Оптимизация системы массового обслуживания с переменной интенсивностью, зависящей от времени ожидания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Учитывая теперь соотношения (14), (16), (17), (21), (23)—(26), получим, что при 0<<1 плотность распределения капитала фонда Р(^) имеет вид (после перехода к старому началу координат)

Р(Б) =

1 - е

-dco0(S2 -Si)

евао(S-Si) + о(в), S < S1y

2(S2 - Si)

2-е-вш»(s-Si) -ee^(S-S2)

2S - Si)

1 - е-в®0(S2-Si)

+ о(в), S < S < S2

2(S2 - Si)

ева°(S-S}+ о(в), S > S2. (28)

Построенная аппроксимация (28) решения системы уравнений (2), (4)-(6) может быть улучшена за счет учета дополнительных членов разложения функций/(1,0) и щ(1,0) в ряд по степеням 0.

Заключение

Предложена и исследована математическая модель деятельности некоммерческого фонда при ги-стерезисном управлении его капиталом. Получены уравнения, определяющие плотность распределения капитала, найдено решение уравнений при экспоненциальном распределении поступающих в фонд премий и в случае малой нагрузки премии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования с детерминированными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) // Известия вузов. Физика. - 2003. - Т. 46. - № 3. - С. 83-87.

2. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2006. - № 18. - С. 302-308.

3. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Диффузионная аппроксимация математической модели деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 293. - С. 38-44.

4. Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю., Шифердекер И.Ю. Пуассонов-ская модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлением капиталом // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2006. - № 19. -С. 302-312.

5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 т. - М.: Мир, 1967. - Т. 1. - 498 с.

6. Глухова Е.В., Змеев О.А., Лившиц К.И. Математические модели страхования. - Томск: Изд-во ТГУ, 2004. - 180 с.

Поступила 26.10.2009 г.

УДК 65.012.122

ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ,

ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ

Л.И. Самочернова

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Изучена однолинейная система массового обслуживания с переменной интенсивностью обслуживания, зависящей от времени ожидания заявки, находящейся первой в очереди. Проведена оптимизация системы при учете потерь на ожидание и амортизацию.

Ключевые слова:

Система, обслуживание, время ожидания, амортизация, оптимальный момент.

Key words:

System, service, queuing time, depreciation, optimal moment.

Введение

Задача изучения управляемых систем массового обслуживания (СМО) является актуальной, поскольку функционирование многих реальных технических систем описывается с их помощью. Большое число работ посвящено изучению систем массового обслуживания, в которых интенсивность обслуживания, моменты включения и отключения резервных приборов, зависят от длины очереди или от

числа заявок в системе [1-5]. Класс СМО с управлением по времени ожидания является пока мало изученным, хотя именно такие системы являются наилучшими моделями многих реальных объектов, в частности, вычислительных систем, используемых для обработки медико-биологической информации, систем связи. Существуют лишь отдельные работы, например [6-9], в которых изучены СМО с управлением по времени ожидания.

В данной работе рассмотрена однолинейная система массового обслуживания, аналогичная описанной в [9], но с интенсивностью обслуживания, зависящей от текущего времени ожидания заявки, находящейся первой в очереди.

1. Описание системы

Рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания с простейшим входящим потоком интенсивности Я. Если заявка, находящаяся в некоторый произвольный момент времени t первой в очереди поступила в систему в момент времени ^, то величину 5(О=—0 будем называть текущим временем ожидания заявки, находящейся первой в очереди. Будем считать, что в интервале времени (^+Д) обслуживание заявки закончится с вероятностью /л^)&+о(А^ независимо от предыстории, то есть обслуживание предполагается марковским с интенсивностью л(^), где л(^) - произвольная дифференцируемая функция. Таким образом, интенсивность обслуживания заявки, находящейся на приборе, меняется со временем и определяется временем ожидания заявки, которая по освобождении прибора поступит на обслуживание. Так как в простейшем потоке заявок отсутствует последействие, то 5^) будет марковским процессом с особыми состояниями у({)=0 и у(0=1, где через у(^ обозначено число требований, находящихся на обслуживании в момент времени t, если очередь в этот момент пуста. Обозначим через р(я) финальную плотность вероятностей величины s, а через Пу) -финальную вероятность того, что в очереди заявок нет, а на приборе обслуживаются V заявок (у=0 или 1). Рассматривая переходы за интервал времени Д^ рассуждениями, аналогичными приведенными в [9], получим условия в нуле

р(0) = Яп(1),

dp(s)

ds

-Яр(0) = -Я 2п(0)

и уравнение

р( s) = [1 - л( ^ - Д) Д/] р( 5 - Д) +

да

+ЯД/1 е + V) • Р (5 + V )сЬ,

о

где V - значение интервала времени, через который поступило требование, следующее за находящимся в очереди первым. Это уравнение при Д^0 преобразуется к виду

^+л( 5)-Я] +л( .0 Р( 5) = о.

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

р(.) = е1-т (5 )[с1 + с21 ет (5 )-Яа ], где т(я) = | л(^а, с1, с2 - произвольные константы.

Для определения четырех неизвестных констант с1, с2, п(0), п(1) имеем два условия в нуле, условие нормировки

п (0) + п (1) +1 p(s)ds = 1

и естественное условие на бесконечности lim p(s) = 0.

Находя константы п(0), п(1), c1, c2, получим

Я2еЯ-m (s)

P(s) = -

Я + ^(0) +Я2 J eXs-m (s> ds

(1)

п(0) =■

M(0)

Я + ^(0) + Я2 J еЯ-m(s > ds

п(1) = ■

(2)

Я + ^(0) +Я2 J еЯ-m (s> ds

Заметим, что для полученной финальной плотности вероятностейр(5) и финальных вероятностей п(0), п(1) условие нормировки выполняется, если

J еЯ-m (s> ds

< <Х.

(3)

Условие (3) является достаточным условием существования стационарного режима работы систе-

да

мы. Если |еЯ-т(55а. расходится, то финальное рао

спределение вероятностей не существует.

2. Оптимизация системы

Рассмотрим случай, когда в описанной выше системе имеют место потери только двух видов.

А. Потери от ожидания заявок в очереди

Нахождение в очереди заявок, ожидающих обслуживания, приводит к потерям, которые будем называть потерями от ожидания. Пусть потери от ожидания определяются числом заявок г, находящихся в очереди. Будем считать, что если в очереди в течение единицы времени находится г заявок, то потери от ожидания в единицу времени равны В(1). Найдем математическое ожидание И¥(И) этих потерь. Пусть в какой-то момент времени заявка, находящаяся в очереди первой, ожидает обслуживания в течение

, (Я.)'-1 е'1

времени 5. За это время с вероятностью —-———

пришла еще г-1 заявка. Таким образом, условное распределение числа заявок в очереди г есть

p(i / s) =

^s)'-1 е~Я (i -1)!

Я

s=0

В этом случае безусловное распределение р(г) числа заявок в очереди имеет вид

' (Я.)'-1 е-11

Р(') =| Р(' / 5)Р(.)С5 =| р(5) -

(' -1)!

-Оя.

Тогда среднее значение потерь на ожидание Ь! можно записать как

Ц = МР (' ) = | Р (5) Р (5 О,

где

р (я) = £ р (')

(Я.)' 1 е

(4)

| Р (я) р (я )ск-

[Р (5) + / (т'(5))]С. + / (т '(0))/ Я

(5)

Я1-т1>)

ся+т (0)/я2 +1/я

3[т(я] = |еЯ т(1 "’[Р(я) + /(т'(.))]с1 +

при дополнительном ограничении

Г е11 -т (1> О. + (Я+2л) = а

I Я2

/ (л)

(6)

Из вариационного исчисления известно, что для решения такой задачи надо написать уравнение Эйлера для вспомогательного функционала

'=1 (' -1)!

В частности, если ^(/)=с1/, то ~я)=с!(Яз+1), где с^сош^, имеющая смысл потерь от ожидания одной заявки в течение единицы времени.

Б. Потери на амортизацию обслуживающего устройства

Будем считать, что при работе прибора с интенсивностью л(^) в системе в единицу времени возникают потери на амортизацию, равные/(л(я)), где /(л) - монотонно возрастающая, трижды дифференцируемая функция. Тогда среднее значение потерь на амортизацию в единицу времени равно

да

¿2 = Г / (т'(.)) Р (1)0. + п(1) / (т '(0)),

о

где учтено, что л(я)=т'(я).

Таким образом, средние суммарные потери системы в единицу времени равны

V[т(.)] = ГеЯ т(1)[Р(я) + /(т'(.)) -а]0. +

0

+ / (л) а(Я +л)

(7)

+Г / (т' (5)) Р(5)0. +п(1) /(т ' (0)).

0

Тогда, учитывая (1), (2), получаем, что задача оптимизации СМО сводится к минимизации функционала

¿(т(1)) =

с начальными условиями т(0)=0, т'(я)=л!.

Обозначим через тор((я) такую функцию т(я), которая доставляет минимум функционалу (5). Значение знаменателя в (5) при т(я)=тор((я) будем обозначать через а*, т. е.

а* = Г е11 т°р‘ + (Я + л)/Я2.

С учетом введенных обозначений задачу оптимизации функционала (5) можно сформулировать следующим образом. Найти минимум функционала

Я Я2

где а - множитель Лагранжа. Учитывая, что т'(5)=л(5), уравнение Эйлера для функционала (7) запишем в виде

л '(.) Г (л)+(Я - л(.)) /' (л) +

+/(л) + Р (5) -а = 0. (8)

Граничное условие имеет вид л(0)=л.

Заметим, что а* заранее не известно и находится следующим образом. Полагая в (8) а произвольным, но фиксированным, найдем л(я), соответствующее этому значению а. Подставив в (5) найденное й), получим значение Ь, соответствующее этому а. Рассматривая Ь как функцию а, найдем такое значение а=атп, при котором функция Ь(а) достигает минимума. Тогда а* определится из (6) при подстановке соответствующей л(5). Аналитически решить уравнение (8) не удается даже в случае, когда /(л) и ^(я) достаточно простые функции. Эта задача решена численно.

Случай /(л)=с2л (с2=сош1>0) является особым. При этом (8) вырождается в уравнение

Яс2 - а + Р(я) = 0.

Это говорит о том, что решение вариационной задачи в этом случае находится в классе разрывных функций, для которых методика классического вариационного исчисления неприменима.

Этот особый случай рассмотрен с использованием принципа максимума Понтрягина [10]. Будем считать дополнительно, что /л($) удовлетворяет условию л^М-^л, а ^(я) является монотонно возрастающей функцией от я. Применяя методику принципа максимума, получаем, что решение имеет вид

л при 1 <.0,

[л2 при 5 > 50, т. е. оптимальной является двухуровневая СМО.

л(.) =

Исследование двухуровневой СМО с интенсивностью обслуживания, зависящей от текущего времени ожидания заявки, находящейся первой в очереди

Обозначим финальную плотность вероятностей р(я) в области 0<5<50 через рх(я), а в области я>я0 через р2(я). Из (1) получим при Я^л

СО

СО

х>

РхО) =

Я2(Я - лХ)(Я - л2)ехр[(Я - лх)я]

12(л - л) ехР[(Я - лд50] - л1(Я - л) ’ Р2(1) =

Я'(Я - л)(Я - л2) ехр[(Яя - л110 - л2(1 - 50)]

Я'(л1 - л2)еХР[(Я - лд50] - л'(Я -^2)

При Я=л, формулы (9) не пригодны, т. к. имеется неопределенность, раскрывая которую, получим

(9)

Рх<Х> = Р2( 5) =

Я(Я- л)

(Я-л2)(1 + 1.0) -л2 Я(Я - л) ехр[(Я - л2)( 1 - .0)] (Я л2)(1 + 1.0) - л2

Если считать, что работа обслуживающего прибора с большей интенсивностью л2 вызывает в единицу времени потери, равные с2, то функция потерь имеет вид

50

¿(А) = Г р (.) Р1(5)°5 +

0

да да

+Г Р(.)р2 (5)0. + С2 Г р2 (5)05.

+Р - 1)

при а=1:

^ (р1 1)*0 ) (1 р2~)Л0 да

Р - 1

Р12е

V

Р2

ГР (Я

/

( Р2-1) *

, Р 2

Ох к

р2

Г Р |Я|+

+(Р2 -Х)(2 + *0)е

(р2 Х) *0 да / \ (р2 х) * |

р гр(Я)е Р-*'

Пример. Рассмотрим случай, когда потери от ожидания в очереди пропорциональны числу заявок, находящихся в очереди, т. е. /’(/)=с1/, где с! -положительная константа, имеющая смысл потерь от ожидания одной заявки в течениье единицы времени. Тогда из (4) получим, что 7?(я)=с!(Яя+1). В этом случае уравнения для определения оптимального момента включения большей интенсивности обслуживания л2 при р!ф! и р!=1 имеют соответственно вид:

Сх(Рх -Р2)

(Р1 -1)(Р2 - 1)

{р12(р2 -1) + (Р1 -!)'

(Р1 -1) х

<[(Р2 -1)( *0 + 1) Р2 ] + Р1 (Рх -р2) е +<2 Р2(Рх - Х) = 0

} +

(11)

с,{4 + *0[2 + (2 + *0)(1 -Р2)]} - 2 Р2С2 = 0. (12)

Полагая в уравнениях (11), (12) х0=0 и выражая с2/с!, получим при р!^1:

<2 = (Х + Рх)(Рх -Р2)

СХ Р2(1 -Р2)

(10) а при р!=1:

Эти потери зависят от параметра я0, и оптимизация такой системы сводится к нахождению такого момента включения большей интенсивности обслуживания, который минимизирует функцию потерь (10).

Уравнения для определения оптимального момента включения большей интенсивности обслуживания имеют вид при р^1:

<2 = {Р21п Р')) <[рхР2(Рх -Х)*ГР(ЯЯ^е Рх а*+

Р2 (Х -Рх) [ 0 Vя )

с2 2

<1 р2

Если при р!ф! выполняется неравенство

<2 < (х + Рх)(Рх -Р2)

СХ Р2(Х Р 2) ’

(13)

то уравнение (11) не имеет положительного корня. Это означает, что при выполнении неравенства (13) прибор все время должен работать с большей интенсивностью л Если неравенство (13) не выполняется, то уравнение (11) имеет единственный , положительный корень. Аналитически найти оптимальный момент включения большей интенсивности не удается даже в частном случае, когда ^(/)=с!/. Уравнение (11) решено численно.

Совершенно аналогичными рассуждениями при р=1 получаем, что если

<2 < _2_

<1 Р2

(14)

где Р1 = —, (' = Х, 2), *0 = Яу0.

л,

Доказано, что если Р(я) положительная монотонно возрастающая функция, то эти уравнения либо не имеют положительного корня, либо имеют единственный, положительный корень, в котором Ь(я0) принимает свое минимальное значение. Отсутствие корня означает, что прибор должен все время работать с максимальной интенсивностью л

то нужно сразу же включать большую интенсивность обслуживания л В случае, когда неравенство (14) не выполняется, существует положительный оптимальный момент включения большей интенсивности обслуживания хор, который находится из квадратного уравнения (12) и имеет вид

*оР, =

2 -Р2 - У(2 - Р2)2 + 2(Х - Р2ХР2С2 / СХ - 27

Р2 - Х

Данная работа может быть полезна при оптимизации систем, где важна не длина очереди, а время ожидания заявок в очереди или время ожидания заявок в системе.

*

Выводы

1. Получены явный вид финальной плотности вероятностей p(s) и финальные вероятности ж(0), тт(1) особых состояний системы, а также явный вид функционала потерь для рассматриваемой системы массового обслуживания с управлением по текущему времени ожидания при учете потерь на ожидание и амортизацию обслуживающего прибора.

2. Доказано, что оптимальной является двухуровневая система массового обслуживания, полу-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания // В кн.: Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. - М., 1975. - Т 12. - С. 43-153.

2. Соловьев А.Д. Задача об оптимальном обслуживании // Техническая кибернетика. - 1970. - № 5. - С. 40-49.

3. Коваленко И.Н. О СМО со скоростью обслуживания, зависящей от числа требований в системе и периодическим отключением каналов // Проблемы передачи информации. - 1971. -Т 7. - № 2. - С. 106-111.

4. Горцев А.М., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. - Томск: Изд-во ТГУ, 1978. - 208 с.

5. Горцев А.М., Катаева С.С. Оптимизация гистерезисного управления резервным каналом в вычислительной системе с двумя ЭВМ // Техника средств связи. Серия системы связи. - 1990. -Вып. 7. - С. 3-8.

6. Либура М. Об одноканальной системе обслуживания с простейшим входящим потоком и зависимостью времени обслу-

чены уравнения для нахождения оптимального момента включения большей интенсивности обслуживания.

3. Для частного случая, когда потери от ожидания в очереди пропорциональны числу заявок, находящихся в очереди, получен оптимальный момент включения большей интенсивности обслуживания при р!=1. Для случая р!ф1 выведено условие, когда прибор постоянно должен работать с большей интенсивностью обслуживания.

живания от времени ожидания в очереди // Проблемы передачи информации. - 1972. - Т. 8. - № 4. - С. 104-107.

7. Оптимизация СМО с симметричным резервным прибором / Самочернова Л.И., Храмова Ю.В.; Томск. политехн. ун-т. -Томск, 1996. - 8 с. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 26.06.1996, № 2127 - В96.

8. Переходной режим работы СМО с гистерезисной стратегией управления однотипным, симметричным резервным прибором / Самочернова Л.И., Назаренко Е.А.; Томск. политехн. ун-т. - Томск, 2000. - 10 с. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 2.08.2000, № 2158 - В00.

9. Зиновьева Л.И., Терпугов А.Ф. Однолинейная система массового обслуживания с переменной интенсивностью, зависящей от времени ожидания // Автоматика и телемеханика. - 1981. -№ !. - С 27-30.

10. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г, Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1976. - 392 с.

Поступила 15.10.2009 г.