Оптимизация рабочего диска турбины высокого давления газотурбинного двигателя Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 3 (2), с. 36-41

УДК 004.023 + 629.7.03

ОПТИМИЗАЦИЯ РАБОЧЕГО ДИСКА ТУРБИНЫ ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ

© 2011 г. Ю.А. Зеленков

Научно-производственное объединение «Сатурн», г. Рыбинск

yuri.zelenkov@npo-satum.ru

Поступила в редакцию 25.10.2010

Исследуется задача оптимизации формы рабочего диска турбины высокого давления газотурбинного двигателя с целью минимизации его массы при сохранении прочностных характеристик. Проводится сравнительный анализ различных методов оптимизации в однокритериальной и многокритериальной постановке.

Ключевые слова: оптимизация, приближенные модели, нелинейное программирование.

В машиностроении инженерные вычисления являются основным способом снижения затрат на проектирование новой продукции, поскольку позволяют избежать длительных испытаний при доводке конструкции на натурных образцах [1]. Существующие методы оптимизации [2] дают возможность расчетным путем найти наиболее эффективное сочетание параметров изделия прежде, чем начинать изготовление опытных экземпляров. В данной работе рассматривается задача оптимизации геометрии рабочего диска турбины газотурбинного двигателя (ГТД). Целью оптимизации является получение минимальной массы диска при сохранении прочностных характеристик, которые определяются коэффициентами запаса по напряжению.

Рабочий диск турбины высокого давления, на внешнем ободе которого устанавливаются рабочие лопатки, вращается с частотой несколько тысяч оборотов в минуту в неоднородном поле температур, причем максимальная температура может достигать 1000 К и выше. Основной нагрузкой диска являются центробежные силы лопаток, собственной массы диска и присоединенных к диску круговых элементов конструкций (фланцев, уплотнений и т.п.). Поскольку диск работает при большой неравномерности нагрева, помимо напряжений от центробежных сил также возникают значительные температурные напряжения, которые обязательно должны учитываться при определении общего напряженного состояния диска. Рабочий диск турбины высокого давления является одной из наиболее нагруженных деталей в ГТД и определяет эксплуатационные качества двигателя в целом. Подбирая конфигурацию диска,

можно получить более благоприятное по запасам прочности общее распределение напряжений.

Геометрия диска (рис. 1) описывается при помощи задания его толщины Ъу в различных

сечениях, определяемых радиусами . Далее

на основе математической модели вычисляются масса диска, напряжения, вызванные действием центробежных сил, и запасы прочности по местным напряжениям к^ в указанных сечениях для заданных частоты вращения и поля температур. На значения к^ наложены ограничения (они не должны быть меньше заданных величин, в данном случае должны выполняться неравенства к] > 1.5). В рассматриваемом слу-

I Ъ

<>.

9II ^

Рис. 1

чае размерность задачи: 24 независимых переменных (Ь у), 24 ограничения (к у) и одна целевая переменная - М.

Как правило, подобные задачи решаются с привлечением разностных методов (например, МКЭ - метода конечных элементов) для вычисления целевой переменной и ограничений на основе математической модели диска и тех или иных оптимизационных алгоритмов. Структура взаимодействия программных модулей, реализующих эти методы, применительно к исследуемой задаче представлена на рис. 2. Программный модуль оптимизации вычисляет значения независимых переменных и передает их вызываемому модулю для вычисления целевой переменной и ограничений. В зависимости от полученных результатов модуль оптимизации вычисляет новый вектор независимых переменных, и процесс повторяется до достижения условий остановки.

Очевидно, что необходимо использовать оптимизационный алгоритм, позволяющий найти решение задачи за наименьшее число вычислений целевой переменной и ограничений, поскольку МКЭ-расчеты связаны со значительными затратами машинного времени.

Ниже проводится сравнительный анализ различных алгоритмов оптимизации применительно к задаче минимизации массы рабочего диска турбины. Цель работы - определить метод, позволяющий найти наименьшее допустимое значение массы диска при наименьшем числе вызовов расчетной модели.

Для создания расчетной модели, позволяющей оценить напряженное состояние диска, вращающегося в поле температур, используется не МКЭ, а приближенный способ, предложенный в работе [3]. Данный способ требует гораздо меньших затрат времени на вычисление, чем МКЭ, но, в то же время, обладает всеми особенностями реально используемых на практике методов расчетов. Согласно этому способу последовательно рассматриваются кольцевые сечения диска, для которых изменения параметров можно с достаточной степенью точности аппроксимировать степенными зависимостями. В этом случае в уравнениях равновесия сил в диске

Рис. 2

отношения, стоящие в скобках, можно заменить постоянными, и данные уравнения могут быть решены аналитически. Здесь г - радиус диска, Ь - его толщина, t - превышение температуры в рассматриваемом сечении над минимальной в диске, ю - угловая скорость диска, р - плотность материала диска, Е - модуль упругости, ц - коэффициент Пуассона, а - коэффициент

линейного теплового расширения, стг - нормальное напряжение, действующее вдоль радиуса диска, сте - нормальное напряжение, действующее в плоскости, перпендикулярной радиусу диска.

Запас прочности оценивается отношением предельного напряжения, выдерживаемого данным материалом (предела длительной прочности), к наибольшему эквивалентному напряжению, действующему в наиболее опасном сечении к = а‘т/аэкв, где наибольшее эквивалентное

напряжение равно разности главных напряжений.

Оптимизация рабочего диска турбины в изложенной выше постановке является задачей нелинейного программирования (однокритериальной оптимизации), которая в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор решений х = [, х2, к, хг ], оптимизирующий значение функции / (х) при ограничениях gi(х) < 0 ; к](х) = 0 ; г = 1,...,п ; у = 1,...,р .

При этом как целевая функция, так и все ограничения могут быть нелинейными. Традиционно при решении задач нелинейного программирования (НП) с ограничениями используются следующие способы:

• распространение аппарата линейного программирования на нелинейные условия путем многократно используемой процедуры

линейной аппроксимации;

• преобразование задачи НП с ограничениями в эквивалентную ей последовательность задач безусловной оптимизации путем введения в рассмотрение штрафных функций;

• использование скользящих допусков, позволяющих оперировать в процессе решения задачи как с допустимыми, так и с недопустимыми векторами в пространстве решений. Рассмотрим следующие способы решения

исследуемой задачи, которые широко применяются в инженерных расчетах и реализованы в различных программных библиотеках: метод оптимизации с ограничениями при помощи линейной аппроксимации (COBYLA - Constrained Optimization By Linear Approximation, является модификацией симплекс-метода для задачи НП с линейной аппроксимацией целевой функции и функций ограничений) [4] и несколько методов, базирующихся на генетических алгоритмах.

Генетические алгоритмы являются весьма эффективным методом решения задач оптимизации, однако учет ограничений при использовании этого подхода требует дополнительных усилий. Общий обзор методов учета ограничений в генетических алгоритмах дан в [5]. Для сравнительного анализа были выбраны:

• NPGA (Niched-Pareto Genetic Algorithm) -метод многокритериальной оптимизации [6], адаптированный к задаче однокритериальной оптимизации [7]. Особенность этого метода заключается в правиле отбора. Sr особей отбирается с помощью парного турнира, причем могут быть отобраны особи как не нарушающие, так и нарушающие ограничения, оставшиеся (1 _ Sr) особей отбираются случайным образом (здесь Sr - для особей в популяции). Правила турнирного отбора особи:

- оба решения не нарушают ограничений: побеждает особь с лучшим значением функции приспособленности;

- одно решение нарушает ограничения, другое - нет: побеждает особь, не нарушающая ограничений;

- оба решения нарушают ограничения: отбирается недоминируемое на множестве tdom решение при условии, что второе является доминируемым на том же множестве (понятия доминируемое и недоминируемое решения подробно объясняются ниже);

- оба решения нарушают ограничения и оба являются недоминируемыми или доминируемыми: побеждает особь с наименьшим числом нарушений ограничений независимо от значения целевой функции.

• NPGA-4 - метод NPGA, модифицированный автором данной статьи за счет введения параллельной эволюции популяций и правила элитизма. Одновременно эволюционируют 4 популяции, после каждой итерации лучшая особь из каждой популяции копируется во все остальные.

• EGA (Eclectic Genetic Algorithm) - генетический алгоритм со статическими штрафными функциями [8]. Функция приспособленности согласно данному методу модифицируется следующим образом:

f (x), если ограничения не нарушаются,

fitness(x) = \K ^ (К Л _

К — 7 I — I, при нарушенииограничении,

ы Im)

где s - количество соблюдаемых ограничений, m = n + p - общее количество ограничений, K -большая константа (в данной работе при вычислениях полагалось K = 106).

Результаты оптимизации геометрии диска, полученные при использовании вышеперечисленных методов однокритериальной оптимизации, приведены в таблице 1, где использованы следующие обозначения для параметров генетического алгоритма: P - вероятность кроссо-

вера; P - вероятность мутации; N

pop

размер

популяции; N

число поколений, во время

которых популяция эволюционирует. При использовании генетических алгоритмов генотип особи определялся списком действительных чисел ь = [ ,Ъ2Ъ2А], функция приспособленности - значением М.

Рассмотрим задачу многокритериальной минимизации с т независимыми переменными, п целями, р ограничениями в виде неравенств и q ограничениями в виде равенств:

минимизировать {(X)

при условии §(ж) > 0, Ь(х) = 0,

где X = хт) є X, х - вектор решений (не-

зависимых переменных), X - пространство параметров, Ї (х)Т = [ (х),..., /п (х)] - цели,

ё(х)Г = [([•••,gр(х)] - ограничения в виде неравенств, Цх)г = [ (х),..., Нд (х)] - ограничения в виде равенств. Вектор решений а є X является доминирующим над вектором Ь є X (обозначается как а Р Ь), если выполняется условие

Уі є {і,...,п}\/і(а)< ^(Ь) л л 3/ є {п}: Г(а)< (ь).

Таблица 1

Метод Параметры Найденное значение М Количество вызовов модели

COBYLA - 11.638 5000

NPGA ^ = 0.8; 1аот = 20; Рс = 0.9; Рт = 0.2; мрор = 100; N = 10; однородный кроссовер, случайная мутация 11.555 890

NPGA-4 4 популяции, для каждой: = 0.8; ^ = 10; Р = 0.8; Рт = 0.5; Nрор = 50; N = 5; однородный кроссовер, гауссовская мутация 11.542 862

EGA Рс = 0.9; Рт = 0.2; ирор = 100; N = 10; однородный кроссовер, случайная мутация 11.518 1 803

Вектор а называют недоминируемым на множестве 1'с1, если в X' нет вектора, доминирующего над а. Множество решений X', для которого выполняется условие

У а’ е X’: —За е X: а Р а' л

л а - а Н <

ел|| / (а)- / (а'| <8,

где

|| - метрика расстояния и е > 0, 5 > 0,

называется локальным Парето-оптимальным множеством. X' является глобальным Парето-оптимальным множеством, если Уа'е X':

—)3а е X : а Р а*. Таким образом, задача многокритериальной оптимизации является задачей нахождения глобального Парето-оптимального множества решений.

Из вышеизложенного следует, что проблема оптимизации геометрических параметров диска может быть переформулирована как задача многокритериальной оптимизации:

минимизировать {М; 21.5 - тт(ку.)} (1)

при условии к. > 1.5, ] = 1 ...24 .

Условие {21.5 - тт(ку.)} означает, что минимизируется разность между константой (в данном случае из соображений удобства выбрано значение 21.5) и минимальным из значений ограничений ку .

Один из наиболее эффективных алгоритмов многокритериальной оптимизации с ограничениями - генетический алгоритм ^ОА-П [9]. На рис. 3 представлено глобальное Парето-оптимальное множество решений, найденное при помощи ^ОА-П для задачи оптимизации диска в постановке (1) при N = 100; N = 50.

Из рисунка видно, что ни один метод однокритериальной оптимизации не приблизился к найденному при помощи ^ОА-П решению М = 9.577 кг.

Рис. 3

Однако при указанных параметрах N =100;

N2 = 50 при вычислениях по методу №ОА-П

потребовалось 5000 вычислений модели диска, что привело к значительным затратам машинного времени. В работе [10] предложен метод, позволяющий значительно сократить количество обращений к точной расчетной модели за счет использования приближенной модели. Описываемый метод (рис. 4) состоит из следующих шагов:

1. Генерируется начальная обучающая выборка х5 небольшого объема ^ е X на основе

одного из методов планирования эксперимента. Вычисляются векторы значений целевых функций f (х 5) и ограничений g(x 5) и Ь(х 5) во всех

полученных точках.

2. На основе обучающей выборки ха и соответствующих значений {(х 5), §(х 5) и Ь(х 5) строятся приближенные модели ~ (х), ~(х) и Ь(х) всех исследуемых зависимостей. Предлагаемый метод построения приближенных моделей рассматривается ниже.

Рис. 4

3. На основе полученных приближенных моделей ~ (х), ~(х) и Ь(х) при помощи алгоритма ^ОА-П находится вектор \ор(, который

определяет Парето-оптимальное множество решений задачи.

4. В точках полученного таким образом множества решений х ( вычисляются точные

значения функций ^(хор(), g(xчp^) и Ь(хор,).

Если условие окончания вычислений не выполняется, все значения, полученные на точных моделях, добавляются в обучающую выборку:

X = X + V, *) = *(х*) + * (хор), 8(х,) =

= §(х,) + §(х0р), Ь(х4) = Ь(х,) + Ь(х0р) и осуществляется возврат к шагу 2, где вновь строятся приближенные модели.

Условие окончания вычислений определяется следующим образом:

• суммарная относительная погрешность е построенных моделей достигает заданного минимума:

1 п+р+д

к{п + р + д) ^ ]1

<8,

здесь к - количество решений в найденном Па-

рето-оптимальном множестве, Му(х) -

значе-

ние одной из функций f (х), §(х) или Ь(х), найденное на основе ее приближенной модели, Fj(x) - значение той же функции, найденное на

основе точной модели, е - достаточно малое положительное число. Выполнение данного условия означает, что качество построенных приближенных моделей таково, что позволяет использовать их вместо точных:

• нахождение одного или нескольких векторов f (х), удовлетворяющих заранее определенным требованиям f(х) < fgoal при соблюдении ограничений g(x) > 0, Ь(х) = 0, где 1^оа1 -заданные экспертом значения целевых функций, достаточные для обеспечения необходимых характеристик проектируемого изделия;

• превышение допустимого количества точных вычислений моделей;

• превышение допустимого времени вычислений.

Для построения приближенной модели исследуемого объекта используется искусственная нейронная сеть радиального базиса (КББ-сеть), получаемая с помощью эволюционных алгоритмов [11]. В работах [10,11] показана высокая эффективность предложенного метода при решении практических задач.

2

е

Таблица 2

Итерация Модель M Модель min(k j) e Кол-во вызовов точной модели Результат по приближенной модели Результат по точной модели

M min(kj) M min(k j)

1 OO m II Nh Nh I I 4 О 0.00514 132 7.663 1.520 11.283 1.541

2 9 m II Nh Nh I I 41 0.00285 232 7.222 1.506 10.815 1.516

3 Nh I I 4 to 6 m II Nh 0.00248 332 10.582 1.501 10.789 1.536

4 Nh I I 4 о 7 m II Nh 0.00079 432 9.601 1.560 9.850 1.504

Согласно данному методу для задачи оптимизации геометрии диска турбины была сформирована обучающая выборка на основе матрицы Тагучи L32 (потребовалось 32 вызова точной модели). Дальнейший ход решения представлен в таблице 2, где Nh - количество

нейронов в скрытом слое RBF-сети, аппроксимирующей оптимизируемую переменную.

Таким образом, можно сделать вывод, что предложенный в [10] метод многокритериальной оптимизации может с успехом применяться и для задач нелинейного программирования при соответствующем их переформулировании. Данный метод позволяет найти требуемое значение оптимизируемой функции, близкое к оптимальному при значительном снижении количества вычислений точной модели.

Список литературы

1. Зеленков Ю.А. Использование суперкомпьютеров в машиностроении. Опыт НПО «Сатурн» // В кн.: Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности / Под ред. В.А. Садов-ничего и др. М.: Изд-во МГУ, 2009. 232 с.

2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

3. Конструкция и проектирование авиационных газотурбинных двигателей / Под ред. Д.В. Хронина. М.: Машиностроение, 1989. 368 с.

4. Powell M.J.D. A direct search optimization method that models the objective and constraint functions by linear interpolation // In: Advances in Optimization and Numerical Analysis / eds. S. Gomez and J-P. Hennart, Kluwer Academic (Dordrecht), 1994. Р. 51-67.

5. Carlos A. Coello Coello. Theoretical and Numerical Constraint-Handling Techniques used with Evolutionary Algorithms: A Survey of the State of the Art. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Jan. 2002. V. 191. № 11-12. P. 245-1287.

6. Horn J., Nafpliotis N., Goldberg D.E. A Niched Pareto Genetic Algorithm for Multiobjective Optimization // In: Proceedings of the First IEEE Conference on Evolutionary Computation, IEEE World Congress on Computational Intelligence. Piscataway, New Jersey, June 1994. IEEE Service Center. V. 1. P. 82-87.

7. Carlos A. Coello Coello and Efren Mezura-Montes. Handling Constraints in Genetic Algorithms Using Dominance-Based Tournaments // In: Proceedings of the Fifth International Conference on Adaptive Computing Design and Manufacture (ACDM 2002) / I.C. Parmee, editor. University of Exeter, Devon, UK, April 2002. V. 5. P. 273-284.

8. Morales A.K., Quezada C.V. A Universal Eclectic Genetic Algorithms for Constrained Optimization // In: Proceedings 6th European Congress on Intelligent Techniques & Soft Computing, EUFIT’98. Aachen, Germany, September 1998. Verlag Mainz. P. 518-522.

9. Deb K., Agrawal S., Pratap A., Meyarivan T. A fast elitist non-dominated sorting genetic algorithm for multi-objective optimization: NSGA-II // In: Proceedings of the Parallel Problem Solving from Nature VI, 2000. Р. 849-858.

10. Зеленков Ю.А. Метод многокритериальной оптимизации на основе приближенных моделей исследуемого объекта // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11. С. 250-260.

11. Зеленков Ю.А. Аппроксимация функций на основе радиальных нейронных сетей, генерируемых при помощи эволюционных алгоритмов // Вестник Рыбинской государственной авиационной технологической академии им. П.А. Соловьева. - Рыбинск, 2004. № 1-2(4-6). С. 87-93.

OPTIMIZATION OF A HIGH-PRESSURE TURBINE DISK OF A GAS-TURBINE ENGINE

Yu.A. Zelenkov

The problem of high-pressure turbine disk form optimization is investigated in order to minimize the disk mass while maintaining the strength characteristics. A comparative analysis of different optimization methods is carried out in single- and multi-criteria formulations.

Keywords: optimization, approximate model, nonlinear programming.