Орбитальный угловой момент астигматического Гауссова лазерного пучка Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОРБИТАЛЬНЫЙ УГЛОВОЙ МОМЕНТ АСТИГМАТИЧЕСКОГО ГАУССОВА ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА

В.В. Котляр 12, А.А. Ковалёв 1,2 1 Институт систем обработки изображений РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, Самара, Россия, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, Самара, Россия

Аннотация

Мы показали, что эллиптический Гауссов пучок, сфокусированный цилиндрической линзой, является линейной комбинацией счётного числа только чётных угловых гармоник как с положительным, так и с отрицательным топологическим зарядом. Получена точная формула для орбитального углового момента астигматического Гауссова пучка в виде сходящегося ряда из функций Лежандра второго рода. Показано, что при определённых условиях в этом ряду остаются только слагаемые с положительным или отрицательным топологическим зарядом.

Ключевые слова: эллиптический Гауссов пучок, цилиндрическая линза, орбитальный угловой момент, топологический заряд.

Цитирование: Котляр, В.В. Орбитальный угловой момент астигматического Гауссова лазерного пучка / В.В. Котляр, А.А. Ковалёв // Компьютерная оптика. - 2017. - Т. 41, № 5. -С. 609-616. - Б01: 10.18287/2412-6179-2017-41-5-609-616.

Введение

Лазерные пучки с орбитальным угловым моментом (ОУМ) активно исследуются в настоящее время из-за их широкого применения для оптического захвата и вращения микрочастиц [1] и холодных атомов [2], в фазово-контрастной микроскопии [3], в микроскопии со стимулированным истощением излучения [4], в оптической классической [5] и квантовой информатике [6].

Интересный лазерный пучок, который обладает ОУМ, но не имеет изолированных нулей интенсивности с фазовой дислокацией, рассмотрен в [7]. В [7] вычислили ОУМ для эллиптического Гауссова пучка, сфокусированного цилиндрической линзой. Идея использования цилиндрической линзы для придания пучку ОУМ была впервые высказана в [8]. В [8] было экспериментально показано, что пучок Эрмита-Гаусса, не обладающий ОУМ, после цилиндрической линзы на определённом расстоянии и при определённых условиях преобразуется в пучок Лагерра-Гаусса с ОУМ.

В работах [9-20] пытались получить как можно большее значение ОУМ. В [9] предложено увеличивать ОУМ с помощью набора Гауссовых вихревых пучков, центры которых расположены на окружности, а оптические оси отдельных пучков и общая оптическая ось являются скрещенными прямыми. В [9] показано, что ОУМ такого составного пучка может быть равен 204 на фотон. В [10] вместо Гауссовых пучков предлагается использовать небольшие отверстия в непрозрачном экране как точечные источники. Если их расположить в виде спирали, то в совокупности они сформируют вихревой пучок с ОУМ. В [10] практически реализован пучок с ОУМ, равным 3. В [11] показано, что при острой фокусировке оптического вихря с большим топологическим зарядом уменьшается контраст или видность боковых лепестков. В [11] практически фокусировался пучок с ОУМ, равным 15 на фотон. В [12] предложен интересный способ определения топологического заряда оптического вихря с помощью кольцевой дифракционной решётки. Экспериментально показано, что таким способом можно определить топологический заряд ± 25.

В [13] экспериментально с помощью трёхволнового смешения в нелинейной среде Керра сформированы вихревые гармоники с ОУМ до 30 на фотон. В [14] практически осуществили с помощью цифрового многоэлементного зеркала (с числом микрозеркал 1024^768) генерацию идеального оптического вихря с топологическим зарядом 90. В [15] с помощью жидкокристаллического модулятора света (число элементов 1900^1200) сформировали оптический вихрь с топологическим зарядом 200, что позволило вращать микрочастицы диаметром 1,4 мкм со скоростью 500 мкм/с. В [16] также с помощью модулятора света (число отсчётов 1920^1080) сформированы перепутанные пары фотонов с ОУМ ± 300 на фотон. В [17] с помощью спирального фазового зеркала, полученного в пластинке алюминия алмазным резцом, экспериментально сформирован оптический вихрь с топологическим зарядом 100. Эти же авторы [18] с помощью усовершенствованной технологии на подложке из алюминия диаметром 75 мм и шероховатостью 3 нм создали спиральное зеркало, способное формировать оптические вихри с топологическим зарядом 1020. В [18] также интерферометрически доказали, что сформированный зеркалом оптический вихрь имеет топологический заряд 5050, но форма вихря при этом существенно исказилась. В [19] с помощью электронной литографии в резисте РММА создали голограмму диаметром 80 мкм с разрешением 35 нм и высотой рельефа 25 нм, которая позволила сформировать вихревой пучок электронов с энергией 0,5 - 1 эВ с топологическим зарядом 1000. И, наконец, в [20] с помощью спирального алюминиевого зеркала диаметром около 50 мм для длины волны 810 нм сформированы фотоны, перепутанные по ОУМ и поляризации. Причём квантовый ОУМ фотонов был равен ± 10010. Это максимальное значение ОУМ, полученное на сегодняшний день.

В данной работе, следуя работе [7], мы покажем, что эллиптический Гауссов пучок после цилиндрической линзы, ось которой не совпадает с осями эллипса Гауссова профиля, при распространении вращается и не является вихревым лазерным пучком. Хотя его полный ОУМ может достигать больших значений пу-

тём изменения радиусов перетяжки эллиптического Гауссова пучка и фокусного расстояния цилиндрической линзы. Рассчитаны коэффициенты разложения комплексной амплитуды такого астигматического Гауссова пучка в ряд по угловым гармоникам. Также получена точная формула для ОУМ в виде ряда по функциям Лежандра второго рода.

1. Безвихревой пучок с ОУМ

В этом параграфе для удобства читателя первые четыре формулы совпадают с [7]. Обычно рассматриваются параксиальные вихревые лазерные пучки, обладающие ОУМ. У таких пучков есть точки сингулярности - это изолированные нули интенсивности, в которых фаза не определена и вокруг которых изо-фазная поверхность волнового фронта имеет спиральную форму. Но, оказывается, есть простые световые поля, которые обладают ОУМ и не имеют изолированных нулей интенсивности с вихревой фазой. Рассмотрим Гауссов эллиптический пучок, в перетяжке которого расположена цилиндрическая линза [7]. Комплексная амплитуда света сразу за цилиндрической линзой имеет вид:

E (х, y) = exp

v

.Л „„„2

w„

У_ w2

y / 22

х exp I

ikx cos a iky sin a ikxysin2a

2 f

2f

2f

(1)

где Wx и Wy - радиусы перетяжки Гауссова пучка по декартовым осям, f - фокусное расстояние тонкой цилиндрической линзы, образующая которой имеет угол с вертикальной осью у, равный а (линза повернута против часовой стрелки), k - волновое число света. Нормированный ОУМ в параксиальном случае вычисляется по формулам [7] (с точностью до постоянных):

Л = Im j| E(x,y)IxММ_yIdxdy,

dy

dx

W = j j E (x, y) E (x, y) dx dy ,

(2)

(3)

где Jz - проекция ОУМ на оптическую ось, W - плотность энергии (мощности) света, 1т - мнимая часть числа, E - комплексно сопряжённая амплитуда к амплитуде (1). Подставляя (1) в (2) и (3), получим простое выражение для нормированного ОУМ светового поля (1):

Jz (ksin2aV 2 2ч

— = I-I (w2 - w2 ). (4)

W { 8f ){ у х>

Из (4) видно, что ОУМ равен нулю, если Гауссов пучок имеет круглое сечение ^=wy) или линза не имеет наклона к вертикальной оси (а=0). При наклоне в 45 градусов ОУМ (4) максимальный при прочих равных условиях. Из (4) также видно, что ОУМ пучка (1) в общем случае дробный, хотя может быть и целым. Чем меньше фокусное расстояние цилиндрической линзы, тем больше ОУМ пучка, и чем больше степень эллип-

тичности пучка (1), тем больше его ОУМ. Знак ОУМ определяется тем, по какой оси, y или x, больше вытянут Гауссов пучок в перетяжке. Преимущество пучка (1) в том, что он может быть реализован без дополнительных элементов, без модулятора света, спиральной фазовой пластинки или голограммы с «вилочкой». Для его формирования надо всего две цилиндрические линзы, одна из которых формирует эллиптический Гауссов пучок, а вторая - создаёт ОУМ.

Оценим величину ОУМ для конкретных значений величин, входящих в (4). Гауссов пучок считается параксиальным, если радиусы его перетяжки больше длины волны, пусть они будут равны wx = 2 мм и wy = 1 мм, фокусное расстояние пусть будет равно f= 10 мм, а длина волны X = 0,5 мкм, наклон линзы равен 45° (a = п/4). Тогда ОУМ в (4) будет равен 471,24.

В Приложении 1 показано, что использование двух скрещённых цилиндрических линз с одинаковыми фокусными расстояниями, но имеющих разные знаки, увеличивает нормированный ОУМ в 2 раза.

В Приложении 2 получены формулы, описывающие прохождение поля (1) через ABCD-систему, и получена общая формула для плотности ОУМ астигматического Гауссова пучка на любом расстоянии от плоскости перетяжки.

В Приложении 3 получено выражение для полного ОУМ астигматического Гауссова пучка (1), если цилиндрическую линзу размещать не в перетяжке, а в любой другой плоскости при распространении пучка.

2. Орбитальный угловой момент астигматического пучка

Чтобы наглядно показать формирование ОУМ, ОУМ пучка (1) в данном параграфе будет рассчитан другим способом, основанным на разложении амплитуды поля (1) в ряд по угловым гармоникам. Разложим амплитуду (1) в полярных координатах (r, ф)

E(r, j) = exp(-ar2 cos2 j-br2 sin2 j-icr2 sin2 j), (5)

в ряд по угловым гармоникам:

E(r, j) = Y, Cn (r)exp(inj),

n = -¥

2p

где Cn (r) = (2p) 1 j E(r, j) exp(-inj) dj,

а также

a = w-2 + ik (2 f) 1 cos2 a, b = w-2 + ik (2 f )-1 sin2 a, c = k (4 f )-1sin2a.

Интеграл (7) можно переписать в виде: C„ (r ) = ( 2p)-1 г- х

(6)

(7)

(8)

n > 2p

х j exp (-inj-A cos2 j-iB sin2 j) dj,

(9)

где А = [(а - й)/2]г2, В = сг2, Б = [(а + й)/2]г2. После замены t = 2ф, и с учётом чётности номера п = 2т, вместо (9) получим:

2

x

х

о

о

Сп (г) = (2я)-1 г-° | ехр (-¡т1 - А соб 1 - ¡Б ¡ид 1) 6 = (-¡)те'В+'т9 Кт (Р) = в"В I 1 Кт (Р)

А - Б

(10)

где Р = (Б2 -А2)1/2, tg 9 = ¡Б/А. Для нечётных номеров угловых гармоник п = 2т + 1 коэффициенты (9) будут равны нулю:

2я

2рС2т+1 (г) = е~В | ехр [-/' (2т + 1)ф-А соБ2ф-¡Б Бш2ф] 6ф =

= е В Цехр[-/'(2т + 1)ф-АсоБ2ф-¡ББш2ф]6ф + +1 ехр [ - (2т + 1)(ф+я)- А соб2 (ф + я)- ¡Б бш2 (ф+я)] =

(11)

= ев + (-1)2т+1 ] ехр [-/' (2т +1) ф - А соб 2ф - ¡Б бш 2ф] 6ф = 0.

Тогда для коэффициентов (9) получим:

Сп (г) =

Р

А - Б

П 2

Кп/2 ( Р ) , П = 2m,

(12)

0, п = 2т +1.

Из (12) видно, что коэффициенты при угловых гармониках с положительными и отрицательными номерами различаются по модулю (п = 2т):

2 -2Яе В

С2т (г)| = е

А + Б

С-2т (г) = е

2 -2Яе В

А-Б А-Б

А + Б

К (Р )|2

Кт (Р) .

(13)

Нормированный ОУМ для разложения (6) можно представить в виде выражения:

К Г

I пСп

1 _ п=-¥

I Сп

(14)

где

Сп = ]\Сп (г )|2 г 6г .

0

Далее полагаем а = я/4, чтобы а - Ь было вещественным и можно было убрать знак модуля у квадрата функции Бесселя. Коэффициенты в сумме (14) для чётных номеров имеют вид:

С2т

а - Ь + 2с

а - Ь - 2с

х{ ехр [- Яе( а + Ь) г2 ] х

0

К ( -(а - Ь)2 | гёг.

(15)

2

В общем же случае, при аф я/4, вместо (15) получится более громоздкое выражение:

С2т = |е 0

а - Ь + 2с

А + Б

Кт ( Р )|2 г 6г =

а -Ь - 2с а -Ь + 2с

а - Ь - 2с

А-Б

|е--С-)"2Кт (Ог2)Кт {о'г2)г6г = (16) }е-(Ом)Кт [О'п) 6м,

0

т ¥

где О = [4с2 - (а - Ь)2]1/2/2.

Интеграл в (15) можно вычислить с помощью справочного [21] интеграла

] е-рг2 кт (дг2) г 6г = (2яд)-1 ди-1/2 (1 + > (17)

для вычисления интеграла в (16) можно также использовать справочный интеграл [21]:

} е~ РЧ(Ьх) К,( сх) 6х =

б

( р2 + Ь2 + с2

я^^| 2Ьс

(18)

где Qv(x) - шаровая функция или функция Лежандра 2-го рода (х > 1):

б, (х) = л/р(2х)-п-1 Г (V +1) Г- (у + 3/2)х

„( у +1 у + 2 3 -2 х2 р1-,-, у + —, х

(19)

, .х"2 I,

2 2 2

где Г(х) - гамма-функция, 2 РДа, Ь, с, х) - гипергеометрическая функция [22]. Тогда вместо (15) можно записать:

^ -1 ( с + а - Ь

= я 1 I - I х

с - а + Ь

1/2

х [с2-(а - Ь)2 ]" б

1 +

2 (а + Ь )2 с2-(а -Ь)2

(20)

или для общего случая угла наклона а ф я/4 вместо (20) получим:

т

0

0

0

0

т

В

е

0

т

т

0

1

п=-¥

т

х

т-1/2

С =-

2т

1 а - Ь + 2с

2 я О| а - Ь - 2с

т -12

( Яе2 (а + Ь) + 2Яе О2 Л

(21)

Пусть |О|2 ~ 0. Тогда аргумент функции Лежандра в (21) стремится к бесконечности, и из асимптотики функции Лежандра при х >> 1 [22]

6М (х) » 4к (2х)-М-1 Г (|м| +1) Г(|М| + 3/2) (22)

следует выражение для коэффициентов разложения в формуле для ОУМ (14):

_ 1 г (| т+12)

С =_-__-_1_-_

С2т 22'тг(|т+1)

I и , "I И+т I . ~ ||т|-т

а - Ь + 2с а - Ь - 2с

(23)

Яе2

'(а + Ь)

Заметим, что аргумент функции Лежандра в (20) комплексный. Далее для определённости опять пусть цилиндрическая линза повернута на угол а, равный 45 градусам. Когда Гауссов пучок круглый ^у = wx), тогда в (20) а - Ь = 0, и коэффициенты (20) при угловых гармониках с номерами т и -т равны, то есть ОУМ (14) равен нулю. При 2с = Ь - а, или когда

= ^ - ^ (^х = /2 , ^у = - длины Рэ-

лея), все коэффициенты (20) при т > 0 равны нулю, а при т < 0 коэффициенты (20) отличны от нуля:

С =

2т

0, т > 0,

f Г (|т\ +12) ( w2 + wx2

Г (\т\ +1)

22 V ^ - ^

, т < 0.

(24)

При этом ОУМ (14) отличен от нуля. Если же,

наоборот, 2с = а - Ь, то есть f 1 = z0l - z01

то все ко-

эффициенты при т < 0 равны нулю, а при т > 0 коэффициенты (20) отличны от нуля:

2 \-2т-1

С2т

f Г (т +12)

Г (т +1) 0, т < 0.

22 ^ + ^

2 2 V WУ - ^ /

, т > 0,

(25)

При этом также ОУМ (14) отличен от нуля. Из (25) видно, что коэффициенты |Сп | ряда (14) с увеличением номера убывают до нуля. При больших т вместо (25) можно записать (т > 0):

С,.

f

k^/Kw

/ 2 2 \2т+1

^ - ^

2 2 V ^ + ^ /

(26)

Далее пусть для определённости а - Ь > 0 или Wy > wx, и пусть с > а - Ь, то есть f-1 > z-1 - z0X . Тогда

коэффициенты (20) с положительными номерами т > 0 будут больше коэффициентов с отрицательны-

ми номерами: С2т > С-2т . То есть больший вклад в ОУМ будут давать угловые гармоники ехр (12тф) с положительными номерами, и значит, ОУМ > 0. Если, наоборот, а - Ь < 0 или Wy < Wx и f-1 < z-1 - z0X, тогда С2т < С-2т и ОУМ < 0. Эти выводы согласуются с формулой (4).

Таким образом, мы показали, что эллиптический Гауссов пучок с астигматизмом (1) обладает ОУМ (14), в который дают вклад только все чётные угловые гармоники как с положительным топологическим зарядом 2т, так и отрицательным -2т, хотя их вклады разные по величине С2т Ф С-2т . Причём при т = 0 коэффициент С0 отличен от нуля и равен:

С =

1

я^/с2 - (а - Ь)'

1 + ■

2(а + Ь)2 с2 - (а - Ь)2

(27)

Значение функции Лежандра в (27) можно получить через полный эллиптический интеграл [22]: ( Г^Г \

6-1/2 (Х) =

2

-К

1 + х

2

1+х

(28)

К (0 = |[(1 - х2)(1 - /х2)]~ 6х.

3. Моделирование

Проверим численно полученные выше соотношения. Рассчитаем ОУМ по исходной формуле (4) и по формуле через разложение по угловым гармоникам (14). Параметры расчёта: длина волны 1 = 532 пт, угол наклона цилиндрической линзы а = я/4, радиусы перетяжки эллиптического Гауссова пучка wx = 201 и wy = 4001, фокусное расстояние цилиндрической линзы f= 1/ (1^0х - 1/zoy) ~ 12601. Распределение модулей коэффициентов | Сп | показано на рис. 1 (сплошная кривая). Для других радиусов перетяжки wx = 101, wy = 1001 и фокусного расстояния цилиндрической линзы f = 1 / (1^0х - 1/zoy) ~ 3171 распределение модулей коэффициентов |Сп| в формуле (14) показано на

рис. 1 (прерывистая кривая).

Для первого случая (сплошная кривая на рис. 1) ОУМ, рассчитанный по формуле (4), равен 99,500625, а ОУМ, рассчитанный по формуле (14), равен 99,48454. Для второго случая (прерывистая кривая на рис. 1) ОУМ, рассчитанный по формуле (4), равен 24,5025, а ОУМ, рассчитанный по формуле (14), равен 24,5025. Во втором случае видим совпадение с точностью до четырёх знаков после запятой. В расчёте по формуле (14) было учтено 2000 коэффициентов | Сп |. Из рис. 1 видно, что чем меньше ОУМ, тем меньше величина отличных от нуля коэффициентов разложения по угловым гармоникам | Сп | (прерывистая кривая под сплошной кривой).

т

х

х

0

2 т-1

-100 О 100 200 п

Рис. 1. Распределение |Сп | (только чётные номера,

нечётные равны нулю) для двух разных пучков и фокусных расстояний цилиндрической линзы: Wx = 201, ^у = 4001, /= 12601 (сплошная кривая); Wx = 101, Wy = 1001,/= 3171 (прерывистая кривая)

Заключение

В работе мы получили следующие результаты. Для астигматического Гауссова пучка, который формируется при фокусировке эллиптического Гауссова пучка цилиндрической линзой, получено выражение для нормированного ОУМ в виде ряда из функций Лежандра второго рода с полуцелыми номерами. Если параметры эллиптического Гауссова пучка и цилиндрической линзы удовлетворяют условию /= 1-1 - 1-х , то вклад в

ОУМ вносят только угловые гармоники с отрицательными топологическими зарядами 2т < 0. И, наоборот, если имеет место условие /= 1-] -1-1, то вклад в

ОУМ вносят только угловые гармоники с положительными чётными номерами 2т > 0. Во всех случаях самым большим по величине будет нулевой коэффициент в разложении астигматического поля по угловым гармоникам. Но так как этот коэффициент умножается на ноль (нулевой топологический заряд), то он не даёт вклад в ОУМ. Но из-за большого вклада нулевой угловой гармоники в амплитуду астигматического поля в распределении интенсивности этого поля нет изолированных нулей, и поэтому точек с сингулярной фазой. Такой астигматический пучок выглядит как безвихревой, хотя он обладает ОУМ.

В трёх Приложениях мы получили: 1) явное выражение для нормированного ОУМ астигматического Гауссова пучка, сфокусированного двумя скрещенными цилиндрическими линзами (собирающей и рассеивающей); этот пучок имеет больший ОУМ, чем сфокусированный только одной собирающей; 2) явную формулу для нормированной плотности ОУМ астигматического Гауссова пучка, прошедшего ЛБСБ-систему; 3) явную формулу для нормированного ОУМ для астигматического пучка, если цилиндрическая линза расположена не в перетяжке эллиптического Гауссова пучка, а на произвольном расстоянии от перетяжки.

Приложение 1

Рассмотрим вместо поля (1) более общее световое поле, когда эллиптический Гауссов пучок проходит

через две скрещенные цилиндрические линзы с разным фокусным расстоянием /х, /у, оси которых наклонены под углом а к горизонтальной оси. Комплексная амплитуда такого поля в начальной плоскости (1 = 0) имеет вид:

(

E (х, y) = exp

y2 ikx'2 iky'

Л

2 fx 2f

(А1)

y /

где

(А2)

I х = х cos a + y sin a, [y' = y cos a-x sin a. Тогда, подставив поле (А1) в (2), (3), можно найти нормированный ОУМ:

J.

W

(

1 1

Л

f f

\J y J x

( Wx2 - W ) sin2a

(А3)

Из сравнения (А3) с (4) видно, что если фокусные расстояния цилиндрических линз имеют разные знаки (одна линза собирающая, а другая - рассеивающая), то ОУМ можно увеличить в 2 раза по сравнению с использованием только одной цилиндрической линзы.

Приложение 2

Рассмотрим распространение поля (А1) через ЛБСБ-систему, тогда для комплексной амплитуды на выходе можно получить выражение: -¡к

.2 «1 —

e2 (X h) =BGx

x exp

ikD 2B

(X2+~2

h2 )-

k2 Pxh + Py X2 - Py Xh

B2

G

(В1)

где

_ 1 ik 2 ik . 2 ikA P„ =—t+-cos2 a+-sin2 a--,

2 2B

w„

2 f

P =-+

yy w2 2fx

2 L

ik 2 ik 2 ikA -sin2 a+-cos2 a--, (В2)

— 2f 2B У J

P = ik

xy 2

(

sin 2a,

G = 4P P - PL.

xx yy xy

1___1_

^/х /у ]

Распределение интенсивности поля (А1) на выходе ЛБСБ-системы будет иметь вид:

h (X, h) =

k2

B2 G

exp

2k2

B2 |G|

-Y(X, h)

(В3)

где

*(Х, «) =

= Яе(РууО*|Х2 + Яе^О*}«2 -Ле^О^Х«.

Из (В3) видно, что интенсивность имеет вид эллиптического Гауссова пучка, как и в начальной плоскости (А1). Из формулы (В1) можно получить формулу для плотности ОУМ в полярных координатах (г, ф) на любом расстоянии 1 при условии, что цилиндрическая линза только одна с фокусным расстоянием /х, а также /у ^ а=я/4, А = 1, Б = 1:

2

x

2

2

W

W

x

y

■ = кг'

2Z0xZ0y [ fx

Z + Z0xZ0y ( Z

( z - fx )] cos2j + fx ( Zo2y - Zo2x ) z ( z - 2 fx ) sin 2j

E

4 [. f.

Z + Z0xZ0y ( Z

(z - fx )] +(Z0x + Z0y ) z2 (z - 2 fx )2

(В4)

где г0х = кж>\ /2,г0у = км>2у!2 - длины Рэлея. В частном случае на двойном фокусном расстоянии из (В4) следует простая формула для плотности ОУМ:

Л к

E

2 fx 4 fx + ^z,

-г2 cos2j.

(В5)

0x^ 0 y

Из (В4) следует, что нормированная плотность ОУМ зависит от расстояния до линзы г. Причём числитель пропорционален г2, а знаменатель - г4. То есть плотность ОУМ (В4) убывает с расстоянием квадратично, так же, как убывает интенсивность Гауссова пучка из-за его расходимости.

Приложение 3

Рассмотрим эллиптический Гауссов пучок (1) не в плоскости перетяжки, а в любой другой плоскости на расстоянии г от плоскости перетяжки. Комплексная амплитуда на расстоянии г от перетяжки пучка (1) будет иметь вид:

Е(хy, г) = [9х (г) Чу (г)] ^ х

Г х2 у2 ^ (С1)

х ехр

2 qx( z ) w qy( z )

где

/ \ i iz / \ i iz qx (z) = 1 + — , qy (z) = 1 +-,

z0x z0y

(С2)

а длины Рэлея - как в (В4). Если в поле (С1) поместить цилиндрическую линзу с фокусным расстоянием /, образующая которой повёрнута в поперечной плоскости на угол а, комплексная амплитуда света сразу за цилиндрической линзой будет иметь вид:

Е(х,у, г) = [Чх (г) Чу (г)] 1/2 х

Г 2

х exp

y

wUx (z) wqy (z)

(С3)

х exp I

ikx2 cos2 a iky2 sin2 a ikxy sin2a 2f 2f 2f Нормированный ОУМ пучка (С3) имеет вид:

J.

W

к sin 2a

8f

j (w2\qy Г- w2 \qx Г )

(С4)

Из (С4) видно, что знак и величина ОУМ зависит от расстояния г от перетяжки эллиптического Гауссова пучка до плоскости размещения цилиндрической линзы. Это более ясно видно, если записать (С4) в другом виде:

Г . п \

Л

W

к sin 2a , 8f

( - wx2 )

1 --

4 z2

к W Wy j

(С5)

Из (С5) видно, что если цилиндрическую линзу поместить на расстоянии г = к^х^у/2, то ОУМ будет

равен нулю, так как на этом расстоянии эллиптический Гауссов пучок имеет круглое сечение. Если z < kwxwy/2, ОУМ положительный, если z > kwxwy/2, то отрицательный. При больших z ОУМ растёт по модулю квадратично от z. Хотя заметим, что при ранее выбранных параметрах Гауссова пучка (wx = 2 мм, wy = 1 мм, X = 0,5 мкм), расстояние, на котором ОУМ от максимального (при z = 0) уменьшается до нуля, равно z = 4п метров. Поэтому для получения максимального ОУМ следует помещать цилиндрическую линзу в перетяжку эллиптического Гауссова пучка.

Благодарность

Работа поддержана грантом Российского научного фонда № 17-19-01186.

Литература

1. Grier, D. A revolution in optical manipulation / D. Grier // Nature. - 2003. - Vol. 424, Issue 6950. - P. 810-816. -DOI: 10.1038/nature01935.

2. Kuga, T. Novel optical trap of atoms with a doughnut beam / T. Kuga, Y. Torii, N. Shiokawa, T. Hirano, Y. Shimizu,

H. Sasada // Physical Review Letters. - 1997. - Vol. 78, Issue 25. - P. 4713-4716. - DOI: 10.1103/PhysRevLett.78.4713.

3. Bernet, S. Quantitative imaging of complex samples by spiral phase contrast microscopy / S. Bernet, A. Jesacher, S. Furhapter, C. Maurer, M. Ritsch-Marte // Optics Express. - 2006. - Vol. 14, Issue 9. - P. 3792-3805. - DOI: 10.1364/0E.14.003792.

4. Willig, K.I. STED microscopy reveals that synaptotagmin remains clustered after synaptic vesicle exocytosis / K.I. Willig, S.O. Rizzoli, V. Westphal, R. Jahn, S.W. Hell // Nature. - 2006. - Vol. 440, Issue 7086. - P. 935-939. -DOI: 10.1038/nature04592.

5. Wang, J. Terabit free-space data transmission employing orbital angular momentum multiplexing / J. Wang, J.-Y. Yang,

I.M. Fazal, N. Ahmed, Y. Yan, H. Huang, Y. Ren, Y. Yue, S. Dolinar, M. Tur, A.E. Willner // Nature Photonics. - 2012. -Vol. 6, Issue 7. - P. 488-496. - DOI: 10.1038/nphoton.2012.138.

6. Mair, A. Entanglement of the orbital angular momentum states of photons / A. Mair, A. Vaziri, G. Weihs, A. Zeilinger // Nature. - 2001. - Vol. 412, Issue 6844. -P. 313-316. - DOI: 10.1038/35085529.

7. Courtial, J. Gaussian beams with very high orbital angular momentum / J. Courtial, K. Dholakia, L. Allen, M.J. Padgett // Optics Communications. - 1997. - Vol. 144, Issues 4-6. -P. 210-213. - DOI: 10.1016/S0030-4018(97)00376-3.

8. Abramochkin, E.G. Beam transformations and nontrans-formed beams / E.G. Abramochkin, V.G. Volostnikov // Optics Communications. - 1991. - Vol. 83, Issues 1-2. -P. 123-135. - DOI: 10.1016/0030-4018(91)90534-K.

9. Izdebskaya, Y. Vortex-bearing array of singular beams with very high orbital angular momentum / Y. Izdebskaya, T. Fade-yeva, V. Shvedov, A. Volyar // Optics Letters. - 2006. - Vol. 31, Issue 17. - P. 2523-2525. - DOI: 10.1364/OL.31.002523.

10. Li, Z. Generation of high-order optical vortices with asymmetrical pinhole plates under plane wave illumination / Z. Li, M. Zhang, G. Liang, X. Li, X. Chen, C. Cheng // Optics Express. - 2013. - Vol. 21, Issue 13. - P. 1575515764. - DOI: 10.1364/OE.21.015755.

z

2

2

x

х

11. Krenn, M. On small beams with large topological charge / M. Krenn, N. Tischler, A. Zeilinger // New Journal of Physics. - 2016. - Vol. 18. - 033012. - DOI: 10.1088/13672630/18/3/033012.

12. Zheng, S. Measuring orbital angular momentum (OAM) states of vortex beams with annular gratings / S. Zheng, J. Wang // Scientific Reports. - 2017. - Vol. 7. - 40781. -DOI: 10.1038/srep40781.

13. Vieira, J. High orbital angular momentum harmonic generation / J. Vieira, R.M.G.M. Trines, E.P. Alves, R.A. Fonse-ca, J.T. Mendonca, R. Bingham, P. Norreys, L.O. Silva // Physical Review Letters. - 2016. - Vol. 117, Issue 26. -265001. - DOI: 10.1103/PhysRevLett. 117.265001.

14. Chen, Y. Generation and characterization of a perfect vortex beam with a large topological charge through a digital micromirror device / Y. Chen, Z.X. Fang, Y.X. Ren, L. Gong, R.D. Lu // Applied Optics. - 2015. - Vol. 54, Issue 27. - P. 8030-8035. - DOI: 10.1364/AO.54.008030.

15. Jesacher, A. Holographic optical tweezers for object manipulations at an air-liquid surface / A. Jesacher, S. Furhapter, C. Maurer, S. Bernet, M. Ritsch-Marte // Optics Express. - 2006. - Vol. 14, Issue 13. - P. 6342-6352.

16. Fickler, R. Quantum entanglement of high angular momenta / R. Fickler, R. Lapkiewicz, W.N. Plick, M. Krenn, C. Schaeff, S. Ramelow, A. Zeilinger // Science. - 2012. - Vol. 338, Issue 6107. - P. 640-643. - DOI: 10.1126/science. 1227193.

17. Campbell, G. Generation of high-order optical vortices using directly machined spiral phase mirrors / G. Campbell, B. Hage,

B. Buchler, P.K. Lam // Applied Optics. - 2012. - Vol. 51, Issue 7. - P. 873-876. - DOI: 10.1364/А0.51.000873.

18. Shen, Y. Generation and interferometric analysis of high charge optical vortices / Y. Shen, G.T. Campbell, B. Hage, H. Zou, B.C. Buchler, P.K. Lam // Journal of Optics. -2013. - Vol. 15, Issue 4. - 044005. - DOI: 10.1088/20408978/15/4/044005.

19. Mafakheri, E. Realization of electron vortices with large orbital angular momentum using miniature holograms fabricated by electron beam lithography / E. Mafakheri, A.H. Tavabi, P. Lu, R. Balboni, F. Venturi, C. Menozzi, G.C. Gazzadi, S. Frabboni, A. Sit, R.E. Dunin-Borkowski, E. Karimi // Applied Physics Letters. - 2017. - Vol. 110. -093113. - DOI: 10.1063/1.4977879.

20. Fickler, R. Quantum entanglement of angular momentum states with quantum number up to 10010 / R. Fickler, G. Campbell, B. Buchler, P.K. Lam, A. Zeilinger // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. - 2016. - Vol. 113, Issue 48. - P. 1364213647. - DOI: 10.1073/pnas.1616889113.

21. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Мари-чев. - М.: Наука, 1983. - 750 с.

22. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. - пер. с англ. - М., Наука, 1979.

Сведения об авторах

Котляр Виктор Викторович, 1957 года рождения, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией лазерных измерений ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН и по совместительству профессор кафедры технической кибернетики Самарского университета. В 1979 году окончил физический факультет Куйбышевского государственного университета, в 1988 году защитил кандидатскую диссертацию в Саратовском государственном университете, а в 1992 году - докторскую диссертацию в Центральном конструкторском бюро Уникального приборостроения РАН (г. Москва). Область научных интересов: нанофотоника, дифракционная компьютерная оптика. Публикации: 300 научных трудов, 5 монографий, 7 авторских свидетельств.

Ковалёв Алексей Андреевич, 1979 года рождения, в 2002 году окончил Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (ныне Самарский университет) по специальности «Прикладная математика». Доктор физико-математических наук (2012 год), работает старшим научным сотрудником лаборатории лазерных измерений ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. В списке научных работ более 150 статей. Область научных интересов: математическая теория дифракции, фотонно-кристаллические устройства. E-mail: [email protected] .

ГРНТИ: 29.31.15.

Поступила в редакцию 27 июня 2017 г. Окончательный вариант - 10 августа 2017 г.

ORBITAL ANGULAR MOMENTUM OF AN ASTIGMATIC GAUSSIAN LASER BEAM

V. V. Kotlyar 12, A.A. Kovalev 12

1 Image Processing Systems Institute оf RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics " RAS, Samara, Russia,

2 Samara National Research University, Samara, Russia

Abstract

We show that an elliptic Gaussian beam focused by a cylindrical lens can be represented as a

linear combination of a countable number of only even angular harmonics with both positive and

negative topological charge. For the orbital angular momentum of an astigmatic Gaussian beam,

an exact expression is obtained in the form of a converging series of the Legendre functions of the

second kind. It is shown that at some conditions only terms with the positive or negative topologi-

cal charge are retained in this series.

Keywords: elliptic Gaussian beam, cylindrical lens, orbital angular momentum, topological charge.

Citation: Kotlyar VV, Kovalev AA. Orbital angular momentum of an astigmatic Gaussian laser

beam. Computer Optics 2017; 41(5): 609-616. DOI: 10.18287/2412-6179-2017-41-5-609-616.

Acknowledgements: The work was funded by the Russian Science Foundation under project #17-19-01186.

References

[1] Grier D. A revolution in optical manipulation. Nature 2003; 424(6950): 810-816. DOI: 10.1038/nature01935.

[2] Kuga T, Torii Y, Shiokawa N, Hirano T, Shimizu Y, Sasa-da H. Novel optical trap of atoms with a doughnut beam. Phys Rev Lett 1997; 78(25): 4713-4716. DOI: 10.1103/PhysRevLett.78.4713.

[3] Bernet S, Jesacher A, Furhapter S, Maurer C, Ritsch-Marte M. Quantitative imaging of complex samples by spiral phase contrast microscopy. Opt Express 2006; 14(9): 3792-3805. DOI: 10.1364/0E.14.003792.

[4] Willig KI, Rizzoli SO, Westphal V, Jahn R, Hell SW. STED microscopy reveals that synaptotagmin remains clustered after synaptic vesicle exocytosis. Nature 2006; 440(7086): 935-939. DOI: 10.1038/nature04592.

[5] Wang J, Yang J, Fazal IM, Ahmed N, Yan Y, Huang H, Ren Y, Yue Y, Dolinar S, Tur M, Willner AE. Terabit freespace data transmission employing orbital angular momentum multiplexing. Nature Photon 2012; 6(7): 488-496. DOI: 10.1038/nphoton.2012.138.

[6] Mair A, Vaziri A, Weihs G, Zeilinger A. Entanglement of the orbital angular momentum states of photons. Nature 2001; 412(6844): 313-316. DOI: 10.1038/35085529.

[7] Courtial J, Dholakia K, Allen L, Padgett MJ. Gaussian beams with very high orbital angular momentum. Opt Commun 1997; 144(4-6): 210-3. DOI: 10.1016/S0030-4018(97)00376-3.

[8] Abramochkin EG, Volostnikov VG. Beam transformations and nontransformed beams. Opt Commun 1991; 83(1-2): 123-135. DOI: 10.1016/0030-4018(91)90534-K.

[9] Izdebskaya Y, Fadeyeva T, Shvedov V, Volyar A. Vortex-bearing array of singular beams with very high orbital angular momentum. Opt Lett 2006; 31(17): 2523-2525. DOI: 10.1364/OL.31.002523.

[10] Li Z, Zhang M, Liang G, Li X, Chen X, Cheng C. Generation of high-order optical vortices with asymmetrical pinhole plates under plane wave illumination. Opt Express 2012; 21(13): 15755-64. DOI: 10.1364/OE.21.015755.

[11] Krenn M, Tischler N, Zeilinger A. On small beams with large topological charge. New J Phys 2016; 18: 033012. DOI: 10.1088/1367-2630/18/3/033012.

[12] Zheng S, Wang J. Measuring orbital angular momentum (OAM) states of vortex beams with annular gratings. Sci Rep 2017; 7: 40781. DOI: 10.1038/srep40781.

[13] Vieira J, Trines RMGM, Alves EP, Fonseca RA, Mendon-ca JT, Bingham R, Norreys P, Silva LO. High orbital angular momentum harmonic generation. Phys Rev Lett 2016; 117(26): 265001. DOI: 10.1103/PhysRevLett.117.265001.

[14] Chen Y, Fang ZX, Ren YX, Gong L, Lu RD. Generation and characterization of a perfect vortex beam with a large topologi-cal charge through a digital micromirror device. Appl Opt 2015; 54(27): 8030-8035. DOI: 10.1364/AO.54.008030.

[15] Jesacher A, Furhapter S, Maurer C, Bernet S, Ritsch-Marte M. Holographic optical tweezers for object manipulations at an air-liquid surface. Opt Express 2006; 14(13): 6342-6352.

[16] Fickler R, Lapkiewicz R, Plick WN, Krenn M, Schaeff C, Ramelow S, Zeilinger A. Quantum entanglement of high angular momenta. Science 2012; 338(6107): 640-643. DOI: 10.1126/science .1227193.

[17] Campbell G, Hage B, Buchler B, Lam PK. Generation of high-order optical vortices using directly machined spiral phase mirrors. Appl Opt 2012; 51(7): 873-876. DOI: 10.1364/AO.51.000873.

[18] Shen Y, Campbell GT, Hage B, Zou H, Buchler BC, Lam PK. Generation and interferometric analysis of high charge optical vortices. J Opt 2013; 15(4): 044005. DOI: 10.1088/2040-8978/15/4/044005.

[19] Mafakheri E, Tavabi AH, Lu P, Balboni R, Venturi F, Me-nozzi C, Gazzadi GC, Frabboni S, Sit A, Dunin-Borkowski RE, Karimi E. Realization of electron vortices with large orbital angular momentum using miniature holograms fabricated by electron beam lithography. Appl Phys Lett 2017; 110: 093113. DOI: 10.1063/1.4977879.

[20] Fickler R, Campbell G, Buchler B, Lam PK, Zeilinger A. Quantum entanglement of angular momentum states with quantum number up to 10010. Proc Natl Acad Sci USA 2016; 113(48): 13642-13647. DOI: 10.1073/pnas.1616889113.

[21] Prudnikov AP, Brychkov YA, Marichev OI. Integrals and Series. Vol. 2. Special Functions. New York: Gordon and Breach; 1992. ISBN: 978-2-881240973.

[22] Abramovitz M, Stegun IA. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series; 1964.

Authors' information

Victor Victorovich Kotlyar is the head of a laboratory at IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS and a professor of Computer Science department at Samara National Research University. He graduated from Kuibyshev State University (1979), received his Candidate's and Doctor's Degrees in Physics & Mathematics from Saratov State University (1988) and Moscow Central Design Institute of Unique Instrumentation of the RAS (1992). He is a co-author of 300 scientific papers, 5 books and 7 inventions. His current research interests include dif-fractive optics, gradient optics, nanophotonics, and optical vortices.

Alexey Andreevich Kovalev (b. 1979), graduated (2002) from Samara National Research University, majoring in Applied Mathematics. He received his Doctor in Physics & Maths degree in 2012. He is a senior researcher of Laser Measurements laboratory at IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. He is a co-author of more than 150 scientific papers. His current research interests are mathematical diffraction theory and photonic crystal devices.

Received June 27, 2017. The final version - August 10, 2017.