Оптимизация распределения инвестиций между приоритетными направлениями нетрадиционных источников энергии Крыма Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.85

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ МЕЖДУ ПРИОРИТЕТНЫМИ НАПРАВЛЕНИЯМИ НЕТРАДИЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ КРЫМА

Погребицкая А.М., Черкас М.В.

Академия строительства и архитектуры, Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского, г. Симферополь pogrebiskaya. 13@mail. ru, maiya. cherkas@mail. ru

Аннотация. В работе рассмотрены приоритетные направления нетрадиционных возобновляемых источников энергии Крыма (НВИЭ). Изучена модель, описывающая управление распределением инвестиций между приоритетными альтернативными источниками энергии. Методами математического программирования проведена оптимизация распределения инвестиций, а также проведена оптимизация с учетом критерия справедливой уступки Чебышева. Расчеты проведены симплекс-методом и с помощью табличного процессора MS Excel. Полученные результаты отличаются высоким приближением к заявкам с учетом приоритетности направлений НВИЭ Крыма.

Ключевые слова: нетрадиционные источники энергии, математическая модель, линейное программирование

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время во всем мире наблюдается повышенный интерес к использованию нетрадиционных возобновляемых источников энергии (НВИЭ). Этот интерес обусловлен тем, что энергетическая сфера оказывает огромное влияние на

жизнедеятельность населения и национальную безопасность каждой страны.

К наиболее известным и используемым в мире относятся следующие направления:

1. Волновая энергетика основывается на использовании потенциальной энергии волн переносимую на поверхности океана.

2. Ветровая энергетика специализируется на преобразовании кинетической энергии воздушных масс в атмосфере в электрическую, тепловую и любую другую форму энергии для использования в народном хозяйстве.

3. Электростанции геотермального типа представляют собой теплоэлектростанции, использующие в качестве теплоносителя воду из горячих геотермальных источников.

4. Солнечная энергетика основывается на преобразовании электромагнитного солнечного излучения в электрическую или тепловую энергию.

Также к популярным и востребованным в мире относятся, гиброэнергетика, малая гидроэнергетика (энергия малых рек), бионергия и др. [1, 2].

Крым располагает значительными ресурсами НВИЭ для получения тепла различной мощности и с различными КПД.

Задача исследования: необходимо правильно спланировать распределение средств между направлениями НВИЭ Крыма. Для этого используется инструментарий математического

моделирования, в частности, математического программирования.

Задачи линейного программирования (раздела математического программирования) имеют достаточно широкий спектр применения при оптимизации распределения финансовых средств для природоохранных целей, для развития альтернативных источников энергии, а также при оптимизации размеров строительных конструкций и т.д. [3-6]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В рамках административной единицы, обладающей бюджетными средствами, направленными на развитие НВИЭ в регионе, необходимо решить вопрос о распределении средств в размере F между направлениями альтернативных источников энергии. В результате исследований по каждому направлению i, (i = 1 , 2,..., n) составляется заявка на необходимый объем финансирования комплекса мероприятий B (табл. 1).

Обычно имеем ситуацию нехватки средств для удовлетворения всех заявок в полном объёме

n

Lx ±F.

i =1

Решающую роль в распределении средств играет приоритетность объектов «ъ которая следует из эффективности направления

n

= const.

i=1

Таблица 1. Приоритетность и потребность для n направлений

Table 1. Priority and need for n directions

Направления НВИЭ Приоритет ai Потребность в средствах Bi

1 ai Bi

2 a2 B2

i ai Bi

n an Bn

Итого Zai Z в

Формулировка математической модели

Для данной постановки задачи в общем виде можно построить следующую модель линейного программирования: найти максимальное значение целевой функции

L(X) = Y^X ^max,

^ В

на неизвестные которой наложены следующие ограничения

п _

X < В, У X. < Е, X > 0, г = 1, п .

I I 7 ^^^ I 7 17 ;

г=1

Целевая функция в приведенной модели отражает максимизацию удовлетворения потребности направлений в финансовых средствах с учётом их приоритетности. Чем

ближе соотношение Х/В к единице, тем

полнее удовлетворяется потребность направления в финансовых средствах. Коэффициент а[ в целевой функции позволяет дифференцировать распределение финансовых средств при их недостаточности между направлениями.

Первая система ограничений имеет смысл: выделяемый объем средств X. не должен быть

выше потребности В., г = 1, п .

Ограничение, лимитирующее суммарную

п

потребность в финансовых средствах У X

г =1

п

объёмом выделенных средств Ж: У Хг < Е .

г=1

Следующие п ограничений задают естественные пределы изменения искомых

переменных Хг - искомый объём выделяемых ¿-

му направлению средств не должен быть

отрицательным: X > 0, , = 1, п.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ

В качестве примера рассмотрим четыре приоритетных направления НВИЭ, являющиеся

перспективными и наиболее эффективными для Крымского региона. Известна оценка приоритетности развития рассматриваемых направлений.

В рамках программы поддержки развития возобновляемых источников энергии России выделено 405 млрд руб [7]. Возьмем в качестве размера инвестиций в Крымский регион среднее значение инвестиций по стране от вышеуказанной суммы (F=4,5 млрд руб). А также, пусть для развития ветряной энергетики (i=2) Крыма необходимо 2 млрд руб, и данное направление является приоритетным («2=4) в списке НВИЭ исследуемого региона. Исходная информация приведена в таблице 2.

Таблица 2. Исходные данные

Table 2. Baseline Data

Направления Приоритет, Потребность в

НВИЭ, ai средствах Bi,

i млрд руб.

Волновое, 1 2 1

Ветровое, 2 4 2

Геотермальное, 3 1 2

Солнечное, 4 3 1

Итого 10 6

Тогда математическая модель ЗЛП имеет вид

_ о /I 1

L (x) = у X + 4 X2 + ^ X3 + 3 X4 ^ max

при ограничениях

X + X2 + X3 + X4 < 4,5 X, > 0, i = 1,4. Приведем задачу к каноническому виду L (X) = 2X + 2X2 + 0,5X3 + 3X4 ^ max

при ограничениях

X + х5 = i X2+x6=2

X3 +X7 =2 ' X 4 + X 8 = 1 X + X2 + X3 + X4 + X, = 4,5 X, > 0, i = 1,9.

В систему ограничений введены дополнительные неотрицательные переменные

X ■ , j = 5,9 , которые называются балансовыми

переменными (БП).

СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Решение сформулированной задачи найдено симплексным методом на множестве опорных планов, приведенных в таблице 3.

X, < 1

X2 < 2

X < 2

X4 < 1

Таблица 3. Симплекс-таблица решения задачи Table 3. Simplex table of the problem solution

Б П с, X 0 X, X 2 X 3 X4 X 5 X 6 X 7 X8 X 9 aij

2 2 0,5 3 0 0 0 0 0

X 5 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -

X 6 0 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -

X 7 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -

X8 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1

X9 0 4,5 1 1 1 1 0 0 0 0 1 4,5

A у 0 -2 -2 -0,5 -3 0 0 0 0 0

X 5 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

X 6 0 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -

X 7 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -

X 4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -

X9 0 3,5 1 1 1 0 0 0 0 -1 1 3,5

A у 3 -2 -2 -0,5 0 0 0 0 3 0

X! 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -

X 6 0 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2

X 7 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -

X 4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -

X9 0 2,5 0 1 1 0 -1 0 0 -1 1 2,5

A у 5 0 -2 -0,5 0 2 0 0 3 0

X! 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -

X2 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -

X 7 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2

X4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

X9 0 0,5 0 0 1 0 -1 -1 0 -1 1 0,5

A у 9 0 0 -0,5 0 2 2 0 3 0

X! 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

X 2 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0

X 7 0 1,5 0 0 0 0 1 1 1 1 -1

X4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

X3 0,5 0,5 0 0 1 0 -1 -1 0 -1 1

Л у 9,25 0 0 0 0 1,5 1,5 0 2,5 0,5

Данная задача была решена в среде табличного процессора MS Excel. Решение, полученное с помощью инструмента Поиск решений, совпадает с аналитическим и представлено на рис. 3.

14

15 Начальное приближение

16 x1 х2 хЗ х4

17 1 2 0,5 1

18

19 Система ограничений

20 1 0 0 0 1 < 1

21 0 1 0 0 2 < 2

22 0 0 1 0 0,5 -- 2

23 0 0 □ 1 1 < 1

24 1 1 1 1 4,5 < 4,5

25

26 Отношение приоритета к потребностям

27 отдельного направления НВИЭ Целевая ячейка

28 2 2 1 3 9.25

29

Рис. 3. Решение задачи с помощью MS Excel Fig. 3. Problem Solving with MS Excel

В результате решения задачи получены следующие оптимальные значения финансовых средств, выделяемых для развития НВИЭ по рассматриваемым направлениям: Xi=1; X2=2; X?=0,5; X*=1 млрд руб. Таким образом, финансирование было сокращено по направлению, имеющему минимальный приоритет.

Более справедливое распределение может быть получено, если воспользоваться максиминным критерием (критерием справедливой уступки Чебышева) [8]:

min i ß. — I ^ max ,

Г в J

n _

X < B, У X < F, X > 0, i = 1, n.

i i 7 ^^^ i 7 i 7 j

i =1

Согласно

критерия

Чебышева

Д=^г7 У^г ,те. необходимо нормировать

/ г=1

коэффициенты приоритетов. Для нахождения решения задачи симплекс-методом вводится

переменная Z = min jß j . С учетом новой переменной модель задачи имеет следующий вид: Z ^ max

z<\ßlXr j, X <Bi, yXi <F, Xt >0,

B

i=1

i = 1, n.

Первое неравенство в системе ограничений можно представить в виде

BZ-ДX < 0, i = \n.

Увеличение количества неравенств повлекло за собой увеличение количества переменных, что вызвало громоздкость вычислений. Поэтому решение задачи с использованием критерия справедливой уступки проведено в среде пакета MS Excel. Ответ приведен в таблице 4.

Таблица 4. Результаты распределения по критерию справедливой уступки Чебышева Table 4. The distribution results by the criterion of a fair assignment of Chebyshev

Направления Приоритет Потребность Оптимальное Процент

НВИЭ at в средствах распределение удовлетворения

Bt, млрд Xt, млрд руб.

руб.

1 2 1 0,875 87,5

2 4 2 0,1847 92,35

3 1 2 0,778 38,9

4 3 1 1,00 100,0

ВЫВОДЫ

Изучены основные приоритетные направления НВИЭ Крымского региона. Предложена модель по распределению инвестиций между

альтернативными источниками энергии Крыма.

Продемонстрировано расширение области применения методов математического

программирования. Найдено максимальное удовлетворение потребности направлений НВИЭ в финансовых средствах с учётом их приоритетности. Дополнительно задача решена с использованием критерия справедливой уступки Чебышева.

Как видно из таблицы 4, полученные результаты отличаются высоким приближением к заявкам с учетом приоритетности направлений НВИЭ Крыма.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Городов Р.В. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии: учебное пособие / Р.В. Городов, В.Е. Губин, А.С. Матвеев; Томский политехнический университет. — Томск : Изд-во ТПУ, 2009. — 294 с.

2. Скибин Ю.Д.Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии: учебное пособие / Ю.Д. Скибин, Д.Н. Скибин. — КноРус, 2012 . — 340 с.

3. Новоселов А.Л. Модели и методы принятия решений в природопользовании / А.Л. Новоселов, И.Ю. Новоселова. — Москва : ЮНИТИ, 2015. - 383 с.

4. Рыжаков А.Н. Математическое программирование / А.Н. Рыжаков, О.А. Щербина, В.Г. Никольский. — Симферополь : КИБ, 2005. -264 с.

5. Погребицкая А.М. Постановка экстремальных задач в строительстве и их решение методами компьютерной математики/ А.М. Погребицкая, А.Н. Рыжаков. — Симферополь : ИТ «АРИАЛ», 2017. — 132 с.

6. Мустафа К.А. Решение задачи об оптимизации массы строительных конструкций // К.А. Мустафа, А.М. Погребицкая. II научная конференция профессорско-преподавательского

состава, аспирантов, студентов и молодых ученых «Дни науки КФУ им. В.И. Вернадского» (Симферополь, 2016), сборник тезисов участников. Симферополь, 2016. T.2. - С. 19-20.

7. https://ru.investing.com/news/economy-news/article-540631

8. Балдин К.В. Экнометрка / К.В. Балдин, О.Ф. Быстров, М.М.Соколов. — М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2014. - 372 с.

REFERENCES

1. Gorodov R.V. Netradicionnye i vozobnovlyaemye istochniki ehnergii: uchebnoe posobie / R.V. Gorodov, V.E. Gubin, A.S. Matveev; Tomskij politekhnicheskij universitet. — Tomsk : Izd-vo TPU, 2009. — 294 s.

2. Skibin YU.D. Netradicionnye i vozobnovlyaemye istochniki ehnergii: uchebnoe posobie / YU.D. Ski-bin, D.N. Skibin. — KnoRus, 2012 . — 340 s.

3. Novoselov A.L. Modeli i metody prinyatiya reshenij v prirodopol'zovanii / A.L. Novoselov, I.YU. Novoselova. — Moskva : YUNITI, 2015. - 383 s.

4. Ryzhakov A.N. Matematicheskoe programmirovanie / A.N. Ryzhakov, O.A. SHCHerbina, V.G. Nikol'-skij. — Simferopol' : KIB, 2005. - 264 s.

5. Pogrebickaya A.M. Postanovka ehkstremal'nyh zadach v stroitel'stve i ih reshenie metodami komp'yuternoj matematiki/ A.M. Pogrebickaya, A.N. Ryzhakov. — Simferopol' : IT «ARIAL», 2017. — 132 s.

6. Mustafa K.A. Reshenie zadachi ob optimizacii massy stroitel'nyh konstrukcij // K.A. Musta-fa, A.M. Pogrebickaya. II nauchnaya konferenciya professorsko-prepodavatel'skogo sostava, aspirantov, studentov i molodyh uchenyh «Dni nauki KFU im. V.I. Vernadskogo» (Simferopol', 2016), sbornik tezisov uchastnikov. Simferopol', 2016. T.2. - S. 19-20.

7. https://ru.investing.com/news/economy-news/article-540631

8. Baldin K.V. EHknometrka / K.V. Baldin, O.F. Bystrov, M.M.Sokolov. — M. : YUNITI-DANA, 2014. - 372 s.

OPTIMIZATION OF THE INVESTMENTS DISTRIBUTION BETWEEN THE PRIORITY DEVELOPMENT TRENDS OF NON-TRADITIONAL ENERGY SOURCES IN CRIMEA

Pogrebiskaya A.M., Cherkas M.B

Summary In the work, the priorities of non-traditional renewable energy sources of Crimea (NTRES) are considered. A model that describes the management by distribution of investments between priority alternative energy sources has been studied. The optimization of the investments distribution has been carried out by the mathematical programming methods. In addition, the optimization with account of Chebyshev fair assignment criterion has been fulfilled. The calculations by the simplex method and using the MS Excel spreadsheet processor were provided. The obtained results have a good approximation to the request with account of the priority of the development directions of the NTRES in Crimea.

Key words: renewable energy sources, mathematical model, linear programming