CC BY
1УДК 51
Глушков А.А.
студент
Российский университет транспорта (г. Москва, Россия)
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАТРАТ С УЧЕТОМ ФИКСИРОВАННЫХ ДОПЛАТ: МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
Аннотация: в работе построена математическая модель транспортной задачи с фиксированными доплатами, учитывающая как переменные, так и фиксированные составляющие транспортных затрат. Предложен модифицированный алгоритмы, позволяющий повысить эффективность и точность решений. Проведено исследование модифицированного метода и проанализирован результат его применения для оптимизации транспортных расходов в условиях реальных ограничений.
Ключевые слова: транспортная задача, фиксированные доплаты, оптимизация затрат, линейное программирование, численные методы, метод Балинского, алгоритмы оптимизации, логистика, управление ресурсами.
Оптимизация транспортных затрат является одной из ключевых задач в области прикладной математики и логистики, особенно в условиях растущей сложности глобальных цепочек поставок. Традиционная транспортная задача, также известная как задача Монжа-Канторовича, предполагает поиск оптимального плана перевозок, минимизирующего затраты при условии полного удовлетворения спроса и предложения. В классической постановке задачи все затраты линейны и пропорциональны объему перевозимого груза. Однако в реальных условиях могут возникать дополнительные фиксированные затраты, такие как аренда транспортных средств или расходы на установку оборудования, которые не зависят от объема перевозок и требуют учета в моделях оптимизации.
Данная работа посвящена разработке и исследованию модели транспортной задачи с фиксированными доплатами — новым подходом к оптимизации транспортных затрат, учитывающим как переменные, так и фиксированные составляющие затрат. В отличие от классической модели, представленная задача включает в себя элементы нелинейного программирования, что делает ее более сложной для численного решения.
Рассмотрим задачу организации перевозок однородного груза с т пунктами отправления и n пунктами назначения. Затраты на транспортировку включают как переменную, так и фиксированную составляющую. Требуется организовать перевозку груза так, чтобы совокупные затраты на транспортировку были минимальны:
т п
^ ^ си(хи) ^ min; i=l j=l
п
^^^ X^j "" ^'i , ^ "" 1, 2, ■■■ ,
] = 1 т
^Xij = bj, j = 1,2,-, n;
i=i
Xij > 0, i = 1, —, m, j = 1, —, n,
где
c. ,(x) = № * = 0, W - ic.jX + dij, x > 0.
Функция Cij (x) задаёт затраты на транспортировку х единиц груза от поставщика i до потребителя j. ctj (х) по своей сути является разрывной, чем и обеспечивается увеличенная вычислительная сложность представленной задачи в сравнении со стандартной. Эта задача называется транспортной задачей с фиксированными доплатами или неоднородной транспортной задачей.
К полученной целочисленной задаче применимы любые общие методы целочисленного программирования. Однако ее большие размеры (матрица
ограничений при сведении данной задачи к общей задаче линейного программирования имеет размеры (тп + m + п) X 2тп) делают это в настоящее время малореальным для задач сколько-нибудь заметных размеров. Поэтому естественно пытаться использовать здесь специфику задачи в ином направлении — в направлении создания специализированных приближенных методов. Простой приближенный метод был предложен в 1961 г. Балинским. Идея этого метода основана на рассмотрении задачи с отброшенным условием целочисленности ytj. Согласно методу Балинского, транспортная задача с фиксированными доплатами аппроксимирована обычной транспортной задачей, машинное решение которой освоено достаточно хорошо и никаких трудностей уже не представляет.
Существует модификация метода Балинского, позволяющая во многих случаях улучшить получаемый с его помощью приближенный план. Идея этого подхода заключается в следующем. В любом оптимальном плане X* = {xïj} аппроксимирующей транспортной задачи с матрицей {c[j] всегда найдется по крайней мере два таких х^, что х^ = Mtj. По тем парам (i, j), для которых х^ = Му-, затраты в исходной и аппроксимирующей задаче совпадают и равны с^-х^ + dij. Для остальных пар
х*
cijxij + dц—— < ciJ■(xij),
X* •
поскольку для них < 1. Из-за несоответствия затрат на этих парах
оптимальные планы обеих задач совпадать не будут. Поэтому допустимо предположить, что в клетках (i,j), для которых х* = Mtj, затраты исходной задачи отражены правильно и улучшения этого плана следует искать при помощи перераспределений только на тех парах (i, j), для которых х*ц < М^. Поскольку затраты на этих парах в аппроксимирующей задаче занижены против реальных, их следует пересчитать.
Это реализуется следующим образом. В качестве первого приближения к оптимальному плану исходной задачи производится решение стандартным
методом Балинского. В оптимальном плане {х^} этой задачи отмечаются те , для которых х*ц = Мц, то есть х^ = щ или х^ = Ь^. Такие строки I и столбцы у называются висячими рядами. Затем производится поочередное вычеркивание висячих рядов и пересчет соответствующих щ и Ьу. Именно, если х^ = щ, вычеркиваем строку I и полагаем Ц = Ь^ — х^; если же х^ = Ь^, вычеркиваем столбец У и полагаем а[ = а^ — х^. Для остальных ¿,] берем а[ = а^, Ц = Ъ^.
После этого находим М'^ = тт{а', Ь^}, вычисляем с^ = с^х^ + и решаем
транспортную задачу меньших размеров с исходными данными а'', Ь', {с Очевидно, с'' > с'^, так как М'^ < М^. Для оптимального плана новой задачи снова повторяем процесс вычеркивания висячих рядов, пересчитываем а', Ц, {$} и т.д.
Описываемый приближенный метод проводится «циклами», на каждом из которых к вспомогательной задаче применяется метод Балинского с соответствующим пересчетом данных. Этот процесс конечен, поскольку размеры задач каждый раз сокращаются.
В ходе настоящего исследования для решения задачи оптимизации транспортных затрат с фиксированными доплатами был применен метод Балинского, который позволил свести исходную задачу к классической транспортной задаче, решаемой методом потенциалов. Применение данного подхода показало свою эффективность на практике.
Процесс решения.
1. Первоначальное решение методом Балинского.
a. Исходная задача, содержащая фиксированные доплаты, была преобразована в классическую транспортную задачу с использованием метода Балинского.
b. Метод потенциалов был использован для нахождения оптимального плана перевозок. Решение было достигнуто за две итерации перераспределения
поставок, что подтверждает его оперативность и вычислительную эффективность.
с. Итоговое значение целевой функции составило 437 единиц. 2. Модификация метода Балинского.
a. После применения модифицированного метода Балинского размерность задачи была сокращена с 4x5 до 3x2. Этот подход позволяет уменьшить объем вычислений и ускорить процесс поиска решения.
b. Улучшение исходного опорного плана привело к снижению минимума целевой функции с 437 до 422 единиц, что подтверждает эффективность предложенной модификации так как полученное решение показало более оптимальное распределение поставок.
Таким образом, проведенное исследование показало, что приведённая модификация метода Балинского является мощным инструментом для решения задач данного типа, обеспечивая высокую эффективность решений, что подтверждает целесообразность его использования в практических приложениях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Корбут А. А., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование. — М.: Наука, 1969. — 368 с;
2. Нечитайло Н. М. Задачи транспортного типа по критерию времени с учётом характеристик применяемых транспортных средств // Мир транспорта. — 2021. — № 3. — С. 74-80;
3. Самойленко Н. И., Кобец А. А. Транспортные системы большой размерности: монография. — Харьков: НТМТ, 2010. — 212 с;
4. Сигал И. Х., Иванова А. П. Введение в прикладное дискретное программирование. Модели и вычислительные алгоритмы: учебное пособие для вузов. 2-е изд., испр. и доп. — М.: Физматлит, 2007. — 304 с;
5. Тюхтина А. А. Методы дискретной оптимизации: Часть 1: Учебно-методическое пособие. — Н. Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2014. — 62 с;
6. Чернышова Г. Д., Чигодаева А. С. Задачи транспортного типа с разрывными целевыми функциями // Вестник ВГУ Серия: Системный анализ и информационные технологии. — 2016. — № 2. — С. 65-69
Glushkov A.A.
Russian University of Transport (Moscow, Russia)
OPTIMIZATION OF TRANSPORTATION COSTS CONSIDERING FIXED ALLOWANCES: PROBLEM MODEL AND SOLUTION ALGORITHMS
Abstract: the paper presents a mathematical model of the transportation problem with fixed allowances, accounting for both variable and fixed components of transportation costs. Modified algorithm is proposed to improve the efficiency and accuracy of solutions. The study investigates the modified method and analyzes the results of its application for optimizing transportation costs under real-world constraints.
Keywords: transportation problem, fixed allowances, cost optimization, linear programming, numerical methods, Balinsky method, optimization algorithms, logistics, resource management.
