CC BY
47
УДК 531/534: [57+61]
Российский Журнал
www.biomech.ru
ОПТИМИЗАЦИЯ СЛАЛОМНОЙ ТРАЕКТОРИИ С УЧЕТОМ НАКЛОНА ЛЫЖНИКА
Р.Н. Рудаков*, А.А. Разумов*, А.Ф. Лисовский**, Р.М. Подгаец*
*Кафедра теоретической механики Пермского государственного технического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, e-mail: rrn@theormech.pstu.ac.ru
**Чайковский филиал Пермского государственного технического университета, Россия, 617762, Пермский край, Чайковский, ул. Ленина, 67
Аннотация. Рассматривается модель горнолыжника в виде материальной точки, жестко связанной с невесомым стержнем, длина которого равна расстоянию от центра масс системы лыжник-лыжи до лыж. При определении времени спуска по трассе специального слалома учтен наклон лыжника в сторону вогнутости траектории при обходе шеста. При заданных значениях аэродинамического коэффициента сопротивления и коэффициента трения скольжения найдена оптимальная траектория лыж, минимизирующая время спуска по трассе специального слалома.
Ключевые слова: биомеханика спорта, слаломная траектория, оптимизация, угол наклона лыжника.
Введение
Биомеханические проблемы горнолыжного спорта постоянно привлекают внимание исследователей; в публикациях последних лет горнолыжник моделируется в виде достаточно сложной стержневой системы [1-3]. Однако многие эффекты, возникающие при прохождении слаломной трассы, могут быть исследованы на более простых моделях горнолыжника. Ранее в работах авторов [4-8] лыжник моделировался материальной точкой, движущейся по слаломной траектории, определяемой как осредненный след лыж на криволинейном горном склоне. В данной работе эта модель несколько усложнена, что позволило учесть наклон лыжника в сторону вогнутости траектории лыж и приблизить к реальной расчетную траекторию движения центра масс системы лыжник-лыжи. Так как в момент обхода шеста траектория лыж проходит в непосредственной близости от него, происходит столкновение корпуса лыжника с шестом. Предполагается, что шест при наезде лыжника безынерционно отклоняется от вертикального положения и не оказывает сопротивления движению лыжника.
Модель движения системы лыжник-лыжи
Система лыжник-лыжи представляется материальной точкой M, жестко
© Рудаков Р.Н., Разумов А.А., Лисовский А.С., Подгаец Р.М., 2007
09806267
Рис. 1. Геометрия элемента слаломной траектории и силы, действующие на систему
лыжник-лыжи
связанной с невесомым стержнем ММЬ (рис. 1). Масса материальной точки т равна суммарной массе лыжника и лыж. Невесомый стержень имеет длину к, равную расстоянию от центра масс системы до лыж, и составляет с нормалью к склону переменный угол у [6]:
где V - скорость лыжника, гс - радиус кривизны траектории центра масс, g -ускорение свободного падения, а - угол склона горы в данной точке.
Склон горы представляется как часть поверхности цилиндра радиуса Яс, в
верхней части которой угол склона равен а0. В произвольной точке склона
где I - расстояние, пройденное лыжником по линии наибольшего ската в произвольной точке МЬ слаломной траектории.
Слаломная трасса определяется двумя рядами шестов, расположенных по обе стороны от линии наибольшего ската в шахматном порядке. Период трассы Ь, а расстояние шестов от средней линии наибольшего ската равно а. Так же, как и в работе [4], уравнение траектории центра масс системы лыжник-лыжи представляется полиномом шестого порядка. Параметры оптимизации этой траектории - угол входа в поворот фс и радиус кривизны траектории центра масс Ьс при обходе лыжником шеста. В настоящей работе траектория движения центра масс задается таким образом, что ее период равен Ь, а амплитуда ас определяется выражением
( V2 'ї
(1)
(2)
ас = а -1 йпОт ),
(3)
где Ym - максимальный угол наклона лыжника, определяемый по формуле (1) при
rC = bC ■
В исследуемой модели движения приняты следующие допущения. Предполагается, что расстояние от центра масс до лыж постоянно (h = const), и центр масс движется по цилиндрической поверхности. Целью данного исследования является оценка влияния наклона лыжника на оптимальную траекторию лыж и на время прохождения трассы.
Система сил и дифференциальные уравнения движения центра масс
При движении лыжника по слаломной траектории на него действуют следующие силы: сила тяжести Р, сила лобового сопротивления Я., линии действия которых проходят через центр масс М, а также нормальная реакция лыжни N с составляющими N и N2 и сила трения ¥тр, приложенные к лыжам в точке ML (рис.1):
P = mg, R = 0,5р^2, FтP = fN, N = ^N2 + N , (4)
где m - масса системы лыжник-лыжи, р - плотность воздуха, ? - аэродинамический параметр, найденный ранее экспериментально [5]. В работе [4] было принято допущение, что сила трения лыж о снег на поворотах существенно возрастает из-за врезания кантов лыж в снег, и коэффициент трения f линейно зависит от тангенса угла наклона лыжника к нормали к поверхности:
./ = 0,05 + K 1ё(У), (5)
где K - коэффициент пропорциональности.
Так как линия действия силы трения ¥тр не проходит через центр масс, то в
соответствии с принципом Даламбера лыжник должен немного отклониться назад, чтобы момент нормальной реакции N лыжни относительно материальной точки уравновесил момент силы трения. Дифференциальные уравнения движения центра масс по его траектории будут такими же, как и в работе [4]:
dV . 1 т,2 „ /772 777 ds
m--------= mg sin a cos ф
-ip^V'2/>,2 + n2 , ds = V. (6)
Здесь:
dt 2 dt
mV2 cos2 ф N =----------------------------h mg cos a > 0,
1 Rc
t2
V2
N2 = m---------------------h mg sin a sin ф,
rC
где ф - угол между направлением касательной к траектории центра масс и линией наибольшего ската склона горы.
Начальные условия движения:
при t = 0 : ^ = 0, V = V). (7)
- \\
/У £
Vi \
- - V J // // Yv //
//
// //
NN Ул у /
\ ^ i\ ^ _
' 1 . 1 1 1111 ' ' i i i i
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
/, М
Рис. 2. Графики траектории центра масс (пунктирная линия) и траектории скольжения лыж (сплошная линия); квадратными метками изображены шесты; представлен третий период
трассы
Решение задачи Коши (6) - (7) отличается от решения такой же системы уравнений в работе [4] тем, что в случае новой модели горнолыжника интегрирование уравнений (6) - (7) ведется по траектории движения центра масс, отличной от траектории в работе [4].
Результаты оптимизации слаломной траектории
Рассматривалось прохождение лыжником слаломной трассы на учебной базе Чайковского института физической культуры. Горнолыжный склон предполагался цилиндрическим с радиусом кривизны Яс = 520 м и начальным углом склона а0 = 32°. Параметры трассы: длина вдоль линии наибольшего ската 175 м, период слаломной траектории Ь = 20 м и отклонение шестов от средней линии наибольшего ската а = 4 м. Аэродинамический параметр д принимался равным 0,48 [5]. Расстояние от центра масс системы до лыж усреднялось и было принято равным к = 0,5 м, коэффициент пропорциональности в формуле определения коэффициента трения (5) К = 0,24. Начальная скорость У0 равна той скорости, которую лыжник приобретает после прохождения 5 м по линии наибольшего ската от точки старта. Масса лыжника и лыж т = 78,08 кг.
Задача Коши (6)-(7) решалась методом пошагового интегрирования. Варьируемые параметры задачи - угол входа в поворот фс и радиус кривизны траектории центра масс Ьс вблизи шеста. Время спуска минимизировалось методом правильного симплекса.
Оптимальное значение времени спуска tmm = 36,61 с достигается при фс = 48,19°
и Ьс = 2,33 м. Это на 2,95 с меньше, чем при предположении о движении центра масс системы по траектории лыж [4].
На рис. 2 показаны оптимальная траектории центра масс (пунктир) и траектория лыж (сплошная линия), которая получена смещением точек оптимальной траектории центра масс на расстояние квт(у). Квадратными метками указанны шесты, которые лыжник должен объехать. Получены следующие оптимальные параметры слаломной траектории: угол входа в поворот фл = 50,2°, радиус кривизны при обходе шеста
Ьл = 2,78 м. Кроме того, нужно заметить, что когда центр масс лыжника пересекает среднюю линию наибольшего ската ( у = 0 ), отклонение траектории лыж от этой линии составляет 0,22 м.
Заключение
Исследовано движение горнолыжника по трассе специального слалома на криволинейном склоне горы. Принятая модель горнолыжника позволила учесть влияние наклона лыжника при обходе шеста на время прохождения трассы. По сравнению с работой [4], где наклон лыжника не учитывался, минимальное время прохождения трассы уменьшилось приблизительно на 8%. В настоящей работе не учитывалось изменение расстояния от центра масс системы лыжник-лыжи до лыж. По результатам данной работы видно, что увеличение этого расстояния при обходе шеста должно привести к еще большему сокращению времени спуска.
Список литературы
1. Yoneyama, T. Study of the effective turn motion using a ski robot / T. Yoneyama, H. Kagawa, N. Funahashi // The Engineering of Sport 4, edited by S. Ujihashi and S.J. Haake. - Blackwell Publishing, 2002. - P. 463469.
2. Takahashi, M. Instruction of the optimal ski turn motion / M. Takahashi and T. Yoneyama // The Engineering of Sport 4, edited by S. Ujihashi and S.J. Haake. - Blackwell Publishing, 2002. - P. 708-715.
3. Yoneyama, T. Timing of force application and joint angles during a long ski turn / T. Yoneyama, N. Scott, K. Hiroyuki // The Engineering of Sport 6, edited by E.F. Moritz and S. Haake. - Springer, 2006. - Vol. 1. -P. 293-298.
4. Рудаков, Р.Н. Оптимизация слаломной траектории на криволинейном склоне / Р.Н. Рудаков, А.Ф. Лисовский, А.Р. Г айсина, В.В. Хитрюк // Российский журнал биомеханики. - 2003. - Т. 7, №2. -С. 53-61.
5. Rudakov, R.N. The influence of aerodynamic forces on the movement of sportsmen and sport balls / R.N. Rudakov, Yu.I. Nyashin, A.R. Podgaets, A.F. Lisovski, S.A. Miheeva // Russian Journal of Biomechanics. - 2001. - Vol. 5, No 2. - P. 83-103.
6. Рудаков, Р.Н. Математическое моделирование специального слалома / Р.Н. Рудаков, А.Р. Гайсина, А.Ф. Лисовский, А.Р. Подгаец // Перспективные технологии и методики в спорте, физической культуре и туризме: сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции. -Чайковский, 2002. - С. 194-198.
7. Рудаков, Р.Н. Оптимизация траектории центра масс горнолыжника в специальном слаломе, слаломе-гиганте и супер-гиганте / Р.Н. Рудаков, А.Р. Гайсина, А.Ф. Лисовский, А.А. Разумов // Российский журнал биомеханики. - 2004. - Т. 8, № 2. - С. 12-18.
8. Rudakov, R. Sport biomechanics of movements in resisting media / R. Rudakov, R. Podgaets, A. Razumov, Y. Yakovleva, A. Podgaets // Proceedings of 5th World Congress of Biomechanics. - Munich, Germany, July 29 - August 4, 2006. - Edited by D. Liepsch. - Medimond International Proceedings, 2006. - P. 225231.
OPTIMISATION OF THE SLALOM TRAJECTORY WITH REGARD TO SKIER’S INCLINATION TO THE ALPINE SLOPE NORMAL
R.N. Rudakov, А.А. Razumov (Perm, Russia), A.F. Lisovski (Tchaikowski, Russia),
R.M. Podgaets (Perm, Russia)
The model of alpine skier has been considered as a material particle connected with a weightless rod. Mass of the material particle is the total mass of skier and skis, and the rod length is the distance from the mass centre of the ski-skier system to skis. To determine the total time a skier takes to travel all the track of special slalom, the skier’s inclination to the alpine slope normal during the turn motion around the pole has been taken into account. The optimal ski trajectory that minimises the descent time along the special slalom track has been found with the specified values of the aerodynamic drag coefficient and the coefficient of ski-snow friction.
Key words: sport biomechanics, slalom trajectory, optimisation, angle of skier’s inclination.
Получено 02 марта 2007
