Оптимизация размещения многопродуктовых запасов: задачи, методы, программно-технические средства Текст научной статьи по специальности «Математика»

___________________________________ © А.М. Валуев, Л.Е. Кулигин,

А.В. Овчаров, 2009

УДК 519.854:658.7

А.М. Валуев, Л.Е. Кулигин, А.В. Овчаров

ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ МНОГОПРОДУКТОВЫХ ЗАПАСОВ:

ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ, ПРОГРАММНО-ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА

Поставлены задачи минимизации среднего времени обслуживания в форме задачи о нескольких рюкзаках для размещения многопродуктовых запасов в хранилище, разбитом на ячейки. Предложен жадный алгоритм и средства информационного обеспечения, в т.ч. специализированный программнотехнический комплекс.

Ключевые слова: управление запасами, задача размещения, задача о ранце, жадный алгоритм.

~П настоящей работе рассматривается важнейший элемент

-Я-М внутренней логистической системы организации — складская система — и некоторые задачи организации и управления для нее. Мы рассматриваем складскую систему как хранилище многих типов хранимых элементов (которые также принято называть позициями), каждый из которых представлен большим количеством экземпляров. Такого рода склад может хранить готовую продукцию, полуфабрикаты, комплектующие для сборочного производства, наконец, упаковки расходных материалов и компоненты технологической оснастки. Таким образом, процесс размещения и выдачи позиций является важным обслуживающим процессом для производства и реализации собственной и приобретенной продукции в организациях разного профиля. Общими чертами хранимых элементов и процессов их обработки является:

• разбиение хранилища на отдельные ячейки;

• размещение однотипных элементов партиями в одной или нескольких ячейках с преимущественным формированием однородных штабелей;

• фиксация номера ячейки для каждой партии и невозможность определения конкретного ее положения в пределах ячейки;

• выдача (и, если это предусмотрено, возврат) хранимых элементов из хранилища на основе внешних запросов, рассматриваемая как процесс массового обслуживания.

Решение многих задач организации и управления складской системой предлагают современные WMS-системы (Warehouse Management System). Реализованные в них решения основываются на разбиении склада на зоны хранения, ABC-, XYZ-анализе хранимых товарных позиций по нескольким параметрам и размещению товарных групп по зонам. Анализ заключается в сортировке позиций по убыванию по первому параметру (первые 20% позиций — группа A , следующие 30% — группа B , оставшиеся 50% — группа C ) и аналогично по второму параметру (группы X, Y, Z ). Товары групп A n X , A n Y, B n X — размещают в “горячую” зону (ближайшую к месту отгрузки), групп A n Z , B n Y , C n X — в “среднюю” зону, групп B n Z , C n Z , C n Y — в “холодную” (дальнюю) зону. Первый параметр — количество заказов данной позиции за определенный период времени. Второй параметр — количество отгруженных единиц данной позиции за тот же период времени или габаритные свойства товара (вес, объем, длина, ширина, высота или их комбинации). Таким образом, для функционирования WMS-системы необходимо обеспечение ее информационной базой двух типов — нормативной (характеристики товара с точки зрения его хранения) и статистической (характеристики реализации товара).

В отличие от WMS-систем, в настоящей работе рассматривается управление на более полной информационной базе, позволяющей ставить задачу минимизации суммарного времени обслуживания, а также вопрос получения необходимых данных. Эта задача существует в двух вариантах:

А) для всей совокупности хранимых партий элементов определенных типов (начальная загрузка хранилища);

Б) для вновь поступивших партий элементов нескольких типов.

Непрерывный процесс поступления и выдачи хранимых позиций не позволяет точно вычислить единый показатель эффективности процессов обслуживания склада за любой заданный период, поэтому задача Б должна решаться на основе приближенной оценки его приращения при определенном размещении вновь поступивших партий. Очевидно, периодически следует оценивать эффективность размещения всего содержимого склада с целью выработки решений по переразмещению части запасов.

Сохраняя принципиальную идею WMS-систем о размещении на основе сортировки типов элементов по параметру, мы рассматриваем задачи размещения и построение соответствующего алгоритма через так называемую “задачу о рюкзаке”, обобщаемую на случай нескольких “рюкзаков” (ячеек). В постановке задачи учитывается та особенность размещения, что все элементы одного типа должны быть размещены в одной ячейке. Размещение партии элементов i -го типа характеризуется булевыми переменными е. ,

причем

т

I е„ = 1. (1)

}=1

Здесь т — количество всех ячеек. Рассмотрим идеализированную постановку задачи А. Пусть п — количество всех типов элементов, п — количество элементов i -го типа, s.. = si■ (е..п.) —

^ У У У *

место, занимаемое партией элементов i -го типа в . -ой ячейке (причем si]■ (0) = 0), Ti — среднее время хранения элемента i -го типа в логистической системе, С. — «стоимость размещения» в . -ой ячейке, пропорциональная расстоянию между ячейкой и местом выдачи, Sj — ее вместимость (для задачи Б —свободное место). Математическое ожидание времени обслуживания заказов за единицу времени составляет т п

I (I е. (п / Т )С. ). (2)

.=1 ^

Ограничения на размещение элементов определяются вместимостью ячеек:

1.. < , . = 1,...,п. (3)

i=1

Для решения задачи минимизации величины (2) при ограничениях (1), (3) и булевости переменных е. может быть использован

алгоритм динамического программирования, аналогичный рассмотренному в [1, раздел 10.3.1]. Однако размерность пространства состояний в этом случае непомерно велика и равна (если полагать

т

величины si , Sj целочисленными) ^ Sj , откуда следует неиз-

i=1

бежность применения приближенных методов. Один из подходов состоит в объединении ячеек в группы с приблизительно равными значениями С■ и рассмотрении каждой группы как одной ячейки,

что приводит к значительному сокращению размерности. Распределение партий, размещаемых в одной группе ячеек, по отдельным ячейкам, может быть проведено аналогично. Другой подход есть вариант “жадного алгоритма” [2, глава 17], дающего точное решение задачи (1)-(3), в которой требование булевости е. заменено на

условие е. > 0.

Тогда алгоритм для задачи А выглядит следующим образом. Шаг 1. Перенумеруем типы ячеек так, чтобы

С > С > С > > С

М — ^2 — ^3 — ••• — т '

Шаг 2. Вычислим для типов всех элементов pi = 1/(Tisi) и перенумеруем их так, чтобы рх > Р2 > Р3 > ... > Рп .

Шаг 3. В первую ячейку последовательно помещаем партии элементов типов 1,2,... k, пока удовлетворяется ограничение (3) при . = 1, проделаем аналогичное действие для второй ячейки (. = 2) в отношении оставшихся партий элементов, и так до ячейки т .

Другим, более точным алгоритмом является алгоритм, в котором шаг 3 выполняется не описанным образом, а в виде последовательности точных решений «задач о рюкзаке» для ячеек 1,., т , в каждой из которых рассматриваются партии, оставшиеся не размещенными в предыдущих ячейках. В докладе приводятся результаты сравнения описанных методов решения задачи А в вычислительных экспериментах.

В настоящее время ведется исследование вариантов постановки задачи Б и разработка алгоритма ее решения на основе модифицированного алгоритма решения задачи А с учетом фактической нелинейности ограничения на вместимость ячеек. При этом необходимо оценивать свободное место в ячейке, которое оказывается неодинаковым для различных типов элементов в зависимости как

от их размеров и условии хранения, так и от того, являются ли они новыми для данноИ ячеИки или уже хранятся в неИ. Рассматриваются различные способы определения степени заполненности ячеИки, места, занимаемого в каждой ячеИке отдельной партией и всеми партиями в совокупности, и вместимости Sj ячеИки. Для

конкретных условиИ предложены два способа оценки, основанные на подсчете места по периметру и по площади [3]. Пусть: l, w, h7 — соответственно длина, ширина, высота элемента 7-го типа, причем l<w.<h, h„„ — максимальная высота штабеля; b, — глубина

7 7 77 max 7 j j

ячеИки j. Оценивая место, занимаемое партиеИ 7-го типа по площа-

ди и по периметру, получим соответственно: sS = lw-

У II

j

h

(4)

j

h_

l

(5)

Формулы (4) и (5) очевидным образом являются приближенными, т.к. предполагают стандартный способ ориентации и размещения штабелей каждой позиции. Проведенные исследования фактической заполненности ячеек показали, что вместимость ячеек, рассчитанная по обеим формулам, в некоторой доле случаев может превышать 100%, что связано с приближенным характером обеих оценок, не учитывающих нестандартные способы размещения.

В постановке задачи (1)-(3) учтены только затраты времени на перемещение выдаваемых позиций из ячеек к месту требования и не учитывается время на извлечение их из ячеек. Последнее очевидным образом зависит от степени заполненности ячеек, но конкретные оценки могут быть получены только эмпирически.

b

Распределение заполненности

—*— Процент ячеек для Р% - - Процент ячеек для

20%

50% 100% 150% 200% 250% 300% 350%

заполненность %

Учет этой зависимости может повлиять на размещение в целях достижения разумного баланса взаимоувязанных показателей степени заполненности ячеек и удаленности от места выдачи. Усложнение постановки задачи требует применения комбинированных логико-комбинаторных методов.

Процесс управления логистической системой рассмотренного типа не может сводиться к решению задач размещения и должен носить адаптивный характер и включать сбор и употребление информации о результатах реализации этих задач. В частности, расчетная вместимость ячеек должна корректироваться на основе фиксации случаев нереализуемости планового размещения при разных задаваемых расчетных значениях вместимости. Полученные данные могут служить основой для имитационного моделирования процессов обслуживания хранилища, призванного заменить эксперименты с самим объектом.

1. ТахаX.A. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. -М.: Издательский дом “Вильямс”, 2005. — 912 с.

2. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. Пер. с англ. под ред. А. Шеня. - М.: МЦНМО, 2002. — 960 с.

3. Овчаров А.В., Кулигин Л. Е. Разработка и апробация метода оценки степени заполненности ячей логистических систем. // XX Международная Интернет-ориентированная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (МИКМУС-2008): Тезисы докладов. — С. 148. И5И=1

Valuev A.M, Kuligin L.E., Ovcharov A. V.

OPTIMIZATION OF MULTIPRODUCT STOCKS PLACEMENT: TASKS, METHODS, PROGRAM TECHNICAL MEANS

For numerous product items allocation in a storage consisting of cells the problems of average service time minimization are set up as the multi-knapsack problems. Both the greedy algorithm and means of informational support including the specialized software and hardware complex are proposed.

Key words: logistics, organization, stocks, storehouse.

___ Коротко об авторах ________________________________________________

Валуев А.М. — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Организации и управления в горной промышленности», по совместительству старший научный сотрудник Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, доцент Московского физико-технического института (государственного университета), e-mail: amvaluev@online.ru

Кулигин Л.Е. — аспирант Московского физико-технического института ( государственного университета), e-mail: kulighin@mail.ru

Овчаров А.В. — студент 6 курса Московского физико-техни-ческого института (государственного университета), e-mail: kucher84yo@mail.ru