ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВОЙНОГО МАЯТНИКА. II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ∗ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.015.1 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 1 МБС 70J99

Оптимизация режимов гашения колебаний пространственного двойного маятника. II. Решение задачи и анализ результатов*

А. С. Смирнов, Б. А. Смольников

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Российская Федерация, 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29 Институт проблем машиноведения Российской академии наук, Российская Федерация, 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В. О., 61

Для цитирования: Смирнов А. С., Смольников Б. А. Оптимизация режимов гашения колебаний пространственного двойного маятника. II. Решение задачи и анализ результатов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 1. С. 121-138. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.111

Настоящая работа является продолжением статьи «Оптимизация режимов гашения колебаний пространственного двойного маятника. I. Постановка задачи», в которой была дана постановка задачи оптимального гашения колебаний двойного маятника, имеющего не коллинеарные друг другу шарнирные оси. При этом рассматривается в отдельности пассивное гашение (вязкое трение), а также обсуждается возможность дополнительного учета активных воздействий (коллинеарное управление). Принимаются два критерия оптимизации, характеризующие эффективность процессов затухания движений системы: сначала максимизируется степень устойчивости, а затем минимизируется интегральный энерго-временной критерий. В ходе точного решения задачи в рамках линейной модели определяются оптимальные значения параметров рассматриваемых вариантов гашения по обоим критериям. Полученные результаты представлены в виде наглядных графических иллюстраций, позволяющих установить их основные качественные и количественные особенности. Сделанные выводы могут быть полезны при исследовании движений манипуляторов и различных робототехни-ческих конструкций.

Ключевые слова: пространственный двойной маятник, вязкое трение, коллинеарное управление, критерий оптимизации, степень устойчивости, энерго-временной критерий.

1. Введение. В данной статье приводится подробное аналитическое решение задачи оптимизации режимов гашения колебаний пространственного двойного маятника, постановка которой была дана в работе [1], а также осуществляется анализ полученных результатов. Во избежание путаницы ссылки на формулы, представленные в работе [1], помечаются верхним индексом «1».

2. Оптимизация вязкого демпфирования. Поставим сначала вопрос об отыскании коэффициента вязкого трения Ь (или отвечающей ему величины V) в шарнирах пространственного двойного маятника из условия оптимизации процесса

* Первая часть статьи опубликована здесь: Смирнов А. С., Смольников Б. А. Оптимизация режимов гашения колебаний пространственного двойного маятника. I. Постановка задачи // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2022. Т. 9 (67). Вып. 2. С. 357-365. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.215

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2023

затухания его малых колебаний. Для плоского двойного маятника данная задача была решена в [2], и в настоящем разделе результаты этой работы обобщаются на случай произвольного значения угла а между шарнирными осями.

2.1. Степень устойчивости. Обсудим подробнее траектории движения корней (8)1 характеристического уравнения в безразмерном виде к = А/к, т.е.

«1,2 = ± 0 - Щ1У2, «з,4 = -т^ ± «\/р20 ~ ??2г/2>

(1)

по корневому годографу с увеличением коэффициента V = п/к от 0 до то с учетом формул (9)1. При V = 0 все четыре корня (1) лежат на мнимой оси плоскости годографа. При увеличении V в диапазоне 0 < V < V20 эти корни перемещаются по полуокружностям, лежащим слева от мнимой оси:

(И.е К12)2 + (1т К12)2

-Рю,

(И.е К34)2 + (1т К34)2

= р2о-

(2)

При этом корни К3 4 двигаются по большей полуокружности (2) и сближаются, пока при V = V20 не сольются в один кратный вещественный корень, после чего они уже движутся в разные стороны по вещественной оси. Что касается корней К12, то они в диапазоне V20 < V < Vlo также двигаются по своей полуокружности до тех пор, пока при V = Vlo не происходит их слияние в один кратный корень. После этого они, так же как и пара корней К3 4, начинают расходиться в разные стороны по вещественной оси. Таким образом, при V ^то в каждой паре один корень стремится к —0, а другой — к —то. Корневой годограф этого процесса приведен на рис. 1.

Рис. 1. Корневой годограф.

Покажем, что существует такое значение V* в диапазоне v20 < V* < v10, когда корни К3 4 уже разошлись от своей точки слияния в разные стороны по вещественной оси, а корни К12 все еще находятся на своей полуокружности, т.е. являются комплексно-сопряженными, причем вещественная часть корней К12 совпадает с меньшим по модулю из вещественных корней К4. В этом случае три корня будут

находиться на корневом годографе на одной вертикали, а четвертый — значительно левее них. В самом деле, приравнивая вещественные части указанных корней, равные —п\ и —по + \/щ ~ Що' и переходя к безразмерной записи, получим уравнение:

niv = -mv + \Jvi"2 -pió-

Разрешая его относительно v, находим искомое значение v*:

Р20

(3)

(4)

Л/?7i(2?72 - т)

На рис. 2 показано расположение v* относительно значений V20 и vio, определяемых по формуле (10)1, в зависимости от угла а, отчетливо демонстрирующее его нахождение в диапазоне v20 < v* < v10.

4.5

3.5

"20

К 2.5 г^ю

1.5

0.5

0

........... ........... i

! fio i : 1

1 : ...........j........... i ..........i...........

: i : |

"""""I

1 Г i "20

:

i

0 тг/12 7г/6 7г/4 тг/3 5тг/12 тг/2

Рис. 2. Графики зависимости величин V20, vt и vio от угла а.

Таким образом, можно качественно представить поведение графиков зависимости модулей вещественных частей всех четырех корней характеристического уравнения в безразмерном варианте (рис.3). Здесь сплошными линиями выделены участки, отвечающие ближайшему к мнимой оси корню, который и определяет безразмерную степень устойчивости А/к. Для убедительности покажем также, что кривая |Re/í2| = — \JЩ^2 ~ Pío ПРИ v > vw лежит выше кривой |ReK4| = — \/щи2 — рои- В самом деле, имеет место следующая цепочка соотношений:

Pi0/ni Р2Ю/П2

| Re К21

V + у/ V1 — V

>

V + \/ V1 — V.

I Re К41,

(5) 123

Рис. 3. График зависимости безразмерной степени устойчивости А/к от V.

где учтено, что vio > V20, а также принято во внимание, что

Pio 1 _ 1 P2o

щ 2 - 1 /Р210 > 2 - 1/pio т (6)

в силу соотношений (9)1 и того, что pío < p2ü- По графику, представленному на рис. 3, легко видеть, что максимум степени устойчивости доставляет именно значение v*, при этом данный экстремум является острым. Наконец, при 0 < v < v* безразмерная степень устойчивости определяется вещественной частью комплексно-сопряженных корней «1,2, а при v > v* — меньшим по модулю из вещественных корней К4, поэтому

Д I т", 0 <v <v*, ^

к \ - \Jmi/2 ~р\ъ v >

2.2. Энерго-временной критерий. Для решения поставленной задачи по второму критерию будем использовать решение в виде (11)1 в комплексной форме. Его удобство заключается в том, что интеграл (18)1 тогда будет вычисляться наиболее просто. Подставляя это решение в выражения (1)1 для кинетической и потенциальной энергий, а также используя формулы (4)1 и (5)1, вычислим полную механическую энергию:

Е=\ + N.e-^Mt)] , (8)

где функции fs(t) имеют следующий вид:

fs(t)= A2se2ikst [К + гк3)2 + k2s0] +

+B2e-2ikst [(_ns + iks)2 + ks20] + 4AsBsk2s0, s = 1, 2.

(9)

Подставим теперь выражение (8) с учетом (9) в интеграл (18)1. Тогда получим для для Г следующее выражение:

F =

Ni

(Ai + B1)2 n? + 2AiBi k?

ni

+ N?

(A? + B? )?n? + 2A?B2k22

n?

(10)

Перейдем теперь к определению оптимального значения V для наихудшей совокупности начальных условий. С этой целью представим начальные условия во и во в виде суммы двух форм колебаний ©(1) и ©(2) с некоторыми коэффициентами

во = Pi©(i) + P? ©(?), 0о = Ri©(i) + R?©(?),

(11)

причем величины Р3 являются безразмерными, а величины Н3 имеют размерность частоты. Ясно, что эти коэффициенты однозначно определяются по заданным во и во [3]. Однако они не совсем удобны для дальнейшего анализа. Поэтому вместо пар коэффициентов (Ря, Я3) целесообразно ввести две другие пары (т3,р3), а затем задать пару (п, г2) полярными координатами р и $:

Ps

: COS IJ,S,

Rs

Sin ¡J>s

r1 = p cos ß, r-? = p sin ß, (12)

причем здесь ц3 € [0, 2п), т3 € [0, то), р € [0, то), а $ € [0,п/2]. Удобство осуществленной замены столбцов начальных условий во и во на параметры р, $, и ^2 заключается в том, что начальная энергия системы тогда выразится наиболее просто:

^птАо0о + ^СО0О = \р2- (13)

Ео

2 о о о 2

Отсюда следует важный вывод, что введенный параметр р характеризует уровень начальной энергии системы, а параметры $, и ^2 никак на него не влияют.

Подставляя теперь (12)1, (11) и (12) в (10) и принимая во внимание (13), приходим к выражению для Г(V, ¡^1,^2,$):

F=

Ео

cos? ß ( 1

k

10

Vi

+ v1 + v1 cos 2^i + sin 2^4 +

+

sin? ß k?0

— +V2+V2 COS 2^2 + sin 2^2 V?

(14)

где для удобства также введены еще два безразмерных диссипативных коэффициента V! и V2, связанных с V формулами:

vi =

ni

10

—1

Pw

V? =

n?

m

k?0 P?0

(15)

Обращаясь к выражению (14) для интегрального критерия оптимизации, перейдем теперь непосредственно к поиску оптимального значения v для наихудшей совокупности начальных условий. Здесь мы встречаемся с минимаксной задачей о нахождении точек экстремума функции F(v, ,ß), т.е. о нахождении min max F(v, ^i,^,ß). Видно, что при этом сама величина начальной энергии Е0

не играет роли, а имеет значение лишь соотношение между столбцами начальных

Ps и Rs:

r

r

s

s

2

условий во и во, определяемое величинами Ц2, Отбрасывая далее несущественный множитель Ео/(2к) в выражении для Г, обозначим получившееся безразмерное выражение через /:

/ =

cos2 $ Pi0

vi

+ -

sin2 $ P20

+ Vi + \Jl + vi Sin (2/xi + V>i) +

— +V2 + J1 + z/f sin (2^2 + Ф2)

Un V

(16)

tg ^s

1, 2.

Из (16) нетрудно видеть, что / достигает своих максимальных по и значений, равных

/

Ч ( 1

max M1 .М2

P10 \vi

— +i/i + A/l + i/f +

'$ ( 1

P20 V U2

( — + V2 + A/1 + V2

(17)

в тех точках, когда sin (2^1 + = 1, sin (2^2 + Ф2) = 1- Далее необходимо максимизировать по д выражение (17). Ясно, что своих экстремальных значений это выражение достигает либо при д = 0 (когда начальные условия задаются по первой форме), либо при д = п/2 (когда начальные условия задаются по второй форме). Определим, в какой из этих точек функция f max достигает максимального значения

М1 .М2

по д. Для этого выпишем значения данной функции в экстремальных точках:

$ = 0 :

$ =

2

+ vi + А/1 + v2

/ --(J max 1

,M2 P10 \Vi

/ max = — ( — + V2 + \ /1 + z/f M1.M2 P20 \ V2 V

(18)

Если выразить VI и V2 через V посредством соотношений (15), то можно получить, что каждое из этих выражений является функцией V и а■ Для того чтобы сравнить между собой значения (18), запишем их упрощенные представления. Так, при V ^ 0 имеем

/max (l? = 0) « — + —,

М1.М2 niv P10

тогда как при v будет

/

max

2

1 1

mv -р2о

(19)

/max (l? = 0) « 2 ( 2 - — ) V, /

Pi0

max M1 .М2

22

P220

(20)

где учтены формулы (9)1. Поскольку р10 < р20, Ш < то отсюда можно заключить, что при v ^ 0 будет f max ($ = 0) > f max ($ = п/2), тогда как при v ^ ж имеем

M1M2 Ml M2

уже f max ($ = 0) < f max ($ = п/2). Это означает, что уравнение f max ($ = 0) =

M1.M2 M1.M2 Ml M2

f max ($ = п/2) при любом значении угла а в рассматриваемом диапазоне от 0 до

Ml M2

п/2 имеет на интервале 0 < v < ж по крайней мере один вещественный корень. Численное исследование данного вопроса показывает, что такой корень v* всегда оказывается единственным и его зависимость от угла а также можно установить при помощи численных процедур.

1

v

s ?

cos

П

1

Из этих рассуждений следует, что максимальное значение функции f max по $

A1 A2

зависит от величины коэффициента v следующим образом:

I max

,A2

1 ( 1

+ vi + i + v2

0 < v <v„

pio \vi

— ( — + v2 + + | , P20 \V2 U '

(21)

v > v*

Рис. 4. Графики зависимости величин v» 2, v» и v»i от угла а.

Остается найти минимальное значение функции (21) по V. Для этого сперва определим точки экстремума функций (18) на интервале 0 < V < то. Поскольку I тах при $ = 0 является функцией переменной Vl, то для нахождения ее точки экстремума достаточно найти ее производную по этой переменной и приравнять полученное выражение нулю. В результате после ряда преобразований будем иметь:

4,2-, п д / у5 - 1 PW Р10 д / у5 — 1

^+^-1 = 0, vi = \ —^—, v*i =-v\ =-\ —-—. (22)

V 2 ni П1 V 2

f max ' 4

0 t/»2 У*

Рис. 5. График зависимости функции f max ОТ V.

Аналогично определяем точку экстремума функции f max при $ = п/2:

4,2-, п д / V5-1 Р20 Р20 J V5-1

z/2+z/2-l = 0, Щ = \ -^-, Z/*2 =-=-—-—. (23)

V 2 П2 П2 V 2

Построим на одном графике зависимости v*, и v*2 от угла а (рис.4). Легко видеть, что при любом значении а будем иметь v*2 < v* < v*i. Это означает, что значение v*i не попадает в интервал 0 < v < v*, а значение v*2 — в интервал v > v*. Поэтому график функции (21) на всем интервале 0 < v < ж схематично может быть представлен в следующем виде (рис. 5). При этом необходимые отрезки функций выделены сплошными линиями, а посторонние — пунктирными. Отсюда ясно, что минимум функции f max достигается именно при v = v*, причем этот экстремум является острым, как это было и при рассмотрении критерия оптимизации, основанного на степени устойчивости. Отметим, что в точке v = v* оба значения в (18) оказываются равными, поэтому если вернуться к формуле (17), то можно видеть, что при данном значении v в нем будет отсутствовать зависимость от $, поскольку равный множитель можно вынести за скобку, а cos2 $ + sin2 $ = 1. Левая ветвь графика, изображенного на рис.5, соответствует значению $ = п/2, а правая — значению $ = 0. В найденной же оптимальной точке v = v* величина $ не играет никакой роли — она может быть любой, и значение критерия (17) от этого не изменится.

3. Оптимизация коллинеарного гашения колебаний при наличии вяз-

кого демпфирования. Рассмотрим теперь ситуацию, когда в системе уже имеется некоторое заданное демпфирование в обоих шарнирах с безразмерным диссипатив-ным коэффициентом v. Возникает вопрос: как следует выбрать параметры активного коллинеарного воздействия, чтобы улучшить процессы затухания движений пространственного двойного маятника? Ясно, что в этом случае корни характеристического уравнения будут определяться формулами (16)1, которые в безразмерном

варианте с учетом обозначения к = Х/к можно записать в виде

«1,2 =сг - щи ± i\jp2w - (а - гци)2, «з,4 = о" - Щ1У ± i\jр220 - (а - щи)2, (24) где а = S/к.

Как и прежде, проанализируем оба критерия оптимизации и определим зависимость оптимального значения а* по этим критериям от v.

3.1. Степень устойчивости. Для случая, когда вязкое трение отсутствует, т.е. v = 0, и гашение является чисто активным, решение такой оптимизационной задачи оказывается возможным для произвольной системы с любым конечным числом степеней свободы, и оно приведено в работе [4]. В частности, максимуму степени устойчивости отвечает значение а* = —pío, при котором корни «í,2 сливаются в один кратный корень, а корни К3 4 — лежат с ними на одной вертикали и являются комплексно-сопряженными, при этом Д*/к = pío. Отметим, что обычно в таком случае немного изменяют оптимальное значение а*, чтобы сделать корни «4,2 комплексно-сопряженными и тем самым отступить от варианта кратных корней, который приводит к известным трудностям, изложенным в [4], и вряд ли пригоден для практического использования.

Опираясь на выражения (24), нетрудно понять, что при v, не превышающем некоторого значения v**, по-прежнему будет возможно слияние корней «1,2, как это было и при v = 0, а корни «3,4 при этом будут находиться левее этих корней. Тогда максимальная безразмерная степень устойчивости будет также равна Д*/к = pío, а значение а* определится условием

a*í(v ) = —pío + nív. (25)

Однако если v превысит значение v**, то такая ситуация будет уже невозможна, поскольку корень «4 с уменьшением а окажется лежащим на одной вертикали с корнями «í,2 раньше, чем они сольются в один кратный корень. Вещественная часть указанных трех корней и определит максимальную степень устойчивости. Следовательно, в этом случае значение а* определяется из уравнения

а - щи = а - щи + \J(а - r)2vf - р%0, (26)

разрешая которое относительно а, находим необходимое значение:

ег*2М = m" - \J{m - m? v2 +P220. (27)

Приравнивая выражения (25) и (27), находим после решения получившегося уравнения пограничное значение v**:

22

„ _ Р20 -Рю /9о\

v** ~ о-1-V-

2pío(n2 — ní)

Нетрудно понять, что при v = v** максимальная степень устойчивости будет отвечать тому случаю, когда три корня оказываются одинаковыми. Объединяя теперь выражения (25) и (27), получим, что оптимальное значение а* определяется следующей формулой:

, N I —pío + nív, 0 <v < v**,

** M = { !-2--(29)

[ П2v — y (П2 — ní) v2 + p2o, v>v**.

Видно, что это выражение обращается в нуль при v = v*, определяемом из (4), т. е. когда коэффициент вязкого демпфирования принимается по оптимальному варианту. Как и следовало ожидать, в этой ситуации улучшить степень устойчивости путем введения коллинеарного управления будет невозможно. При этом важно подчеркнуть, что при v > v* значение а* становится положительным, и это говорит о том, что в данном случае коллинеарное управление должно быть разгонным. Тем не менее совместное действие демпфирования и коллинеарного управления дает эффект подавления колебаний, поскольку легко видеть, что в этом случае из (29) вытекает, что а* < niv, а, как было показано в работе [1], именно это условие и отвечает гашению движений системы. При этом а* при v ^ ж стремится снизу к наклонной асимптоте а* = niv. Отметим, что можно записать приближенный характер зависимости (29) при больших значениях v:

2 4 <т (v) ~ r¡\v____|__22£l__(30)

8(772 — ??i)3^3 '

Наконец, получим выражение для безразмерной степени устойчивости, отвечающей оптимальному выбору значения а* согласно (29), в зависимости от величины v. Ясно, что при любом v из диапазона 0 < v < v** можно надлежащим подбором а обеспечить максимально возможное значение безразмерной степени устойчивости, равное pió, когда корни «12 являются кратными. Если же v > v**, то максимальная степень устойчивости в безразмерном варианте будет отвечать совпадению вещественных частей трех корней, которые по абсолютной величине согласно (26) и (27) будут равны гци — = —{ш ~ \/(щ — ?yi)2z/2 + р\0. Естественно, что это зна-

чение будет убывать с увеличением v. Объединяя полученные выражения, имеем:

A* j Pío, 0 < v < z/**,

-Г ~ ) /-^

\ (n2 - ni)v + у(П2 - ni)2v2 + Р20, v > v**.

3.2. Энерго-временной критерий. Обращаясь к исследованию интегрального критерия для рассматриваемой задачи, вновь заметим сначала, что в отсутствие вязкого трения, т.е. при V = 0, подобная задача была решена для произвольной механической системы в работе [4], и оптимальное значение, отвечающее этому критерию, определяется выражением

Это значение тесно связано со знаменитым «золотым сечением», которое часто возникает при решении самых разнообразных оптимизационных задач. В частности, аналогичный результат имеет место в задаче оптимизации демпфирования од-нозвенного манипулятора, т. е. системы с одной степенью свободы (когда действие коллинеарного управления идентично вязкому трению), где использовался тот же критерий качества [5]. В случае V = 0 задача становится намного более сложной. Выражение для функции Г из (18)1 в результате интегрирования в этом случае по

аналогии с (14) будет иметь следующий вид:

cos2 ( 1 .

+ V\ + <7i + [yi + <Tl) cos2/xi + sin 2/J-i +

f = Ei

2 L «i0 W + a i

sin2 W 1 , H--;---V v2 + <T2 + (^2 + cr2) COS 2/x2 + sin 2^2

«20 V^2 + ^2

где величины имеют вид (15), а величины as определяются формулами

S a S а

ai = —— =--, сг2 = — =--• (34)

«10 Р10 «20 Р20

Вновь отбрасывая постоянный множитель £^/(2«), запишем сразу максимальное значение получившегося выражения по ¡i и ¡2:

cos2 ( 1 г----Л

/ max = - -;- + V\ + + y/l + (fl + 0"l) +

M1.M2 Р10 V^i + a i /

sin2 ■& f 1 г----A

+- -+ v2 + cr2 + V1 + (V2 + cr2)2 •

Р20 V ^2 + a2 J

Как и прежде, далее необходимо разобраться, какое из выражений больше:

(35)

1? = 0: /max = — (-7-+ ^1 + ^1 + л/1 + + сп)2 ) ,

М1.М2 pi0 V^i + ai /

0=77: /max = — f -7- +г/2+^2 + V/l + (^2+ff2)2 J •

2 M1.M2 Р20 V^2 + a2 /

(36)

Нетрудно видеть, что при V = 0 имеем I тах ($ = 0) > I тах ($ = п/2) при любом

значении а [4]. Чтобы разобраться в поведении этих функций при V = 0, запишем их упрощенные представления при а ^-то:

f max (0 =0) « 2

2v- (и + 0")—

Р10 J

/ max = J ) « 2 V 2

2 г/ — (v + 0")— Р220

, (37)

а для первой из них — также при приближении а к другой границе а = niv, которая является границей зоны гашения движений:

/тах (0=0)« -^- + —, (38)

1112 niv — а pío

в то время как f max (0 = п/2) при а ^ niv стремится к конечному пределу. Видно,

что как при а ^ —с», так и при а ^ niv будем иметь f max (0 = 0) > f max (0 = п/2).

11 12 !1>l2

Ясно, что при увеличении v от 0 до некоторого пограничного значения v** графики этих функций по-прежнему не будут иметь общих точек, так что f max (0 = 0) будет

являться наибольшим из указанных двух значений. Его минимизация, как нетрудно понять, приводит к следующему значению а* в исследуемом диапазоне:

, . /л/5 — 1 , . <7*1 (z/) = -у—--р10 + Щ1/. (39)

>М2

При увеличении V в некоторый момент произойдет касание двух кривых Iтах (3 = 0) и Iтах (3 = п/2). Однако пограничной ситуацией, отвечающей значению V**, является не случай касания, а случай пересечения этих кривых в точке экстремума кривой Iтах (3 = 0), потому что именно она являлась до сих пор точкой

минимума функции I тах . Чтобы определить эту точку, достаточно решить уравнение Iтах (3 = 0) = I тах (3 = п/2) с учетом представлений (36), подставив в него

выражение (39). Численное исследование позволяет найти таким образом зависимость v**(а). Обращаясь к анализу случая V > V**, отметим сначала, что функция Iтах (3 = п/2) при а < п^ будет убывающей, так как точка ее экстремума

/ л/5 — 1 , ,

о- = -1/ —^—Р20 + ^

не попадет в интересующий нас интервал, оказавшись больше значения п^. В самом деле, используя численные методы решения алгебраических уравнений, можно установить, что в случае расположения этой точки на границе а = п^, реализуемом при

, (41)

V 2 772 - 771

уравнение Iтах (3 = 0) = Iтах (3 = п/2) не будет иметь решений ни при каких значениях а, т. е. кривые Iтах (3 = 0) и Iтах (3 = п/2) еще не будут пересекаться. А тогда при V > V** в силу убывания функции Iтах (3 = п/2) на исследуемом интервале указанные кривые будут иметь две точки пересечения, причем минимумом функции I тах будет точка пересечения а*2, лежащая ближе к правой границе

интервала. Эта ситуация представлена на рис. 6, где сплошной линией выделена зависимость I тах , а посторонние участки отмечены пунктиром.

Нетрудно понять, что с увеличением V при V = V* эта точка окажется равной а*2 = 0, поскольку при выборе V по оптимальному варианту на основе энерго-вре-менного критерия улучшить данный показатель будет невозможно. В самом деле, если обратиться к уравнению Iтах (3 = 0) = Iтах (3 = п/2) с учетом представлений

(36), то легко видеть, что оно удовлетворяется именно при V = V* и а = 0, поскольку значение V* получалось ранее из точно такого же уравнения по формульной записи, в котором а отсутствовало, так что выражения (36) в этой ситуации полностью переходят в (18). При последующем увеличении V уже имеем а*2 > 0, причем а*2 ^ п^ при V ^ ж. Обращаясь к уравнению Iтах (3 = 0) = Iтах (3 = п/2), из которого

находится а*2, можно получить для него приближенную зависимость при больших значениях V:

2 4 < \ ~ р20 р20 / ег*2 (г/ « 7717/ - —----—--2-2- 42

2(П2 - П1 )v 4(П2 - П1 )2Plov2

Сопоставляя формулы (30) и (42), можно сделать важный вывод: кривая, отвечающая максимуму степени устойчивости, при больших V располагается выше, чем кривая, отвечающая минимуму интегрального критерия, а в пределе при V ^ ж

^1 ,^2

Рис. 6. График зависимости функции f тах от О при заданном значении V > vt t .

они имеют одну и ту же наклонную асимптоту а* = г/^. При этом в указанных приближенных выражениях совпадают не только первые слагаемые, отвечающие наклонной асимптоте, но и вторые слагаемые, обратно пропорциональные V. Поэтому можно заключить, что в широком диапазоне достаточно больших значений V оба критерия оптимизации будут приводить к практически одинаковым результатам.

Таким образом, оптимальное значение а* определяется выражением:

а, И = { ~ -д-^ю + VI", 0 < V < V«, (43)

а*2, V > V**.

Остается лишь получить выражение для ] тах в зависимости от V при выборе

оптимального значения а* согласно (43). Так, в первом диапазоне 0 < V < V** это значение будет равно /тах (3 = 0), вычисленному с учетом (39), что в свою очередь

>М2

приводит к выражению

I тах

>М2

У^ + бу^ (44)

Отсутствие зависимости от V в нем можно понять из элементарных соображений, поскольку изменение V приводит лишь к параллельному переносу по горизонтали графика зависимости функции / тах (3 = 0) от а согласно (36), что не влияет на ее

экстремальное значение. Таким образом, в указанном диапазоне значений V можно надлежащим подбором а обеспечить минимально возможное значение ]

тах

равное (44). Что же касается случая V > V**, то для него искомое значение / тах следует вычислять при а = а*2, и оно окажется уже большим, чем (44). В результате

находим искомую зависимость:

I тах *

л/П

—=—, 0 < V < г/*: РюУ 2

/ тах (0*2), ^ > V**.

4. Обсуждение результатов. Переходя теперь к обсуждению полученных результатов, проанализируем зависимости а* от V, полученные по формулам (29) и (43) и отвечающие двум различным критериям оптимизации. Для этого сначала обратимся к характерным величинам V* и V**, полученным при исследовании каждого критерия, и построим эти зависимости от угла а (рис.7). Во избежание путаницы здесь данные величины снабжены индексами, указывающими на их принадлежность к определенному критерию: (1) — критерию, основанному на степени устойчивости, (2) — энерго-временному критерию. Видно, что порядок расположе-(1) (2) (1) (2)

ния величин V* , V* , V**' и V**' по возрастанию при любом значении угла а всегда оказывается одинаковым, поэтому графики зависимости величин а(1) и а(2) от V будут иметь вид, представленный на рис. 8.

О тг/12 тг/6 тг/4 тг/3 5тг/12 тг/2 а

Рис.7. Графики зависимости величин v(1},

(2) (1) (2) ^12, V,.,', V, и V, от угла а.

Приведенные кривые имеют количественные различия, хотя качественно они очень похожи. Интересно отметить, что имеется точка V12, лежащая в диапазоне V*1 < v12 < V*2, для которой оба критерия дают один и тот же результат. Прирав-

Рис. 8. Графики зависимости величин и а(2) от V.

(1) (2)

нивая выражения для а* и а* в указанном диапазоне, получим

Vl2

по

\!у/Ь + 1 р10 - \[л

— 1р

1о

(46)

Зависимость Vl2 также приведена на рис. 7. Таким образом, при любом значении а имеет место цепочка неравенств: V< v12 < V** < v(:1) < V*2.

Рис. 9. График зависимости величины Рис. 10. График зависимости величины

в(1) от V. в(2) от V.

1

2

В заключение представляет интерес оценить, насколько улучшились значения критериев оптимизации при введении в систему коллинеарного управления с параметрами, настроенными наилучшим образом. Сначала построим график зависимости отношения в(1) безразмерной степени устойчивости Д*/к согласно (31) к без-

размерной степени устойчивости Д/к при а = 0, т.е. согласно (7), от параметра V. Ясно, что при V = 0 это отношение равно +то, а при V = V*1 оно достигает минимума, равного 1, когда коллинеарное управление ни при каких параметрах не может улучшить степень устойчивости. Наконец, при V ^ то данное отношение стремится к пределу П2/(П2 — П1) > 1. Отметим, что это значение тем больше, чем больше отношение П1/П2, т.е. чем ближе угол а к п/2 согласно (9)1. Указанная зависимость представлена на рис. 9.

Помимо этого, построим график зависимости отношения в(2) значения функции I тах *, согласно (45), при наличии наилучшим образом настроенного управления

к функции I тах — при отсутствии управления, т.е. согласно (21), от параметра

V. Ясно, что при V = 0 это отношение равно нулю, а при V = оно достигает максимума, равного 1, когда коллинеарное управление ни при каких параметрах не может улучшить значение критерия. Наконец, при V ^ то данное отношение стремится к пределу (п2 — П1 )/П2 < 1, и это значение тем меньше, чем больше отношение П1/П2, т.е. чем ближе а к п/2. Упомянутая зависимость приведена на рис. 10.

5. Заключение. В данной работе были исследованы вопросы оптимального гашения колебаний пространственного двойного маятника. При этом рассматривалось пассивное гашение (вязкое демпфирование) в отдельности, а также производился дополнительный учет и активных воздействий (коллинеарное управление). Принимались два критерия оптимизации, характеризующие эффективность процессов затухания движений системы: максимизация степени устойчивости и минимизация интегрального энерго-временного показателя. В ходе точного решения задачи в рамках линейной модели были определены оптимальные параметры пассивного варианта гашения как функции угла между шарнирными осями пространственного двойного маятника, отвечающие каждому из критериев оптимизации. Кроме того, была рассмотрена задача оптимизации совместного пассивного и активного гашения и получены оптимальные значения параметров активного гашения при заданных параметрах пассивного гашения, а также представлены зависимости, иллюстрирующие эффективность использования таких параметров. Эти результаты наглядно демонстрируют целесообразность добавления надлежащим образом настроенных управляющих воздействий в диссипативную систему для обеспечения наиболее выраженных процессов затухания ее движений. При этом следует подчеркнуть нетривиальную структуру построенных решений. Полученные выводы могут представлять практический интерес при исследовании динамического поведения реальных двухзвенных манипуляторов.

Литература

1. Смирнов А. С., Смольников Б. А. Оптимизация режимов гашения колебаний пространственного двойного маятника. I. Постановка задачи. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 9 (67), вып. 2, 357—365 (2022). https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.215

2. Леонтьев В. А., Смирнов А. С., Смольников Б. А. Оптимальное демпфирование колебаний двухзвенного манипулятора. Робототехника и техническая кибернетика 2 (19), 52—59 (2018).

3. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. Москва, Высшая школа (1980).

4. Смирнов А. С., Смольников Б. А. Оптимальное гашение свободных колебаний в линейных механических системах. Машиностроение и инженерное образование 3 (52), 8—15 (2017).

5. Смольников Б. А. Проблемы механики и оптимизации роботов. Москва, Наука (1991).

Статья поступила в редакцию 28 июля 2022 г.;

доработана 7 сентября 2022 г.; рекомендована к печати 8 сентября 2022 г.

Контактная информация:

Смирнов Алексей Сергеевич — ассистент, мл. науч. сотр.; smirnov.alexey.1994@gmail.com Смольников Борис Александрович — доц., ст. науч. сотр.; smolnikovba@yandex.ru

Optimization of oscillation damping modes of spatial double pendulum. II. Solving the problem and analyzing the results*

A. S. Smirnov, B. A. Smolnikov

Peter the Great St Petersburg Polytechnic University,

29, ul. Polytechnicheskaya, St Petersburg, 195251, Russian Federation

Institute for Problems in Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences,

61, Bolshoy pr. V. O., St Petersburg, 199178, Russian Federation

For citation: Smirnov A. S., Smolnikov B. A. Optimization of oscillation damping modes of spatial double pendulum. II. Solving the problem and analyzing the results. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10(68), issue 1, pp. 121138. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.111 (In Russian)

This paper is a continuation of the article «Optimization of oscillation damping modes of spatial double pendulum. I. Formulation of the problem», in which the problem formulation of the optimal oscillations damping of double pendulum with joint axes not collinear to each other was given. Passive damping (viscous friction) is considered separately, and the possibility of additional accounting of active impacts (collinear control) is also discussed. Two optimization criteria are adopted that characterize the efficiency of the damping processes of system movements: first, the degree of stability is maximized, and then the integral energy-time criterion is minimized. The optimal values of the parameters of the considered damping options are determined according to both criteria in the course of the exact solution of the problem within the framework of a linear model. The obtained results are presented in the form of visual graphic illustrations which allow to establish their main qualitative and quantitative features. The conclusions can be useful in studying the movements of manipulators and various robotic structures.

Keywords: spatial double pendulum, viscous friction, collinear control, optimization criterion, degree of stability, energy-time criterion.

References

1. Smirnov A. S., Smolnikov B.A. Optimization of oscillation damping modes of spatial double pendulum. I. Formulation of the problem. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 9 (67), iss. 2, 357-365 (2022). https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.215

*See Part I: Smirnov A.S., Smolnikov B.A. Optimization of oscillation damping modes of spatial double pendulum. I. Formulation of the problem. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2022, vol. 9 (67), issue 2, pp. 357-365. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.215 (In Russian)

(In Russian) [Engl. transl.: Vestnik St Petersburg University, Mathematics 55 iss. 2, 243—248 (2022). https://doi.org/10.1134/S1063454122020133].

2. Leontev V. A., Smirnov A.S., Smolnikov B.A. Optimal damping of two-link manipulator oscillations. Robotics and Technical Cybernetics 2 (19), 52—59 (2018). (In Russian)

3. Biderman V.L. Theory of mechanical oscillations. Moscow, Vysshaia shkola Publ. (1980). (In Russian)

4. Smirnov A. S., Smolnikov B. A. Optimal damping of free oscillations in linear mechanical systems. Mashinostroenie i inzhenernoe obrazovanie 3 (52), 8—15 (2017). (In Russian)

5. Smolnikov B.A. Problems of mechanics and robotoptimization. Moscow, Nauka Publ. (1991). (In Russian)

Received: July 28, 2022 Revised: September 7, 2022 Accepted: September 8, 2022

Authors' information:

Aleksey S. Smirnov — smirnov.alexey.1994@gmail.com Boris A. Smolnikov — smolnikovba@yandex.ru