CC BY
15
УДК 531.761
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА РАМАНОВСКОГО ОХЛАЖДЕНИЯ ИОНА 25Mg+ ДО ОСНОВНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ
ЛОВУШКЕ ПАУЛЯ
П. Л. Сидоров, И. В. Заливако, А. С. Борисенко,
И. А. Семериков, К. Ю. Хабарова
Представлен метод охлаждения на боковых частотах и его реализация на рамановском переходе иона 25Mg+. Выполнено численное моделирование процесса в условиях эксперимента ФИАН, а также оптимизация параметров лазерных импульсов для достижения минимального среднего колебательного числа за времена рамановского охлаждения порядка единиц миллисекунд.
Ключевые слова: лазерное охлаждение, рамановское охлаждение, ионы магния.
Введение. В последние годы активно развивается теория квантовых компьютеров и квантовых вычислений [1-4]. Принципиальное преимущество квантовых вычислений перед классическими заключается в том, что они способны ускорить выполнение задач переборного типа [5-6]. Единицей информации в квантовых компьютерах является ку-бит. На данный момент существуют различные физические реализации кубитов, такие как твердотельные квантовые точки на полупроводниках, джозефсоновские контакты, охлаждённые захваченные ионы и др. [7-9]. Наиболее перспективными на сегодняшний день являются сверхпроводящие кубиты и кубиты на одиночных ионах. Преимуществом систем сверхпроводящих кубитов является лучшая масштабируемость: создан квантовый вычислитель из 50 кубитов на джозефсоновских переходах, в то время как на ионах - пока только из 5 кубитов [10]. Однако кубиты на основе ионов имеют лучшее отношение времени когерентности к времени операций, что даёт возможность производить большее число операций [8]. Реализация квантовых алгоритмов на ионах осуществляется с помощью управления колебательными и внутренними состояниями иона посредством лазерных импульсов. Для ряда схем перепутывания состояний ионных кубитов [11] достаточно охлаждения ионов до доплеровского предела. Для достижения ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр., 53; e-mail: pavel1778@mail.ru.
наиболее высокой достоверности (fidelity) операций требуется более глубокое охлаждение, вплоть до основного колебательного состояния [3]. В этих целях обычно применяют метод охлаждения на боковых частотах. В системе отсчёта колеблющегося захваченного иона с внутренним переходом на частоте ш0, монохроматическое излучение с частотой ш приобретает фазовую модуляцию на частоте колебаний иона шт, поэтому ион поглощает фотон не только на частоте ш0, но и на ряде частот ш0 ± 1шт. Поглощая когерентным образом в процессе п-импульса фотон с частотой ш0 — 1шт и излучая в среднем квант с частотой ш0, ион теряет энергию 1шт, что и приводит к его охлаждению. Однако для большинства квантовых систем боковые частоты оказывается невозможно разрешить спектроскопически, поскольку переход на частоте ш0 имеет большую спектральную ширину. Соответственно, данный метод охлаждения реализуют чаще всего либо на квадрупольном переходе, либо на индуцированном рамановском переходе (далее -РП). Также возможно использовать эффект индуцированной прозрачности [12-14]. Метод рамановского охлаждения (далее - РО) крайне прост в использовании, т.к. для его реализации необходимо лишь присутствие третьего вспомогательного уровня (рис. 1).
F
Рис. 1: Частичная схема уровней 25Мд+ и схема охлаждения. Волнистая стрелка -спонтанное излучение, пунктирная - перекачивающий импульс 280 нм, прямые стрелки - РИ 285 нм. А - отстройка рамановских пучков от вспомогательного уровня, 5 = ±1шт - отстройка от РП без изменения колебательного уровня, соответствует, изменению колебательного уровня на ±1.
Одним из наиболее удобных ионов для реализации элементов квантовой логики является ион магния с простой системой энергетических уровней, что позволяет охлаждать ион до основного колебательного состояния с помощью одного лазера [15]. Из трёх стабильных изотопов магния 25М^ имеет ненулевой спин ядра, что позволяет использовать магнитодипольный переход между компонентами сверхтонкой структуры ионов для РО.
В нашей лаборатории проводятся эксперименты по реализации элементов квантовой логики на основе иона 25М^+, для чего требуется их охлаждение до основного колебательного состояния. С этой целью было произведено численное моделирование процесса РО для оптимизации параметров.
Рамановское охлаждение ионов 25Мд+. Охлаждение иона 25М^+ реализуется на РП 2^1/2|^ = 3,Шр = 3) ^2S1/2|F = 2,шр = 2) через виртуальный уровень, отстроенный от уровня 2Р3/2^ = 4,ш,р = 3) на величину порядка 10 ТГц (рис. 1). Для генерации двух рамановских импульсов (далее - РИ) с длиной волны 285 нм используется четвёртая гармоника полупроводникового лазера с длиной волны 1140 нм. Уровень 251/2|^ = 2,шр = 2) метастабильный, поэтому для перевода иона в нижнее состояние 251/2|^ = 3,ш^ = 3) в конце каждого шага РО используется оптическая накачка через промежуточный уровень 2Р3/2^ = 3,ш^ = 3). Для снижения изначального числа квантов ион предварительно охлаждён до доплеровского предела с помощью лазера с длиной волны 280 нм. Один элементарный акт РО представляет собой следующую последовательность импульсов: вначале прикладываются 2 РИ с отстройкой А от верхнего вспомогательного уровня и отстройкой 8 от РП без изменения колебательного уровня, затем осуществляется оптическая накачка в состояние 251/2|^ = 3,ш^ = 3) через уровень 2Р3/2^ = 3,шр = 3) с помощью дополнительного лазерного импульса с длиной волны 280 нм (рис. 1). Обычно отстройка 8 выбирается равной — шт или —2шт, что соответствует переходам с изменением колебательного уровня на 1 или 2. Частоты Раби таких переходов определяются выражением [16]:
Пое-п2/2< рФ^Чп^кп2), (1)
V п>!
где П0 = ——— - частота Раби РП без учёта колебательных уровней (здесь П1, П2 -резонансные частоты Раби для переходов 2Р3/2^ = 4,ш^ = 3) ^2S1/2|F = 3,шр = 3) и 2Рз/2^ = 4,шр = 3) = 2,шр = 2)), п = к — Ь^Н/^шшт) - пара-
метр Лэмба-Дике, ш - масса иона, к1, к2 - волновые векторы 2-х РИ, и<(и>) - мень-
шее(большее) из п и п' - начального и конечного колебательных квантовых чисел, а ЬП(х) - обобщенный полином Лагерра. Из формулы (1) видно, что частота Раби перехода между двумя колебательными подуровнями зависит не только от разности между п и п', равной количеству отбираемых или добавляемых колебательных квантов, но и от их абсолютных значений. Таким образом, например, если приложить РИ с отстройкой 5 = —шт, который является п-импульсом для перехода с п = 2 на п' = 1, то для перехода с п = 20 на п' = 19 он таковым уже являться не будет. В связи с этим, так как в течение процесса охлаждения будет меняться заселенность колебательных уровней, будет меняться и взаимодействие частицы с РИ. По этой причине для осуществления эффективного РО требуется осуществление предварительной симуляции данного процесса и подбора оптимальной отстройки и длительности каждого импульса для поддержания оптимальных параметров на протяжении всего охлаждения.
Для описания процесса охлаждения используем выражение [17]:
Рп = Р„(0)(1 - 81п2(П„;га-1^/2)) + Рга+1(0) 8т2(Пга+1;^/2). (2)
Здесь 8т2(ПП;П-1£/2) и 8т2(Пп+1>п£/2) - вероятности переходов с изменением колебательного уровня на единицу, что следует из решения уравнения Шредингера с гамильтонианом системы "ион в ловушке+поле" в представлении взаимодействия и приближении вращающейся волны, а Рп - населенность п-го колебательного уровня.
Таблица 1
Параметры установки
^т П, для перпендикулярных рамановских пучков Доплеровский предел (Тепловое распределение) Начальное п
2пх 1 МГц 0.44 1 мК 20.42
Выражение (2) определяет населённости колебательных уровней после одного акта охлаждения, с отстройкой 5 = — шт и длительностью РИ Аналогичное выражение верно и для отстройки 5 = —2шт с заменой 1 ^ 2. Здесь мы пренебрегаем всеми процессами нагрева и рассматриваем охлаждение в "идеальном" случае.
После первого шага охлаждения полученные населённости можно опять подставить в выражение (2) и т.д.
Для каждого шага выбирается отстройка 5 и время задача оптимизации состоит в том, чтобы получить п = £ Рпп, близкое к нулю после охлаждения за минимальное
п 21.0 18.9 16.8 14.7 12.6 10.5 8.40 6.30 4.20 2.10 0.00
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 Номер импульса
Рис. 2: Зависимость n от номера импульса.
время, подобрав некоторый набор отстроек и длительностей. Полный перебор оказывается достаточно сложной задачей, поэтому применяют ряд оптимизационных стратегий, таких как чередование актов с охлаждением с одной и с другой отстройкой, с фиксированной длительностью или с переменной. Применяют также последовательность п-импульсов (таких, что Qn,n_it = п) и др. Для параметров нашей установки (табл. 1) с целью уменьшения погрешности, учитывались 400 колебательных уровней. За основу взята стратегия 25x2+15x1 [15] (т.е. 25 актов с отстройкой -2um и 15 актов с отстройкой —шт), эта последовательность повторялась 3 раза. Для каждой из серий 25x2 или 15x1, повторяемых три раза, выбиралось своё время импульсов t, такое, что Qn,n_it = п для некоторого n, затем подбором этих 6 длительностей найден локальный минимум П как функции от этих длительностей. Затем варьировалась точка переключения между отстройками, т.е. цикл охлаждения представляет следующую последовательность: (25+d1)x2+(15-d1)x 1, (25+d2)x2+(15-d2)x1, (25+d3)x2+(15-d3)x 1. Находился оптимальный набор (d1,d2,d3), после этого набор длительностей варьировался около предыдущего локального минимума для оптимизации, процедура проводилась несколько раз до тех пор, пока оптимальный набор (d1,d2,d3) не стал (0,0,0). В итоге за 120 импульсов достигнуто основное колебательное состояние с П = 0.05 и населённостью основного уровня 99.8%. Для частоты П0 = 150 кГц охлаждение занимает около 1.5 мс, без учёта времени перекачки. Если учесть характерное время накачки порядка
10 мкс, суммарное время охлаждения будет около 3 мс. Окончательный набор параметров указан в табл. 2, конечное распределение и зависимость п от номера импульса приведены на рис. 2 и 3.
Рис. 3: Зависимость конечной населённости колебательных уровней от п.
Таблица 2
Оптимизированная стратегия охлаждения иона 25Мд+ с температуры доплеровского предела до основного колебательного состояния
Отстройка — 2шт — 2Шт — 2Шт
п, где = п 26 13 25 12 23 11
Кол-во импульсов 23 17 25 15 25 15
Также было выполнено сравнение предложенной стратегии с другими. Примечательно, что если для каждого из 120 актов выбирать длительность и отстройку, исходя из минимума п после каждого шага в диапазоне длительностей от 0 до 30 мкс (для сравнения характерные времена в выбранной стратегии 10-15 мкс), то может быть достигнуто лишь п ^^ 0.6. Соответственно, наиболее прямолинейный подход не является оптимальным. Ещё одна стратегия, в которой длительности импульса выбираются, исходя из условия = п/ПП0-г,П0-г_1, где п0 - номер наибольшего колебательного уровня, заселенность которого в начальный момент времени все ещё заметно отлична от нуля, а г - номер импульса, также является одной из наиболее интуитивных, так как
по сути представляет собой сначала перенос всей населенности с уровня n0 на уровень ниже, оставляя его пустым, затем перенос вниз всей населенности с уровня n0 — 1 вниз и так далее вплоть до основного колебательного состояния. Данная стратегия также оказывается невыгодной, так как занимает время в десятки раз больше из-за больших длительностей п-импульсов для некоторых n.
Заключение. В работе выполнены расчеты рамановского охлаждения ионов 25Mg+ в линейной ловушке Пауля. Были исследованы различные стратегии охлаждения. Результаты вычислений показали, что наиболее оптимальной стратегией являются серии импульсов с постоянными отстройками и длительностями, позволяющие достичь значения среднего числа заполнения n = 0.05 за 3 мс при условии пренебрежения нагревом. Соответственно, подобраны оптимальные параметры охлаждения, которые планируется реализовать в эксперименте.
Работа выполнена за счет гранта РНФ № 19-12-00274.
ЛИТЕРАТУРА
[1] R. P. Feynman, Int. J. Theor. Phys. 21, 467 (1982).
[2] D. Loss, D. P. DiVincenzo, Phys. Rev. 57(1), 120 (1998).
[3] J. I. Cirac, P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 74(20), 4091 (1995).
[4] A. Blais, A. M. Zagoskin, Phys. Rev. A 61(4), 042308 (2000).
[5] L. K. Grover, Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing, Philadelphia, PA, USA, 1996 (ACM, New York, 1996), p. 212-219, https://dl.acm.org/proceedings.cfm.
[6] P. W. Shor, Proceedings of 35th Annual Symposium of Computer Science, Santa Fe, NM, USA, 1994, p. 124-134, https://ieeexplore.ieee.org/Xplore/home.jsp.
[7] J. R. Petta, Science 309(5744), 2180 (2005).
[8] J. P. Gaebler, Phys. Rev. Lett. 117(6), 060505 (2016).
[9] H. Paik, Phys. Rev. Lett. 107(24), 240501 (2011).
[10] S. Debnath, Nature 536(7614), 63 (2016).
[11] A. S0rensen, K. M0lmer, Phys. Rev. Lett. 82(9), 1971 (1999).
[12] C. Monroe, Phys. Rev. Lett. 75(22), 4011 (1995).
[13] F. Diedrich, Phys. Rev. Lett. 62(4), 403 (1989).
[14] C. F. Roos, D. Leibfried, Phys. Rev. Lett. 85, 5547 (2000).
[15] B. Hemmerling, Appl. Phys. B 104(3), 583 (2011).
[16] D. Leibfried, Rev. Mod. Phys. 75(1), 281 (2003).
[17] H. Che, Phys. Rev. A 96(1), 013417 (2017).
Поступила в редакцию 18 января 2019 г. После доработки 4 апреля 2019 г. Принята к публикации 4 апреля 2019 г.
Публикуется по результатам XVI Всероссийского молодежного Самарского конкурса-конференции по оптике и лазерной физике (Самара).
