Оптимизация структуры системы при "холодном" резервировании Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Вюник Придшпровсько! державно! академй' будiвництва та архггектури, 2017, № 6 (235-236) ISSN 2312-2676 УДК 519.873

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ СИСТЕМЫ ПРИ «ХОЛОДНОМ» РЕЗЕРВИРОВАНИИ

СЕМЕНЕЦ С. Н.1*, канд. техн. наук, доц., НАСОНОВА С. С.2* , канд. техн. наук, доц., ВЛАСЕНКО Ю. Е.3*, канд. техн. наук, доц., КРИВЕНКОВА Л. Ю.4*, ст. викл.

1 Кафедра прикладной математики и информационных технологий, Государственное высшее учебное заведение «Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, Днипро, 49600, Украина, тел. +380676396064, e-mail: semenets.serg@gmail.com, ORCID ID: 0000-0003-0477-8795

2 Кафедра высшей математики, Государственное высшее учебное заведение «Украинский государственный химико-технологический университет», пр. Гагарина, 8, Днипро, 49005, Украина, тел. +380979409856, e-mail: ms.nasonova.s@gmail.com, ORCID ID: 0000-0002-0920-7417

3 Кафедра прикладной математики и информационных технологий, Государственное высшее учебное заведение «Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, Днипро, 49600, Украина, +38 (056) 756-34-10

4*Кафедра прикладной математики и информационных технологий, Государственное высшее учебное заведение «Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, 49600, Днипро, Украина, +38 (056) 756-34-10, e-mail: lyuk2406@i.ua.

Аннотация. Цель работы - дать проектировщикам высоконадежных технических систем, не владеющим современными методами оптимизации и навыками программирования, простой математический инструмент для выбора оптимальной структуры резервированной системы. Методика. При проектировании высоконадежных систем с использованием метода структурного резервирования всегда встает вопрос рационального выбора одного из нескольких вариантов состава системы. С одной стороны, желательно обеспечить каждый из элементов системы как можно большим количеством резервных элементов, а, с другой стороны, нельзя проектировать систему со слишком большими значениями стоимости, массы или габаритов. Поэтому актуальной является задача, каким образом зарезервировать систему так, чтобы обеспечить требуемый уровень надежности системы при допустимых затратах. Обычно задачи оптимального структурного резервирования технических систем формулируются в виде задачи нелинейного целочисленного программирования, а для их решения, в зависимости от сложности и требуемой точности, используются специальные алгоритмы, основанные, прежде всего, на методе динамического программирования. В данной статье предлагается новый подход к решению этих задач, основанный на представлении исходной оптимизационной модели в терминах задачи нелинейного целочисленного программирования с бинарными переменными и последующей ее численной реализацией в инструментальной среде табличного процессора MS Excel. Выводы. Полученные результаты на конкретных примерах показывают эффективность и достаточную общность рассмотренного подхода к решению задач оптимального резервирования. Предложенные оптимизационные модели относятся к классу задач нелинейного целочисленного программирования с бинарными переменными, для численной реализации которых хорошо приспособлен табличный процессор MS Excel. Эти модели могут быть полезны для анализа надежности технических систем на ранних стадиях их проектирования.

Ключевые слова: система, надежность, модель, оптимизация, структурное резервирование, бинарные переменные

ОПТИМ1ЗАЦ1Я СТРУКТУРИ СИСТЕМИ ЗА «ХОЛОДНОГО» РЕЗЕРВУВАННЯ

СЕМЕНЕЦЬ С. М.1*, канд. техн. наук, доц., НАСОНОВА С. С.2* , канд. техн. наук, доц., ВЛАСЕНКО Ю. е.3*, канд. техн. наук, доц., КРИВЕНКОВА Л. Ю.4*, ст. викл.

1 Кафедра прикладно! математики та шформацшних технологш, Державний вищий навчальний заклад «Придншровська державна академiя будiвництва та архггектури», вул. Чернишевського, 24-а, Дншро, 49600, Укра'на, тел. +380676396064, e-mail: semenets.serg@gmail.com, ORCID ID: 0000-0003-0477-8795

2 Кафедра вищо! математики, Державний вищий навчальний заклад «Укра'нський державний хiмiко-технологiчний ушверсигет», пр. Гагарша, 8, Дншро, 49005, Украгна, тел. +380979409856, e-mail: ms.nasonova.s@gmail.com, (ORCID ID: 0000-0002-0920-7417

3 Кафедра прикладно! математики та шформацшних технологш, Державний вищий навчальний заклад «Придншровська державна академiя будiвництва та архггектури», вул. Чернишевського, 24-а, Дншро, 49600, Украша, +38 (056) 756-34-10 4*Кафедра прикладно! математики та шформацшних технологш, Державний вищий навчальний заклад «Придншровська державна академГя будгвництва та архггектури», вул. Чернишевського, 24-а, Дншро, 49600, Украша, +38 (056) 756-34-10, e-mail: lyuk2406@i.ua.

Анотащя. Мета cmammi - дати проектувальникам високонадiйних техшчних систем, як1 не володшть сучасними методами оптимiзацi! та навичками програмування, простий математичний iнструмент для вибору оптимально! структури резервовано! системи. Методика. Шд час проектування високонадiйних систем i3 застосуванням методу структурного резервування завжди постае питання рацiонального вибору одного з дешлькох варiантiв складу системи. З одного боку, бажано забезпечити кожен з елеменлв системи якомога бшьшою к1льк1стю резервних елеменпв, а, з iншого боку, не можна проектувати систему з дуже великими значеннями вартостi, маси або габарипв. Тому постае питання, яким чином зарезервувати систему так, щоб забезпечити необхiдний рiвень надiйностi системи за допустимих витрат. Зазвичай задачi оптимального структурного резервування технiчних систем формулюються у виглядi задачi нелшшного цiлочисельного програмування, а для !х розв'язання, залежно вiд складностi i необхвдно! точностi, застосовуються спецiальнi алгоритми, засноваш, перш за все, на методi динамiчного програмування. У статп пропонуеться новий пiдхiд до розв'язання цих задач, заснований на представленш вихiдно! оптимiзацiйно! моделi в термшах задачi нелiнiйного цiлочисельного програмування з бшарними змiнними i подальшою й! чисельною реалiзацiею в iнструментальному середовищi табличного процесора MS Excel. Висновки. Отримаш результати на конкретних прикладах показують ефектившсть i достатню спшьшсть розглянутого подходу до виконання завдань оптимального резервування. Запропонованi оптимiзацiйнi моделi належать до класу задач нелшшного цшочисельного програмування з бiнарними змшними, для чисельно! реалiзацi! яких добре пристосований табличний процесор MS Excel. Ц моделi можуть бути корисш для аналiзу надiйностi технiчних систем на раншх стадiях !х проектування.

Ключов1 слова: система, надттсть, модель, оптимiзацiя, структурне резервування, бтарт змтш

OPTIMIZATION OF THE STRUCTURE OF THE SYSTEM WITH

«COLD» RESERVATION

SEMENETS S. N.1*, Cand. Sc. (Tech.), Ass. Prof., NASONOVA S. S.2*, Cand. Sc. (Tech.), Ass. Prof., VLASENKO Yu. E., 3*, (Cand. Sc. (Tech.), Ass. Prof., KRIVENKOVA L.Yu. 4*, senior lect.

1 Department of Applied Mathematics and Information Technology, State Higher Education Establishment «Prydniprovs'ka State Academy of Civil Engineering and Architecture», 24-A, Chernishevskogo str., Dnipro, 49600, Ukraine, tel. +380676396064, e-mail: semenets.serg@list.ru, ORCID ID: 0000-0003-0477-8795

2 Department of higher mathematics, State Higher Education Establishment «Ukrainian state chemical - technological university», 8, Gagarin str., Dnipro, 49005, Ukraine, tel. +380979409856, e-mail: ms.nasonova.s@gmail.com, ORCID ID: 0000-0002-0920-7417

3*

Department of Applied Mathematics and Information Technology, State Higher Education Establishment «Prydniprovs'ka State Academy of Civil Engineering and Architecture», 24-A, Chernishevskogo str., Dnipro, 49600, Ukraine, +38 (056) 756-34-10 4*Department of Applied Mathematics and Information Technology, State Higher Education Establishment «Prydniprovs'ka State Academy of Civil Engineering and Architecture», 24-A, Chernishevskogo str., Dnipro, 49600, Ukraine, +38 (056) 756-34-10, e-mail: lyuk2406@i.ua.

Annotation. Purpose - to give designers of highly technical systems, do not know the modern methods of optimization and programming skills, a simple mathematical tool for choosing the optimal structure of a redundant system. Methodology. In the design of highly reliable systems using the method of structural redundancy is always a question of rational choice of one of several options for the composition of the system. On the one hand, it is desirable to provide each of the elements of the system a greater number of redundant elements, and, on the other hand, can not be designed with too large system cost values mass or size. Therefore, the actual problem is, how to reserve the system so as to provide the required level of system reliability at acceptable cost. Usually, the problem of optimal structural redundancy of technical systems are formulated as a nonlinear integer programming problems and to solve them, depending on the complexity and required precision, using special algorithms based primarily on dynamic programming method. This article proposes an approach to solving these problems based on the representation of the original optimization model in terms of the problem of nonlinear integer programming with binary variables and its subsequent implementation in numerical workbench MS Excel spreadsheet processor. Conclusions. The resulting article of specific examples demonstrate the efficacy and sufficient generality of this approach to solving problems of optimal reservation. The proposed optimization models belong to the class of non-linear integer programming problems with binary variables for the numerical implementation of which is well suited spreadsheet MS Excel. These models may be useful for analyzing the reliability of technical systems in the early stages of their design.

Keywords: system, reliability, model, optimization, structural redundancy, binary variables

Постановка проблемы. Недостаточная проектная надежность технических систем приводит к значительному увеличению доли

эксплуатационных расходов в общих затратах на их проектирование, изготовление и применение. При этом стоимость эксплуа-

тации может во много раз превосходить стоимость разработки и изготовления системы [4; 5; 7]. Поэтому надежность технических систем должна обеспечиваться, прежде всего, на этапе проектирования [2; 8].

Одним из основных методов обеспечения надежности проектируемых технических систем является метод структурного резервирования [1; 3; 6], предусматривающий использование

избыточных элементов в системе. Суть структурного резервирования заключается в том, что в структуру системы помимо основного (резервируемого) объекта, содержащего минимально необходимое количество элементов, требуемых для нормального выполнения системой присущих ей функций, вводятся дополнительные элементы, идентичные (в смысле выполняемых рабочих функций и надежности) основным. Эти избыточные (резервные) элементы предназначены для выполнения рабочих функций основных элементов.

Таким образом, система с резервированием - это система, содержащая резервные структурные составляющие по отношению к резервируемому объекту, которые выполняют те же рабочие функции, что и соответствующие составляющие основного объекта. Резервированная система сохраняет работоспособность после очередного отказа какого-либо элемента, если количество работоспособных элементов не становится меньше минимально необходимого числа, предусмотренного нормативными

требованиями к основному объекту.

При структурном резервировании всегда встает вопрос рационального выбора одного из нескольких вариантов состава системы. С одной стороны, для повышения надежности желательно обеспечить каждый из элементов системы как можно большим количеством резервных элементов, а, с другой стороны, нельзя проектировать систему со слишком большими значениями стоимости, массы или габаритов. Поэтому актуальной является задача, каким образом

зарезервировать систему так, чтобы обеспечить требуемый уровень надежности системы при допустимых затратах. Выбор характеристики затрат определяется видом системы и ее назначением. Например, для летательных аппаратов существенным фактором является масса, а для наземных систем - стоимость. Вне зависимости от физической сущности выбранную характеристику затрат для краткости далее будем называть стоимостью.

Обычно задачи оптимального структурного резервирования технических систем формулируются в виде задачи нелинейного целочисленного программирования, а для их решения, в зависимости от сложности и требуемой точности, используются специальные алгоритмы, основанные, прежде всего, на методе динамического программирования [3]. В данной статье предлагается новый подход к решению этих задач, основанный на представлении исходной оптимизационной модели в терминах задачи нелинейного целочисленного программирования с бинарными переменными и последующей ее численной реализацией в инструментальной среде табличного процессора MS Excel.

Цель статьи - дать проектировщикам высоконадежных технических систем, не владеющим современными методами оптимизации и навыками

программирования, простой математический инструмент для выбора оптимальной структуры резервируемой системы.

Рис.1. Структурная схема надежности основного объекта / Structural diagram of reliability of the main object

Основная часть. При постановке задачи оптимального структурного резервирования основной объект рассматривается как система, состоящая из n различных элементов, имеющих логически последовательное соединение [3] (рис.1). В качестве главного показателя надежности резервированной системы

принимается вероятность ее безотказной работы.

Считается, что поток отказов элементов, включенных в работу, описывается потоком Пуассона [2]. Возможные варианты резервирования основного объекта ограничиваются рассмотрением типовой схемы раздельного «холодного»

резервирования с замещением и целой кратностью при идеальном переключателе [3; 6] (рис. 2).

Резервные

1

А. г -А

Рис. 2. Структурная схема надежности при «холодном» резервировании с замещением /Structural scheme of reliability with "cold" reservation with substitution

Заметим, что вероятность безотказной работы резервированной группы элементов, структурная схема надежности которой показана на рисунке 2, определяется по формуле Эрланга [3; 6]:

(1)

^ №)г

Р (г) = е £

1=0 И

где Л - интенсивность отказов элемента, включенного в работу; г -кратность резервирования.

Введем следующие обозначения: Лк - интенсивность отказов элементов к -го типа, включенных в работу;

т - максимально допустимая кратность резервирования основных элементов;

ск - стоимость одного элемента к -го типа;

хк1 - бинарная переменная, равная 1, если число резервных элементов к-го типа равно 1, и хИ = 0, если число резервных элементов к-го типа не равно 1;

рк (г) - вероятность безотказной работы основного элемента к-го типа, на протяжении времени г

Рк (г) = еЛ. (2)

Рассмотрим некоторую

резервированную группу, состоящую из элементов к -го типа. Принимая во внимание введенные обозначения, вероятность безотказной работы и стоимость этой резервированной группы можно найти по формулам:

т ' (Л г)3

Рк (г) = Рк (г) ££хк1^3- =

'=0 3=0 3! (3)

= еЛ £ £хв 3;

1=0 3=0 3!

т

С =£(1 ■ Ск ■ Хк1), к = 1,2,..,и. (4)

1=0

С учетом логически последовательного соединения основных элементов и правила умножения вероятностей, а также соотношений (3) и (4), вероятность безотказной работы и стоимость всей резервированной системы определяются следующим образом:

п

(5)

ps (х, t)=п pk (t);

к=1

Cs (х) = ±Ck , к=1

(6)

где X - матрица, описывающая состав элементов резервированной системы

X =

X10 X11 "• X1m X20 X21 ••• X2m

V Xn0 Xn1 ••• XnmУ

(7)

В терминах задачи математического программирования возможны следующие две типовые постановки задачи оптимального структурного резервирования.

Задача 1: требуется найти состав резервных элементов (элементы матрицы X), обеспечивающий требуемый уровень

л*

надежности системы Р на протяжении

заданного времени T при минимально возможной стоимости

Cs (X) ^ mtn

Ps ( X, t ) > P*, t е[0,Г ];

m

Sxu = 1, k = 1,2,..,n .

(8)

Задача 2: требуется найти состав резервных элементов, обеспечивающий максимально возможный уровень надежности системы на протяжении заданного времени T при ограничении на ее стоимость

Ps ( X, t ) ^ max Cs(X) < C*; t е[0,Г];

m

Sxki = 1, k = 1,2,..,n .

(9)

i=0

Оптимизационные модели (8) и (9) имеют размерность n х m и относятся к классу задач целочисленного нелинейного программирования с бинарными

переменными. Для численной реализации модели (8) использовалась надстройка MS Excel «Поиск решения». Задача решалась при следующих исходных данных: п = 7;

л *

m=4; P = 0,999; т = 10000 час.

Интенсивности отказов и стоимости элементов принимались по таблице 1. Найденные оптимальные значения неизвестных xki приведены в таблице 2.

Оценки показателей надежности и стоимость оптимальной резервированной системы приведены в таблице 3, а соответствующая структурная схема надежности этой системы показана на рисунке 3.

Таблица 1

Исходные данные /Initial data

№ Интенсивность от- Стоимость

элемента казов (час-1) (тыс. грн)

1 0,02-10-4 25

2 0,014 10-4 52

3 0,09 10-4 12

4 0,3010-4 17

5 0,1110-4 29

6 0,0110-4 43

7 0,07-10-4 34

Таблица 2

Оптимальные значения неизвестных xki / Optimal values of unknowns xki

k\i 0 1 2 3 4

1 0 1 0 0 0

2 0 1 0 0 0

3 0 0 1 0 0

4 0 0 0 1 0

5 0 0 1 0 0

6 0 1 0 0 0

7 0 0 1 0 0

Таблица 3

Параметры надежности и стоимость оптимальной системы / The reliability parameters and the cost

of an optimal system

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 Ps Cs

0,9998 0,9999 0,9998 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9990 533

- 1

7 -

^^^ 4IF

Рис. 3. Оптимальная структура резервированной системы / Optimal structure of the redundant system

Выводы. Полученные в статье результаты на конкретных примерах показывают эффективность и достаточную общность рассмотренного подхода к решению задач оптимального

резервирования.

Предложенные оптимизационные

модели (8) и (9) относятся к классу задач нелинейного целочисленного

программирования с бинарными

переменными, для численной реализации которых хорошо приспособлен табличный процессор MS Excel.

Эти модели могут быть полезны для анализа надежности технических систем на ранних стадиях их проектирования.

i=0

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

L Обеспечение надежности сложных технических систем : учеб^ для вузов / А^ Н Дорохов,

В^ А^ Керножицкий, А^ Н Миронов, О^ Л^ Шестопалова^ - Санкт Петербург : Лань, 201L - 352 с 2^ Капур К Надежность и проектирование систем/ К Капур, Л^ Ламберсон ; пер^ с анта Коваленко Е^ П, под

ред Ушакова И А^ - Москва : Мир, 1980^ - 604 с 3^ Каштанов В^ А^ Теория надежности сложных систем: учебное пособие / В^ А^ Каштанов, А^ И Медведев^ -

2-е изд^, перераб^ - Москва : Физматлит, 2010^ - 606 с 4^ Острейковский В^ А^ Теория надежности : учеб^ / В^ А^ Острейковский - Москва : Высшая школа, 2003^ -463 с

5^ Половко А^ М^ Основы теории надежности : практикум / А^ М^ Половко, С В^ Гуров^ - Санкт-Петербург :

БХВ-Петербург, 2006^ - 560 а 6^ Рябинин И А^ Надежность и безопасность структурно-сложных систем / И А^ Рябинин - Санкт Петербург : Политехника, 2000^ - 248 с

7^ Семенец С Н Управление эксплуатационным состоянием нефтяных резервуаров по экономическим критериям / С Н Семенец, С С Насонова // 1нформацшш технологи в освт, науш та управлшш : мат наук^-практ^ семшару, (Днiпропетровськ, 13 сiчня 2012 р^ / Приднiпр• держ^ акад буд-ва та архггектури -Дншропетровськ : ПДАБА, 2012^ - С 184-187^ 8^ Шишмарев В^ Ю^ Надёжность технических систем: учеб^ для студ^ вузов / В^ 1Ю Шишмарев^ - Москва : Академия, 2010^ - 304 с - (Высшее профессиональное образование)

REFERENCES

1 Dorokhov A^K, Kernozhickij VA^, Mironov A^ N and Shestopalova O^ Obespechenie nadezhnosti slozhnyx texnicheskix sistem [Ensuring the reliability of complex technical systems] Sankt Peterburg: Lan', 2011, 352 p^ (in Russian)•

2^ Kapur K and Lamberson L^ Nadezhnost' i proektirovanie sistem [Reliability and systems designing] Moskva: Mir, 1980, 604 p^ (in Russian)

3^ Kashtanov VA and Medvedev AX Teoriya nadezhnosti slozhnyx sistem [Theory of reliability of complex system]

ed^ 2, Moskva: Fizmatlit, 2010, 606 p^ (in Russian) 4^ Ostrejkovskij VA Teoriya nadezhnosti [Theory of reliability]• Moskva: Vysshaya Shkola, 2003, 463 p^ (in Rus-sian)•

5^ Polovko AM and Gurov S^ Osnovy teorii nadezhnosti [Fundamentals of the theory of reliability] Sankt Peterburg: BXV-Peterburg, 2006, 560 p^ (in Russian) 6^ Ryabinin LA^ Nadezhnost' i bezopasnost' strukturno-slozhnyx sistem [Reliability and safety of structurally complicated systems] Sankt Peterburg: Politexnika, 2000, 248 p^ (in Russian) 7^ Semenets SN and Nasonova S^ Upravlenie ekspluatacionnym sostoyaniem neftyanyx reservuarovpo ekonomich-eskim kriteriyam [Operational status managing of oil tanks on economic criteria] Informazhiini tekhnolohii v osviti, nautsi ta upravlinni: mat. nauk.-prakt. seminaru, (Dnipropetrovsk, 13 sichnia 2012 r.) [Information technologies in education, science and management: proceedings of the mathematical scientific-practical seminar (Dnipropetrovsk, January 13, 2012)] Prydnipr derzh akad^ bud-va ta arhitektury [Prydniprovs'ka State Academy of Civil Engineering and Architecture] Dnipropetrovsk: PDABA, 2012, pp^ 184 -187^ (in Russian) 8^ Shishmarev V^Yu Nadezhnost texnicheskix sistem [Reliability of technical systems] Moskva: Academiya, 2010, 304 p^ (in Russian)

Рецензент: Сршова Н. М. д-р техн. наук, проф.

Надшшла до редколегп: 12.10.2017 р^ Прийнята до друку: 22•10•2017 р^