Опыт построения прогностической тренд-сезонной модели временного ряда объемов продаж товара производственного назначения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оценка объемоВ продаж

ОПЫТ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГНОСТИЧЕСКОЙ ТРЕНД-СЕЗОННОЙ МОДЕЛИ ВРЕМЕННОГО РЯДА ОБЪЕМОВ ПРОДАЖ ТОВАРА ПРОИЗВОДСТВЕННОГО НАЗНАЧЕНИЯ

М.Б. ЕРМОЛАЕВ, доктор экономических наук А.А. МИРОЛЮБОВА, кандидат экономических наук, доцент Ивановский государственный химико-технологический университет

Прогнозирование служит важной основой для выявления тенденций развития фирмы в условиях непрерывного изменения и воздействия факторов внешней и внутренней среды, а также поиска рациональных мероприятий по поддержке необходимой устойчивости ее экономического положения. Сфера применения методов прогнозирования на коммерческих фирмах достаточно широка. Они используются для анализа и разработки концепций развития всех субъектов производственной, финансовой и сбытовой систем, в частности, для исследования рыночной конъюнктуры, прогнозирования цен, появления новых продуктов и технологий, оценки возможного поведения покупателей на рынке. В сложившейся экономической ситуации возрастает роль прогнозов и основанной на них сигнальной, предупреждающей информации, способствующей принятию научно обоснованных управленческих решений. Наиболее важной проблемой, которую можно успешно решить с помощью современных методов, является прогнозирование сбыта.

Авторы не ставили своей целью сказать новое слово в разработке методологии прогнозирования. Математико-статистический и программный аппарат прогнозирования достаточно полно и подробно развит. Однако практическое применение этого аппарата, на наш взгляд, является проблемным. Дело в том, что универсального метода прогнозирования не существует. Разные объекты, разные процессы, наконец, разные периоды времени требуют использования достаточно конкретных прогностических моделей, а также разработки соответствующих способов их реализации.

В работе предпринята попытка построения прогноза объема продаж на примере товара производственного назначения, т. е. товара, который покупают для производства других товаров или услуг, для перепродажи или сдачи в аренду с выгодой для себя. Априори, по-видимому, следует ожидать более или менее регулярную динамику спроса на такой товар. Ведь в этом случае нестабильный и субъективный потребительский спрос значительным образом «фильтруется» производственными планами предприятий — изготовителей потребительской продукции и одновременно потребителями товаров производственного назначения. Поэтому вполне логично предположить в рассматриваемом динамическом ряде независимость случайных компонентов, относящихся к разным временным интервалам. Следовательно, базовыми прогностическими моделями в данном случае могут служить трендовые, тренд-сезонные или тренд-циклические модели.

В качестве конкретного продукта выбран ла-нэм, используемый в кожевенной и меховой промышленности как обезжиривающее и моющее вещество. Исходные данные об объеме продаж ла-нэма на рассматриваемом предприятии, сгруппированные поквартально, представлены в табл. 1, а соответствующий график — на рис. 1.

Визуальный анализ построенного графика (см. рис.1) позволяет заметить, что динамика продаж товара подвержена достаточно устойчивым циклическим колебаниям. Эти колебания носят сезонный характер, что объясняется сферой применения данного товара. Математическое подтверждение

Таблица 1

Исходные данные по продукту ланэм

Период времени 1-й год 2-й год 3-й год

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Объем продаж, т 24,0 10,7 19,8 36,2 10,4 22,8 46,3 44,7 32,8 33,6 45,6 70,0

Нт 80

I60

& 40

I 20

ю

О 0

■ -.!-.||||||

12 3 4

5 6 7 8 Время, квартал

9 10 11 12

Рис. 1. Фактический объем продаж ланема по кварталам за три года

данного факта осуществляется расчетом коэффициентов автокорреляции уровней ряда. Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейных коэффициентов корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на заданное число шагов во времени. Совокупность таких коэффициентов в зависимости от лага запаздывания образует автокорреляционную функцию. Лаг, при котором автокорреляционная функция достигает своего максимума, как правило, соответствует величине цикла во временном ряде.

Расчет коэффициентов автокорреляции может осуществляться как с помощью специальных программных продуктов, так и непосредственно расчетом коэффициентов корреляции, которые последовательно проводятся по 11, 10, 9 и т.д. парам наблюдений в зависимости от лага запаздывания k ^ =1, k =2, k =3 и.т. д.). Значения автокорреляционной функции рассматриваемого ряда представлены в табл. 2.

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать осторожный вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала (один год).

После проведения анализа структуры временного ряда осуществляется моделирование временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейшим подходом является расчет значений сезонного компонента методом

скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда, каждая из которых содержит три компонента — трендовый (Т), сезонный (£) и случайный (Е), соединенных, соответственно, операциями сложения или умножения.

Выбор одной из этих моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда. Если же амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается со временем, строят мультипликативную модель. В рассматриваемом случае достаточно реалистично можно предположить аддитивный характер временного ряда.

Непосредственное построение исследуемой модели сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда. При этом процесс построения может быть произведен в несколько этапов (шагов):

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонного компонента S;

3) устранение сезонного компонента из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+Е);

4) аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (Т

+S);

6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Опишем реализацию каждого шага подробнее.

Шаг 1. Выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней (табл. 4) предполагает осуществление нескольких действий:

1) суммирование уровней ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определение условного годового объема продаж (гр. 3 табл. 3);

Таблица 2

Коэффициенты автокорреляции уровней временного ряда объема продаж ланэма

Лаг 1 2 3 4 5 6

Коэффициент автокорреляции уровней 0,487 0,037 0,439 0,654 0,471 -0,173

Таблица 3

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Время, г Объем продаж, Yt Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонного компонента

1 24,0

2 10,7 90,7 77.2 89.3 115,8 124.3 146,7 157.4 156,7 182,0 22,7 19,3 22,3 29.0 31.1 36,7 39,3 39.2 45,5

3 19,8 21,0 -1,2

4 36,2 20,8 15,4

5 10,4 25,6 -15,2

6 22,8 30,0 -7,2

7 46,3 33,9 12,4

8 44,7 38,0 6,7

9 32,8 39,3 -6,5

10 33,6 42,3 -8,8

11 45,6

12 70,0

2) нахождение скользящих средних делением полученных сумм на 4 (гр. 4 табл. 3). Полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонного компонента;

3) приведение этих значений в соответствие с фактическими моментами времени, т. е. нахождение центрированных скользящих средних как средних арифметических двух последовательных скользящих средних (гр. 5 табл. 4).

Шаг 2. Нахождение оценок сезонного компонента как разности между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 4). Используем эти оценки для расчета значений сезонного компонента S (табл. 4). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонного компонента S.

В моделях с сезонным компонентом обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонного компонента по всем кварталам должна быть равной нулю. Поэтому полученные значения сезонного компонента нуждаются в корректировке. Для этого последовательно рассчитываются корректирующий коэффициент:

к = (- 10,85 - 8,0 + 5,6 + 11,05) / 4 = - 0,53 и скорректированные значения сезонного компонента как разность между ее средней оценкой

Таблица 4

Расчет значений сезонного компонента в аддитивной модели

Показатель Год Номер квартала, i

I II III IV

1 -1,2 15,4

2 -15,2 -7,2 12,4 6,7

3 -6,5 -8,8

Итого за г-й квартал (за все годы) -21,7 -16,0 11,2 22,1

Средняя оценка сезонной компоненты для г-го квартала, S, -10,85 -8,0 5,60 11,05

Скорректированная сезонная компонента, S. -10,32 -7,47 6,13 11,58

и корректирующим коэффициентом к (нижняя строка табл. 5).

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонного компонента, вычитая его значения из каждого уровня исходного временного ряда.

Получим величины Т+Е=Y— S (гр. 4 табл. 5). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только трендовую и случайную компоненты.

Шаг 4. Определим компонент Тданной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Константа 15,168

Коэффициент регрессии 2,7567

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 5,026

^-квадрат 0,779

Число наблюдений 12

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

Т = 15,17 + 2,757Г.

Подставляя в это уравнение значения I = 1, ..., 12, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 5). График уравнения приведен на рис. 2.

Таблица 5

Расчет выравненных значений Ги ошибок Ев аддитивной модели

Время Yt Si T+E =Yt - Si T T + S E = Yt - (T+S) E2

1 23,96 -10,33 34,29 17,92 7,59 16,36 267,90

2 10,73 -7,44 18,16 20,68 13,24 -2,51 6,32

3 19,79 6,15 13,63 23,43 29,59 -9,80 96,17

4 36,24 11,61 24,62 26,19 37,80 -1,57 2,46

5 10,4 -10,33 20,73 28,95 18,61 -8,21 67,50

6 22,85 -7,44 30,28 31,70 24,27 -1,42 2,02

7 46,32 6,15 40,16 34,46 40,62 5,69 32,43

8 44,74 11,61 33,12 37,22 48,83 -4,09 16,79

9 32,76 -10,33 43,09 39,97 29,64 3,11 9,73

10 33,57 -7,436 41,00 42,73 35,29 -1,72 2,98

11 45,64 6,15 39,48 45,49 51,65 -6,00 36,08

12 70,04 11,61 58,43 48,24 59,86 10,18 103,68

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по построенной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонного компонента для соответствующих кварталов. Графически значения (Т + S) представлены на рис.2.

80

0-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Время, квартал

Рис. 2. Объем продаж ланема, т (фактические, выравненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)

Шаг 6. Для аддитивной модели расчет абсолютных ошибок производится по формуле: Е=Y-(Т + S).

Численные значения ошибок приведены в гр. 7 табл. 6.

По аналогии с моделью регрессии качество построенной модели может быть оценено как процентное отношение суммы квадратов полученных абсолютных ошибок (644,1) к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня (3224,1), что составляет примерно 10%.

Следовательно, построенная аддитивная модель объясняет 90% общей вариации уровней временного ряда объема продаж за три анализируемых года.

Прогнозное значение (F) уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендового и сезонного компонентов. Объемы продаж ланэ-ма в I, II, III и IV кварталах следующего прогнозируемого года рассчитываются подстановкой в полученное уравнение тренда вместо t последовательно значений 13, 14, 15, 16 и прибавлением к полученным величинам соответствующих поквартальных значений сезонного компонента.

В результате получаем следующий прогноз сбыта ланэма по кварталам следующего года: F13 = 40,67 т, F14 = 46,33 т, F15 = 62,68 т, F16 = 70,89 т.

Представленная в работе методика построения прогностической модели достаточно проста, наглядна и, как показало исследование, результативна. В целях увеличения «пользовательских» качеств методика была оформлена в виде программы на основе электронных таблиц MS Excel. Тем не менее авторы признают, что полученный программный продукт на новом статистическом материале вряд ли может быть использован без проведения предварительного «индивидуального» анализа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Басовский Л.Е. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие. — М.: ИНФРА — М, 2001. — 260 с. (серия «Высшее образование»).

2. Дуброва Т.А. Методологические вопросы прогнозирования производства важнейших видов промышленной продукции // Вопросы статистики. — 2004. — № 1.

3. царевВ.В. Внутрифирменное планирование. — СПб.: Питер, 2002. - 496 с.

4. Эконометрика: Учебник/Под ред. И.И.Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 344 с.: ил.