ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ РОБОТА RA605 В СОСТАВЕ РОБОТИЗИРОВАННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ДИСКОВ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621-192

ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ РОБОТА RA605 В СОСТАВЕ РОБОТИЗИРОВАННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ДИСКОВ

М. И. МИХАЙЛОВ, А. В. ШЕВЧЕНКО

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь

Разработан робототехнический комплекс для обработки деталей типа диск. В него входили: токарный станок с ЧПУ, фрезерный станок с ЧПУ и накопители заготовок и деталей. Разработана 3D-модель зоны обслуживания роботом станков. Разработана траектория движений робота с учетом производственных условий.

Ключевые слова: робототехнический комплекс, моделирование, зона обслуживания, траектория движения робота.

OPTIMIZATION OF THE TRAJECTORY OF THE RA605 ROBOT AS A PART OF A ROBOTIC TECHNOLOGICAL COMPLEX FOR DISC PROCESSING

M. I. MIKHAILOV, A. V. SHEVCHENKO

Educational Institution "Sukhoi State Technical University of Gomel", the Republic of Belarus

A robotic complex for processing disk-type parts has been developed. It included: a CNC lathe, a CNC milling machine and stocks of blanks and parts. A 3D-model of the machine service area by the robot has been developed. The trajectory of robot movements has been developed taking into account production conditions.

Keywords: robotic complex, simulation, service area, robot trajectory.

Введение

Робототехнические комплексы (РТК) являются эффективным средством комплексной автоматизации производственных процессов в промышленности [1-3].

Как известно, манипуляционные системы представляют собой структурно разомкнутые кинематические цепи [4]. Как правило, звенья моделируются абсолютно твердыми телами [5-9].

Для обеспечения обслуживания РТК необходимо решать обратную задачу кинематики и динамики. Существует несколько методов решения обратных задач, к числу которых относятся методы обратных преобразований, винтовой алгебры, а также геометрический [10-12]. Программирование движений манипуляционной системы промышленного робота (offline-программирование) обычно производится поэтапно.

На первом этапе выполняется планирование траекторий движения рабочего органа промышленного робота [13-19].

Эта задача может быть разрешена различными способами, суть которых сводится к аппроксимации или интерполяции выбранной траектории полиномами некоторого класса. Затем выбирается последовательность опорных точек, в которых производится коррекция параметров движения манипулятора на пути от начальной к конечной точкам траектории.

Начальная и конечная точки траектории могут быть заданы как в присоединенных, так и в декартовых координатах. Чаще всего используются декартовы координаты, поскольку в них удобнее задавать правильное положение схвата. Кроме того, присоединенные координаты не пригодны в качестве рабочей системы координат еще и потому, что оси сочленений большинства манипуляторов не ортогональны, вследствие чего невозможно независимое описание положения и ориентации схвата. Если же в начальной и конечной точках траектории требуется знание присоединенных координат, их значения можно получить с помощью программы решения обратной задачи кинематики. Как правило, траектория, соединяющая начальное и конечное положения схвата, не единственна.

На втором этапе определяются обобщенные координаты, обеспечивающие положение рабочего органа на заданной (программной) траектории [14], [20-22].

Существуют два основных подхода к планированию траекторий в декартовом пространстве.

В первом из них большинство вычислений, оптимизация траекторий и последующее регулирование движения производятся в декартовых координатах. Узловые точки на заданной прямолинейной траектории в декартовом пространстве выбираются через фиксированные интервалы времени. Вычисление значений присоединенных координат в этих точках производится в процессе управления движением манипулятора.

Второй подход состоит в аппроксимации прямолинейных участков траектории в декартовом пространстве траекториями в пространстве присоединенных переменных, полученных в результате интерполяции траектории между соседними точками полиномами низкой степени. Регулирование движения в этом подходе производится на уровне присоединенных переменных.

Поскольку управление манипулятором осуществляется в пространстве присоединенных переменных, а траектория движения задается в декартовом пространстве, обычно пользуются полиномиальной аппроксимацией для формирования заданной траектории в декартовом пространстве.

Основой этого способа является алгоритм формирования последовательности дополнительных узловых точек на заданной декартовой траектории при аппроксимации ее кривой траекторией.

Целью работы является построение и отработка траектории робота для РТК с учетом его особенностей.

Методика моделирования

Для обработки дисковых деталей в условиях ОАО «Гомсельмаш» был сформирован РТК. В него входили: робот, токарный станок с числовым программным управлением (ЧПУ), фрезерный станок с ЧПУ и накопители заготовок и деталей.

Построение траекторий производилось по разработанным схемам предельных положений схвата робота (рис. 1).

а)

б)

Рис. 1. Расчетная схема: а - планировка робототехнического комплекса; б - схема предельных положений схвата робота

С учетом габаритных зон рабочего пространства была разработана траектория движения схвата робота (рис. 2).

Рис. 2. 3Б-модель траектории движений схвата робота

Использовался подход, состоящий в интерполяции заданной траектории кубическими полиномами по выбранным узловым точкам. При этом проводилась минимизация времени движения вдоль выбранной траектории с учетом ограничений по скорости, ускорению и скорости изменения ускорения.

Параметры обратной связи системы управления модифицировались согласно критерию метода наименьших квадратов на основе измерения ошибок.

Динамика нелинейного манипуляционного робота описывалась модельным дифференциальным уравнением:

М(д,Ж)д + /(д, ¿,Ж) = т(0. (1)

Матрица инерции М (п х п) симметрическая, нелинейно зависит от конфигурации манипулятора через обобщенные координаты звеньев (координаты робота) д. Вектор / обозначает общий вклад центробежной, кориолисовой и диссипативной сил, которые нелинейно зависят от скоростей ¿1 и перемещений манипулятора д,

а также сил гравитации, нелинейно зависящих от д. Параметр Ж обозначает полезную нагрузку, которая в уравнении записана в явном виде, так как ее изменение в общем может сильно влиять на М и f. Воздействия т(^), развиваемые силовыми приводами роботов (двигателями), распределяются в каждом сочленении.

Траектория системы координат, связанной с рабочим органом (ориентация системы координат и положение начала координат как функции времени), представлена вектором р(^), содержащим в качестве элементов три координаты положения начала системы координат, связанной с рабочим органом, и три ортогональных поворота этой системы координат. Соответствующий вектор траекторий звеньев (сочленений) манипулятора (координаты робота) д(^) находится путем решения обратной задачи для рассматриваемого манипулятора [19]. Приращения (малые) перемещений связаны через матрицу Якоби J как

Ъд(( ) = J -1Ър(().

(2)

Уравнение (2) позволяет записать траектории скоростей звеньев манипулятора в виде

д ^ ) = J -1р ^),

(3)

а траектории ускорений звеньев манипулятора как

д(( )=J1

.. Ли . р " (гд

(4)

Пусть Р - матрица 4 х 4 однородного преобразования, соответствующая чистому переносу (х, у, £) начала системы координат рабочего органа, а Я - матрица 4 х 4 однородного преобразования, соответствующая чистому повороту системы координат рабочего органа на угол 0 вокруг оси к, выраженные в его исходной системе координат. Если Те - матрица 4 х 4 однородного преобразования системы координат рабочего органа, выраженная в абсолютной системе координат, приращения первого и второго порядков матрицы, Те можно представить как

ЛТе = Те (ЛР + ЛЯ); Л2Те = Те (л2 Р + 2ЛР ЛЯ + Л2 Я).

(5)

(6)

Эти приращения отражают скорость и ускорение системы координат рабочего органа, выраженные в абсолютной системе координат.

При моделировании динамики использовались прямые рекурсивные соотношения:

Ж = Ж_1 А; Ж = А + Ж_1 ^д.;

ддг

дА д2 А дА

Ж, = Щ_1 А, + 2^-1 —^ + Ж-1 —^ + —^, при I = 1, 2, ..., И,

ддг ддг дд.

(7)

где д - обобщенные координаты звеньев робота; Ж - полезная нагрузка; " I 0 0 Ы'1

А(д, {д, д,Ж) = -

0 -1

дЫ д/ д/

д-+ — —

дд дд дд

матрица системы.

Л

Используя (7) вычислялись Щ, Щ и Щ, при г = 1, 2,..., п. Затем вычислялись обратные рекурсивные соотношения:

ддг

дЛ

д2 Л

дЛ

щ = Щ- Л + 21 Щ- -д-д. + Щ—Н/ + Щ- -^д,, _< г = 1,2,..., п. (8) дд. ^ дд,

На основе результатов (7) вычислялись соотношения:

дЩ, дЛ, дЩ ■ дЛ, д2Л, -_ = Щ, -_ = Щ, + Щ, -1

дд

1 дд ддг

дд д д

дЩ,

дЛ

д2Л

, .. „„, - „ „, д3Л, 2 д2Л,

=+д'+ д2 + ^ д_ • пРи 1=1А.....(9)

Затем на основе результатов (8) и (9) вычислялись соотношения:

дЩ дЩ дЩ дЩ , дЩ , .

г =__ = 1Щ; г = __Щ + __Щ;

дд дд г дд дд г дд г

дЩ дЩ, , дЩ, . дЩ, ••

= —+—; ]< г = 1,2,..., п.

дд дд дд дд

На основе результатов (7) вычислялись рекурсивные соотношения:

(10)

д = JWт + 4А;

С = тГг + 4+1Сг+1 при г = 1,2, .. ., п.

На основе результатов (10) вычислялись прямые рекурсивные соотношения:

дЩТ дЩТ

р_ = 4+1Рт_ + ; а_ = 4+^+!_ + Jl-д_;

(11)

дЩТ

N _ = Л+М+1 1 + '1г -д,; ПРИ _ г = 1,2 ..., п.

(12)

На основе результатов (9) и (12) вычислялись элементы матрицы инерции (с учетом симметрии М _ = М г ):

М г, = гг

и

ГдЩр Л

Vддг ~г}у

, при 1,г = 1, 2,..., п.

(13)

Затем вычислялись

д2Ж

дд.дд,

дА, , дА Ж, 1—±Ж 1-5-, ]<! = 2,3,...,п,

дд, дд.

Ж

д2А

г-1 дд2

г = 1,2,..., п,

(14)

На основе результатов (9)-(12) и (14) вычислялись элементы матриц:

дМ д/ д-+ —

дд дд

..дМ д/ д-+ —

дд дд

гг

( д2Жг V дд. дд,

д

+ гг

гг

V дд. дд,

-в.

+ гг

дЖг Кддг

( дЖ,

N

£

д2Жг

дд.дд,

; . < I = 1,2,..., п, (15)

V ддг

N

11

Т Щ

£ -—с

дЧгдд,

; 1>г = 1,2,..., п. (16)

На основе результатов (8), (9) и (12) вычислялись элементы матриц:

дд

2гг

дЖг ддг

б, ; 1 <г = 1,2,...,п;

дд

= 2гг

дЖг

V ддг

Жб,, ; 1>г = 1,2,...,п. (17)

При управлении с планированием траектории рабочего органа рЛ (() известны и определяются соответствующие траектории дл (г) звеньев манипулятора. Идеальные моменты т(() в сочленениях соответствующей требуемой траектории определяются путем подстановки дл ((), да (() и дЛ (г) в уравнение (7) для данной полезной нагрузки Ж. Такая процедура известна как обратная задача динамики.

Эти вычисления можно упростить, использовав рекурсивный метод Лагранжа или Ньютона для данной модели робота [23]. В этом случае управляющие сигналы, соответствующие вычисленным значениям момента, поступают на приводы звеньев для грубой компенсации.

Такой расчетный момент в общем не является адекватным для отработки манипулятором требуемой траектории. Основными причинами этого являются: модельные ошибки, фигурирующие в (1), численные ошибки (например, при обращении матрицы Якоби и при решении обратной задачи динамики) и внешние возмущения (например, неизвестные входные воздействия).

В случае, когда используется только управление по заданной траектории, эти ошибки, если они должным образом не компенсированы при помощи системы управления с обратной связью, обычно приводят к неустойчивости реакции манипулятора. Для достаточно малых отклонений от требуемой траектории 5д корректирующие моменты 5т, необходимые для выведения манипулятора обратно на верную траекторию, можно выразить как

Ы (,Ж)5д + дй (,Ж)5д + дд (, дй ,Ж)5д + дд (, дй ,Ж)5д = 5т((). (18) дд дд дд

0

с

В уравнении (18) дМ / дд - тензор третьей размерности. В тензорных обозначениях при М = Ми д = дк имеем:

Кроме того,

дМ / ёд = дМ и / ддк.

д/ / дд = д/ / дд..

Целью управления являлось сведение к нулю отклонение от траектории х. Это обеспечивалось минимизацией целевой функции Г (и):

Г (и ) = [Фх(к ) + Ги(к )] [Фх(к ) + Ги(к )], (19)

где и = 5т(() - входной вектор; х = [бд, бд]7 - вектор состояния; Ф = ехр(А, Т) -

Т

матрица перехода состояний; Г = |ехр(Ат)ёг8 - матрица входных коэффициентов

I 0

усиления

; В(дй ,ж) =

0

М -1

; Л(д,{д, д,ж )= "

0 М-

0 -1

дМ д/ д/

д-+ — —

д дд дд

матрица

системы; Т - период дискретизации.

Матрицы А и В постоянны для данной точки траектории. Коэффициенты усиления при управлении вычисляются для данной точки траектории.

Диагональная весовая матрица Q придает определенную степень гибкости контроллеру за счет введения относительного веса перемещений и скоростей отдельного сочленения. Результирующий оптимальный закон управления имеет вид:

и (к )=-(г тqг)-1 Г ^Фх(к ),

реализуемый при

ранг

(Г ТОГ )

= п,

(20)

(21)

где п - число сочленений (степеней свободы) манипулятора.

Контроллер управления с планируемой траекторией генерирует грубый момент тё ((). Любое последующее отклонение от заданной траектории корректируется при помощи контроллера управления с обратной связью по закону (20), в котором матрица коэффициентов усиления

К = (гт ОГ )-1 ГТ QФ

(22)

корректируется непрерывно (в зависимости от точки траектории в данное время). Вектор грубого момента и матрицу коэффициентов обратной связи вычисляли автономно и заносили в память контроллера как функции точек траектории.

Затем эти величины настраивались в процессе выполнения операции. В случае больших отклонений от заданной траектории при комбинированном управлении с планируемой траекторией и адаптивном управлении с обратной связью необходима коррекция в реальном масштабе времени.

ё

Принятая схема адаптивного управления есть по существу метод управления с настройкой коэффициентов усиления. Этот метод не требует ни идентификации параметров, ни сведения динамической реакции манипулятора к реакции некой базовой модели.

Результаты и их анализ

Реализуемость данного метода управления продемонстрирована на модели манипулятора при обслуживании фрезерного станка с ЧПУ (рис. 1), которая позволяет моделировать все типы нелинейностей, динамические связи, возмущения и изменения параметров без чрезмерных вычислительных затрат при решении обратной задачи динамики. Все расчеты выполнялись в программе Mathcad Prime 6.0.

Результаты расчетов управления роботом при наличии входных возмущений приведены на рис. 3. Входные возмущения моделировались добавочным возмущающим моментом с стандартным отклонением 7 %. Эта величина выбрана так, чтобы ошибка была существенной, но не чрезмерной.

На рис. 3 приведена требуемая траектория (сплошная кривая 1), получаемая траектория при управлении с упреждением (пунктирная кривая 2 в виде незамкнутого контура) и траектория, получаемая при добавлении адаптивного управления с обратной связью (штрихпунктирная кривая 3). Видно, если используется только управление с планируемой траекторией, то возникает неустойчивость. Добавление адаптивного управления с обратной связью приводит к значительному улучшению характеристик.

Рис. 3. Траектория движения схвата при наличии входных возмущений

Заключение

Приведенные математические модели позволяют определять обобщенные координаты робота и производить оценку точности движения (положения и расположения) его схвата с учетом возмущающих воздействий.

Литература

1. Асфаль, Р. Роботы и автоматизация производства / Р. Асфаль ; пер. с англ. М. Ю. Евстигнеева [и др.]. - М. : Машиностроение, 1989. - 446 с.

2. Афонин, В. Л. Интеллектуальные робототехнические системы : курс лекций / В. Л. Афонин, В. А. Макушкин. - М. : Интернет-ун-т информ. технологий, 2009. -199 с.

3. Белоусов, И. Р. Управление роботами через сеть Интернет / И. Р. Белоусов // Доклады НАН Беларуси. - 2002. - № 2 (383). - С. 198-201.

4. Артоболевский, И. И. Теория механизмов и машин / И. И. Артоболевский. - М. : Наука, 1975. - 640 с.

5. Виттенбург, И. С. Динамика систем твердых тел / И. С. Виттенбург ; пер. с анг. В. Н. Рубановского [и др.]. - М. : Мир, 1980. - 292 с.

6. Воробьев, Е. И. Анализ кинематики пространственных исполнительных механизмов манипуляторов методом матриц / Е. И. Воробьев // Механика машин. - 1970. -Вып. 53. - С. 8-16.

7. Игнатьев, М. Б. Алгоритмы управления роботами-манипуляторами / М. Б. Игнатьев, Ф. М. Кулаков, А. М. Покровский. - Л. : Машиностроение, 1972. - 247 с.

8. Корендясев, А. И. Определение числа степеней свободы исполнительного органа промышленного робота / А. И. Корендясев, Б. Л. Саламандра, Л. И. Тывес // Машиноведение. - 1984. - № 6. - С. 44-53.

9. Овакимов, А. Г. Кинематическое исследование пространственной цепи управляющего механизма манипулятора / А. Г. Овакимов // Изв. вузов. Машиностроение. - 1971. - № 4. - С. 58-62.

10. Воробьев, Е. И. Механика промышленных роботов : в 3 кн. / Е. И. Воробьев, О. Д. Егоров, С. А. Попов. - М. : Высш. шк., 1988. - Кн. 1: Кинематика и динамика. - 304 с.

11. Крахмалев, О. Н. Методика анализа влияния сил инерции на динамику манипуляци-онных роботов / О. Н. Крахмалев // Теория механизмов и машин. - 2012. - Т. 10, № 2 (20). -С. 41-53.

12. Тывес, Л. И. К задаче динамической развязки движений манипуляторов по обобщенным координатам / Л. И. Тывес // Машиноведение. - 1985. - № 2. - С. 17.

13. Булгаков, А. Г. Промышленные роботы. Кинематика, динамика, контроль и управление / А. Г. Булгаков, В. А. Воробьев. - М. : СОЛОН-ПРЕСС, 2012. - 485 с.

14. Верещагин, А. Ф. Планирование траектории исполнительного органа манипуля-ционного робота / А. Ф. Верещагин, В. Л. Геперозов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1978. - № 2. - С. 76-87.

15. Вертю, Ж. Телеуправление роботами с помощью ЭВМ / Ж. Вертю, Ф. Куафе ; пер. с фр. В. Б. Тарасова. - М. : Мир, 1989. - 198 с.

16. Воробьев, Е. И. Синтез механизмов по заданному движению твердого тела в пространстве / Е. И. Воробьев // Механика машин. - 1978. - Вып. 54. - С. 25-33.

17. Механика миниатюрных роботов / В. Г. Градецкий [и др.]. - М. : Наука, 2010. -265 с.

18. Медведев, В. П. Синтез оптимального управления приводами манипулятора / В. П. Медведев // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации : тр. 12 Междунар. научн.-техн. семинара, Алушта, сент. 2003. - М. : МЭП, 2003. - С. 133.

19. Овакимов, А. Г. Аналоги скоростей и ускорений пространственных механизмов с несколькими степенями свободы / А. Г. Овакимов // Изв. вузов СССР. Машиностроение. - 1969. - № 6. - С. 51-58.

20. Гречановский, Е. Н. Метод планирования движения манипулятора при наличии препятствий / Е. Н. Гречановский, И. Ш. Пинскер // Модели. Алгоритмы. Принятие решения. - М. : Наука, 1979. - С. 100-142.

21. Малышев, В. А. Представление среды, планирование, построение и стабилизация программных движений роботов / В. А. Малышев, А. В. Тимофеев // II Всесоюзная межвузовская конференция «Робототехнические системы» : тез. докл. - Киев : КПП, 1980. - Кн. 1. - С. 138-142.

22. Пол, Р. Моделирование. Планирование траекторий и управление движением робота-манипулятора / Р. Пол ; пер. с анг. А. Ф. Верещагина, В. Л. Генерозова. - М. : Наука, 1976. - 103 с.

23. Luh, J. On-Line Computational Scheme for Mechanical Manipulators/ J. Luh, M. Walker, R. Paul // ASME. - 1980. - Vol. 102. - P. 69-76.

Поступила 20.10.2022