (3 - 5 %) в системі лінійних алгебраїчних рівнянь (24), (25) вибрано N = 19 . З графіків видно, що розподіл температури в зоні контакту системи тіл залежить від значення контактної провідності.

т

т=1

= С{ 1 - і 2ЕГ G2(Уm,Z)I0(УmP)K1(УmС)

[ Ь^Ь + Ь1 + Ь2 ,=1 й'(ІУт)

(р < С),

Д042)(р,С) = 2с£ (р> С),

5. Висновки

0*0=ссик) {Е<) J• (“}

УmI0(УmP)G2 (Уm,Z)K1(УmС)}

+ 2Е ^ m 0^.7 ,г / 2 m?Ь,/ 1'*У m

Е й'(іу,)^+(Ик/С)2]

(р< С),

Осесиметрична температурна задача для системи тіл циліндр-шар, який лежить на жорсткій основі з круговою виїмкою, для ізотропних матеріалів, з урахуванням неідеального теплового контакту зведена до крайової задачі. Застосовуючи інтегральне перетворення Ганкеля та методу Фур’є, її розв’язування зведено до визначення деяких постійних із системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Отримано формули для знаходимо температурні поля в будь-якій точці циліндра і шару. Досліджено вплив контактної провідності на розподіл температурних полів у зоні контакту. Встановлено, що контактна провідність Ь0 значно впливає на розподіл температури в зоні контакту системи тіл.

m=1

Е

Література

1. Mesnyankin, S. Yu. Solid-solid thermal contact problems: current understanding [Text] / S. Yu. Mesnyankin, A. G. Vikulov, D. G. Vikulov // Physics-Uspekhi. - 2009. - Vol. 52 (9). - P. 891-914.

2. Грилицкий, Д. В. Осесимметричные контактные задачи теории упругости и термоупругости [Текст] / Д. Грилицкий, Я. Ки-зыма. - Львов : Вища школа : Изд-во при Львов. ун-те, 1981. - 136 с.

3. Madhusudana, C. V. Thermal contact conductance [Тех^ / C. V. Madhusudana. - New York : Springer-Verlag, 1996. - 168 p.

4. Окрепкий, Б. С. Осесиметрична температурна задача для системи тіл циліндр-півпростір при неідеальному тепловому контакті [Текст] / Б. С. Окрепкий, М. Я. Шелестовська // Вісник Тернопільського державного технічного університету. - 2005. -№ 3. - С. 23-27.

5. Окрепкий, Б. С. Осесиметрична температурна задача для системи тіл циліндр-півпростір при неідеальному тепловому контакті з врахуванням анізотропії матеріалів [Текст] / Б. С. Окрепкий, Ф. М. Мигович // Вісник Тернопільського державного технічного університету. - 2009. - № 4. - С. 188-192.

6. Окрепкий, Б. С. Осесиметрична температурна задача для системи тіл циліндр-шар при неідеальному тепловому контакті [Текст] / Б. С. Окрепкий, М. Я. Шелестовська // Вісник Тернопільського національного технічного - університету. - 2010. -Т. 15 (3). - С. 171-176.

7. Mandrik, P. A. Solution of a heat-conduction problem for a finite cylinder and semispace under mixed local boundary conditions in the plane of their contact [Тех^ / P. A. Mandrik // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2001. - Vol. 74 (5). -Р. 1262-1271.

8. Mikic, B. B. Thermal contact conductance; theoretical considerations international [Тех^ / B. B. Mikic // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1974. - Vol. 17 (2). - P. 205-214.

9. Ayers, G. H. Thermal Contact Conductance of Composite Cylinders [Тех^ / G. H. Ayers, L. S. Fletcher, C. V. Madhusudana //

Journal of Thermophysics and Heat Transfer. - 1997. - Vol. 11 (1). - P. 72-81.

10. Madhusudana, C. V. Thermal conductance of cylindrical joints [Тех^ / C. V. Madhusudana // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1999. -Vol. 42 (7). - Р. 1273-1287.

11. Beck, J. V. Steady-state temperature distribution for infinite region outside a partially heated cylinder [Тех^ / J. V. Beck, D. Yen, B. Johnson // Chem. Eng. Commun. - 1984. - Vol. 26 (4-6). - Р. 355-367.

12. Коваленко, А. Д. Основы термоупругости [Текст] / А. Д. Коваленко. - К. : Наукова думка, 1970. - 304 с.

13. Sneddon, I. N. Fourier Transforms [Тех^ / I. N. Sneddon. - New York : McGraw-Hill, 1951. - 542 p.

14. Мигович, Ф. М. Обчислення групи невласних інтегралів, які містять функції Бесселя І-го роду [Текст] / Федір Мигович,

Богдан Окрепкий // Зб. наук. праць академії наук України. - 1995. - № 8. - С. 133-137.

З