CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 150, кн. 3
Физико-математические пауки
2008
УДК 537.855-621.318.4
ОРИЕНТАЦИЯ ОСИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ПОЛЯ ВИНТОВОГО ИНДУКТОРА ДЛЯ ИНДУКТИВНО-СВЯЗАННОЙ ПЛАЗМЫ
P.A. Ибрагимов, А.Е. Староверов, А.Х. Гилъмутдипов
Аннотация
Показано, что в винтовом индукторе ось электромагнитного поля развернута и смещена относительно его геометрической оси. Угол поворота зависит от геометрии замыкания винтового тока. В разомкнутом индукторе оси электрического и магнитного полей пе совпадают. Получены явные выражения для положения осей, которые хорошо согласуются с результатами числеппых расчетов.
Ключевые слова: ипдуктивпо-связаппая плазма (ИСП). электромагнитные поля, винтовой индуктор, наклон оси.
Благодаря уникальному сочетанию высокой температуры, чистоты и стабильности индуктивно-связанная плазма широко применяется в качестве источника нагрева (сфероидизация частиц, распыление, рост кристаллов) и илазмохимического реактора (синтез сверхчистых наноструктурных порошков, осаждение металлов и керамики) [1 4]. Кроме этого высокочастотная плазма при атмосферном давлении является практически идеальным источником возбуждения [5] и ионизации [6] элементов для спектрохимического анализа.
Современные теории индуктивно-связанной плазмы основаны на совместном решении системы уравнений Максвелла, описывающих структуру электромагнитных полей, и Навье Стокса, описывающих течение плазмы. До недавнего времени все модели [7 10] основывались на предположении осевой симметрии, что позволяло описывать плазму в двумерном приближении. Проявившаяся в трехмерных моделях [10 12] асимметричность распределений всех основных параметров плазмы требует объяснения, и наиболее вероятной причиной может быть несимметричность электромагнитного поля, генерирующего плазму. Целыо настоящей работы является получение явных выражений для положения осей электрического и магнитного полей в винтовом индукторе для генерации высокочастотной плазмы.
Индуктивно-связанная плазма генерируется спиралевидным индуктором с постоянным шагом (рис. 1). В зависимости от приложений [1 6] число витков индуктора варьируется от 1 до 10. сила протекающего в нем тока меняется в пределах 10 1000 А. а частота в пределах 1 100 МГц. Протекающий через индуктор высокочастотный ток I(t) = I0 exp(iwt) порождает близкое к аксиальному переменное магнитное поле H(r,t), которое, в свою очередь, ведет к формированию вихревого электрического поля E(r, t), благодаря которому поддерживается плазма.
Электромагнитное поле индуктора описывается системой уравнений Максвелла, которая путем введения векторного потенциала A(r, t) = A(r) exp(iwt), H = = rot A сводится к одному уравнению относительно вектора A [6]. В пренебрежении объемными зарядами напряженность электрического поля связана с векторным потенциалом выражением E = —dA/dt, из которого следует совпадение пространственной структуры электрического поля с полем векторного потенциала.
58
Р. А. ИБРАГИМОВ И ДР.
Винтовой индуктор описывается током, текущим по спирали (ж, y, z) = = (R cos 2nt,R sin 2nt, ht), где —N/2 < t < N/2 (N - число витков, R - радиус, h - шаг спирали), и, соответственно, компоненты векторного потенциала равны
N/2
. _ [ (—2irR sin 2irt, 2irR cos 2irt, h) dt
J\.A - I -, , ( i )
J у/(ж - ñcos27rf)2 + (y - i?sin27rf)2 + {z - ht)2
где i = ж, y, z.
Винтовой ток может быть замкнут разными способами. Вначале рассмотрим короткое замыкание по прямой липни, соединяющей концы спирали (R(- 1)N, 0, -ht), -N/2 < t < N/2.
Вклад от линейного тока, замыкающего спиральный, равен
N/2
А-= -kdt (2)
J л/{х - R{-1)N)2 + у2 + {z + ht)2
-N/2
Рассмотрим магнитное поле в центре катушки, то есть возьмем rot A и разложим по малым ж, y, z, ограничиваясь первым порядком разложения. Тогда
N/2 N/2
f —2nvt sin2nt — v cos2nt , f v dt
H:l: = 0, H„ = / -—-^-t-tt^-dt
v J R(í + i/2t2)3/2 "" ' J R(l + v2t2f/2'
-N/2 -N/2
N/2
Г 2ndt h
H*= J Д(1 +^2)3/2' Д-
-N/2
В приближении короткого индуктора (длина индуктора меньше диаметра vN/2 < 1) получаем:
_ 2hN( — í)N _ 2ttN
R2 > R ■
Таким образом, магнитное поле внутри индуктора ориентировано вдоль оси, определяемой углом ф:
tg ф = Hy/Hz = (—1)N h/nR. (3)
Ось поля H на большом удалении от индуктора определяется вектором магнитного момента:
pm = У г х j dV = (0,2hR( —1)NN, 2nR2N).
Из этого выражения следует, что на удалении от индуктора магнитное поле имеет тот же наклон tgф = py/pz = ( —1)Nh/nR, что и внутри индуктора.
Ось электрического поля можно определить как ось пулей (или наименьших значений) векторного потенциала. Разлагая выражения (1) и (2) в ряд по малым ж, y, z, имеем:
N /2 N/2
y í — 2n sin2 2nt z í —2nvt sin 2nt
X=R J (1 + ^2)3/2 Д J (1+^2)3/2
-N/2 -N/2
N/2 N/2
f 2n cos 2nt ж í' 2n cos2 2nt
y= J (1 + is2t2)3/2 Д J (1 + ^2)3/2 ^
-N/2 -N/2
Рис. 1. Силовые линии электрического и магнитного полей в трехвитковом индукторе с замыканием тока на расстоянии 0.3 радиуса витка. О О - геометрическая ось индуктора, О' О' - ось электромагнитного поля
0 5 10 15 20
Рис. 2. Зависимость угла наклона оси электромагнитного поля от числа витков индуктора для параметра V = 0.1 (1), 0.3 (2) и 0.5 (3). Кривые нормированы на угол, определяемый выражением (3)
или для короткого индуктора:
Видно, что при повороте вокруг оси х на угол tg ф = (—1)^Н/пЯ и смещении вдоль осп х на Ах = (—1)^Н2/2п2Я ось г' превращается в ось минимума векторного потенциала (Ах = Ау = 0). Вид тампонент Ах = с\у и Ау = —с2х позволяет заключить, что иоле близко к аксиально-симметричному: выражения с\ и с2 при разложении по малому V совпадают в членах до первого порядка и расходятся лишь во втором порядке.
Для того чтобы определить ось поля А на больших расстояниях от индуктора, разложим выражения (1) и (2) по заведомо большому параметру
Г = ^/х^Ту^Т^ТД2.
60
Р. А. ИБРАГИМОВ И ДР.
Тогда для короткого индуктора
nR2N / hz N\ nR2N ( h2( —1)
N
x —
' у' у г3 V 2п2Д
Таким образом, ось электрического поля вновь определяется соотношением (3).
Полученные выше выражения определяют ось электромагнитного поля в предположении короткого замыкания винтовой части индуктора. Используя аналогичные разложения, можно показать, что в другом предельном случае разомкнутой спирали ось электрического поля сохраняет свое положение, а ось магнитного поля оказывается развернутой на угол, в два раза меньший: tg ф = ( —Н/2-кЯ. В промежуточных случаях замыкания индуктора на некотором удалении от спиралевидной части (рис. 1) ось электрического поля остается неизменной, а угол разворота оси магнитного поля лежит между вышеуказанными предельными значениями. Прямые численные расчеты электромагнитных полей в коротких индукторах указывают на на параметры ориентации оси электромагнитного поля, практически совпадающие с приведенными оценками. В качестве примера на рис. 1 представлена структура электромагнитного поля трехвпткового индуктора, используемого для генерации индуктивно-связанной плазмы в аналитической атомной спектрометрии [5. 6]. В случае длинных индукторов (редко используемых на практике) угол отклонения осп электромагнитного поля от геометрической осп монотонно уменьшается по мере увеличения числа витков, асимптотически стремясь к пулю при N ^ ж. Конкретный вид зависимости, полученный на основе численного расчета, представлен на рис. 2.
Авторы признательны Ш.Ф. Арасланову, М.В. Морозову и И. Цивильскому за полезное обсуждение результатов работы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л*1' 06-03-32887-а).
Summary
R.A. Ibragimov, A.E. Staruveruv, A.Kh. Gilmutdinov. Helicoidal Coil Electromagnetic Field Axis Position in Inductively Coupled Plasma Torch.
Electromagnetic field axis in a helicoidal coil is shown to be turned and displaced as related to the coil geometrical axis. Rotation angle is strongly dependent on current closure path. In an open coil, axes of electric and magnetic fields do not correspond. Explicit formulas for axes positions were obtained, well correlating wit.li numerical results.
Key words: inductively coupled plasma (ICP), electromagnetic fields, helicoidal coil, axis inclination.
Литература
1. Дресвии С.В., Бобров А.А., Лелеакии В.Н. и dp. ВЧ- и СВЧ-плазмотропы. Новосибирск: Наука, 1992. 319 с.
2. Buulus M.I. The Inductively Coupled Radio Frequency Plasma // High Temp. Mater. Process. 1997. V. 1, No 1. P. 17 39.
3. Gitzhufer F. Induction plasma synthesis of ult.rafine SiC // Pure and Appl. Cliem. 1996. V. 68, No 5. P. 1113 1119.
4. Suucy G., Jurewicz J.W., Buulus M.I. Parametric study of the plasma synthesis of ult.rafine silicon nitride powders // J. Mater. Sci. 1995. V. 30, No 8. P. 2008 2014.
5. Montascr A., Golightly D.W. (ed.) Inductively coupled plasmas in analytical atomic spectrometry. N. Y.: VCH Publishers, 1992. 1017 p.
6. Montascr A. (ed.) Inductively coupled plasma Mass Spectrometry. N. Y.: Wiley-VCH, 1998. 964 p.
7. Chen X., P fender E. Modeling of RF Plasma Torch with a Metallic Tube Inserted for Reactant. Injection // Plasma Cliem. Plasma Process. 1991. V. 11, No 1. P. 103 128.
8. Proulx P., Mostaghimi J., Buulus M.I. Radiative Energy Transfer in Induction Plasma Modeling // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. V. 34, No 10. P. 2571 2579.
9. Colombo V., Panciatichi C., Zazo A. et al. Modeling, project, numerical simulation, and AES temperature diagnostics of an inductively coupled plasma torch for the deposition of high-purity fused silica for optical waveguide production // IEEE Trans. Plasma Sci. 1997. V. 25, No 5. P. 1073 1080.
10. Paul K.C., Mostaghimi J., Ishigaki T. et al. Transient Response of Radio Frequency Inductively Coupled Plasma for Pulse Modulation // Plasma Cliem. Plasma Process. 2001. V. 21, No 3. P. 371 400.
11. Bernardi D., Colombo V., Ghedini E. et al. Three-dimensional modelling of inductively-coupled plasma torches // Eur. Pliys. J. D. 2003. V. 22, No 1. P. 119 125.
12. Bernardi D., Colombo V., Ghedini E. et al. Three-dimensional effects in the modelling of ICPTs. Part I: Fluid dynamics and electromagnetics // Eur. Pliys. J. D. 2003. V. 25, No 3. P. 271 277.
13. Bernardi D., Colombo V., Ghedini E. et al. Three-dimensional effects in the modelling of ICPTs. Part II: Induction coil and torch geometry // Eur. Pliys. J. D. 2003. V. 25, No 3. P. 279 285.
Поступила в редакцию 29.05.08
Ибрагимов Ринат Анасович аспирант кафедры оптики и папофотопики Казанского государственного университета.
E-mail: IbragimovRinatemail.ru
Староверов Андрей Евгеньевич инженер кафедры физики твердого тела Казанского государственного университета.
E-mail: Andrey.StaroverovQksu.ru
Гильмутдинов Альберт Харисович доктор физико-математических паук, профессор кафедры общей физики Казанского государственного университета.
E-mail: Albert.Gilmutdinoveksu.ru
