Оптимизация режима профилактического восстановления основного технологического оборудования по мини-максному критерию Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

В статье [2] сообщается об успешных результатах опытов по нарезанию колес с арочными зубьями на обрабатывающем центре 1С730 Рязанского станкостроителного завода. Однако нельзя не отметить, что этот способ обработки значительно проигрывает по производительности традиционному способу нарезания арочных зубьев при помощи ЗРГ [1] и приемлем лишь в условиях единичного и мелкосерийного типов производства. Однако он с успехом может быть применен в инструментальном производстве шеверов-прикатников и накатников, используемых для крупносерийного и массового производства ЦККЗ.

Библиографический список

1 Васин В.А. Обработка арочных зубьев цилиндрических колес / В.А. Васин, М.Н. Бобков, Г.М. Шейнин // СТИН. - 2005. - № 4. - С. 26-29.

2. Плахтин В. Анализ зацепления и технологи изготовления цилиндрических колес с арочными зубьями с применением автоматизированного комплекса T-FLEX [Электронный ресурс]/ В. Плахтин [и др.] //

Интернет-сайт журнал САПР и графика - Режим доступа:

http ://www.sapr.ru/Archive/SG/2007/8/19/index.html.

3. Решетов Л.Н. Особенности геометрии и зубо нарезания цилиндрических квазиэвольвентных передач с циклоидльной линией зуба / Л.Н. Решетов, М.И. Догода, М.В. Клин// Изв. вузов. Машиностроение. -I980. - № 5. - С. 48 - 53.

Получено 17.07.08.

УДК 621.9.06-192

Н.И. Пасько, Н.В. Анцева (Тула, ТулГУ)

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМА ПРОФИЛАКТИЧЕСКОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОСНОВНОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ ПО МИНИ-МАКСНОМУ КРИТЕРИЮ

Представлена методика мини-максной оптимизации режима профилактического восстановления (периода профилактики и критического износа) объекта профи-лактик при организации планово-предупредительного ремонта технологического оборудования машиностроительного предприятия.

Профилактическое восстановление применяется с целью исключить отказы объекта. При этом предполагается, что затраты на профилактиче-

ское восстановление существенно ниже затрат на восстановление объекта после отказа. Эффективность такого восстановления существенно зависит как от соотношения отмеченных затрат, так и от варианта организации и режима профилактического восстановления, полноты информации о надёжности объекта.

Информация о надёжности объекта считается исчерпывающей, если задана функция надёжности объекта Р(^, где ? - наработка объекта после очередного восстановления, Р(1) - вероятность того, что объект безотказно проработает не менее ?. Через Р^) определяются такие практически важные числовые характеристики, как средняя наработка на отказ

_ ГО

т = р )йг; (1)

0

дисперсия наработки на отказ

да —2

В = 2{Р(?)гйг -т ; (2)

0

коэффициент вариации

к=Т ■ (3)

Значения числовых характеристик надёжности Т и К на практике известны только приближённо, и с уверенностью можно задать только интервалы, в которых находятся отмеченные характеристики. В дальнейшем будем считать, что Т < Т < Т2, а К < К < К2 ■

Середины интервалов обозначим То и К о ■

Рассмотрим мини-максную оптимизацию на следующем примере организации профилактического обслуживания. Состояние объекта проверяется периодически с периодом ?п по наработке. Если по результатам

проверки выяснится, что износ объекта Х(1) достиг или превысил критическую величину х^, то проводится профилактическое восстановление объекта. В противном случае восстановление не проводится. Если объект отказал, не доработав до очередной поверки, то поводится его восстановление по отказу, которое, как предполагается, обходится дороже. Ближайшая проверка, до которой объект не доработал из-за отказа, пропекается, следующие проверки поводятся с той же периодичностью (рис. 1). Авторами рассматривались и другие варианты организации профилактического обслуживания, отличающиеся, в частности, реакцией на отказ [1, 2]. Но здесь, для определённости, ограничимся только этой моделью, имея в виду, что методика мини-максной оптимизации остаётся той же.

Чтобы перейти к оптимизации, следует сделать следующие предположения, определения и обозначения.

Затраты на профилактическое восстановления объекта Эп меньше затрат на восстановление по отказу Эо. Режим профилактического обслуживания характеризуется двумя параметрами - ^ , х^ ■

Рис. 1. Иллюстрация процесса профилактического обслуживания и восстановления: 1 - отказы я восстановления по отказу;

2- профилактические восстановления; 3 - контроль состояния без профилактического восстановления; 4 - контроль состояния объекта и восстановление не проводятся

Предельное состояние объекта и соответственно отказ наступают в том случае, когда износ объекта Х(И) превысит величину Ь. Естественно,

что критический износ х^ должен быть меньше Ь. После восстановления износ равен нулю, т.е. Х(И) = 0 при И = 0. Предполагается также, что износ Х(и) растёт линейно по наработке. Это предположение не уменьшает общности, так как предполагаемая линейность достигается соответствующим преобразованием шкалы износа.

В качестве критерия оптимальности примем удельные затраты

0=Мх±1^1±М£, (4)

И1

где Но - среднее число отказов за период ип; Рп - вероятность профилактического восстановления; Эк - затраты на проведение контроля состояния объекта при профилактической проверке; Рк - вероятность поведения такого контроля.

Характеристики Но, Рп, Рк зависят от функции надёжности Р(И) и режима профилактики (Ип х^). Эта зависимость аналитически трудно выражается, поэтому для их определения воспользуемся методом статистического моделирования [3].

Если - наработка за время моделирования, Ы0 - число отказов,

- число профилактических восстановлений, Nк - число профилактических контрольных проверок состояния объекта за время моделирования, то число периодов диной за это время

N = ^, (5)

Ип

среднее число отказов и восстановлений по отказу за

н о = ^, (6)

N

вероятность профилактического восстановления

Рп==лР <7)

вероятность поведения профилактического контроля

N

Рк = —■ (8)

к N

Средний используемый ресурс объекта

Я = ^, (9)

N в

где Nв= Nо + Nр - число восстановлений за время моделирования. Коэффициент использования ресурса

я

ки = Т ■ (10)

Средняя наработка между отказами при профилактическом обслу-

живании

Т о = -^ (11)

N о

Блок-схема алгоритма статистического моделирования процесса профилактики по рассматриваемому варианту приведена на рис. 2.

Генерация наработки до отказа Т выполняется в соответствии с функцией надежности объекта Р(И). Часто на практике Р(И) подчиняется закону Вейбулла - Гнеденко [1], т.е.

Р(0 = ехр[-(-)“], (12)

Р

где р, а - параметры распределения, определяемые через Т и К с использованием формул

где Г(-) - гамма-функция.

Наработка Т по закону (12) генерируется с применением формулы

1

где у - псевдослучайное число, равномерно распределённое в интервале [0, 1], генерируемое на ЭВМ. Например, в агоритмическом языке Паскаль для этого используется встроенна подпрограмма-функция random [4].

Точность расчёта показателей по формулам (5) - (11) тем выше, чем больше число периодов N и число восстановлений Ив . Для метода статистического моделирования характерна квадратична сходимость, т.е. ошибка расчета 8 « с/л/Nв , где с - константа, зависяща от рассчитываемого покаателя, параметров функции надёжности Т, K и режима профилактики (tu,Xfc ) .

* *

Оптимаьное значение параметров режима профилактики tп и xk при однозначно заданной функции надёжности P(t) находится, например, перебором с маым шагом значений этих параметров в диапаоне [0...1,5Т] для tр и [0...L] для Xk. Оптимаьными считаются те значения tр и Xk, пи которых удельные затраты (4) минимаьны. Алгоритм перебора в данном случае оправдан, т.к. затраты (4) могут достиать минимума раной глубины в нескольких точках, тем более, что Но, Рп, Рк рассчитываются по результатам статистического моделирования и не очень гладко зависят от tр и Xk. Но в данном случае известен только диапаон возможных значений средней наработки на отказ (^...Т^) и диапазон коэффициента вариации (Ki...K2), поэтому оптимаьным будем считать такой режим профилактики, при котором достигается минимум потерь, связанных с тем, что точные значения Т и Kj не известны.

Если оптимизация была проведена в предположении, что Т = Т, а K = K i, и получены оптимаьные по критерию (4) значения параметров * * — — tр, Xki, то потери из-за того, что Т ф j и K ф Ki

О = рГ(1 + 1); K

а

(13)

О = р( —lny)а,

(14)

а©=©(4 , Xli, Т, K)-0(t п, -4, Ti, Ki).

(15)

Рис. 2. Блок-схема алгоритма моделирования процесса профилактического обслуживания и восстановления объекта

Максимум этих потерь достигается при некоторых значениях Т и К из диапазона (71 ...Т^) и (К\...К2). Обычно этот максимум достигается на границах отмеченных диапазонов, но целесообразно рассматривать и середину диапазонов (То, Ко).

Сформулируем данную задачу в терминах теории игр и статистических решений [5]. Будем считать, что фактическим значением параметров Т и К управляет «игрок» - «природа», а режим профилактики назначает лицо, принимающее решение (ЛПР).

В условной игре ЛПР с природой последняя с учётом сказанного выше может применять 9 стратегий с индексами і = 1,..., 9, т.е. при стратегии 1 - Т = Т0, К =К0; 2 - Т = Т0, К = К1; 3 - Т = Т0, К = К2; ...; 9 -Т=2, К = К2.

ЛПР находит оптимальный по критерию (4) режим профилактики против каждой из стратегий природы. Эти стратегии ЛПР будем индексировать индексом у. Например, стратегия ЛПР у =1 оптимальна против

* *

стратегии природы і = 1 и при этом ґ п=ш, хк = хкі, в* = ®(С, х*і, Ті, Кі), а Дву =0, так как і = і.

Если стратегия ЛПР і применяется против стратегии природы і Ф і , то потери

Аву = в(ґщі , х*і, Ті, Кі) — ©(ґп, хкі, Ті, Кі). (16)

*

Оптимальной считается та стратегия ЛПР і , при которой достигается минимум по і максимума по і потерь Аву . При этом минимакс потерь

Ав =шіп(шах Дву). (17)

і' і

Проиллюстрируем полученные результаты на числовом примере, где объектом профилактического обслуживания является режущий инструмент (резец), наработка для которого измеряется временем резани в мин. Инструмен считается отказавшим, если износ, измеряемый шириной фаски по задней грани, превышает установленую нормативами величину Ь, равную, например, 0,8 мм. Средня наработка на отказ (стойкость) разных экземпляров инструмента находится в пределах 80 - 120 мин при коэффициенте вариации 0,3 - 0,5, т.е. 7) =100 мин, 7 =80 мин,

Т2 = 120 ми, а К0 = 0,4 , К1 = 0,3, К2 = 0,5.

Затраты на обслуживание будем измерять временем на выполнение операций по обслуживанию инструмента, а именно: Эо =15 мин,

Эп = 5 ми, Эк = 2 мин. Критерий оптимальности в в данном случае -

это средние затраты на обслуживание в мин, приходящиеся на 1 мин резания.

Чтобы найти оптимальную мини-максную стратегию ЛПР, нужно найти оптимальные стратегии в обычном смысле для всех стратегий природы. Результаты такой оптимизации при приведённых выше исходных данных сведены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты обычной оптимизации

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Т, мин 100 100 100 80 80 80 120 120 120

К 0,4 0,3 0,5 0,4 0,3 0,5 0,4 0,3 0,5

0 мин 0,1197 0,1113 0,1278 0,1496 0,1391 0,1597 0,0997 0,0927 0,1065

* мин 60 58 57 48 46,4 45,6 72 69,6 68,4

* Хк!, мм 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

В первой строке табл. 1 укааны номера стратегий природы. Во второй и третьей строках укааны средние наработки на отка и коэффициенты вариации. В четвёртой строке укаан минимум удельных затрат, который достигается при оптимаьных режимах профилактики для соответствующей стратегии природы. В пятой и шестой строках приведены оптимальные значения параметров режима профилактики.

В табл. 2 сведены результаты расчёта затрат 0 у для всех комбинаций стратегий природы и ЛПР. Потери А0у из-за того, что ЛПР примени

не лучшую стратегию у против стратегии природы !, рассчитываются по формуле (16), т.е. путём вычитания из каждого столбца табл. 2 оптимаь-

*

ного значения А0;- из табл. 1. В колонке А0 у помещены максимумы потерь по каждой строке, т.е.

А0 у = тах А0/;-. (18)

/

*

Оптимаьной мини-максной является та стратегия ЛПР у , при которой достагается минимум потерь (18) (минимаьное значение в колонке

* * * *

А0у). В данном случае у = 3, А0 = 0,006, = 57, х* = 0,4 .

Таблица 2

Удельные затраты 0у в зависимости отстратегий природы !

иЛПР / (мин)

./' \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А0/

1 0,1197 0,1117 0,1284 0,1572 0,1474 0,1658 0,1008 0,0938 0,108 0,0083

2 0,1197 0,1113 0,1279 0,1557 0,1461 0,1642 0,1013 0,0947 0,1086 0,007

3 0,1198 0,1113 0,1278 0,1548 0,1451 0,1638 0,1017 0,0951 0,1089 0,006

4 0,1218 0,1138 0,1304 0,1496 0,1396 0,1605 0,1076 0,1029 0,1132 0,0102

5 0,1229 0,1149 0,1313 0,1497 0,1391 0,1599 0,1091 0,1047 0,1143 0,012

6 0,1235 0,1158 0,1316 0,1672 0,1392 0,1597 0,1097 0,1056 0,1149 0,0129

7 0,1243 0,1165 0,1314 0,1659 0,1605 0,1727 0,0997 0,0931 0,107 0,0214

8 0,1228 0,1157 0,1307 0,1582 0,1574 0,1706 0,0998 0,0927 0,1066 0,0183

9 0,1221 0,1151 0,1303 0,165 0,1558 0,1701 0,0998 0,0928 0,1065 0,0167

Если сравнить отимаьную стратегию со стратегией у =1, когда расчёт ведётся на средние значения Т и К, то максимум потерь А01 = 0,0081, что на 6,8 % больше отимаьного значения, рассчитанного по середине интерваа. Таким обраом, практическое применение представленного подхода позволит минимизировать потери предприятий, связанные с отсутствием точных данных о функции надежности основного технологического оборудования.

Библиографический список

1. Иноземцев А.Н. Надежность станков и станочных систем: учеб. пособие / А.Н. Иноземцев; Н.И. Пасько. - Тула: ТулГУ, 2002. - 181 с.

2. Пасько Н.И. Оптимизация режима технического обслуживания и ремонта металообрабатывающего оборудования / Н.И. Пасько, Н.В. Ан-цева// Изв. ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. - 2007. - С. 80-86.

3. Ермаков С.М. Курс статистического моделирования / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

4. Фаронов В.В. Турбо Паскаль. Начаьный курс / В.В. Фар нов. -М.: Нолвдж, 2001. - 576 с.

5. Льюс Р.Д. Игры и решения / Р.Д. Льюс, Х. Райфа. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. - 642 с.

Получено 17.07.08.