CC BY
15
Емельченков Е.П.,
Смоленский государственный университет
Мунерман В.И.,
Смоленский государственный университет
Синицын И.Н.
ИПИ РАН [email protected]
Опыт использования систем компьютерной математики в управлении процессом обучения математическим дисциплинам
Одна из главных тенденций, характеризующих современный этап развития общества в целом и системы образования в частности - широкое внедрение новых детерминированных и недетерминированных информационных технологий. Их использование в системе математического образования позволяет решать актуальные проблемы методики преподавания математики. Рассмотрим некоторые результаты использования систем компьютерной математики для обучения математическими дисциплинами.
Необходимым условием использования новых информационных технологий в любой содержательной предметной области является формализация содержания этой предметной области. В настоящее время существует несколько математических моделей для представления знаний. К их числу относятся семантические сети, фреймы, логические языки (модели) и продукционные системы [1].
В качестве основной модели представления знаний выбрана семантическая сеть или графовая модель. Причиной такого выбора послужили, во-первых, сформировавшаяся в методике преподавания математики традиция представления предметной области в виде графа [2]; во-вторых, наличие в теории графов алгоритмов, позволяющих относительно просто и эффективно решать задачи из области методики преподавания математики; в-третьих, наличие мощных систем компьютерной математики позволяет конструировать систем компьютерной поддержки (CAE) работы преподавателя математики.
Общая схема построения семантической сети сводится к следующему: вершины графа сопоставляются понятиям (объектам, событиям, процессам), а дуги - отношениям на множестве понятий.
Для построения модели некоторого учебного материала требуется
а) разобрать математическое содержание отобранного материала;
б) разбить материал на логически завершенные и самостоятельные
части;
в) выявить логические связи частей;
г) выделить в тексте структурные элементы (определения, утверждения, алгоритмы, иллюстрации и т.п.);
д) изучить характер логических обоснований различных частей;
е) соотнести упражнения с выделенными в пункте б) частями.
На графовой модели вершины графа ассоциируются с элементами знания по данной теме, дуги - с наличием между элементами знания логических и причинно-следственных связей между соответствующими элементами знания.
Под элементами знания понимаются все понятия, определения, алгоритмы, формулы, аксиомы, теоремы, которые в совокупности образуют основу теоретического материала по данной теме и усвоение которых требуется обязательными стандартами обучения.
Граф является ориентированным в силу специфики причинно-следственных связей.
Построение математической модели предметной области позволяет формализовать ряд теоретических понятий методики преподавания математики, определенных в ней на содержательном уровне. Так, например, было формализовано понятие ключевой задачи.
С другой стороны, интерпретация объектов модели дает возможность не только систематизировать, уточнить и методологически прояснить содержание теории, выяснить характер взаимосвязи различных ее положений, но и выявить и сформулировать еще не решенные проблемы. В частности, интерпретация отдельных инвариантов теории графов позволяет предложить новые подходы к формулировке обязательных результатов обучения математике, а также решить проблему отыскания системы ключевых задач по заданной теме.
Далее рассматриваются некоторые модели предметной области
Модель учебного пособия. Пусть имеется некоторый фрагмент F теоретического материала. Фрагменту F однозначно сопоставляется ориентированный граф G, вершинами которого являются элементы знания, а дуги соединяют элементы, между которыми имеются логические связи. Граф G называется [4] графовой моделью теоретического материала F (короче МТМ(^).
Граф NG, полученный из графа G заменой всех дуг ребрами (неориентированными), называется неориентированной графовой моделью теоретического материала F (короче НМТМ(Р')).
Графовая модель теоретического материала, очевидно, зависит от выбранной методики изложения теоретического материала. Фиксация модели осуществляется выбором определенного учебного пособия P в
качестве основного.
Модель задачи. При решении задач по определенной теме обычно предполагается, что задача должна решаться выбранным методом. Поэтому ниже мы будем рассматривать задачи только вместе с их фиксированными решениями.
Зафиксируем некоторое решение R задачи Z, и обозначим R(Z) набор элементов знания, используемых в решении. Графовой моделью задачи Z с решением R (короче ГМЗР(Д, R) или ГМЗР(Д)) называется ориентированный граф GZ, вершины которого принадлежат множеству ММЗ(Д) и R(Z), а дуги соединяют элементы, между которыми имеются логические связи.
Граф NGZ, полученный из графа GZ = ГМЗР(Д R) заменой всех дуг ребрами, называется неориентированной графовой моделью задачи Д с решением R и обозначается НГМЗР(Д, R) или НГМЗР(Д).
Рассматривая совместно две модели графовую модель теоретического материала МТМ(Р) и графовую модель задачи ГМЗР(Д, R), можно выделить несколько случаев их взаимного пересечения. Если граф ГМЗР(Д, R) вкладывается в граф МТМ(Р), то решение R задачи Д согласовано с учебным пособием Р. Ниже мы будем рассматривать только задачи с решениями согласованными с фиксированным учебным пособием Р.
Введенные в рассмотрение модели позволяют формализовать ряд известных методических понятий и ввести в рассмотрение новые.
Число вершин в графе GZ = ГМЗР(Д, R) называется объемом задачи Д с решением R.
Расстоянием между элементами знания А и В в задаче Д называется число ребер в графе ГМЗР(Д, R), входящих в кратчайший маршрут из А в В (в отличие от пути в маршруте пренебрегают ориентацией дуг).
Максимальное из расстояний между произвольными элементами знания в графе ГМЗР(Д) называется диаметром задачи Д. Диаметр задачи характеризует выбранный метод решения. При фиксированном учебном пособии диаметр задачи, связывающей элементы знания А и В, не может быть меньше расстояния между А и В.
Модель задачника. Наряду с отдельными задачами имеет смысл рассматривать системы задач SZ по определенной теме и строить модели таких систем. Графовой моделью системы задач SZ называется ориентированный мультиграф MG, множество вершин которого состоит из вершин графов ГМЗР(Д), Д е SZ, а дуга из вершины А в В вершину входит в MG с кратностью к, где к - число задач Д е SZ, модель ГМЗР(Д) которых включает дугу АВ. Графовая модель системы задач SZ обозначается ГМСЗР^Г).
Мультиграф NMG, полученный из графа MG = ГМСЗР^Д) заменой всех дуг ребрами, называется неориентированной графовой моделью системы задач SZ и обозначается НМСЗР^Д).
Количество вершин мультиграфа ГМСЗР^Д) называется объемом
системы задач SZ.
Расстоянием между элементами знания Л и B в системе задач SZ называется число ребер мультиграфа ГМСЗР^^ в кратчайшем маршруте из Л в В.
Диаметр мультиграфа ГМСЗР^БЯ) называется диаметром системы задач SZ.
Будем говорить, что система задач связывает элементы знания, ассоциированные с ней, если существует маршрут в графе SZ, соединяющий эти элементы знания. Наименьшую из длин маршрутов, соединяющих два элемента знания, будем называть длиной связи. Если два элемента знания, ассоциированные с системой задач, не связываются этой системой, то будем считать длину связи между ними равной ю.
Рассмотрим некоторые инварианты теории графов и дадим им содержательную интерпретацию в рамках графовой модели исследуемой предметной области.
Подобная интерпретация позволяет предложить пути решения определенных проблем, уже поставленных в методике преподавания математики, например, проблемы отыскания системы ключевых задач, проблемы анализа содержания систем задач по данной теме. В то же время анализ инвариантов и их последующая интерпретация позволяют выявить задачи, ранее в методике преподавания математики в явном виде не сформулированные.
Таким образом, синтез и анализ инвариантов позволяет использовать графовые модели не только в роли средства решения существующих проблем в области методики преподавания математики, но и делает их эффективным инструментом постановки новых проблем в этой области. К числу таких новых проблем относится, например, задача анализа систем задач действующих задачников и учебных пособий.
Инварианты с их интерпретацией приведены в таблице 1.
Табл. 1. Интерпретация инвариантов теории графов
Инвариант Семантика Интерпретация
Полустепень исхода вершины графа Число дуг, которые имеют вершину X своей начальной вершиной. Это число названо параметром базовости вершины, так как оно равняется числу элементов знания, по отношению к которым вершина X является базовой.
Полустепень захода вершины графа Число дуг, которые имеют X своей конечной вершиной. Это число названо параметром выводимости вершины, так как оно равняется числу элементов знания, по отношению к которым вершина X является выводимой.
Вектор полустепеней исхода Кортеж, состоящий из полустепеней исхода вершин графа Г, выписанных в порядке неубывания. Численно описывает распределение элементов знания (вершин графа) по параметру базовости и позволяет выделять вершины с наибольшими и наименьшими значениями
параметра.
Вектор полустепеней захода Кортеж, состоящий из полустепеней захода вершин графа Г, выписанных в порядке неубывания. Численно описывает распределение элементов знания (вершин графа) по параметру выводимости и позволяет ранжировать элементы знания по этому параметру. Вектор полустепеней захода для графовой модели системы задач характеризует распределение задач в задачнике применительно к теоретическому материалу.
Число слабых компонент графа Две вершины Хт и Хп называются слабо достижимыми, если в G существует маршрут из вершины Хт в вершину Хп (в отличие от пути ориентацией ребер в маршруте пренебрегают). Отношение слабой достижимости на множестве X вершин графа G разбивает все множество вершин на классы эквивалентности слабо достижимых вершин. Подграф, порожденный вершинами из такого класса эквивалентности, называется слабой компонентой графа G. Любой граф G однозначно разбивается на слабые компоненты, их количество обозначается через К(С). Применительно к графовой модели системы задач SZ число слабых компонент мультиграфа характеризует качество системы задач применительно к данному теоретическому материалу. Если К^Д) > 1, то система задач не обеспечивает отработку материала темы в целом (в лучшем случае это система задач обеспечивает отработку теоретического материала только в рамках каждой из слабых компонент). В таком случае система задач нуждается в дополнении новыми заданиями.
Число независимости Независимым множеством вершин графа G = (X, А) (или внутренне устойчивым множеством) называется подмножество Y 1 X такое, что любые две вершины в нем не соединены дугой. Независимое множество называется максимальным, если не существует другого независимого множества, в которое оно бы входило. Число элементов в наибольшем по мощности независимом множестве графа Г называется числом независимости а^) графа G или неплотностью графа, а Применительно к графовой модели системы задач SZ число независимости п указывает на наличие множества M из п элементов знаний такого, что ни одна пара элементов знаний из M не связывается ни одной задачей из задачника SZ. Чем больше число независимости, тем хуже система задач обеспечивает отработку связей между отдельными элементами знания. В связи с этим возникает необходимость дополнения системы задачами, связывающими элементы знания, ранее не обеспеченные такими задачами. Эти элементы знания ассоциируются с вершинами, содержащимися во всевозможных
максимальное множество, на максимальных независимых
котором этот максимум множествах.
достигается, называется
наибольшим независимым
множеством.
Помимо перечисленных инвариантов используются и такие как: число ^взаимозависимости, вектор разделения, центр и радиус, число полукомпонент диаметра р, вектор надежности, прочность связи, слабая перемычка, прочность слабой перемычки.
Применение рассмотренных методов проиллюстрируем на примере задачи построения индивидуальной траектории обучения.
Определим понятие траектории обучения. Пусть заданы три модели:
• модель теоретического материала G = МТМ(Р);
• модель знаний ученика GU = МЗУ(и);
• модель цели обучения GC
и набор задач NZ. Требуется в соответствии с целями обучения определить:
а) последовательность изучения элементов знания из учебного пособия G;
б) выделить систему задач SZ из набора задач NZ необходимую для достижения целей обучения;
в) указать последовательность решения задач из системы SZ с привязкой к учебному пособию Р.
Последовательность, состоящая из элементов знания и задач, освоение которых приводит к цели обучения, называется траекторией обучения. Нами был разработан [5] алгоритм вычисления траектории обучения конкретного ученика и, опираясь на модель теоретического материала G = МТМ(Р), модель знаний ученика GU = МЗУ(Ц), модель цели обучения GC и набор задач NZ. Решение задачи сводится к построению на двух основе известных подграфов нового подграфа. Построение сводится к вычислению рассмотренных ранее инвариантов.
Очевидно, что для больших графов, в которых множество вершин и связывающих их ребер достаточно велико, вычисление инвариантов достаточно сложный процесс. Поэтому необходимы средства, позволяющие эффективно производить такие вычисления. Системы компьютерной математики, включающие достаточно средств для работы с графами, в полной мере могут быть использованы для решения задач компьютерной поддержки управления процессом обучения.
Среди недетерминированных математических дисциплин важное место занимают дисциплины, основанные как на теории вероятностей, математической статистике и стохастическом анализе, так и теории нечетких и хаотических явлений [1, 6-9]. Одним из перспективных средств информационных технологий обучения могут служить гибридные
адаптивные интеллектуальные системы [9].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-07-00021) и программы ОНИТ РАН "Интеллектуальные информационные технологии, системный анализ и автоматизация" (проект 1.7).
Литература
1. Поспелов Г.С. Искусственный интеллект - основа новой информационной технологии. М.: Наука, 1988.
2. Столяр А.А. Педагогика математики: курс лекций. Минск: Вышейшая школа,
1974.
3. Зильберберг Н.И. Методические указания по проведению анализа материала учебника математики. Псков: ПОИУУ, 1990.
4. Бояринов Д. А., Емельченков Е. П. О формализации некоторых теоретических понятий методики преподавания математики. Информатизация общества и проблемы образования: Материалы научно-практической конференции (25-27 марта 2002 г.). Москва-Смоленск. Изд. ИПИРАН, СГПУ, 2002. 134 с. С. 100 - 123.
5. Емельченков Е. П. АСПРУ. Построение индивидуальной траектории обучения. II-я международная научно-методическая конференция «Дистанционное обучение -образовательная среда XXI века». Минск. БГУИР, 2002.
6. Синицын И.Н. Из опыта преподавания статистических основ информатики в технических университетах // Системы и средства информатики. Вып. 8. М.: Наука, 1996. - С. 68-73.
7. Синицын И.Н. О статистических аспектах семантической модели при-роды // НТИ. Сер. 2. Информационные процессы и системы. № 4. 1999. С. 19-21.
8. Синицын И.Н. Канонические представления случайных функций и их применение в задачах компьютерной поддержки научных исследований. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2009.
9. Клачек П.М., Корягин С.И., Колесников А.В., Минкова Е.С. Гибридные адаптивные интеллектуальные системы. Часть 1: Теория и технология разработки: монография. Калининград. Изд. БФУ им. И.Канта, 2011.
