CC BY
0
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
Орбитальная и спиновая составляющие плотности потока углового момента монохроматического излучения в непоглощающих средах с нелокальным
нелинейным оптическим откликом
П. С. Рыжиков,1' * В.А.Макаров1
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра общей физики и волновых процессов Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 (Поступила в редакцию 11.05.2024; после доработки 21.05.2024; подписана в печать 29.05.2024)
Используя закон сохранения углового момента электромагнитного поля в виде балансного уравнения, связывающего в непоглощающей среде плотность углового момента, плотность потока углового момента и вызванную анизотропией среды плотность вращательного момента, получены формулы для плотностей орбитальной и спиновой составляющих углового момента и плотностей потоков этих величин в случае взаимодействия монохроматических волн в обладающей пространственной дисперсией непоглощающей среде, демонстрирующей нелинейный оптический отклик те-го порядка на внешнее световое поле. В средах, не обладающих пространственной и частотной дисперсией, полученные выражения совпадают с каноническими выражениями для плотностей орбитальной и спиновой составляющих углового момента, а также плотностей их потоков. Связанные с нелинейностью вещества добавки к наибольшим из компонент спиновых составляющих плотностей углового момента и его потока могут достигать при самофокусировке эллиптически поляризованного лазерного пучка гауссовой формы в изотропной гиротропной среде вблизи области его коллапса десяти процентов от соответствующих линейных частей.
РЛСЯ: 42.65.-k, 42.50.Tx. УДК: УДК: 537.8.
Ключевые слова: нелинейная оптика, пространственная дисперсия, оптический угловой момент. БОТ: 10.55959/М8Ш579-9392.79.2440403
ВВЕДЕНИЕ
Закон сохранения углового момента (момента импульса), обусловленный наличием симметрии рассматриваемого объекта относительно поворота вокруг некоторой оси, является одним из фундаментальных законов сохранения в физике [1]. В электродинамике он сводится к балансному уравнению, связывающему плотность углового момента, плотность потока углового момента и вызванную анизотропией среды плотность вращательного момента, действующего на свет со стороны среды где распространяется электромагнитное излучение [2, 3]. Большой интерес к угловому моменту электромагнитного поля связан с возможностями его применения в задачах оптического контроля [4-6], передачи информации [7-9], диагностики вещества [10], а также в некоторых других приложениях [11-13].
Непосредственное определение плотности и плотности потока углового момента на основе плотности импульса и плотности потока импульса приводят к выражениям, явно зависящим от выбора начала координат [14-17]. Векторный характер электромагнитного поля позволяет представить его угловой момент в виде двух слагаемых: спиновой составляющей (независящей от выбора начала ко-
* Е-таП: [email protected]
ординат) и орбитальной составляющей (зависящей от выбора начала координат) [18]. Довольно часто эти составляющие удается связать, соответственно, с поляризацией электрического поля и его поперечным пространственным распределением [19]. Среди подходов, применяемых к разделению углового момента, выделяется обоснованный в теоретической физике [1] метод, приводящий к каноническим выражениям для спиновой и орбитальной составляющих углового момента [18, 20] на основе плотности функции Лагранжа электромагнитного поля [18, 20]. Однако получающиеся при этом составляющие углового момента не всегда являются калиб-ровочно инвариантными [18, 20, 21].
Разделение углового момента на две составляющие, однозначное для параксиальных монохроматических пучков, сталкивается с определенными трудностями (см., например, [20]) в случае волновых полей, не позволяющих использовать параксиальное приближение для их описания. В этом случае формулы для плотностей орбитальной и спиновой составляющих углового момента и плотностей их потоков могут быть получены непосредственно из уравнений Максвелла, причём в некоторых случаях финальный результат совпадает с каноническими выражениями для этих величин [22-25]. Преимуществом таких подходов является возможность получения с их помощью выражений для орбитальной и спиновой составляющих углового момента в сре-
дах, для которых на данном этапе неизвестно выражение для плотности функции Лагранжа электромагнитного поля. Одной из них является среда, демонстрирующая нелинейный нелокальный оптический отклик на внешнее световое поле. В настоящий момент известна только плотность функции Лагранжа электромагнитного поля в среде, демонстрирующей исключительно локальный характер нелинейного оптического отклика [26, 27].
В [28] была найдена плотность функции Лагран-жа электромагнитного поля в линейной среде с пространственной дисперсией оптического отклика. Для ее записи требовались материальные уравнения, связывающие индукции электрического и магнитного полей с их напряженностями. В нелинейной оптике сред с пространственной дисперсией обычно применяют материальные уравнения в форме Ландау-Лифшица, в которых индукция электрического поля интегрально связывается с напряжен-ностями электрических полей распространяющихся волн, а напряжённость магнитного поля считается тожественно равной его индукции [29]. В рамках такого подхода было показано [16, 17], что выражение для плотности потока углового момента электромагнитного поля в таких средах содержит независящее от выбора начала координат слагаемое, появление которого обусловлено нелокальностью нелинейного оптического отклика. Открытым остается вопрос, чему равны орбитальная и спиновая составляющие найденной полной плотности потока углового момента света в среде с нелокальностью нелинейного оптического отклика и насколько весомыми являются связанные с нелинейностью среды добавки к спиновым составляющим плотностей углового момента и его потока при самовоздействии эллиптически поляризованных лазерных пучков гауссовой формы. Ответы на них будут даны ниже.
1. ПЛОТНОСТИ УГЛОВОГО МОМЕНТА И ЕГО ПОТОКА
В электродинамике закон сохранения углового момента (момента количества движения) связывает балансным уравнением [2, 25]
-''/•/: ' дкМгк
(1)
плотности углового момента Л, потока углового момента М и вращательного момента т, явный вид которых определяется формой записи материальных уравнений. В (1) индексы г и к принимают значения х, у и Будем считать напряжённость магнитного поля Н равной его индукции В, а индукцию электрического поля О представим в виде:
Б = Е + р
(п)
(2)
п=1
нейным оптическим откликом п-го порядка. Пусть в непоглощающей однородной среде, демонстрирующей нелокальность оптического отклика на внешнее световое поле, распространяются взаимодействующие в различных нелинейных процессах волны, частоты ш которых образуют конечное множество О. В этом случае векторы, характеризующие создаваемое ими в среде электромагнитное поле, удобно представить в виде:
Е = ^ Е(ш) + е.е. = ^ Е(ш)е-^ + о.е., (3) Б = ^ Б(ш) + о.е. = ^ Б(ш)е-^ + о.е., (4) В = ^2 В(ш) + о.е. = ^2 В(ш)е-^ + о.е., (5) р(п) = ^ Р(п)(ш) + о.е. = ^2 Р(п)(ш)е-^ + о.е.
где Е
а р(п)
напряженность электрического поля, поляризация среды, связанная с нели-
(6)
Будем считать, что потерями на всех частотах распространяющихся волн можно пренебречь, а спектры комплексных амплитуд Е(ш), Б(ш), Р(п)(ш), В(ш) достаточно узки, чтобы можно было пренебречь частотной дисперсией среды. Ограничимся описанием нелинейного взаимодействия этих волн в рамках первого приближения по параметру пространственной дисперсии ¡, равного отношению характерного масштаба проявления нелокальности оптического отклика к минимальной из длин распространяющихся волн. В этом случае использующееся в рамках подхода Ландау-Лифшица интегральное соотношение между поляризацией среды и напряженностями полей взаимодействующих п+1 волн [30, 31] сводится к материальному уравнению для Р(п)(ш), правая часть которого содержит не более п +1 слагаемых. Первое из них (нулевое приближение по ¡л) является сверткой локальной нелинейной восприимчивости п-го порядка (тензор п +1 ранга) с п векторами Е(ш'), сумма частотных аргументов которых ш', принадлежащих О, с учетом знака равна ш. Каждое из оставшихся слагаемых в выражении для Р(п)(ш) является сверткой нелокальной нелинейной восприимчивости п-го порядка (тензор п + 2 ранга) с п — 1 векторами Е(ш'), сумма частотных аргументов которых ш' с учетом знака равна ш — ш'', и УЕ(ш''). Подчеркнем, что для таких материальных уравнений неизвестно выражение для плотности функции Лагранжа электромагнитного поля, но они могут использоваться при решении задач преобразования углового момента света в средах, проявляющих нелокальность оптического отклика.
В первом приближении по ¡л входящие в левую часть (1) плотности углового момента и потока углового момента имеют вид [17]:
с
.1, = ху В*(ш)Бт (ш) + с.е.,
шеП
(7)
И,
Е
к = / , е,зр хз
шеп
брк ( -|я«М|2 + Е и) - ЯрМ^М-
п=1
п + 1
( дР(п)(ш)
п=1 ш'= П
+ Е'
шеп
-гЗр^З
(п) т(ш
1
2
г ш я ^ I дР1П\ш) я
-Е Е —^гм (^ЛИ +
д [дк ^т(ш')]
¿рк|Бг(ш)|2 - Б*р(ш)Бк(ш)
+
шеП п=1 ш'^еп \
( дР1 (ш)
д[дк Ег(ш')]
Ег (ш'
дРД(п)н д[дкЕ*(и>>)]
+
Е*(ш')]+с.с, (8)
где ^,1,т,р = х,у,г. Подчеркнем, что последнее слагаемое в (8) явно не зависит от х, у и г. Впервые полученная в [16, 17] формула для входящего в (1) вращательного момента т,, учитывающая нелокальность оптического отклика среды, довольно громоздка и здесь не приводится.
2. СПИНОВАЯ И ОРБИТАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПЛОТНОСТИ УГЛОВОГО МОМЕНТА И ЕГО ПОТОКА
Ниже будет показано, что и плотность углового момента (7), и плотность потока углового момента (8) могут быть представлены в виде сумм трёх слагаемых:
^ = Е, + Б, + Е,, И,к = Е,к + Б,к + Е,к,
удовлетворяющих уравнениям
-д^ + дк^к = 0, с
-д((Е1 + 3.1)+дк(Е1к + Б.ш) с
(9) (10)
(11) (12)
Здесь Б, и Б,к — соответственно плотности спиновой составляющей углового момента и потока спиновой составляющей углового момента, не зависящие явным образом от пространственных координат, а Е, и Е,к — соответственно плотности орбитальной составляющей углового момента и потока орбитальной составляющей углового момента, явно зависящие от выбора начала координат. Все четыре упомянутые величины переходят в канонические выражения для плотностей и плотностей потоков орбитальной и спиновой составляющих углового момента в случае отсутствия пространственной и временной дисперсии. Отличные от нуля Е, и Е,к свидетельствуют о том, что плотности углового момента и потока углового момента имеют не
только орбитальную и спиновую составляющие. Однако связанные с дополнительными слагаемыми Е, и Е,к вклады в выражения для полного углового момента и полного потока углового момента, получающиеся в результате их интегрирования по всему пространству, оказываются нулевыми.
Для обоснования сделанных утверждений выразим напряжённость электрического и индукцию магнитного полей с помощью векторного и скалярного потенциалов А(ш) и у(ш):
ЕМ = -У^М - -¿»¿АН, (13)
с
В(ш) = УхА(ш). (14)
Далее выразим в равенствах (7) и (8) явно входящие напряжённость электрического и индукцию магнитного полей, используя формулы (13) и (14). Возникшую после этого в (7) свёртку тензоров Леви-Чивиты преобразуем с помощью соотношения:
екЬтетзр ¿кз ¿Ьр ¿кр^Ьу,
(15)
где ¿з — символ Кронекера. В результате плотность углового момента будет представлена в виде двух слагаемых. Первое из них
Е,
шеп
е,зк ху П*(ш)дк Аг (ш)+с.с. (16)
часто встречается в качестве подынтегрального выражения при определении орбитальной составляющей углового момента [22, 23, 25]. В отсутствие частотной и пространственной дисперсии (16) превращается в каноническое выражение для плотности орбитальной составляющей углового момента света в линейных средах [18, 20] (также может быть получено и для нелинейных сред без дисперсии на основе плотности функции Лагранжа [26, 27]). Это, а также явная зависимость Е, от выбора начала координат, дает основание считать (16) плотностью
т.
орбитального момента света и в нелинейных средах, проявляющих нелокальность оптического отклика.
Второе из получившихся слагаемых преобразуем, используя правила дифференцирования и уравнения Максвелла:
хЗ 0*1(ш)дгЛк (ш) +о.о. =
шеп
= —ецк^ {д1[хз Э;(ш)Лк (ш)] — Б*(ш)Ак (ш)} + о.о.
шеП
(17)
Не имеющее явной зависимости от пространственных координат последнее слагаемое в правой части
(17)
% = ^2 З0*(ш)Ак(ш) + о.о. (18)
шеП
часто встречается в качестве подынтегрального выражения при определении спиновой составляющей углового момента электромагнитного поля [22, 23, 25], а также как каноническое выражение для плотности спиновой составляющей углового момента в вакууме и линейных средах [18, 20]. Основываясь на этих соображениях, естественно также считать
(18) плотностью спиновой составляющей углового момента электромагнитного поля в средах с нелокальным нелинейным оптическим откликом.
В справедливости последнего тождества легко убедиться, преобразовав правую часть (20) в левую. Для этого надо представить дт[хзАп(ш)] в виде двух слагаемых и далее воспользоваться формулами (14) и 15). Первая группа слагаемых в правой части (20) совпадает с частью выражения для плотности потока орбитальной составляющей углового момента [18, 20, 24], вторая — с полным выражением для плотности потока спиновой составляющей
Первое слагаемое в правой части (21)является частью канонического выражения для плотности потока орбитальной составляющей углового момента [18, 20, 24]. Второе слагаемое в правой части (21)
Вид оставшегося в (17) слагаемого Fi = — д1 I ^ езхзБ; (ш)Ак (ш) 1 + о.о. (19)
ЧшеП )
говорит о его исключительной важности при записи локальной формы закона сохранения углового момента. Однако интеграл от него по всему объему равен нулю и оно не дает вклад в полный угловой момент электромагнитного поля. В связи с этим авторы работ по разделению углового момента на орбитальную и спиновую составляющие отбрасывают его на начальном этапе [22, 23, 25]. Чтобы сумма Li + корректно описывала плотность углового момента ^, нужно выделить из (8) плотность потока Г-1к, удовлетворяющую, с учетом явного вида (19), уравнению (11). При этом оставшаяся после этого часть (8) с учетом явного вида Li и ^ должна удовлетворять равенству (12).
Для осуществления этого в начале заметим, что не зависящее от выбора начала координат последнее слагаемое в (8) отлично от нуля только если взаимодействие распространяющихся волн происходит в среде с нелокальным оптическим откликом. Это, а также его связь с поляризацией излучения [32], позволяют считать данное выражение частью плотности спиновой составляющей потока углового момента. Далее представим слагаемое, содержащее квадратную скобку с индукцией В, в формуле (8) в следующем виде:
(20)
углового момента [18, 20, 24]. Третья группа слагаемых не имеет аналогов, но и не является специфичной для каких-либо сред. Поэтому его целесообразно считать частью Е^.
Из слагаемых первой квадратной скобки в правой части формулы (8) осталось преобразовать только слагаемое, содержащее Бк (ш), выразив напряжённость электрического поля через скалярный и векторный потенциалы (13):
(21)
естественно включить в Е^.
После сделанных преобразований отдельных слагаемых в (8) Мк может быть записано в виде (10), где
^ ' •'•; (^6ркВЦш)В1(ш) - В*(ш)Вк(ш)\ +с.с. = ^ (-^е^рХ^бр,^ (ш)В,Хш)+
мСО \ ' мСП \
-в;(ш)вк(ш)] +С.С. = ]Г ( 1
шеп 4 ' шеп
+екпьезтхзВ;(ш)дтАп(ш)) + ^ [^кВ;(ш)А;(ш) — В*(ш)Ак(ш)] +
шеп
+ У^ етк1 eiЗnВ;(ш)дт [хзАп(ш)] + о.о..
шеп
-е.^рХз ^ Ер(ш)Б1(ш) + с.с. = е^рхз ^ 0*к{ш) (др1р{ш) + -дtAp(ш) \ + с.с.
/,|СП мсП \ '
Егк егзр^ ^
шеп
брк ( + Е —ягмр/п)Н - -вгм^м ) -
п=1
1
( дР^Нш)
п=1
I я V I др(п)(ш) Я 17* л.л
- £ £ гттчги ^йя^м + 1 +
+вкп1Б*1 (ш)дрАп(ш) + Пк (ш)др^(ш)] + с.с, (22)
Бгк =
шеп
млн - в;(и>)Ак(и>) + е.Ир £ —1 Е ^М
п=1
д[дкЩи>')]
Е (ш')+
+
д[дкЕ*(и>>)]
е;(ш') +С.С., (23)
Егк = ^ < д
шеп
т [е^петк1ВЦш)х^Ап(ш)] + -<9( [е^пх^В1(ш)Ап(ш)] \ +с.с..
(24)
Выражение (24), как и (19), является комбинацией полных производных, причём компонента Егк не содержит пространственной производной по переменной Хк, так же, как компонента Ег не содержит производной по времени. Нетрудно убедиться, что подстановка этих выражений в (11) обращает его левую часть в нуль. Поэтому выражения Ег + Бг и Егк + Бгк, описываемые (16), (18), (22) и (23), подчиняются тому же закону сохранения углового момента (1), что и исходные плотности углового момента и потока углового момента ,1г и Мгк, определяемые формулами (7) и (8). При этом Бг и Бгк не зависят от выбора начала координат, а Ег и Егк демонстрируют явную зависимость от Хк. В случае локальных линейных и нелинейных сред эти выражения переходят в канонические формулы [18, 20, 24] для компонент плотностей и плотностей потоков орбитальной и спиновой составляющих углового момента. В связи с этим можно считать, что полученные выражения (16), (18), (22) и (23) обобщают канонические выражения для этих величин на случай линейных и нелинейных сред, проявляющих нелокальность оптического отклика на внешнее световое поле.
Описанная выше процедура также может быть применена и к средам с более сложным оптическим откликом. Отметим также, что пропорциональная 5рк часть Егк в случае не обладающих пространственной дисперсией линейных и нелинейных сред совпадает с плотностью функции Лагранжа электромагнитного поля [26, 27], если в Р(п)(ш) опущены пространственные производные.
3. ВЫЗВАННЫЕ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ СРЕДЫ ДОБАВКИ К КОМПОНЕНТАМ
СПИНОВЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПЛОТНОСТЕЙ УГЛОВОГО МОМЕНТА И ЕГО ПОТОКА ПРИ САМОВОЗДЕЙСТВИИ СВЕТА
В качестве примера приведем формулы для Ег, Бг, Ег, Егк, Бгк и Егк в случае самовоздействия монохроматического эллиптически поляризованного излучения частоты ш в непоглощающей однородной среде, демонстрирующей нелокальность оптического отклика. В этом случае связывающие Е и Р материальные уравнения принимают вид:
Р^Ш)
Х$(шЩ (ш)
3 (ш)дкЕз (ш),
(25)
Р
(3),
(ш) = Х$т(ш; -ш, ш, ш)Е*(ш)Е1(ш)Ет(ш)+ + 1§тк (ш; -ш,ш,ш)Е*(ш)Е1(ш)дкЕт(ш). (26)
Здесь х(1) и 7(1) соответственно локальные и нелокальные линейные оптические восприимчивости, а х(3) и 7(3) — локальные и нелокальные нелинейные восприимчивости среды, демонстрирующей кубический по напряженности электрического поля оптический отклик. Подстановка (25) и (26) в (22) и (23), использование в последних кулоновской калибровки (^ = 0), позволяющей из (13) получить формулу А(ш) = -(ге/ш)Е(ш), дающую возможность заменить А(ш) на -(ге/ш)Е(ш), а также одного из уравнений системы уравнений Максвелла, позволяющего в (22) - (23) записать В(ш) как -(ге/ш)УхЕ(ш), приводит к следующим формулам для Ег, Бг, Ег, Егк, Бгк и Егк:
1С
Ь.1 =--е
гзк Хз
(е; + Рг(1) ; + р/3) ; )дк Е1 + С.С.
(27)
ш
5', = -~eijk (е* + + Р¡3>) Ек + с.е.,
(28)
Ft = Zeijkdt
xj (E* + R(1)* + R(3)*) E,
+ c.c.,
(29)
Lik — eijpxj
Spk T
\Ei\2+xi]E:Em+ ±хЦ1тЕ:Е;ЕгЕт + + ^$mnE*qEr ) ЩдпЕт-
--- (дтЕ*дтЕп — дтЕ*дпЕт)
t, i2
\ (7E + \l^mkKEr) EtdpE„
+ — (дкЕ*дрЕп - дпЕ*кдрЕп) + c.c.,
(30)
S'ik = {SikeimnEl - eimnEk) dmE* + -}< + \lfqrlkE*qErE^j E*P + C-C-
(31)
2
2
Fik 2 {^ijn^mkl^lrp^j^pl
^ijn^j
Ek + p(1) * + Pk
>(3) >
En (w)
+ c.c..
(32)
Частотные аргументы компонент тензоров х(1), Х(3), 7(1) 7(3), вектора напряженности электриче-
ского поля, линейной и нелинейной составляющих поляризации среды от ш здесь и далее для краткости опущены, индексы д, г и п принимают значения х, у и
д i „ .
±Ро + ± Pl) х
04
(33)
4. ОБУСЛОВЛЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
ИЗОТРОПНОЙ ГИРОТРОПНОЙ СРЕДЫ ДОБАВКИ К КОМПОНЕНТАМ СПИНОВЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПЛОТНОСТЕЙ УГЛОВОГО МОМЕНТА И ЕГО ПОТОКА ПРИ САМОФОКУСИРОВКЕ СВЕТА
Если самофокусировка эллиптически поляризованного пучка, распространяющегося вдоль оси г, происходит в непоглощающей изотропной гиро-тропной среде (симметрия тото), то с учетом соотношений внутренней симметрии [30, 31, 33-36]
хЗ = (е — 1)^З/4п, З = 7leiЗк, хЗт = Х1(5ц5зт+
ij
(3)
Simj)/2 + X2$ijStm, Yijmni — 1з(ецтSjn + eilndjm +
GjimSin + ejinSim)/2, где £ — линейная диэлектрическая проницаемость, а xi,2 и y13 — зависящие от w константы. Если для ее описания используется метод медленно меняющихся амплитуд [37], то ЕХ}У = S'Xty(y/px, y/jly, fiz) exp(ikz), где к — модуль волнового вектора, Д — символический параметр малости и дифференцирование E°x,y по z сводится к умножению E°x,y на ik. Продольной составляющей электрического поля в этом случае из-за её малости можно пренебречь.
Медленно меняющиеся амплитуды — Ex ± iEy циркулярно поляризованных компонент электрического поля удовлетворяют следующей системе уравнений [38, 39]:
где ро = 2пш271/с2, 01,2 = 2пш2х1,2/кс2, Р1 = 2пш27з/с2. Ее решение позволяет, в частности, записать компоненты Бг и Бгг плотности спиновой составляющей углового момента и плотности потока спиновой составляющей углового момента, намного большие остальных компонент вектора 8 и тензора Б, в следующем виде:
£3/2
^ = -2—ДМ + /?1+/?2+/?з), (34)
£
= 2-/ М + ¡3,/2 + /?3/4). (35)
Здесь в1 = 2р0/к, в2 = 2а11М/к, /З3 = 2р11 х х(1 + М 2)/к, I (х, у, г) = (|Е+|2 + 12)/2 —
нормированная интенсивность, а М(х, у, г) = = (|Е+|2 — |Е-|2)/(|Е+|2 + |Е-|2) — степень эллиптичности распространяющегося излучения. Параметры в1,2,з характеризуют вклады в Бг и Бгг, связанные, соответственно, с нелокальным линейным, локальным кубическим и нелокальным кубическим откликами однородной непоглощающей изотропной гиротропной среды на внешнее световое поле. В точках среды, где излучение линейно поляризовано (М = 0), отличные от нуля значения плотности спиновой составляющей углового момента и плотности её потока обусловлены только нелокальностью оптического отклика среды.
Будем считать, что на ее поверхность г = 0 пада-
Рисунок. Зависимость М (а) и \в2\ (б) на оси пучка от координаты распространения при т/Х = 25 и р0Ьл = 0.1, о2/а\ = 0.5, р\/о\ = 0.05 при !а = 7 (синяя кривая) и !а = 20 (красная кривая) в случае падения на среду излучения с поляризацией, близкой к круговой (М0 = —0.9). Единица на оси абсцисс соответствует значению г/Ьл при котором I в пятьдесят раз превышает 10
ет эллиптически поляризованный гауссов пучок:
#±(.гуу,0) = у/10(1 ±М0)ехр , (36)
где Мо = М(х, у, 0), а /п = 1(х, у, 0). Переходя к безразмерным переменным x/w, у/w, z/Lci и А±/\/1о, где Ld = kw2, легко установить, что характер самовоздействия света определяется следующими параметрами падающего излучения и непоглощающей изотропной гиротропной среды: Ia = aiI0Ld/2, M0, poLd, 2pi/ai и 2o~2/о\. Значение Ia « 1 соответствует порогу самофокусировки линейно поляризованного излучения в случае самофокусировки пучка в изотропной негиротропной среде, при ее описании в приосевом приближении [37]. Анализ формул для ,02,3 показывает, что они достигают максимального значения в тех точках среды, где распространяющийся пучок имеет минимальный диаметр и цир-кулярно поляризован (M = ±1). Именно в этом случае \в2\ « 0.051(X/w)2Ia(I/I0) и при w « 25Л, где Л = 2n/k, значение в2 может достигать десяти процентов от M.
На рисунке в качестве примера приведены результаты решения системы уравнений (33) при poLd = 0.1, о2/о\ = 0.5, pi/ai = 0.05 для Ia = 7 и Ia =20 в случае падения на среду излучения с поляризацией, близкой к круговой (Mo = —0.9). Единица на оси абсцисс z/Z50 соответствует значению z/Ld, при котором I в пятьдесят раз превышает I0. При Ia = 20 и M0 = —0.9 степень эллиптичности на оси пучка M(z = Z50) ~ —0.6 (a) и ^2(z = Z50) « —0.048 (б).
Вклад вз существенным образом зависит от поляризации пучка. В точках пространства, где поляризация излучения близка к циркулярной в3/в2 ~ pi/ai ~ d/Л, где d — малый параметр, характеризующий масштаб проявления нелокальности оптического отклика. Это отношение в обыч-
ных средах не превышает 0.01, но в отдельных случаях может достигать 0.1 (например, в изотропной фазе холестерического жидкого кристалла вблизи температуры перехода в мезофазу). Но в точках среды, где поляризация излучения близка к линейной, только в1 и вз обеспечивают отличные от нуля значения плотностей спиновой составляющей углового момента Бг и его потока Бхх.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы получили формулы для плотностей орбитальной и спиновой составляющей углового момента и плотностей потоков этих величин в случае взаимодействия п +1 монохроматических волн в обладающей пространственной дисперсией непогло-щающей среде, демонстрирующей нелинейный оптический отклик п-го порядка на внешнее световое поле. В отсутствие нелокальности оптического отклика найденные формулы в точности совпадают с ранее известными каноническими выражениями для этих величин. Формулы для плотностей орбитальной и спиновой составляющих углового момента и плотностей потоков этих величин удалось получить, используя закон сохранения углового момента в виде балансного уравнения, связывающего в непоглощающей среде плотность углового момента, плотность потока углового момента и вызванную анизотропией среды плотность вращательного момента. Разность между плотностью полного углового момента (полного потока углового момента), найденной в [16, 17], и суммой орбитальной и спиновой составляющих углового момента (орбитальной и спиновой составляющих плотности потока углового момента), полученной в настоящей работе, имеет в различных точках пространства разный знак, и ее вклад в полный угловой
момент, получающийся в результате её интегрирования по всему пространству, оказывается равным нулю. Использованная процедура вывода формул для плотностей орбитальной и спиновой составляющих углового момента и плотностей их потоков может быть применена и в случае сред, материальные уравнения в которых, связывающие индукцию электрического поля с его напряженностью, имеют более сложный вид.
Связанные с нелинейностью вещества добавки к наибольшим из компонент спиновых составляющих плотностей углового момента и его потока мо-
гут достигать при самофокусировке эллиптически поляризованного лазерного пучка гауссовой формы в изотропной гиротропной среде (класс симметрии тото) вблизи области его коллапса десяти процентов от соответствующих линейных частей. Именно нелокальность оптического отклика (линейного и нелинейного) гиротропной среды обеспечивает отличие от нуля наибольших из компонент спиновых составляющих плотностей углового момента и его потока в точках пространствах, в которых поляризация распространяющегося пучка оказывается линейной.
Schwichtenberg J. // Physics from Symmetry. [20 Springer, 2018.
Campos-Flores I., Jimenez-Ramirez J.L,Roa-Neri [21 J. // Journal of Electromagnetic Analysis and Applications. 09, N 2. 203. (2017). [22
Kirochkin Yu.A., Stepanov K.N. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 77, 901. [23 (1993). [24
Polimeno P., Magazzu A., lati M. et.al. // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. [25 218. 131. (2018). Tian Y, Wang L, Duan G.// Optics [26 Communications. 485. 126712. (2020). Padgett M, Bowman R. // Nature Photonics. 5. 343. [27 (2011). [28 Willner A., Huang H.,Yan Y. et. al. // Advances in Optics and Photonics. 7, 1. 66. (2015). [29
Trichili A., Rosales-Guzman C., Dudley A. et.al. // Scientific Reports. 6. 27674. (2016). D'Ambrosio V.,Nagali E.,Walborn S. et.al. // Nature [30 communications. 3. 961. (2012). Brullot W, Vanbel M, Swusten T., Verbiest T. // Science Advances. 2. e1501349. (2016).
Yao A., Padgett M. // Advances in Optics and [31 Photonics. 3. 161. (2011).
Franke-Arnold S., Allen L., Padgett M. // Laser and [32 Photonics Review. 2. 299. (2008).
Ritsch-Marte M. // Philosophical Transactions of [33 The Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences. 375. 20150437.(2017). [34
Barnett S.M. // Journal of Optics B: Quantum and [35 Semiclassical Optics. 4, N 2. S7. (2002). Moe G.,Happer W. // Journal of Physics B: Atomic [36 and Molecular Physics. 10, N 7. 1191. (1977). Ryzhikov P.S., Makarov V.A. // Laser Physics [37 Letters. 19. 115401. (2022). Рыжиков П.С., Макаров В.А. // ЖЭТФ. 165. 152. [38 (2024).
Belinfante F.J. // Physica. 7, N 5. 449. (1940). [39
Allen L., Beijersbergen M.W., Spreeuw R.J.C., Woerdman J.P. // Phys. Rev. A. 45. 8185. (1992).
Bliokh K.Y.,Dressel J., Nori F. // New Journal of
Physics. 16, N 9. 093037. (2014).
Bialynicki-Birula I., Bialynicka-Birula Z. // Journal
of Optics. 13, N 6. 064014. (2011).
Barnett S.M., Allen L., Cameron R.P. et.al. //
Journal of Optics. 18, N 6. 064004. (2016).
Arbab A.I. // Optik. 184. 436. (2019).
Yan S, Li M, Yao B. // Journal of Optics. 21, N 3.
035606. (2019).
Yamashita O. // Optics Communications. 284, N 10. 2532. (2011).
Hillery M., Mlodinow L.D. // Phys. Rev. A. 30. 1860. (1984).
Drummond P.D. // Phys. Rev. A. 42. 6845. (1990). Bokut' B.V., Serdyukov A.N. // Journal of Applied Spectroscopy. 12. 117. (1970).
Agranovich V.M., Ginzburg V.L. // Crystal Optics with Spatial Dispersion, and Excitons. SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 1984.
Popov S.V., Svirko Yu.P., Zheludev N.I. // Susceptibility tensor for nonlinear optics. Optics and optoelectronics series. Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia, 1995. Ryzhikov P.S., Makarov V.A. // Laser Physics Letters. 19, N 3. 035401. (2022). Makarov V.A., Ryzhikov P.S. // JETP. 162. 45. (2022).
Landau L.D., Pitaevskii L.P., Lifshitz E.M. // Electrodynamics of continuous media. Elsevier, 1984. Boyd R. // Nonlinear optics. Elsevier, 2020. Ryzhikov P.S., Makarov V.A. // Laser Physics Letters. 20, N 10. 105401. (2023). Sirotin Yu.I., Shaskolskaya M.P. // Fundamentals of Crystal Physics. Mir Publishers, 1983. Akhmanov S.A., Sukhorukov A.P., Khokhlov R.V. // Soviet Physics Uspekhi. 10, N 5. 609. (1968). Golubkov A.A., Makarov V.A., Perezhogin I.A. // Moscow University Physics Bulletin. 64. 54. (2009). Golubkov A.A., Makarov V.A. // Radiophysics and Quantum Electronics. 31. 1042. (1988).
Orbital and Spin Parts of Angular Momentum Flux Density of Monochromatic Radiation in Nonabsorbing Media with Nonlocal Nonlinear Optical Respons
P.S. Ryzhikova, V.A. Makarov
1 Department of general physics and wave phenomena, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University
Moscow 119991, Russia E-mail: aryzhikov.ps14@physics. msu.ru
Using electromagnetic field angular momentum conservation law in a form of balance equation, which relates the angular momentum density, the angular momentum flux density and caused by the anisotropy of the medium torque density in nonabsorbing media, we obtained the formulas for the densities of the orbital and spin parts of the angular momentum and the flux densities of this quantities in case of interaction of monochromatic waves in nonabsorbing medium with spatial dispersion demonstrating n-th order nonlinear optical response to the external light field. In media without spatial and frequency dispersion the obtained expressions coinside with the canonical expressions for the densities and flux densities of the orbital and spin parts of angular momentum. The additional terms to the greatest components among the spin parts of angular momentum and its flux related to nonlinearity of the medium may reach ten percent of their linear parts during self-focusing of the elliptically polarized Gaussian laser beam in isotropic gyrotropic medium near the area of its collapse.
PACS: 42.65.-k, 42.50.Tx.
Keywords: nonlinear optics, spatial dispersion, optical angular momentum. Received 11 May 2024.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2024. 79, No. 4. Pp. 485-493.
Сведения об авторах
1. Рыжиков Платон Сергеевич — аспирант; e-mail: [email protected].
2. Макаров Владимир Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, зав. кафедрой, профессор; e-mail: [email protected].
