CC BY
30
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 519.21
А.С.Сорокин
ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ ОЧИСТНОИ ВЫЕМКИ УГЛЯ КОРОТКИМИ ЗАБОЯМИ НА ШАХТАХ КУЗБАССА, РАЗРАБАТЫВАЮЩИХ ПОЛОГИЕ ПЛАСТЫ СРЕДНЕЙ МОЩНОСТИ
Для разработки пологих пластов при гидравлической добыче угля во ВНИИГ идроугле составлены технологические схемы, характеризующиеся различными показателями производительности труда, нагрузки на забой, эксплуатационных потерь, надежности, газообильности и т.д. [1,2] .
Ниже рассмотрен метод выбора (оптимизации) технологических схем, составленных
ВНИИГидроуглем.
Оптимизация реализуется с целью более эффективной отработки пластов пологого падения, внедрения более прогрессивных способов проведения подготовительных и нарезных выработок, увеличения коэффициента машинного времени забойного оборудования и сокращения потерь угля в недрах, что в конечном итоге обеспечивает значительное улучшение технико-экономических показателей работы гидрошахт.
Исходными данными для оптимизации технологических схем послужили рекомендации исследований, проведенных лабораторией систем разработки пластов пологого падения и отделом тех-нолого-экономических исследований ВНИИГид-роугля с учетом накопленного опыта, а также анализ технических схем по результатам работы очистных бригад гидрошахт.
Технолого-математическая модель эксплуатационного участка гидрошахты [3,4] дает оптимальные размеры выемочных столбов и блоков, способов проходки и вида крепления, отвечающих максимуму производительности труда при заданном способе очистной выемки.
В [5, 6] изложен метод выбора оптимального числа действующих подготовительных, очистных и нарезных забоев.
1. Технологические схемы очистной выемки Рассматриваются следующие технологические схемы очистной выемки:
короткие забои с выемкой полосами по падению (гидравлическая выемка с механогидравли-ческой нарезкой);
короткие забои с выемкой диагональными полосами (гидравлическая выемка с механогидрав-лической нарезкой);
короткие забои с выемкой полосами по про-
(3)
стиранию (гидравлическая выемка с механогид-равлической нарезкой);
механогидравлическая выемка полосами по падению;
механогидравлическая выемка диагональными полосами.
Из этих пяти технологических схем нужно выбрать наилучшую.
Обозначим вероятность выбора /'-ой технологической схемы
У/, /=1+5 (1)
Из определения вероятности следуют такие ограничения:
0< у/ <1 , /=1+5 (2)
Учитывая, что каждая из рассматриваемых технологических схем выемки характеризуется надежностью (коэффициентом надежности), и, используя теорему о полной вероятности, получаем, что вероятность работы схемы должна быть не ниже заданного уровня:
0.643у + 0.620у2 + 0.667у3 +
+ 0.596у4 + 0.596у5 > 0.596.
Аналогично, применяя теорему о полной вероятности, для газообильности имеем:
20у + 20у2 + 20у3 + 20у4 + 20у5 < 20. (4)
Для коэффициента извлечения КИ или для эксплуатационных потерь (1- КИ ) получаем:
18.5у +18.5у2 +18.5у3 + 16у4 +18.5у5 < 18.5.
(5)
Поставлены следующие задачи:
Задача 1. Определить оптимальную технологическую схему очистной выемки угля на пластах пологого падения средней мощности, дающую максимальную производительность труда (минимальную трудоемкость),
519 + 467 + 467 + 557 + 50 ^ ^П , (6)
при условии, что суточная добыча будет не ниже заданного уровня:
1400у +1400у2 +1400у3 +
+1000у4 +1000у5 > 1000,
а себестоимость одной тонны угля будет не выше заданного уровня:
(7)
(8)
0.501у1 + 0.543у2 + 0.525у3 +
+0.595у4 + 0.630у5 < 0.63.
Итак, имеем задачу целочисленного линейного программирования [7, 8] с целевой функцией (5) и ограничениями (1) - (4), (6) и (7).
При решении этой задачи в среде МАРЬЕЙ с помощью алгоритма вектора спада был получен вектор решений (0,0,0,1,0).
Это значит, что рекомендуется механогид-равлическая выемка полосами по падению, дающая наибольшую производительность труда рабочего по бригаде - 55,7 т/смену.
Задача 2. Найти такую технологическую схему очистной выемки угля на пластах пологого падения средней мощности, при которой суточная добыча угля была бы максимальной при выполнении ограничений на производительность труда, надежность, газообильность и пр.
1400у +1400у2 +1400у3 +
+1000у4 +1000у5 ^ тах, при условии, что производительность труда будет не ниже заданного уровня:
51.9у1 + 46.7у2 + 46.7у3 + 55.7у4 + 50у5 > 50.
(10)
Получаем задачу целочисленного линейного программирования с целевой функцией (9) и ограничениями (1) - (4) , (8) и (10).
Используя тот же алгоритм, что и для первой задачи, с помощью среды МАРЬЕ 11 получим вектор решений (1,0,0,0,0). Отсюда следует, что рекомендуется гидравлическая выемка с механо-гидравлической нарезкой (короткими забоями с выемкой полосами по падению), дающая наибольшую суточную добычу угля - 1400 т/сутки.
Задача 3. Необходимо выбрать технологическую схему очистной выемки угля на пластах пологого падения средней мощности, которая имела бы минимальную себестоимость одной тонны угля при выполнении ограничений на производительность труда, суточную добычу, на-
дежность и т.д.,
0.501у1 + 0.543у2 + 0.525у3 +
+ 0.595у4 + 0.630у5 ^ т1п,
при условии, что производительность труда будет не ниже заданного уровня (10), суточная добыча будет не ниже заданного уровня (6) и т.д.
2. Об алгоритмах решения задач целочисленного линейного программирования
В настоящее время известно несколько подходов к отысканию точного решения задач целочисленного программирования. Эта алгоритмы отсечения (алгоритмы Р.Гомори [9], [10], основанные на идее отсекающих плоскостей); алгоритмы ветвей и границ, основанные на методах возврата, обрыва ветвей [11]; алгоритмы по методу вектора спада [12].
Известны примеры задач с применением алгоритмов Гомори, решение которых требует огромного числа итераций, что при реализации их на ЭВМ приводит к большим затратам машинного времени. Метод ветвей и границ эффективен при решении задач, содержащих небольшое число целочисленных переменных. Если же число переменных велико или решение задачи линейного программирования далеко от оптимального решения целочисленной задачи, то число итераций окажется очень большим.
В последнее время создан метод отыскания решений задачи целочисленного программирования, обладающий по сравнению с вышеописанными методами, большей быстротой сходимости - метод вектора спада [12].
Сущность этого метода состоит в следующем.
Рассмотрим множество Мд векторов вида
г = ( ^ г» Zз,..., ¿д ),
где гр (р=1,2,...,сд) - целые числа.
Расстояние между произвольными элементами множества Mq
=( 1^21^31^
2) =\z{2 ^з2 ^42 >
определим таким образом:
г(г(1), г(2)) -
Нетрудно
(1) Л2)
)-21
р-і
доказать,
г(1) - г(2) р р
(12)
что
величина
г (г(1), гудовлетворяет аксиомам расстояния.
Таким образом, множество Мд можно рассматривать как метрическое пространство с метрикой, определяемой по формуле (12).
Окрестностью Ьр(г) точки хеМд радиуса р будем называть совокупность точек X пространства Мд, удовлетворяющих неравенству г(2,Х)
<Р
Расстояние, определяемое по формуле (12), позволяет сделать вывод о том, что окрестность Ьр (г) состоит из точки Z и множества точек
Мд, отстоящих от нее на расстоянии 1,2,...,[р] ([р] - целая часть числа р). Поэтому в дальней-
шем можно ограничиться рассмотрением окрестностей целочисленного радиуса.
Пусть множество Яд с Мд состоит из точек г = (г1, г2, г3,..., ), удовлетворяющих усло-
виям (1) - (4), (6), (7). Точку г е Яд назовем точкой локального минимума функции F(Z) в области Яд с Мд, если существует такое р >0, что F(z) > F(г) для всех гсЬр п,Яд и множе-
ство Ьр оЯд содержит хотя бы одну точку, отличную от г .
В качестве вектора спада функции F(Z) определенной в области Яд , в некоторой окрестности Ьр (г) точки г е Яд рассмотрим вектор
Я( г) = (Д( г, г(1)), Д( г, г(2)),..., Д( г, г(*})),
где г (/=1,2, отличные от г .
( п ) (п,Р1,тр1,Р2,тр2,...,ра ,тра )
точки множества Lp nRq,
Д(z, z(i)) = F(z(i)) - F(z), i = 1,2,..., g. Если все
Д(z,z(i)) > 0, i = 1,2,...,g,
то
F ( z ) = min F (z(i)).
zi <^Lp (z )^Rq
Если точка z є Rq не является минимумом функции F(Z), то при помощи вектора спада R(q) можно найти такую точку zeLp oRq, что F(z1)<F(z) т.е. Д(z, z1) < 0.
Алгоритмы отыскания экстремального решения задачи по методу вектора спада запишутся следующим образом.
Алгоритм 1
Шаг 1. Выбираем начальное приближение
z(0) = (z10), z20),..., zf) є Rq.
Шаг 2. На каждом (п+1) -ом шаге алгоритма (n =0,1,...) , когда получен элемент z(п) на п- ом шаге, осуществляем следующие действия.
Шаг 2.1. Выбираем радиус р.
Шаг 2.2. Рассмотрим окрестность L^z^) с Mq радиуса р с центром в точке z(п) .
Точки множества L^z^) обозначим таким образом:
z( п,Р1,тр1,Р2 ,тр2 ,-,Ра,тра) =
= (^](п,р1,трЪр2,тр2,-,ра,тра) / j = 1,2 q),
2.(п,р\ ,тр\ ,Р2 ,тр2 ,-,Ра,тра) =
(п) . zpi + mpi
z
(п)
pi
, j=pt , j Ф Pi
где
(13)
ирг = 1,2,...,д; р <р2 <... <ра,
Шр е {0, +1,-1, +2,-2,..., +р,-р};
/ = 1,2,...,а; а = тт(р,д).
Шаг 2.3. Перебирая точки окрестности ЬР(г<'П), выберем одну из них, удовлетворяющую условиям (1) - (4), (6) , (7) и
Д( z(п), z
') < 0, (14)
где
( п) ( п,р1,тр1,р2,тр2,...,Ра ,тра )
Д( z(п), z
) =
а m-2 p\+1 pk+2
Е (И I Сч (Хч -Л )).
/1 =1 к=0 /=1+ р1 ]=1+ р‘+1
Обозначим эту точку через г(п1) . Перейдем к шагу 2.2, заменяя п на (п+1) . Заметим, что точка г(п+1 принадлежит множеству Яд. Это приводит к уменьшению целевой функции F(Z)
~ (п)
в сравнении с точкой г .
Шаг 2.4. Если ни одна из точек окрестности ЬР(г<'пП) не удовлетворяет условиям (1-4), (6-7), (14), то при п > 1 точка есть искомое реше-
ние задачи, а при п=0 :
а) есть точка минимума функции F(Z) ,
определенной на Яд , если существует хотя бы одна точка окрестности Ь^г^), отличная от и удовлетворяющая условиям (1-4), (6-7) одно-
временно;
б) в противном случае переходим к шагу 1, выбирая другое начальное решение.
Алгоритм II
Шаг 1. Выбираем начальное приближение
(0) = ( z(0) z(0)
=(z1(
z(0)
q
) є Rq и радиус р.
Шаг 2. На каждом (п+1)-ом шаге алгоритма (п= 0,1,...), когда получен элемент на п-ом ша-
ге, осуществляем следующие действия.
Шаг 2.1. Выбираем радиус р = 1.
Шаг 2.2. Рассмотрим подмножество Ьр(г<'п) точек множества Мд , находящихся на расстоянии р от точки . Обозначим эти точки таким же, как обозначены точки окрестности Ьр(г<'п) в шаге 2.2. алгоритма 1.
Единственное различие состоит в том, что условие (13) заменится условием
(15)
i=1
Шаг. 2.3. Из множества Ьр(г<'п) выделим точку, удовлетворяющую одновременно условием (1-4), (6-7) и (14). Если такая точка найдется, то обозначим ее через г<'п+11 и перейдем к шагу
2.1, заменяя п на (п+1) .
Шаг. 2.4. Если в множестве Ь^г^) нет такой точки, т.е. в Ьр(^п1 нет ни одной допустимой точки, ведущей к уменьшению значения
функции цели по сравнению с точкой г(п^ , то : при р < р заменяем р на р+1 и переходим к шагу 2.2,
при р = р решение задачи;
и п=1 точка z('> есть искомое
при р = р и п=0 :
а) есть точка минимума, если существует хотя бы одна точка множества
и Ь ( г(" >) = Ьр ( г(" >)\г1"',
/=1
удовлетворяющая условиям (1-(4), (6-7);
в) в противном случае переходим к шагу 1, выбирая другое начальное приближение.
С помощью приведенных алгоритмов было решено несколько практических задач типа (1-4), (6-7) [12]. Полученные результаты подтвердили высокую эффективность предлагаемого подхода [12, 13]. Решить эти задачи другими известными методами оказалось труднее из-за большой размерности задач и соответственно большого объема необходимых вычислений.
Для нахождения оптимальных технологических схем на основе этих алгоритмов создана программа решения задачи целочисленного линейного программирования, постановка которой дана в [3, 5]. Программа выполнена на языке ЛИСП для ЭВМ в математическом пакете БЕШУЕ6.15 .
Начальное решение выбирается из исходной информации задачи и представляет собой вектор решений, компонентами которого являются ряд 0 и 1. Единицы поставлены в соответствии тем дугам графа, которые в свою очередь соответствуют допустимым (оптимальным или подопти-мальным) звеньям технологической цепи. По приведенным выше алгоритмам программа улучшает начальный вектор решений и выдает на печать минимальное значение целевой функции, вектор решений (оптимальную технологическую схему), количество итераций. Те дуги графа, которым в векторе решений соответствуют единицы, будут соответствовать технологическим
процессам, составляющим искомую оптимальную технологическую схему.
3. Оценка результатов применения алгоритмов I и II В такой постановке задача целочисленного программирования с целевой функцией (11) и
ограничениями (1-4) , (6) и (10) при решении этой задачи в среде МАРЬЕ11 имеет вектор (1,0,0,0,0). Это означает, что наилучшей технологической схемой очистной выемки будет гидравлическая выемка с механогидравлической нарезкой (короткими забоями с выемкой полосами по падению) с минимальной себестоимостью одной тонны угля по бригаде - 0.501 руб./т.
Выбранные на ЭВМ оптимальные технологические схемы могут быть рекомендованы к применению для горно-геологических условий, аналогичных условиям гидрошахты "Юбилейная".
Итак, осуществлена математическая постановка задачи оптимизации технологических схем в виде задачи целочисленного линейного программирования, позволяющая реализовать отыскание оптимальной схемы с помощью современных компьютерных технологий вычислений в математическом моделировании.
В результате решения задач оптимизации с использованием современных компьютерных технологий вычислений в математическом моделировании установлены оптимальные варианты применения технологической схемы очистной выемки для гидрошахт Кузбасса, отрабатывающих пласты пологого падения средней мощности (2.4 - 2.5 м.).
Использование приведенного в работе метода оптимизации позволяет на научной основе выбирать наиболее рациональный вариант системы разработки короткими забоями по различным критериям и ограничивающим показателям, что дает возможность получить значительный экономический эффект.
Выводы
Осуществлена математическая постановка задачи оптимизации технологических схем в виде задачи целочисленного линейного программирования, позволяющая реализовать отыскание оптимальной схемы с помощью современных компьютерных технологий вычислений в математическом моделировании.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Временные инструкции и технологические схемы очистной выемки угля на пластах пологого и наклонного падения гидрошахт Кузбасса// ВНИИГидроуголь. Новокузнецк, 1973. 50 с.
2. Временные инструкции и технологические схемы очистной выемки угля на пластах крутого падения гидрошахт Кузбасса // ВНИИГидроуголь. Новокузнецк, 1973. 44 с.
3. Сорокин А.С. Применение методов теории вероятностей к исследованию некоторых процессов производства. // 4-ая междунар. конф. «Кибернетика и технологии XXI века». Воронеж, 2003. С.312-323.
4.Сорокин А. С. Математическое моделирование метановзрывоопасности шахтных технологических систем// Вестник КузГТУ, 2007, №2. С. 3-15.
5. Сорокин А.С., Гефт Ю.Б., Голланд Э.Б., Сорокина М.К. Построение технолого-математической модели эксплуатационного участка гидрошахты //Труды ВНИИГидроугль, вып. 22, Новокузнецк, 1972. С. 189-212.
6. Сорокин А.С., Костовецкий С.П., Рощин В.Д., Гонтов А.Е. Определение соотношений действующих очистных, подготовительных и нарезных забоев, обеспечивающих плановую добычу угля и воссоздание очистного фронта на гидрошахтах //Труды ВНИИГидроугль, вып. 25, Новокузнецк, 1972. С. 19-22.
7. Барсегян А.А., Куприянов М.С., Степаненко В.В., Холод И.И. Методы и модели анализа данных: OLAP и Data Mining. -СПб: 2004. 336 с.
8. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования. - М.: Бином. 2005. 416 с.
9. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. - М.: Сов.радио, 1966.
10. Авдулов П.В. Математическое программирование в угольной промышленности. - М.: МГИ, 1970.
11. Аладьев В.З., Шишаков М.Л. Автоматизированное рабочее место математика. -М., 2000. - 752 с.
12. Архипова Т. Т., Рощин В.А., Сергиенко И.В. О решении одной задачи целочисленного программирования. Кибернетика, № 1, 1973.
13. Сорокин А.С., Разгильдеев Г.И., Сорокина М.К. Метод оптимизации шахтных технологических систем по критерию надежности и метановзрывоопасности // Труды ВНИИГидроугль, вып. 34, Новокузнецк, 1974.
14. Вагнер Г. Основы исследования операций. Т. I. М.: Мир, 1972. -336 с.
□ Автор статьи:
Сорокин Андрей Семенович - канд. физ.-мат.наук, ст.н.с., д оц., филиала КузГТУ,
(г. Новокузнецк ), тел.: 8 (3843) 725007
