CC BY
32
Д.А. Павлов, А.М. Валуев
ОРГАНИЗАЦИЯ ЧЕЛОВЕКО-МАШИННОГО ДИАЛОГА В ЗАДАЧЕ ПЛАНИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСА РАБОТ НА ГОРНОМ ПРЕДПРИЯТИИ*
Рассмотрена организация человеко-машинного диалога для решения задач планирования выполнения проекта при различных постановках задачи, характерных для условий горного производства. Различия в условиях задач подразделяются на следующие категории: критерии оценки плана, типы взаимосвязей между работами, ограничения на сроки выполнения работ, формы управления запасами и управления финансами и возможности альтернативных способов выполнении работ. Центральным пунктом рассмотрения является проблема эффективного динамического разделения мощностей между задачами, с учетом сочетания различных типов такого разделения в процессах горного производства. Проанализированы формы человеко-машинного диалога и пользовательского интерфейса в широко используемых пакетах программ — Microsoft Project, Spider Project (разработанном в России) и Primavera Project Planner. Рассмотрено сочетание режимов монопольного и разделенного использования различных мощностей. Показано, что относительно простые варианты задачи планирования выполнения проекта могут быть решены с помощью традиционных форм интерактивного процесса с более широким использованием методов оптимизации, тогда как более сложные проблемы заслуживают разработки новых методов и более изощренных форм человеко-машинного диалога.
Ключевые слова: горное предприятие, планирование проекта, взаимосвязанные работы (задачи), динамическое разделение мощностей, программные комплексы, человеко-машинный диалог, математическое моделирование, гибридные системы, методы оптимизации.
Введение. Проблема планирования выполнения проекта
Задачи планирования выполнения совокупности работ (проекта), взаимосвязанных по порядку их выполнения, известны несколько десятилетий. Используемые при их реше-
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования науки РФ в рамках базовой части государственного задания МГГУ.
ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2016. № 5. С. 94-106. © 2016. Д.А. Павлов, А.М. Валуев.
УДК 65:622.271
нии метод критического пути и ПЕРТ [1] могут быть применены к комплексам работ любой сложности, однако адекватны лишь конкретным качественно различающимся вариантам ее решения. Задачи выполнения комплексов работ горного производства (в первую очередь вспомогательных, но зачастую и основных) трактуются по большей части в рамках традиционной модели сетевого планирования. В связи с этим возникает проблема организации человеко-машинного диалога как способа решения задачи в целом путем чередования задания специалистом уточняющих условий для подзадач или вариантов решения исходной задачи, компьютерного расчета поставленной задачи и отображения его результатов, позволяющего специалисту принять очередное решение. Для анализа организации диалога нужно рассмотреть возможные варианты решаемой проблемы.
1. Критерии оценки плана. Традиционный целевой показатель — время выполнения проекта — соответствует выполнению проекта с помощью внутренних ресурсов организации. Интенсификация работ, аренда оборудования, найм временных работников или привлечение услуг сторонних организаций требует дополнительных затрат; естественным целевым показателем становится взвешенная сумма времени и затрат.
Выполнение некоторого набора работ может позволять получать доход или начинать работы, дающие доход. Например, после завершения работ на одном подъезде можно сдавать в аренду или продавать готовые помещения. В условиях горного производства характерными работами такого типа являются работы по вскрытию очередного горизонта или подготовки лавы к работе. В этом случае в целевой показатель нужно включить и время завершения такого подпроекта с определенным весом.
2. Взаимосвязь работ и условия на время их выполнения. Одни работы допускают остановки и различный темп выполнения, другие выполняются в одном темпе, без прерываний. Работа может допускать возможность выполнения последующих работ при условии достаточного опережения в отношении их текущих объемов.
Результаты некоторых работ являются недолговечными (пример — откачивание воды из котлована или приготовление бетонного раствора), что вызывает условия как на продолжительность работ, так и на временной промежуток между последовательными работами. Возможны условия одновременного начала — SS (Start-Start) или одновременного завершения — FF (Finish-Finish) нескольких работ.
3. Возможные условия распределения производственных ресурсов (мощностей) между одновременно выполняемыми работами — монопольное закрепление за одной работой до ее окончания для неделимых мощностей (одна машина, комплексная бригада); разделение мощности между параллельными работами с возможностью динамического перераспределения (если мощность — группа однотипных механизмов или работников одной профессии и квалификации). В условиях горного производства сочетается работа крупных маломобильных машин (роторный экскаватор, проходческий щит) и слабо механизированный труд с большим количеством работников.
4. Управление запасами потребляемых ресурсов и финансовыми ресурсами. Большинство работ требуют потребления каких-либо материалов, в связи с чем возникает задача управления запасами, так же как и финансовыми ресурсами.
5. Альтернативность в выполнении проекта. Некоторые работы и комплексы работ могут выполняться на альтернативной основе, с применением неодинаковых технологий, оборудования, материалов.
Многоаспектность проблемы планирования выполнения проекта приводит к тому, что ее условия могут быть интерпретированы по-разному в зависимости от опыта решения подобных задач, информированности, наличия средств решения. Даже в процессе самого решения задачи для конкретного проекта могут возникнуть соображения об иных способах выполнения составных частей проекта и управления ресурсами (например, путем замены чего-либо из имеющегося оборудования или найма более квалифицированных работников). С другой стороны, необходимым условием эффективности планирования является наличие программных средств, обсчитывающих выдвигаемые варианты плановых решений и наглядно отображающих результаты расчетов. Таким образом, рассматриваемая проблема выдвигает необходимость построения эффективного и сложно организованного человеко-машинного диалога, т.е. разработки взаимодействия между пользователями и компьютерами.
Анализ возможностей известных программных продуктов
1. Программный комплекс Microsoft Project
Программный комплекс Microsoft Project наиболее популярен в среде малых и средних проектов из-за его широких возможностей, удобного и хорошо знакомого большинству пользователей графического интерфейса.
Microsoft Project (MS Project) дает возможность управлять работой над проектом на всех этапах его реализации. Он позволяет выполнить структуризацию проекта путем разделения его на этапы, задачи и подзадачи, выявить задачи, длительность которых существенно влияет на длительность реализации всего проекта, получить календарный план проекта, осуществить назначение ресурсов задачам проекта, что позволяет определить время их выполнения и затраты. Система не позволяет динамически распределять ресурсы работам иначе, как путем их разделения на последовательные подзадачи. При планировании задач MS Project составляет календарный план исходя из требований каждой задачи, невзирая на доступность назначенных ресурсов, в связи с чем возможно превышение доступности ресурса. График использования ресурса визуализируется, что позволяет скорректировать вручную назначение ресурсов. Данный пакет поддерживает все необходимые типы связей между задачами: FS (Finish-Start), SS, FF.
2. Программный пакет Spider Project
На российском рынке программных средств управления проектами наряду с известными зарубежными пакетами популярен и используется крупнейшими корпорациями для управления самыми разнообразными проектами российский пакет Spider Project. Он реализует принятую в России технологию управления проектами: задаются физические объемы работ, а длительность рассчитывается исходя из производительностей назначенных ресурсов, а не является исходной информацией, как в зарубежных пакетах. Его выгодные отличия от западных аналогов:
• Более эффективные расписания выполнения работ и использование ресурсов проектов по сравнению с планами, составленными зарубежными пакетами; возможность автоматического назначения ресурсов, исходя из их квалификации.
• Практически неограниченное количество работ, ресурсов, иерархических структур работ и ресурсов. Возможность создания и одновременной работы с неограниченным числом версий проектов.
• Встроенная система анализа рисков и управления резервами по срокам и стоимости работ. Расчет трендов вероятностей успеха.
• Самые широкие возможности стоимостного и ресурсного анализа проектов. Возможность моделирования не только затрат, но и доходов, не только расхода, но и производства ресур-
сов. Подсчет Cash Flow для всех статей затрат, а также для любых материалов проекта.
• Встроенная система учета, позволяющая не только корректировать оставшиеся длительности и объемы работ, но и получать отчеты по исполнению проекта в любых разрезах и за любой промежуток времени.
• Поточная диаграмма — компактный и наглядный способ отображения графика работ проекта, отражающая динамику физических объемов работ.
3. Программный комплекс Primavera
Решения компании Primavera Systems, Inc. ориентированы на создание единой корпоративной системы управления проектами. Имеется возможность создавать любые отчетные формы с учетом отраслевых стандартов управления по любым выборкам. Главным достоинством разработок Primavera Systems, Inc. является включение задач планирования выполнения проектов в широкий контекст. Применение ПО Primavera позволяет:
• всем уровням управления проектами компании единовременно пользоваться одной и той же информацией с необходимой степенью агрегации с учетом прав доступа каждого пользователя;
• автоматически рассчитывать критический путь, определять загрузку ресурсов и помогать устранять ресурсные конфликты (т.е. возникающие в процессе распределения и использования ресурсов;
• сокращать время, затрачиваемое на планирование и перепланирование, в том числе благодаря использованию базы знаний компании, в которой сохраняются ранее выполненные типовые проекты и фрагменты проектов. Это позволяет проводить планирование новых проектов, набирая состав работ из готовых «блоков», что сокращает время, затрачиваемое на планирование и уменьшает количество ошибок;
• прогнозировать развитие проектов, проводить ситуационный и «что-если» анализ с целью определения влияния изменений на проекты и выбирать вариант проекта, наиболее соответствующий целям компании.
Основным продуктом в составе Primavera Enterprise является Primavera Project Management (Primavera Project Planner Professoinal, P4) — средство календарно-сетевого планирования работ, составления бюджета, управления сроками, укрупненного анализа и контроля хода выполнения и координация работ одного, нескольких или всех проектов организации. Одна-
ко основой принятия решений по планированию выполнения проекта в Primavera выступает все же многовариантный анализ, а не какие-либо интеллектуальные информационные и математические технологии.
Все три программных пакета обладают схожим интерфейсом и возможностями. Практически важным элементом является возможность опереться на хранимые образцы расчета проектов-аналогов.
Организация диалога в известных программных
системах
В связи недостаточно наглядностью табличной формы представления данных о работах и ресурсах проекта и его выполнении была изобретена конструкция сетевого графика проекта. Однако предложенная много раньше диаграмма Гантта (Ган-та), развитая с учетом основных черт сетевого графика, имеет преимущество в том отношении, что показывает временную развертку выполнения работ проекта.
Поэтому, например, в MS Project используются несколько ее форм: базовая «Диаграмма Ганта» (в левой части этого представления отображаются задачи проекта, в правой — отрезки графика, которые соответствуют длительности задач), «Подробная диаграмма Ганта», «Диаграмма Ганта с выравниванием», «Диаграмма Ганта с несколькими планами» и «Диаграмма Ганта с отслеживанием». В MS Project область диаграммы можно настроить в соответствии со своими потребностями, показывая, например, исходный план или критический путь.
В Spider Project диаграмма Гантта состоит из двух частей: табличной части, отображающей иерархическую структуру работ, ресурсов или материалов (содержит текстовую информацию), и графической части. Диаграмма Гантта ресурсов является представлением проекта, предназначенным для отображения календарного графика работы ресурсов, назначенных на исполнение операций.
На Диаграмме Гантта ресурсов отображается текущая структура ресурсов. На ней можно добавлять и удалять ресурсы, вызывать диалоговое окно свойств ресурса, в котором задаются его параметры. Помимо создания и удаления ресурсов, на диаграмме Гантта ресурсов есть возможность замены назначения ресурса. В системе Primavera в поле «Поиск» диалогового окна «Назначить ресурсы» достаточно ввести первый символ названия ресурса. При удалении назначенных ресурсов пользова-
телю будет предложено обнулить трудозатраты по удаленным ресурсам для данной работы. В этом проявляется элемент контроля правильности планирования, но одновременно и дополнительная нагрузка на пользователя.
Таким образом, можно сделать вывод, что организация диалога в развитых программных системах — достаточно гибкая для планирования проекта с преимущественным принятием решений вручную. Результаты принятых пользователем решений показываются с разных сторон. Главным инструментом собственно компьютерных расчетов остается, однако, метод критического пути. Для него распределение ресурсов между работами должно быть определено заранее. Здесь возможны два случая. Первый состоит в выборе порядка выполнения работ, использующих одно и то же оборудование, и предоставление его на каждую работу монопольно. В случае, когда мощность представлена единичной маломобильной машиной (подъемный кран, проходческий щит, роторный экскаватор), другой возможности нет. В остальных случаях требуется наперед разделить мощности между потенциально параллельными работами, не зная, будут ли они выполняться. Компьютер легко позволяет увидеть результаты реализации такого разделения ресурсов и изменить его. Однако при большом количестве работ такой поиск решения методом проб и ошибок может не дать ощутимого эффекта, а некоторые дополнительные условия на сроки работ останутся невыполненными.
Главным способом частично разгрузить пользователя от принятия детальных решений является возможность прибегнуть к опыту решения подобных задач.
Методы оптимизации выполнения проекта
Методы решения задач оптимального распределения ресурсов при выполнении проекта разработаны для отдельных классов. Разработаны методы дискретной оптимизации [2, 3] для случая работ, выполняемых без прерываний и интенсификации с заданным темпом использования ресурсов. Для комплексов работ экстенсивного типа используются эвристические правила приоритета работ, а также методы агрегации комплексов работ [4]. В новых работах предложен и метод оптимального распределения ресурсов для систем последнего типа [5, 6]. Отсутствие универсального метода и сложный характер многих реальных задач, в которых могут сочетаться черты нескольких классов, не позволяют рассчитывать на исключение человека
из процесса принятия решения, тем более что сами условия задачи в процессе планирования нередко изменяются. Обрисуем некоторые черты представления выполнения проекта в виде системы с качественно-количественной динамикой (событий-но-переключаемого процесса) и решения задач его оптимизации.
Мы рассматриваем три типа ресурсов — 1) мощности; 2) энергоресурсы — электроэнергию и потоковые энергоносители, например сетевой газ, и 3) материалы. Работы: имеют определенные объемы XTi, измеряемые в собственной метрике (штуки, метры, кубометры и т.п.). Для каждой (/-й) работы вводится набор предшествующих работ IPREi. Обозначим I(t) набор работ, выполняемых (начатых, но не законченных) в момент времени t.
В общем случае можно предполагать возможность нескольких способов выполнения конкретной работы, для каждого из которых как отдельные виды мощностей, так и используемые материалы и энергоресурсы используются в определенных пропорциях. Не пытаясь достигнуть наибольшей общности, далее мы ограничимся единственным способом. Будем предполагать, что при интенсивности s(t) i-й работы на коротком интервале времени [t, t + At] используется qik ■ s(t) единиц k-го ресурса и за время At объемы выполненной работы и потребленных материалов изменятся соответственно на F.(t)s(t)At и qkksl(t) At. Имеется множество S. возможных значений s;(t), которое может быть дискретным или интервалом [smin ., smax ] с добавлением или без добавления значения 0, в зависимости от того, можно ли прерывать выполнение работы.
Отсюда вытекают дифференциальные уравнения для выполненного объема работы и количества потребленных энергоресурсов
^ = Fi(t)si(t), i е I(t), Qk = X ЪА(t), k e K2, (1)
ieI(t)
и запаса материалов, в которых мы предусмотрели возможность потерь
Qk = -Wk(t) • Qk - X KkSi(t), k e K3, (2)
ieI(t)
а также ограничения на использование имеющихся мощностей (предусматриваем возможность использования внутренних резервов, например сверхурочной работы и привлечения внешних ресурсов)
s(t)eS , ieI(t); X 4*si(t) ^ Qmax k(t) + Qmaxi k(t) + Qmaxi k(t), keK1
ieI(t) (3)
Аналогичные ограничения, но без двух последних слагаемых, накладываются на потребление энергии, а на запасы материалов —
Ок (0 > 0, (4)
Качественная динамика процесса характеризуется наступлением событий окончания работ по условиям
Хг(О = Хт ., /е/(0 (5)
приводящих к началу последующих работ, для которых отсутствуют не выполненные предшествующие работы и доступны ресурсы для их выполнения, и событий пополнения запасов материалов, например, по условию
Ои (0 = Отш к, (6)
выполнение которого приводит к скачкообразному изменению: Ои (I + 0) = Ои (Ь) + АОк, (7)
что, в свою очередь, гарантирует выполнение условия (4). Моменты событий делят период выполнения проекта на этапы — временные интервалы [Т(1), Т(/+1)), в течение которых набор выполняемых работ постоянен и может быть обозначен для /-го этапа ТП1(/). Для широкого круга рассматриваемых задач достаточно искать решение с постоянным распределением ресурсов в пределах этапа, т.е. полагать si(t) = sIi(/), te[T(/), Т(/+1)), /е/., i<E /1(/). Тогда дифференциальные уравнения (1)—
(2) сводятся к разностным, а совокупность ограничений типа
(3) для te[T(/), Т(/+1)) сводится к единственному ограничению. Дополнительные условия по изменению качественного состояния, т.е. набора выполняемых работ, зависят от характера распределения ресурсов. Для первого этапа /1(1) включает те работы, которые не имеют предшествующих (/ркБ, = 0) и для которых в совокупности выполнено (3). Таким образом, определение /1(1) и sIi(/), ,е 11(1) взаимосвязано, что справедливо и для последующих этапов с той оговоркой, что величины sIi(/) одинаковы для всех этапов выполнения 1-й работы, если эта работа должна выполняться в постоянном темпе и без прерываний. В определенном смысле наиболее естественно назначать сначала множество /1(/), а потом выбирать соответствующие ему и условиям (3) величины sIi(/). Но в силу условия (5) 11(1) определяется не произвольно, а в зависимости от /1(/—1) и Х.(Т(1)) которые, в свою очередь, определяются всеми предшествующими slil(j), ,е/1(/), j = 1,..., /—1. Такая сложная взаимо-
зависимость как раз и побуждает прибегать к участию специалиста при выборе некоторых, преимущественно дискретных, величин, определяющих выполнение проекта, т.к. возможностей формального компьютерного перебора может оказаться недостаточно. Следует подчеркнуть, что изобретением авторов являются не сами эти сложные зависимости, а только их формальное выражение.
Как только некоторый допустимый план получен, он может быть оптимизирован разными способами. В частности, для фиксированного сценария выполнения проекта — последовательности /ь(1)..., — может быть выполнена оптимизация по значениям sL.(/) с интервальными S . Такая задача относится к классу задач оптимизации дискретных процессов со смешанными ограничениями, для которого имеется многолетний опыт успешного решения [7]. Для большинства случаев она может быть упрощена до задачи динамического линейного программирования. Кроме того, известны условия оптимальности сценария, на основании которых его можно поэтапно улучшать. С другой стороны, можно, зафиксировав sL.(/) с непрерывными областями значений, приближенно решать задачу оптимизации проекта как задачу дискретной оптимизации.
Проблема интеллектуализации диалога с применением
новых методов решения частных задач оптимизации проекта
Для наиболее распространенных случаев проекта без ограничений на сроки выполнения работ и без требований одновременности начала или завершения отдельных наборов работ составление какого-либо допустимого плана не является трудной задачей: достаточно назначить работам приоритеты и распределять ресурсы между одновременно выполняемыми работами в соответствии с ними. Трудной проблемой является построение эффективного плана. С одной стороны, оно включает определение адекватных условий выполнения проекта и постановки задачи планирования, с другой — поиск решения при выбранных условиях. С формальной стороны, первое выражается в определении набора работ, взаимосвязей между работами, набора возможных к использованию ресурсов и способов их использования, что может быть выполнено через традиционные интерфейсы. Что касается собственно решения задачи планирования, то оно сводится к распределению ресурсов на намеченные к выполнению работы в тесной взаимосвязи с определением последовательности выполнения работ.
Признаком неэффективности выполнения проекта является ожидание ресурсов или малое их количество для работ, находящихся на критическом пути; неравномерная загрузка оборудования и работников, которая, впрочем, может быть результатом несоответствия проекта возможностям выполняющей его организации. Целесообразно отслеживать также выделение ресурсов на работы, находящиеся на субкритических путях. Применяемые в программных системах диаграммы Гантта ресурсов дают наглядное представление об их загрузке. Однако для сложных проектов с большим количеством работ сводить оптимизацию плана к ручному перераспределению всех ресурсов едва ли целесообразно; преобладающую долю вычислений должна взять на себя программная система.
Все сказанное относится, однако, лишь к проектам, оптимизируемым по времени выполнения. В более сложных случаях для принятия эффективных решений нужно оценивать и отображать чувствительность целевого показателя к выделению ресурсов на отдельные работы.
Гораздо сложнее становится решение задач планирования проекта с временны'ми ограничениями. В этом случае сложно даже проверить, существует ли допустимый план при заданных условиях. Но если условия на сроки затрагивают небольшое количество работ, можно определять и анализировать критические пути для подпроектов, заканчивающихся проблемными по срокам выполнения работами.
Таким образом, для более традиционных задач практически реализованные в известных программных комплексов средства диалога с преимущественным принятием решений специалистами, но с использованием и строгих или эвристических методов расчета вариантов нуждается лишь в перераспределении части нагрузки с пользователя на компьютерные программы. Более сложные, но и более экономически и организационно адекватные постановки задач планирования остаются проблемной областью как в отношении формальных методов их частичного решения, так и организации человеко-машинного диалога.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. — М.: Мир, 1984. - 496 с.
2. Михалевич В. С., Кукса А. И. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах распределения ресурсов. — М.: Наука, 1983. — 208 с.
3. Уздемир А. П. Динамические целочисленные задачи оптимизации в экономике. — М.: Физматлит, 1995. — 288 с.
4. Баркалов С. А., Буркова И. В., Колпачев В. Н., Потапенко А. М. Модели и методы распределения ресурсов в управлении проектами. — М.: ИПУ РАН, 2004. - 84 с.
5. Валуев А. М. Планирование и управление динамическим распределением ресурсов при выполнении комплекса работ // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2008. — № 8. — С. 307-311.
6. Valuev A. M. On calculation of linear resource planning models for optimal project scheduling // Mathematical modelling and analysis. -2008. — Vol. 13. — № 2. — P. 275—288.
7. Валуев А. М. Численный метод для многошаговых задач оптимизации с пошаговым вычислением направлений спуска // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987. — Т. 27. — № 10. — С. 1474—1488. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Валуев Андрей Михайлович1 — доктор физико-математических наук,
профессор, Московский физико-технический институт;
старший научный сотрудник,
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова,
e-mail: [email protected],
Павлов Данила Анатольевич1 — магистрант,
e-mail: [email protected],
1 МГИ НИТУ «МИСиС».
Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2016. No. 5, pp. 94-106. D.A. Pavlov, A.M. Valuev
ORGANIZATION OF MAN-MACHINE DIALOGUE FOR THE PROBLEM OF SCHEDULING OF A COMPLEX OF OPERATIONS ON A MINING ENTERPRISE
The paper is devoted to the problem of organization of man-machine dialogue for project scheduling problems solution for various setups of the problem typical for mineral production conditions. Differences in treatment of the scheduling problem are classified into the following categories: criteria of schedule assessment, types of interrelations between tasks and restrictions on tasks terms, forms of inventory control and financial management and possibilities of alternative modes of tasks fulfilment. The central point of the problem is efficient dynamical capacities sharing between tasks that is treated taking into account typical conditions of resource sharing in processes of mineral production.
Forms of man-machine dialogue and user interface in widely used software packages, namely Microsoft Project, Spider Project (developed in Russia) and Primavera Project Planner, are analyzed. The paper develops the general approach to the project scheduling problem modelling put forward by A. Valuev based on its representation as a hybrid system (an event-
UDC 65:622.271
switched process). This development is concentrated around possible combination of exclusive and shared usage mode for different capacities. It is shown that relatively simple variants of the project scheduling problems may be solved with traditional forms of interactive process with greater use of optimization methods but more complicated problems deserve development of newer methods altogether with more sophisticated forms of man-machine dialogue.
Key words: mining enterprise, project scheduling, interrelated operations (tasks), dynamical capacities sharing, software package, man-machine dialogue, mathematical modelling, hybrid systems, optimization methods.
AUTHORS
Valuev A.M.1, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Moscow Institute of Physics and Technology, 141700, Moscow, Russia; Senior Researcher,
A.A. Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of RAS,
101990, Moscow, Russia,
e-mail: [email protected],
Pavlov D.A.1, Master's Degree Student,
e-mail: [email protected],
1 Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.
ACKNOWLEDGEMENTS
Work is executed at financial support of the Ministry of education and science of the Russian Federation within the basic part of state task of MSMU.
REFERENCES
1. Fillips D., Garsia-Dias A. Metody analiza setey (Fundamentals of network analysis), Moscow, Mir, 1984, 496 p.
2. Mikhalevich V. S., Kuksa A. I. Metody posledovatel'noy optimizatsii v diskretnykh setevykh zadachakh raspredeleniya resursov (Methods of subsequent opimization in discrete optimization problems of capacities sharing), Moscow, Nauka, 1983, 208 p.
3. Uzdemir A. P. Dinamicheskie tselochislennye zadachi optimizatsii v ekonomike (Dynamic integer-valued optimization problems in economics), Moscow, Fizmatlit, 1995, 288 p.
4. Barkalov S. A., Burkova I. V., Kolpachev V. N., Potapenko A. M. Modeli i metody raspredeleniya resursov v upravleniiproektami (Models and methods of resources planning for project scheduling), Moscow, IPU RAN, 2004, 84 p.
5. Valuev A. M. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2008, no 8, pp. 307—311.
6. Valuev A. M. On calculation of linear resource planning models for optimal project scheduling. Mathematical modelling and analysis. 2008. Vol. 13, no 2. P. 275—288.
7. Valuev A. M. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1987, vol. 27, no 10, pp. 1474-1488.
