CC BY
25
ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ПОСТОЯННОГО ТОКА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ
А.М. АБДУЛ САДАХ, Н.К. АНДРЕЕВ
В работе рассматривается проблема оптимизации управления электроприводом постоянного тока параллельного возбуждения, цепь якоря которого питается от тиристорного преобразователя. Система уравнений, описывающих работу электропривода, содержит линейные и квадратичные по току якоря члены. В работе выполнена линеаризация уравнений по входу-выходу. Использована модель объекта управления в переменных состояния. В качестве критерия оптимизации использован квадратичный функционал. Для решения уравнения Риккати и нахождения оптимальных параметров регулятора написана программа на языке МАТЛАБ. Выполнены синтез и реализация оптимального регулятора. Результаты проиллюстрированы кривыми переходных процессов, полученными моделированием в среде МАТЛАБ.
В работе рассматривается проблема оптимизации управления электроприводом постоянного тока параллельного возбуждения, цепь якоря которого питается от тиристорного преобразователя.
Теоретически постановка задачи формулируется следующим образом. Динамическая система с конечным числом переменных состояния может быть описана системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
х = Ах + Ви у = Ох + Еи,
(1)
(2)
где А - матрица системы размера (п х п ); В - входная матрица размера (п х т); х - вектор переменных состояния размера (п х 1); и - вектор управления размера ( т х 1); О - вектор выходных переменных размера (/ х п ); Е - матрица размера (I х т); обычно игнорируемая; п - число переменных состояния; т -число входов; I - число выходов. Тогда структурно динамическая схема системы может быть представлена в виде
Рис. 1. Структурно динамическая схема системы
Целью системы управления является оптимизация регулирования. Другими словами, необходимо создать систему, оптимальную в заранее заданном смысле.
© А.М. Абдул Садах, Н.К. Андреев Проблемы энергетики, 2006, № 9-10
Регулирование с обратной связью может быть достигнуто двумя способами: выбором расположения полюсов или оптимальным регулированием. Первый способ в данной работе не рассматривается. Во втором способе динамические процессы в системе описываются векторно-матричным уравнением (1). Целью задачи является нахождение линейного закона регулирования
uq = — Kx(t),
(3)
где К - матрица обратной связи, минимизирующая функционал (целевую функцию) 3:
J =| (x Qx + и Ru)dt, 0
(4)
Здесь О - положительно определенная симметричная матрица веса, обычно выбираемая в диагональном виде; Р - положительно определенная симметричная матрица веса. Значение и о (^) оптимально, если матрица обратной связи
К = Р -1В - Т Р .
Здесь
Риккати
(5)
P является решением алгебраического матричного уравнения
A—T P + PA — PRP T + Q = 0.
(6)
Пакет МАТЛАБ используется в данной работе для решения алгебраической матрицы уравнения для Р и уравнения для К. Для весовой матрицы Р и О с целью получения оптимального процесса управления выбираются разного значения.
Рис. 2. Структурно-динамическая схема замкнутой системы управления
Математическая модель двигателя постоянного тока может быть описана следующими дифференциальными уравнениями, относящимися, соответственно, к равновесию напряжений в цепи якоря (7), равновесию моментов (8) и равновесию напряжений в цепи возбуждения (9) [26]:
dla
ua = Eb + la Ra + La a, (7)
dt
M = M i + в • ш + J
dm dt ’
йі
иІ =і/ •к/ + ¿/
/
йі
(9)
Здесь іа, иа - ток и напряжение якоря; Еь - электродвижущая сила; Яа и ^ -сопротивление и индуктивность обмотки якоря; Ме - вращающий момент; Мі -момент нагрузки; 1 - момент инерции. Для ДПТ параллельного возбуждения иа = и/, і = іа + і/ . Для однофазного полностью управляемого преобразователя со свободно переключающимся диодом среднее напряжение постоянного тока У„
Уа =-
П
(1 + со« а)
(10)
и является входным напряжением системы. Здесь Ут - амплитуда напряжения переменного тока, а а - угол отпирания тиристора. Следовательно, уравнения для токов двигателя постоянного тока с ПВ примут вид:
йш в С . . 1„
---=-----ш +—і/іа----------М
йі 1 1 1 а 1
1,
йі
а
йі
Ьп
Ь
С . Ут ,л
і / ш + —— (1 + со« а),
а
пЬ
а
йі
/
йі
К/ . Ут
і / + —— (1 + со« а).
Ь
/
пЬ
(11)
(12)
(13)
/
Таким образом, в этих уравнениях содержатся нелинейные члены. В линейной области кривой намагничивания нелинейность не учитывается. Уравнения можно линеаризовать, если принять за новые переменные ток якоря и квадрат тока якоря.
Система регулирования
Мы рассматриваем электродвигатель постоянного тока параллельного возбуждения, питаемый от тиристорного преобразователя переменного тока в постоянный. Регулятор поддерживает постоянным скорость электродвигателя при внезапном изменении момента нагрузки. Преобразованное напряжение обратной связи (у) является входным сигналом управления углом отпирания тиристоров, регулирующим значение выходного напряжения преобразователя.
іа +
Рис. 3. Структурная схема системы с преобразователем © Проблемы энергетики, 2006, № 9-10
а
V = К1Ш + К 2 М + К 3 | (ш г - ш)йі .
0
Модернизированная система электропривода в терминах переменных состояния теперь описывается системой уравнений
й х йі
= Ах + ВV + ВТ±,
(15)
где * =[У 1 У 2 ]Т
В уравнении новыми переменными состояния системы стали скорость электродвигателя ш, электромагнитный момент М и интеграл от сигнала ошибки, которая равна разности между опорной скоростью и скоростью двигателя:
р = ш г - ш. (15a)
Теперь система уравнений в матричном представлении записывается в виде
0
" В 1
I I
"У1' ' Ка К/ '
у 2 = 0 - +
_ р . . 1а К/ .
-1
" 1"
'У 1 " " 0' I " 0'
У 2 + 1 V + 0 Т1 + 0
_ Р . _ 0 _ 0 _ 1 _
После подстановки измеренных значений характеристик двигателя (табл. 1) получены значения:
Таблица 1
Технические характеристике двигателя
Ка К/ Ьа Ьг I В С и Р ІК ІВ п
1,8 580 0,012 21 0,0206 0,00084 1,573 160 928 5,8 0,275 326
Ом Ом Гн Гн Кг-м2 Н-м с/рад В вт А А об/мин
А = "- 0,0406 50 0' 0 -171,48 0 -1 0 0 ' 0' , В = 1 0 .
В пакете МАТЛАБ с использованием команды К= Цг (А, В, Q, К) для решения линейного квадратного уравнения Риккати с весовыми матрицами R&Q при К = [1] найдена матрица
X
0
X
103 0 0
0 106 0
0 0 10
О:
и оптимальные параметры матрицы обратной связи: К1 = 204, К2 = 853, К3 =-1000.
Уравнения для электропривода решены в пакете МАТЛАБ с использованием метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Интервалы времени при решении уравнений менялись по закону
. 1 | п .
А =-------- — + Аа;
2 п/ {18
а) Отклик скорости
в) Ток возбуждения
(16)
б) Отклик тока якоря
Рис. 4. Моделирование реакции замкнутой системы на ступенчатое изменение М при юг = 342 рад/с
Анализировалась также реакция системы на ступенчатое изменение момента нагрузки. Результаты вычислений представлены на рис. 4. Опорная частота двигателя взята равной 342 рад/с, а М = 1,0 Н-м. Ток якоря равен 5,8 А,
© Проблемы энергетики, 2006, № 9-10
ток возбуждения 0,26 A и угол зажигания а=59 градусов. При t = 0,3 с момент нагрузки уменьшается до 0,1 Н-м и скорость двигателя возрастает от значения 342 рад/с до 348 рад/с и снова уменьшается до значения опорной частоты (рис. 4, а). При t = 4 с момент нагрузки снова возрастает до 1,0 Н-м. Скорость двигателя падает до 338 рад/с и снова возрастает до опорной частоты.
На рис. 4, б показан отклик тока якоря на внезапное изменение момента, которое было описано выше. Действительно, ток якоря при t = 0,3 с уменьшается от значения 5,8 A до 2 A и возрастает снова до 5,8 A, переходя через максимум в 7,5 A. Ток возбуждения (рис. 4, в) при полной нагрузке равен 0,265 A и уменьшается до величины 0,09 A при t = 2,3 с. Он достигает своего номинального значения 0,265 A в период после t = 4 с. Переходный процесс показан на рисунке. Угол отпирания меняет свое значение от 61 до 118 градусов и снова уменьшается до 61 градусов в период после t = 4 с (рис. 4, г).
По рассчитанным значениям был произведен синтез оптимального регулятора и сконструирована соответствующая электронная схема.
Summary
An optimal regulation of d.c motor speed is achieved. The system consists of a d.c shunt motor fed from single — phase converter. The input voltage to the motor is controlled by means of optimal regulator , for changing the firing angle of the thyristors using pulse width modulation technique. An input-output linearization technique is introduced to linearize the non-linear mathematical model of the d.c motor , converter circuit and the designed regulator has been realized practically. The open-loop and closed-loop control system has been analyzed theoretically. A computer program written in a MATLAB language is used for computing the system dynamic’s. The closed-loop system theoretical and practical results are shown to be comparable. The closed-loop control system shows a significant modification in the system parameters like armature current, peak overshoot, settling time... etc.
Литература
1. SEN, P.C. Thyristor DC Drives. John Wiley, U.S.A, 1981.
2. SAY, M.G and Taylor, E.O, Direct Current Machines. Pitman, G.B, 1980.
3. WHITE, B.A and LIPCZYNSK,R.T., ” Simple Digital Control Scheme for a DC Motor ”, Proc IEE, 1983, 130, pp. 143 - 147
4. Cardweil, B.J. and Goodman, C.J. Response Improvement in Industrial DC Drives Derives from Optimal Analysis. Proc. IEE, 1984.
5. Абдул-Садах А. М., Андреев Н.К.Электропривод постоянного тока параллельного возбуждения с управлением по углу отпирания тиристорного преобразователя / Материалы XV Всероссийской межвузовской научнотехнической конференции.- Казань: Филиал Михайловского ВАУ, 2003.
6. Абдул-Садах А. М., Андреев Н.К., Малев Н.А. Оптимизация системы управления электроприводов ЭШИМ-1 // В сб. по материалам аспирантско-магистерской конференции Казанского государственного энергетического университета. - Казань: КГЭУ, 2002.
Поступила 23.06.2006
