CC BY
5
УДК 004.2
Стрелец А.И. студент магистратуры 1 курса кафедра «Компьютерные системы и технологии»
Протопопова Ю.Д. студент специалитета 5 курса кафедра «Компьютерные системы и технологии»
Иванников В. С. студент магистратуры 1 курса кафедра «Компьютерные системы и технологии»
Матрюхина Е.А. студент магистратуры 1 курса кафедра «Компьютерные системы и технологии» Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Россия, г. Москва
ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАШИНЫ
ТЬЮРИНГА
Аннотация: в статье рассматривается структура машины Тьюринга и рассмотрена организация вычислений с использованием машины Тьюринга.
Ключевые слова: машина Тьюринга, теория автоматов, полнота по Тьюрингу, ЭВМ.
Strelets A.I. graduate student, first course Department of Computer Systems and Technologies National Research Nuclear University MEPhI
Moscow, Russia Protopopova Ju.D. undergraduate student, fifth course Department of Computer Systems and Technologies National Research Nuclear University MEPhI
Moscow, Russia Ivannikov V.S. graduate student, first course Department of Computer Systems and Technologies National Research Nuclear University MEPhI
Matryuhina E.A. graduate student, first course Department of Computer Systems and Technologies National Research Nuclear University MEPhI ORGANIZATION OF COMPUTING USING THE TURING
MACHINE
Annotation: the report is about structure of Turing machine and organization of computing using the turing machine.
Key words: Turing machine, automata theory, Turing completeness, computer science.
1. Определение машины Тьюринга
Машина Тьюринга, состоит из конечного управления, ленты, разбитой на клетки и ленточной головки, считывающей символы с ленты. На рисунке 1 изображена машина Тьюринга, состоящая из данных компонентов. Конечное управление представляет собой конечный детерминированный автомат, для которого определено множество состояний, в котором ом может находиться.
Рис. 1. Машина Тьюринга.
Лента - множество последовательно расположенных клеток, хранящих любой символ из конечного множества всех возможных символов. В начальном состоянии до работы МТ на ленте записан вход, являющийся множеством начальных символов. Множество символов, которые могут присутствовать во входе, называются входным алфавитом. Остальные клетки, расположенные слева и справа от крайних значащих символов входа заполняются пустым символом - пробелом. Пробел является ленточным символом.
Ленточная головка используется для анализа текущего символа, изменения его и перемещения к следующему символу. Головка всегда установлена на какой-нибудь кусок ленты, которая называется сканируемой или обозреваемой. Первоначально обозревается крайняя слева клетка входа.
Переход машины Тьюринга - это функция, входными аргументами которой являются текущее состояние конечного управления и анализируемый символ читающей головки. Шаг работы машина Тьюринга состоит из трех этапов:
1. Изменяет состояние конечного управления. Состояние при этом может остаться таким же, каким было на предыдущем шаге.
2. Записать в текущую клетку символ из алфавита машинных символов. Новый символ может совпадать с замещаемым.
3. Сдвигает головку влево или вправо. Сдвиг необходим для анализа следующего символа.
Для более детального описания структуры и принципов работы машины Тьюринга необходимо использовать формальное описание.
2. Формальное описание
Формальное описание машины Тьюринга во многом схоже с описанием автоматов с магазинной памятью. Машина Тьюринга описывается компонентой M = (Q, Е, Г, 8, q0, B, F). Смысл компонент следующий:
Р - конечное множество состояний конечного управления.
X - конченое множество входных символов.
Г - множество ленточных символов. При этом X есть подмножество Г, но не может совпадать ним.
5 - функция переходов. Аргументами 5 = X) являются д -состояние управления и Х - ленточный символ. Значение 5 это тройка (р, У, Э), либо значение не определено. В тройке р есть следующее состояние из множества Р, У - символ из Г, который будет записан вместо обозреваемого, Э -направление движения головки. Если Э = Ь, то головка передвигается на 1 клетку влево, иначе, если Э = Я, то головка передвигается на одну клетку вправо.
до - начальное состояние р. В этом состоянии машина Тьюринга находится в момент начала работы.
В - пустой символ. Этот символ принадлежит множеству ленточных символов, но не является входным символом. Он записан во всех клетках ленты, кроме конечного числа клеток, где хранятся входные символы.
Б - множество заключительных состояний. Б входит в множество р.
3. Конфигурация машин Тьюринга
Для формального описания работы машины Тьюринга необходимо составить систему записи конфигураций, или мгновенных описаний (МО). Подобная нотация определена для автоматов с памятью для машины Тьюринга можно создать подобную конфигурацию. Несмотря на бесконечность длины ленты, машина Тьюринга за конечное число шагов может рассмотреть конечное число клеток, поэтому в любом МО есть бесконечный префикс и бесконечный суффикс из клеток, которые ещё не обозревались и содержат пробелы или символы из входного множества. В МО включаются только клетки между крайними слева и справа значащими символами. Если головка обозревает пробел один из пробелов до или после значащих символов, то пробелы между обозреваемой ячейкой и значащими символами тоже включаются в описание.
Помимо состояний ячеек ленты на МО также представлено положение головки и состояние управления. Для этого буква состояния помещается слева от обозреваемой ячейки. Для предоставления МО используется цепочка следующего вида: X1X2...Xi-1qXiXi+1...Xn. д - состояние машины Тьюринга, головка обозревает 1-ую клетку слева, а XI...Xn - представляет собой часть ленты между крайними слева и справа значащими символами.
Переходы машины Тьюринга M = (Q, Е, Г, 8, qо, B, F) описываются с
ь
помощью отношения Подразумевая машину Тьюринга М, используется отношение К
Рассмотрим переход 5(д, X), возвращающий тройку (р, У, Ь), т.е. В состоянии д и при символе Х, новое состояние будет р, символ, который будет записан - У, головка будет смещаться на 1 клетку влево. В общем случае переход будет следующий: X1X2■■■Xi-1qXXi+l■■■Xn К X1X2■■■Xi-2pXi-1YXi+l...Xn. Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Если 1 = 1, то М переходит к пробелу слева от Х1. В этом случае дХ^... Хп К рВУХ2... Хп.
2. Если 1 = п и У = В, то символ В, заменяющий Хп, присоединяется к суффиксу из пробелов и тогда МО будет следующим:
Xi.Xn.iqXn К Х1...Хп_2рХп_1.
Пусть теперь 5(д, X) = (р, У, Я), отличие от предыдущего в направлении передвижения головки. В общем случае переход будет следующим: XlX2...Xi_lqX^Xi+l■■■Xn К XlX2...Xi_lYpXi+l...Xn. Рассмотрим два важных частных случая.
1. Если 1 = п, то (1+1 )-я клетка содержит пробел и не является частью предыдущего МО, однако в новое МО пробел справа включён будет. Xl.Xn.lqXn Ъ Xl■Xn_l YpB.
2. Если 1 = 1 и У = В, то символ В, записанный слева присоединяется к бесконечному префиксу из пробелов. Таким образом qXlX2■Xn ЪpX2■Xn.
4. Пример машины Тьюринга
Построим машины Тьюринга, реализующую сумматор с единицей двоичного многоразрядного числа произвольной длины. Вход машины Тьюринга содержит записи вида $01011, в результате выполнения должно получиться число вида $01100 с головкой установленной перед $. $ может заменяться на 1 при необходимости. Начальное МО будет д$01011, конечное будет $д01100. Формальным описание данной машины Тьюринга является М = д2, д4}, {0, 1}, {0, 1, $, В}, 5, В, {д4}),
где 5 представлена в таблице 1.
Символ
Состояние 0 1 В $
ql 0, Я) 1, Я) ^2, В, Ь) $, Я)
(дз, 1, Ь) (д2, 0, Ь) - (д4, 1, Я)
дз (дз, 0, Ь) (дз, 1, ь) - (д4, $, Я)
- - - -
Сначала головка проходит всё число до конца, потом возвращается, прибавляя 1 к младшему разряду, а также прибавляем при необходимости перенос ко всем последующим. Если перенос отсутствует, то машина пропускает все символы вплоть до завершающего пробела или $.
Состояние д! является начальным, с него начинает работы конечное
управление. В этом же состояние управление остаётся при поиске конца числа. Когда конец достигнут, головка указывает на последний разряд, и управление переходит в состояние q2. В этом состоянии происходит сложение 1 с младшим разрядом. Если разряд равен 0, то мы заменяем символ на 1, сдвигаемся влево и переходим в состояние qз. Если символ равен 1, то он заменяется на ноль, головка сдвигается влево и управление остаётся в состоянии q2. Таким образом, осуществляется механизм переноса. При этом если был встречен $, то символ меняется на 1, возник перенос за границу сетки и управление переходит в конечное состояние q4. В состоянии qз поиск начала числа, если начало достигнуто, то головка сдвигается влево и управлении переходит в состояние q4. q4 является конечным состоянием, в котором машина Тьюринга останавливается. Если машина Тьюринга находится в некотором состоянии и встречает символ, переход для которого отсутствует, то машина блокируется. Это означает, что формат входных данных не являлся правильным. В данном примере входные данные должны отвечать регулярному выражению $(0|1)*.
Рассмотрим конкретное значение входа: qо$1011. Полная последовательность переходов образована следующим МО.
ql$1011 Ь $ql1011 Ь $^011 Ь $^11 Ь $10^1 Ь $101%В Ь $10^1 Ь $10q210 Ь $1q2000 Ь $qз1100 Ь qз$1100 Ь $q4l100
2.5. Диаграммы переходов для машины Тьюринга.
Переходы машины Тьюринга можно представить графически, подобно переходам в конечных автоматах и автоматах с памятью. Дуга перехода из состояния q в состояние p отмечена элементом вида X/YD, где X и Y -ленточные символы, а D - направление (Ь или К). Таким образом, переход 5^, X) = (р, У, Я) отмечается на диаграмме как дуга из q в р с отметкой Х/УЭ. При этом вместо Ь и Я используются ^ и ^ соответственно. Начальное состояние помечается словом "начало" и стрелкой, входящей в него. Допускающее состояние выделено двойным кружком. На рисунке 2 представлена диаграмма машины Тьюринга из предыдущего примера.
Рис. 2. Диаграмма переход машины Тьюринга.
Использованные источники:
1. Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Глава 8. Введение в теорию машин Тьюринга // Введение в теорию автоматов, языков и
вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002.
2. Andrew Hodges. Part 4 The Second World War //Alan Turing: a short biography, 2008.
3. Richard A. Woytak A Conversation with Marian Rejewski -www.informaworld.com/10.1080/0161-118291856830 (англ.) //Cryptologia. — Taylor & Francis, 1982.
УДК 336.02
Строменко А.А. студент 3 курса
факультет Корпоративной экономики и предпринимательства
Грицай К.В. студент 3 курса
факультет Корпоративной экономики и предпринимательства
Новосибирский Государственный Университет экономики и управления «НИНХ» научный руководитель: Халтурина О.А., к.э.н.
доцент
Россия, г. Новосибирск ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА МАЛОГО ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА В РОССИИ
Аннотация: В статье рассматриваются способы поддержки малого и среднего предпринимательства государством в Российской Федерации и его роль в развитии данного сегмента. Выделено несколько направлений развития: государственные и муниципальные гарантии, субвенции и субсидии, особый режим налогообложения, бюджетные кредиты, займы, ссуды. Наиболее подробно раскрыт вопрос о динамике кредитования предприятий малого бизнеса коммерческими банками. В заключении предложены пути для увеличения роли государства в развитии малого предпринимательства в России.
Ключевые слова: малый бизнес, кредитование, налогообложение, субсидии, заемные средства.
Stromenko A.A. Student
3 course, Faculty of Corporate Economics and Entrepreneurship Novosibirsk State University of Economics and Management
Russia, Novosibirsk Gritsay K. V. Student
3 course, Faculty of Corporate Economics and Entrepreneurship Novosibirsk State University of Economics and Management
Russia, Novosibirsk
