Оптимизация управляющих воздействий в ориентированных взвешенных графах при наличии ограничений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2017. № 3

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 3

УДК 004.891.2 DOI: 10.17213/0321-2653-2017-3-89-96

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ В ОРИЕНТИРОВАННЫХ ВЗВЕШЕННЫХ ГРАФАХ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ*

© 2017г. А.Н. Целых1, В.С. Васильев1, Л.А. Целых2

1Южный федеральный университет, г. Таганрог, Россия, 2Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) (РИНХ), г. Таганрог, Россия

OPTIMIZATION OF CONTROL IMPACTS IN THE DIRECTED WEIGHTED GRAPHS WITH RESTRICTIONS

A.N. Tselykh1, V.S. Vasilev1, L.A. Tselykh2

1Southern Federal University, Taganrog, Russia, 2Chekhov Taganrog Institute (branch) (RSUE), Taganrog, Russia

Целых Александр Николаевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Информационно-аналитические системы безопасности», Южный федеральный университет, г. Таганрог, Россия. E-mail: ant@sfedu.ru.

Васильев Владислав Сергеевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Информационно-аналитические системы безопасности», Южный федеральный университет, г. Таганрог, Россия. E-mail: vsvasilev@sfedu.ru.

Целых Лариса Анатольевна - канд. экон. наук, доцент, кафедра «Экономика и предпринимательство», Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) Ростовского государственного экономического университета (РИНХ), г. Таганрог, Россия. E-mail: l.tselykh58@gmail.com.

Tselykh Alexander Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Information-analytical systems of safety », Southern Federal University, Taganrog, Russia. E-mail: ant@sfedu.ru.

Vasilev Vladislav Sergeevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Information-analytical systems of safety », Southern Federal University, Taganrog, Russia. Email: vsvasilev@sfedu.ru.

Tselykh Larisa Anatolievna - Candidate of Economics Sciences, assistant professor, department «Economics and business», Chekhov Taganrog Institute (branch) of Rostov State University of Economics, Taganrog, Russia. E-mail: l.tselykh58@gmail.com.

Выявление наиболее влиятельных факторов, как точек приложения управляющих воздействий в моделях управления, является актуальной задачей. Предлагается новый метод максимизации отклика системы для модели «максимального рывка», где ставится задача удержания высоких приращений показателей вершин на первых нескольких шагах. Проблема отображена на задачи квадратичного программирования с нелинейными ограничениями, в результате решения которых получаются пары векторов управляющих воздействий и откликов с максимальным отношением норм. Экспериментальные результаты показывают, что алгоритм соответствует заданной эффективности для достижения максимального отклика системы.

Ключевые слова: ориентированные знаковые взвешенные графы; влиятельные узлы; распространение влияния.

Identifying the most influential factors as impact points over the control model is a topical issue. We propose a new method of maximizing the response of the system over the barrier- breakthrough model, where the task is to keep the high increments of the vertex indices at the first few steps. The problem is mapped by a quadratic programming task with non-linear restrictions, the solutions of which result in pairs of control and response vectors with respect to the maximum ratio of norms. The experimental results show that the algorithm demonstrates the specified efficiency in achieving the maximum response of the system.

Keywords: directed signed weighted graphs; influential nodes; spread of influence.

Работа выполнена при поддержке гранта Российского Фонда фундаментальных исследований № 17-01-00076

89

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

Введение

Управленческие решения в сложных системах реализуются через приложение управляющих воздействий с расчетом на достижение максимальных результатов. Выбор наиболее эффективных точек приложения управляющих воздействий является сложной и актуальной задачей.

Социально-экономические системы являются слабо формализованными системами. Представление сложных систем в виде графовых моделей помогает формализовать отношения между акторами в системе, но из-за высокого уровня сложности связей между ними, а также самих акторов, простые методы определения главных факторов системы в задачах поддержки принятия решений недоступны.

Много исследований посвящено выявлению влиятельных узлов в социальных сетях с использованием разных моделей распространения информации (диффузионные, энтропии и др.). Распространение информации не имеет целью побуждение к действию определенного конкретного лица, а направлено на неопределенно широкий круг лиц. Кроме этого, взаимоотношения в социальных сетях носят практически равноправный характер. Поэтому традиционные методы определения влиятельных узлов в сетях основаны, в основном, на различных топологических характеристиках сетей, выражающихся через различные метрики (центральности и др.).

В социально-экономических системах, напротив, влияние носит вынуждающий характер для конкретного актора системы. Ставится проблема выбора объекта управляющего воздействия для обеспечения эффективности работы системы. В данной статье представляется решение с ограничением на неотрицательность получаемого результирующего фактора - отклика системы для модели роста. Задача ставится как оптимизационная задача максимизации отношения норм (или отношения квадратов норм) вектора накопленного роста приращений показателей вершин и вектора внешних воздействий. При этом на рассматриваемой модели необходимо удержать высокие приращения показателей на следующем шаге или нескольких последующих шагах.

Связанные работы

Задачи выявления наиболее влиятельных узлов рассматриваются во многих исследованиях. Можно определить два основных направления решения таких задач: на основе моделей

TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 3

распространения информации и моделей теории управления. Мы рассматриваем эти два направления исследования с точки зрения возможности использования таких методов для моделей управления в социально-экономических системах.

В качестве представителей первого направления рассмотрим работы [1-5]. В основополагающей работе Kempe et. al. [5] впервые была поставлена задача максимизации влияния как задача комбинаторной оптимизации и предложено ее решение с использование стандартного жадного алгоритма. В последующих работах рассматривалось решение такой задачи разными, в т.ч. эвристическими алгоритмами, с различными модификациями моделей, предложенных в [5], и с использованием разных стратегий [3, 4]. В основе моделей, рассматриваемых в [1-5], лежат процессы распространения диффузного типа. В таких процессах невозможно нарастание обострения (пика) решения, а наоборот, происходит сглаживание области высоких градиентов. Во всех моделях определяется стационарное решение, которое в случае моделей в [1, 2] требует выполнение устойчивости. В случае использования стохастических матриц условия устойчивости выполняются, однако стохастич-ность является ограничивающим свойством таких подходов. В противоположность этому подходу в моделях эффективности определяются немногие вершины с максимальным увеличением показателя состояния вместо максимального охвата вершин. В статьях [1, 2] модель может быть классифицирована как модель управления, где целевая функция явно зависит и от вектора управления, и от вектора состояния; в задаче используется ограничение в форме неравенств; задача решается на конечном горизонте, хотя число шагов может оказаться большим. Кроме этого, в исследовании [1] минимизируется сумма квадратов норм векторов воздействия и откликов, что приводит к решениям, близким к равномерному распределению отклика по вершинам. Это является противоположным задаче нахождения немногих, наиболее эффективных по откликам вершин.

Работы [6-9] рассматриваются для анализа второго направления. Подход использует эволюционное уравнение для стационарного решения при выполнении условий устойчивости, определяются его собственные функции. Рассматриваемая модель предназначена для выявления минимального количества узлов драйверов для достижения полного контроля динамики системы.

ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2017. № 3

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 3

В то же время такая модель допускает постановку минимизации нормы управляющего воздействия при заданной норме выходного отклика. При этом требуется, чтобы для матрицы смежности выполнялись условия устойчивости, а сеть должна удовлетворять критерию ранга Калмана по управляемости. Требование выполнения условий устойчивости для данной модели является принципиально важным, что делает невозможным ее применение для моделей максимального рывка или моделей эффективности.

В нашем исследовании показан новый подход к управлению в сложной системе предметной области, основанный на модели роста с ограничениями результирующих приращений. Математически определенная здесь проблема может быть отображена на задачи квадратичного программирования с нелинейными ограничениями, в результате решения которых получаются пары векторов управляющих воздействий и откликов с максимальным отношением норм.

Методы

Учитывая изложенное выше, наиболее адекватным подходом к построению моделей, учитывающим специфику среды социально-экономических систем, на наш взгляд, являются когнитивные карты. Социально-экономическая система представляется ориентированным знаковым взвешенным графом с причинно-следственными связями, имеющим циклы. Вершинам соответствуют факторы системы, которые имеют показатели. На показатели вершин возможно внешнее и внутреннее воздействия. Допускается, что внешнее воздействие на показатель вершины не изменяет самого показателя вершины, а только вызывает изменение показателей связанных вершин. Передача внутренних воздействий определяется весами дуг, которые могут быть положительными и отрицательными.

Ставится задача отыскания вектора (векторов) внешних воздействий, максимизирующего накопленный рост показателей вершин. В такой постановке задача связана с задачей определения резонансных свойств системы, описываемой матрицей смежности ориентированного знакового графа, а именно, с нахождением собственных чисел и собственных векторов матрицы смежности.

Предлагаемый подход состоит в следующем. Поскольку необходимо оценивать максимизацию векторной величины (накопленный рост показателей вершин), то это означает

использование некоторой векторной нормы. Поэтому задача изначально ставится как максимизация отношения норм (или отношения квадратов норм) вектора накопленного роста показателей вершин и вектора внешних воздействий. Такая скалярная постановка приведёт к симметризации матрицы основной квадратичной формы задачи. Симметрия матрицы обеспечит вещественность её собственных чисел и компонент её собственных векторов. Более того, собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, будут ортогональны.

Постановка задачи допускает обобщение условной оптимизации, то есть требуется определить решение, удовлетворяющее некоторым ограничениям. Но поскольку направления, различающиеся только множителем, представляют собой одно и то же направление, то ограничения должны выражать не условия для компонент искомых векторов, а принадлежность искомого вектора к некоторому (линейному) многообразию, порождаемому некоторым набором заданных векторов. Предполагается исследовать вопрос возможности построения алгоритма решения задачи условной оптимизации по эффективности соответствующего ускорению процесса ортогонализации Грама-Шмидта [10] в сравнении с решением задачи квадратичного программирования с нелинейным ограничением. Поскольку практический интерес часто представляют не все, а только несколько направлений, соответствующих нескольким первым собственным числам с наибольшими значениями, то достигается приемлемая точность решения задачи.

Рассматривается граф О = (У, Е) социально-экономической системы, где У={У\,У2,...,У„} - множество вершин; Е с УхУ- множество дуг. Граф задан матрицей смежности Ат=\\а]],\\пхп, где а, - вес дуги, соединяющей вершину У] с У, -1< а, < 1. Социально-экономическая система в моменты времени 10, ¿1,..., характеризуется приращением показателей х(0), х(1),..., х®,... и допускает управляющие воздействия и(0), и(1),..., и®.... В общем случае:

х(,)+р1ВАБ"1х(^'"1)+р2БА2 Б"1х(,'"2)+. + +Р;БА; Б_1х(0) = Би(2),

где Б есть матрица отображения, р0, рь...,р;-есть постоянные коэффициенты ослабления. Далее рассматривается модель конечных порядков р и q последействия (по аналогии с

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 3

моделями Box-Jenkins [11, 12]):

j)+ 0, dad" у j-1 )■

2П"^(j"2) ■

,da2d" x

+ ф2А2и('/"2)+... + ф \q^J~q)\

где 0О, 01, 0^ и ф0, фь...,ф9 есть коэффициенты компонент приращений показателей x и управляющих воздействий u соответственно. Решение ищется в виде стационарных векторов воздейст-

x, т. е.

вий u()= u и показателей x()

d(e + 0J а + 02а2 +... + QpAp ) d_1x = = d^0e + cpjA + ф2а2 +... + ф?а9 ju.

(1)

(x, x)/(u, u) ^ max .

(2)

(с ^ с1 '( v1, u У

с2 = (v2,u)

V Cm V(v™>ul

Оптимальным управляющим воздействием признаётся управление ^ доставляющее максимум отношению квадрата нормы вектора показателей x к квадрату нормы вектора управления ^

В случае обратимости матриц левой части (1) задача безусловной оптимизации (2) эквивалентна следующей спектральной задаче:

(Бы, u)/ (u, u) ^ max,

где B = CTC,

С = d (e + 0ja + 02A2 +... + QpAp x х(ф0Е + ф1А + ф2А2+... + ф9А?).

Формат матрицы B означает ее симметричность и знакоопределенность. Ранее [13] рассматривалась система с запаздыванием, для которой D=E, p=2, 01=0, 02= -5, q=1, ф0=0, ф1=1, C= (E - 5A2)-1A.

На управляющие воздействия могут быть наложены ограничения, т. е. может решаться задача условной оптимизации. Пусть v1, v2,...,vm - линейно независимые векторы, а множество линейных комбинаций v = ^1v1 + ^2v2 +... + E,mvm -порождаемое ими линейное многообразие, где ^1>0, ^2>0,...,^m>0 - неотрицательные числа. Чтобы вектор u принадлежал линейному многообразию, коэффициенты разложения его по векторам v1, v2,...,vm должны быть неотрицательны: u = Civ1+ C2v2+...+ Cmvm, Ci > 0, C2 > 0,.,Cm > 0. Сами коэффициенты разложения могут быть найдены из решения СЛАУ:

^(v^vj) (vl5v2) •••(v1,vm) ^ (V2>Vl) (V2>V2) •••(V2

Матрица СЛАУ невырождена как матрица Грама в силу линейной независимости векторов vi, v2,...,vm.

Пусть V - матрица, столбцами которой являются векторы v1, v2,...,vm. Тогда СЛАУ может быть представлена в виде V Vc = V u, где c = (c1, c2,...,cm)T - вектор коэффициентов. Таким образом, условие неотрицательности коэффициентов разложения сводится к системе ограничений в форме неравенств c = (VTV)-1VTu>0. Поскольку определяется оптимальное направление, то задача нелинейного неквадратичного программирования (Bu,u)/(u,u)^max, (VTV)-1VTu>0 где B - симметричная неотрицательно определённая матрица, может быть сведена к эквивалентной задаче квадратичного программирования с нелинейными ограничениями:

(Bu,umin, (u,u) = 1, (VTVVTu > 0.

Функция Лагранжа для этой задачи будет иметь вид

L = - (Bu, u) +1 ((u, u) -1) - VT V)_1 VTu, ^ j ^ min,

где X и ц=(ц1,ц2,. ,^m)T - множители Лагранжа.

С учетом [14] необходимыми условиями минимума является система нелинейных уравнений:

— ■

Vu L = -( B + Бг ) u + 2Xu " V ( \т V ) 1 ц = 0;

V L = (u, u )-1 = 0;

-1

Vru = 0

Линеаризованная система уравнений после упрощения принимает следующий вид:

2?,ü-(B + Br)ü + 2iu-v(vrv)~ fi = 2Ы; 2(ü,u) = (u,u) + l;

(vrv)_1vrü = o.

Если оптимальные направления u1, u2,...,uk определяются последовательно так, что каждое последующее uг■ ортогонально всем предыдущим щ, u2,...,uг■_1, то задача квадратичного програм-

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 3

мирования будет иметь вид - (Bu!-,u!)^min, 3: u х _ £j y ;

и[_1иг = 0, (и,-, и,- ) = 1, (V7VVтuг > 0,

где ^^ - матрица, столбцами которой являются ортонормированные векторы u2,..., ^г^.

Функция Лагранжа для этой задачи будет иметь вид

L, = -(Виг, иг) + (Uf_1ui, k,- ) + i ((u,, u,) -l) -(VT V )-1 VT u,, ^

где =(^1, ^г-1)Т ; ^ и Ц - множители

Лагранжа.

Необходимыми условиями минимума является система нелинейных уравнений:

УиЦ =-(в + Вт)и, + и,-!!,-! + 2Хгиг -V(УТУ)_' ^ = 0;

V, Ц = ит-1и, = 0;

Ух,1г=(иг,иг)-1 = 0;

Линеаризованная система уравнений после упрощения принимает вид

2Хгйг-(в + вг)йг +иг_11г_1 +2£гиг -у(гу)"1 А,- =2Хгиг; ит-1и, = 0;

2 (и,,и, ) = (и, >и, )+1;

(vrv)_1vrü.

= 0.

Выкладки для определения преобладающих управлений реализуют приведенные ниже алгоритмы.

Алгоритм 1: Алгоритм определения единственного преобладающего управления

Require: B, V;

Ensure: u, Я, ц - начальные приближения repeat

1: Решить СЛАУ:

\-1

4: Решить СЛАУ:

v(vTv)_1 Д = (2ХЕ - (в + Вт ))й + 2р -

until ||й _ и|| < е ;

Output: и - оптимальное управление;

М-

Алгоритм 2: Алгоритм определения множественных преобладающих управлений

Require: B, V;

for i: = 2 to k

Ensure: Расширение (пополнение) Матрицы Ui-1 за счет столбца ui-1; начальные приближение ub А,-_ь Xi, цг-;

repeat

1: Решить СЛАУ:

y = 2 (2E _(b + BT ))-1 и; (2E -(В + BT ))-1 UM ;

Z

2: Решить СЛАУ:

х- £ гЛ

V J

T

V u J

( Z y )

-1

' 0 ^ (и,и ) +1

3: u = (^ -ii)y + Zki;

, - Zi -

y = 2(2iE-(B + BT)) и ; (и, и )+1

2: i = i--

2(и, y )

4: Решить СЛАУ: V^V)'1^. =(2ХЕ-(В + Вт))й

_2 (Ъ _ Xi) u; until |U; _ u J < е; end for

расширение матрицы Uk за счет столбца uk Output: \}к

Численный эксперимент

Численный эксперимент нахождения результативных компонент эффективных управлений с установлением ограничений неотрицательности приращений значений показателей факторов рассмотрен на примере когнитивных моделей, представленных в виде ориентированного

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

знакового взвешенного графа с причинно-следственными связями, имеющего циклы. Графы представлены матрицами смежности с соответствующими характеристиками (табл. 1). Численный эксперимент проведен для модели (2), для которой связь между воздействиями и откликами дается уравнением (1) со следующими параметрами: D=E, р =1, 01= -5, д= 0, фо= 1, C=(E-5A2)"1. Решение обеспечивается алгоритмом 1 с ограничениями для x > 0.

Результат алгоритмической обработки по-

TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 3

казал, что функционирование системы определяется одним-двумя ведущими направлениями развития, очень сильно преобладающими над остальными. Для более эффективного управления имеется возможность отобрать факторы, находящиеся в заметном отрыве от остальных, обеспечивающие более 50 % максимального роста (табл. 1).

Полученный результат выражает возможность отбора эффективного управления для рассматриваемой модели (рис. 1).

Таблица 1 / Table 1

Отобранные факторы модели с соответствующими значениями индексов / Selected factors of the model with

corresponding index values

Показатели результатов расчетов по влиянию (откликам) Показатели результатов расчетов по воздействию

N vertices r2 i, J Cumulative r2 i, j N vertices v.2. i, j Cumulative v2. i,j

Matrix a): размерность 75х75 с 406 дугами общим весом 216,5

47 0,216827 0,216827 37 0,145136 0,145136

51 0,201887 0,418714 6 0,123891 0,269027

52 0,171254 0,589968 34 0,108118 0,377145

25 0,129799 0,719767 55 0,10773 0,484875

Matrix b): размерность 72х72 с 586 дугами общим весом 290,6

62 0,292181 0,292181 49 0,098086 0,098086

50 0,286346 0,578527 10 0,079896 0,177982

68 0,172491 0,751018 44 0,071564 0,249546

54 0,141029 0,892047 4 0,052477 0,302023

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Влияния

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

Кумулятивный индекс

47 31 59 50 19 34 48 68

47 31 59 50 19 34 48 68

1 11 21 31 41 51 61 71

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111ГТ

37 52 13 29 11 35 69 10

0,2 0,15 0,1 0,05 0

и и i и i и и i и и i и мШ

37 52 13 29 11 35 69 10 b

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

Кумулятивный индекс

!■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ llllllllll

37 52 13 29 11 35 69 10

Рис. 1. Значение показателей эффективности управления для моделей a) и b) табл. 1 / Fig. 1. Value management

indicators for the models a) and b) of the table 1

а

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

Обсуждение и оценка результатов

Для оценки нашего подхода возможно применить следующие критерии:

1. Применимость для предметной области. Проведенные исследования показали применимость данного подхода для анализа ориентированных взвешенных графов с причинно-следственными связями, представляющих когнитивные модели в социальных и экономических системах. Метод не накладывает ограничений на знаки и диапазон значений весов ребер, а также ориентированность ребер. Используемые при решениях СЛАУ матрицы будут в любых случаях положительными полуопределенными и симметричными.

2. Реализуемость. Матрицы задачи составляют матрицы вторых производных квадратичных форм, т.е. являются симметричными и зна-коопределенными по построению. На простых ограничениях u > 0 наблюдалась Ньютоновская сходимость, т.е. число итераций оставалось в пределах 5 ^ 7 . Поскольку СЛАУ разрешается прямыми методами, то алгоритм показал работоспособность на размерностях матриц до п < 100. Модели, матрицы которых содержат единичные петли, могут приводить к вырожденности матриц СЛАУ. Даже в случае вырожденности матрицы в моделях с единичными петлями у вершин графа соответствующие СЛАУ могут быть решены за счет регуляризации задачи по Тихонову [15].

3. Формат результатов. В результате применения алгоритма осуществляется отбор результативных компонент и соответствующих эффективных значимых воздействий, представляющих ключевые вершины, отображающие заданный эквивалент системы в целом. Количество полученных вершин сведено к разумному количеству вершин и связей, которое позволяет достичь приемлемого уровня информативности полученной графовой модели для ЛПР (эксперта).

4. Сложность и комплексность полученного решения. Вычислительная сложность алгоритма составляет 0(п3) арифметических операций. Значение отношений норм (вектора) изменений вг / в для моделей, в которых собственные числа матриц имеют очень большие значения «(103^106). Время решения алгоритма полиномиально и составляет доли секунды.

5. Качество. Используемый метод множителей [16] характеризуется тем, что на каждой итерации задача решается в исходных неизвест-

TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 3

ных, что обеспечивает точность решения поставленной задачи на исходных уравнениях. А от двойственных переменных требуется не точность, а только индикация активности или неактивности ограничений. Взаимный обмен информацией между исходной и двойственной задачами (по крайней мере, в случае простых ограничений) делает процесс выхода в область безусловной оптимизации быстрым.

Выводы

В настоящей работе рассмотрена проблема максимизации положительного отклика главных факторов системы. Задача состоит в том, чтобы найти небольшой (разумный) набор факторов, инициирующих воздействия, чтобы максимизировать отклик главных факторов системы. Процедуры вычислений алгоритма сводятся к решению задачи квадратичного программирования с нелинейными ограничениями. Отбор наиболее эффективных вершин производится на основе кумулятивного накопления компонент проекции на вектор решения.

Экспериментальные результаты показывают, что алгоритм соответствует заданной эффективности по минимальному набору вершин, необходимых для достижения максимального отклика системы. Показано, что алгоритм обеспечивает получение решения в случае моделей с сильным преобладанием выделенного ведущего фактора, что выражается в большом отрыве максимального собственного числа от остальных. Показано, что время решения этой задачи полиномиально. Выбор узлов, как точек приложения управляющих воздействий, с использованием нашего алгоритма обеспечивает отличную производительность и значительно повышает возможности целевого управления ЛПР для социально-экономических моделей реального мира. Таким образом, показанные в исследовании результаты имеют большие перспективы в применении. Одним из возможных направлений исследований является разработка эффективных алгоритмов для исследуемой проблемы, которые бы не только масштабировались для крупных сетей, но также имели бы гарантию решения. Более того, изучение проблемы в рамках других более реалистичных ограничений модели - это отдельная сложная работа в перспективе.

Литература

1 Yang W., Wang X., Shi H. Optimal Control Nodes Selection for Consensus in Multi-agent Systems // Proceedings of the 19th

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 3

World Congress The International Federation of Automatic Control, Cape Town, South Africa, 2014. Pp. 11697 - 11702.

2. Zhoua M.-Y., Heb X., Fub Z.-Q., Liaoa H., Caic S.-M., Zhuo Z. Diffusion inspires selection of pinning nodes in pinning control // Physica A. 2016. Vol. 446. Pp. 120 - 128.

3. Wu P., Pan L. Scalable influence blocking maximization in social networks under competitive independent cascade models // Computer Networks. 2017. Vol. 123. Pp. 38 - 50.

4. Budak C., Agrawa, D., Abbadi A. Limiting the Spread of Misinformation in Social Networks // Proceedings of the 20th International Conference on World Wide Web, WWW 2011 , Hyderabad; India, 2011. Pp. 665 - 674.

5. Kempe D., Kleinberg J., Tardos E. Maximizing the spread of influence through a social network // 9th International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, KDD '03, Washington, 2003. Pp. 105 - 147.

6. Ding J., Lu Y.-Z., Chu J. Studies on controllability of directed networks with extremal optimization // Physica A. 2013. Vol. 392. Pp. 6603 - 6615.

7. Ding J., Tan P., Lu Y.-Z. Optimizing the controllability index of directed networks with the fixed number of control nodes // Neurocomputing. 2016. Vol. 171. Pp. 1524 - 1532.

8. Liu Y.-Y., Slotine J.-J., Barabasi A. Controllability of complex networks // Nature. 2011. Vol. 473. Pp. 167 - 173.

9. Ning C. On quantitatively measuring controllability of complex networks // Physica A. 2017. Vol. 474. Pp. 282 - 292.

10. Horn R., Johnson C. Matrix analysis. Second Edition. New York: Cambridge University Press, 2013.

11. Box G.E.P., Jenkins G. M. Time Series Analysis: Forecasting and Control. 3rd ed. ed. NJ: Prentice Hall, Englewood Clifs, 1994.

12. Chatfield C. The Analysis of Time Series, 5th ed. ed., New York, NY: Chapman & Hall, 1996.

13. Tselykh A., Vasilev V., Tselykh L, Barkovskii S. Method maximizing the spread of influence in directed signed weighted graphs // Advances in Electrical and Electronic Engineering, 2017.

14. Bertsekas D.P. Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods, Belmont, MA: Athena Scientifi, 1996.

15. TikhonovA.N., Arsenin V.Y. Solutions of Ill-Posed Problems. New York: Wiley, 1977.

16. Lancaster P., Tismenetsky M. The Theory of Matrices. Second edition. Orlando: Academic Press, 1985.

References

1. Yang W., Wang X, Shi H. Optimal Control Nodes Selection for Consensus in Multi-agent Systems // Proceedings of the 19th World Congress The International Federation of Automatic Control, Cape Town, South Africa, 2014. Pp. 11697-11702.

2. Zhoua M.-Y., Heb X., Fub Z.-Q., Liaoa H., Caic S.-M., Zhuo Z. Diffusion inspires selection of pinning nodes in pinning control // Physica A. 2016. Vol. 446. Pp. 120-128.

3. Wu P., Pan L. Scalable influence blocking maximization in social networks under competitive independent cascade models // Computer Networks. 2017. Vol. 123. Pp. 38-50.

4. Budak C., Agrawal D., Abbadi A. Limiting the Spread of Misinformation in Social Networks // Proceedings of the 20th International Conference on World Wide Web, WWW 2011 , Hyderabad; India, 2011. Pp. 665-674.

5. Kempe D., Kleinberg J., Tardos E. Maximizing the spread of influence through a social network // 9th International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, KDD '03, Washington, 2003. Pp. 105-147.

6. Ding J., Lu Y.-Z., Chu J. Studies on controllability of directed networks with extremal optimization // Physica A. 2013. Vol. 392. Pp. 6603-6615.

7. Ding J., Tan P., Lu Y.-Z. Optimizing the controllability index of directed networks with the fixed number of control nodes // Neurocomputing. 2016. Vol. 171. Pp. 1524-1532.

8. Liu Y.-Y., Slotine J.-J., Barabasi A. Controllability of complex networks // Nature. 2011. Vol. 473. Pp. 167-173.

9. Ning C. On quantitatively measuring controllability of complex networks // Physica A. 2017. Vol. 474. Pp. 282-292.

10. Horn R., Johnson C. Matrix analysis. Second Edition. New York: Cambridge University Press, 2013.

11. Box G.E.P., Jenkins G.M. Time Series Analysis: Forecasting and Control. 3rd ed. ed. NJ: Prentice Hall, Englewood Clifs, 1994.

12. Chatfield C. The Analysis of Time Series, 5th ed. ed., New York, NY: Chapman & Hall, 1996.

13. Tselykh A., Vasilev V. Tselykh L., Barkovskii S. Method maximizing the spread of influence in directed signed weighted graphs // Advances in Electrical and Electronic Engineering, 2017.

14. Bertsekas D.P. Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods, Belmont, MA: Athena Scientifi, 1996.

15. Tikhonov A.N., Arsenin V. Y. Solutions of Ill-Posed Problems. New York: Wiley, 1977.

16. Lancaster P., Tismenetsky M. The Theory of Matrices. Second edition. Orlando: Academic Press, 1985.

Поступила в редакцию /Received 29 июня 2017 г. / June 29, 2017