Оптимизация параметров валов и осей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

С помощью этого метода находят приближенное значение оптимальных смешанных стратегий обоих игроков. Для этого считают частоту применения каждой стратегии и принимают как приближённое значение вероятности использования этой чистой стратегии в оптимальной смешанной стратегии.

Обработка результатов таблицы выполняется по оценке вероятности выбора смешанной стратегии для каждого участника игровой ситуации. Эта оценка производится по частоте появления каждой стратегии, отнесенной к общему числу исходов. Вероятность появления смешанных стратегий 1-го и 2-го игрока должна быть равна 1. При обработке результатов таблицы

13

видно, что частота появления 1-й стратегии 1-го игрока составляет (я 43 %), и 4-й страте-17

гии 1-го игрока - —57 %')-30

Вывод

Таким образом, поставленная задача изготовления роликовых опор бурового долота с оптимальными эксплуатационными свойствами, учитывающими изменение твердости пород, достигается за счет комплектования долот роликами с различными геометрическими параметрами. Наибольший эффект по результатам решения игровой ситуации достигается, когда максимальный выигрыш 1-го игрока (изготовителя роликовых опор) приходится на минимальный «проигрыш» 2-го игрока (природы) при использовании в долотах в 43% случаев роликовых опор цилиндрической формы (рис. 1 а) и в 57% случаев роликовых опор «бочкообразной» формы с углублениями для смазки в торцевых поверхностях роликов (рис. 1 г). Это должно обеспечить повышение ресурса долота с максимально неблагоприятным стечением обстоятельств, связанных с изменением твердости отделяемой породы при бурении скважины.

В результате проведенных расчетов были получены условия оптимального комплектования роликовыми опорами буровых долот, предназначенных для бурения твердой породы, с указанием конкретной конструкции роликов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воробьев И.И. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984. 496 с.

2. Нечеткие множества и теория возможностей: Пер. с англ. / Под ред. P.P. Ягера. М.: Радио и связь, 1986 408 с.

3. Лищинский Л.Ю. и др. Технико-экономический анализ вариантов технологического маршрута токарной обработки / Вестник машиностроения. №9. 1983. С. 34-36.

4. Методика проектирования и расчета шарошечных долот для вращательного способа бурения скважин: Метол, разработка к курсовому и дипломному проектированию. Куйбышев: КПтИ, 1973. 28 с.

Статья поступила в редакцию 25.04.2005 г.

УДК 20.4 6 А. И. Глухенький

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ВАЛОВ И ОСЕЙ

Рассматривается альтернативный метод оптимизации параметров деталей и узлов механизмов и машин. Он отличается от традиционных методов тем, что не требуется составлять специальные уравнения и находить экстремум функции. Недостаток традиционных методов заключается в том, что они часто сопряжены со значительными математическими трудностями. Компьютерные технологии позволяют решать задачи оптимизации параметров деталей и узлов механизмов и машин существенно проще. Это показано на примере оптимизации параметров валов и осей.

1. Ключевая информация

При расчете валов и осей необходимо обеспечить их прочность и жесткость при минимальных диаметрах. Такие требования являются взаимно противоречивыми. Уменьшать диаметр вала или оси можно за счет выбора стали с более высоким пределом прочности, однако их жесткость при этом снижается, и прогиб может выйти за допускаемое значение.

НО

Допускаемые прогибы вала и червяка определяются по зависимостям [1)

[/НО,0002-0,0003)/!; (1)

[Я=(0,005-0,01)т, (2)

где - расстояние между опорами вала; т - модуль червячной передачи.

Диаметры вала, которые получают по расчетам на прочность йр и жесткость й(}ъ являются функциями целого ряда аргументов. Например, для промежуточного второго вала редуктора это можно записать так:

¿р =/(72,[т],[а],ав>1)2)/>3)^1^2,гз,а,р,р2,Рз,[о]); (3)

~ /(^2>>&3) А ’¿2,¿3,[/]) , (4)

где Т2 - вращающий момент на валу, Нм; [т],[а] - допускаемые касательное и нормальное напряжения, МПа; ой - предел прочности материала, из которого изготавливается вал, МПа; £>2, £>3 - делительные диаметры колеса и шестерни, установленные на валу, мм; - расстояние между опорами вала, мм; Л2, £3 - координаты расположения зубчатого колеса и шестерни, мм; а - угол зацепления, градусы; |3 - коэффициент качества обработки поверхности вала; р2,р3 -углы наклона зубьев, градусы; [л] - допускаемый запас прочности вала; Е - модуль упругости материала вала, МПа; [/] - допускаемый прогиб вала, мм.

Эти диаметры для одного вала имеют разные размеры. Цель оптимизации заключается в нахождении в предположительно опасном сечении минимального диаметра вала ¿т;п, который одновременно соответствует требованиям по прочности и по жесткости. Такой диаметр является оптимальным <10ш, Второй аспект оптимизации заключается в определении такого материала для изготовления вала, который наилучшим образом соответствует именно этим заданным условиям его работы, с учетом того, что с увеличением предела прочности <тв возрастает стоимость материала. Оптимальным является материал, позволяющий получить оптимальный диаметр вала при минимальном значении предела прочности, который может изменяться от 500 до 1100 МПа.

При проектном расчете диаметр вала определяют 'Приближенно по крутящему моменту. Затем при проверочном расчете на выносливость вычисляют запас прочности для предположительно опасного сечения и сравнивают его с допускаемым запасом прочности. При этих расчетах обязательно назначают материал, из которого будет изготавливаться вал, его термическую обработку, твердость и используют механические характеристики этого материала. Для изготовления валов и осей применяют широкий спектр материалов: углеродистые стали марок 20, 30, 35, 40, 45, 50; легированные стали 20Х, 40Х, 40ХН, 50ХН, 18Х2Н4МА, 30ХГТ, 40ХН2МА, 30ХГСА и др. При этом в литературе нет четких указаний на то, какая марка стали является наиболее выгодной для каждых конкретных условий работы вала. А цены разных марок могут различаться весьма существенно, и это отражается на стоимости машин. Кроме того, при расчетах валов и осей по существующей методике далеко не всегда находятся диаметры, оптимальные для конкретных условий их работы. Использование компьютеров и компьютерных технологий при расчетах валов и осей на прочность и жесткость позволяет рассмотреть весь диапазон материалов, которые могут быть выбраны для их изготовления, и определить оптимальный материал и оптимальный диаметр вала, оси для каждых конкретных условий их работы.

Задача решается в такой последовательности. Все материалы по пределу прочности разделены на четыре группы. К первой группе относятся материалы с пределом прочности сгв=500 МПа, ко второй - с =700 МПа, к третьей - с ств=900 МПа, к четвертой - с <тв =1100 МПа. Причем конкретные марки стали на этом этапе не оговариваются. По исходным данным выполняются проектный и проверочный расчеты на прочность, а также расчет на жесткость для каждой группы сталей. При этом используются четыре допускаемых напряжения на изгиб, соответствующие четырем пределам прочности материалов [I]. При расчете на жесткость модуль упругости материала считается постоянным и равным £=2,15*10^ МПа, так как для разных марок сталей его различие несущественно. По результатам расчетов строят графики зависимости диаметров вала от ав. Диаметр вала, найденный по расчету на жесткость, не зависит от ав и представляется прямой линией, параллельной оси абсцисс (линия жесткости).

Эта линия может располагаться по-разному по отношению к линии, полученной в результате расчета на прочность (линия прочности), в зависимости от допускаемого прогиба вала [/], допускаемого запаса прочности [л], расстояния между опорами вала Ь\, координат расположения зубчатых колес ¿2> ¿3> силовых факторов. Здесь возможны три разные ситуации.

1. Эти линии пересекаются. Проекция точки пересечения на ось абсцисс, по которой отложены <тв, показывает оптимальный предел прочности стали для заданных условий работы вала, так как при меньшем значении прочность вала будет недостаточной, если диаметр найден по линии жесткости. А если он найден по линии прочности левее точки пересечения, то его значение будет больше оптимального; если правее точки пересечения, то жесткость вала будет недостаточной. Если диаметр найден по линии жесткости, а предел прочности выбран правее проекции точки пересечения на ось абсцисс, то не будут эффективно использоваться прочностные возможности стали, к тому же выбранный предел прочности необоснованно увеличивает стоимость вала. Поэтому проекция точки пересечения на ось ординат, по которой отложены диаметры, показывает оптимальный диаметр вала (1ош . По оптимальному пределу прочности можно определить оптимальную марку стали, пользуясь справочником, его термическую обработку и твердость (рис. 2).

2. Линия, найденная по расчету вала на жесткость, располагается выше линии, найденной по расчету на прочность. Это значит, что для заданных условий работы вала важнейшим фактором является жесткость, а прочность является второстепенной. И если жесткость вала будет достаточной, то его прочность тоже будет достаточной.

Оптимальный диаметр вала в этом случае определяется точкой пересечения линии, найденной по расчету на жесткость, с осью ординат, так как при меньшем диаметре жесткость вала будет недостаточной, а при большем - материал вала будет использоваться неэффективно, что приведет к необоснованному удорожанию вала. Так как жесткость вала не зависит от ав, то нет смысла выбирать материал с высоким пределом прочности. Его прочностные возможности не будут использоваться, и это тоже приведет к необоснованному удорожанию вала. Оптимальный предел прочности в этом случае £ГвОПТ=500 МПа (рис. 4).

3. Линия, найденная по расчету вала на жесткость, располагается ниже линии, найденной по расчету на прочность. Это значит, что для таких условий работы вала определяющей является прочность, а жесткость - фактор второстепенный. В этом случае оптимальный материал и оптимальный диаметр вала зависят от того, какие требования к нему предъявляются. Если нужно получить минимальную массу вала, минимальные диаметры, то следует выбрать 'сталь с наибольшим пределом прочности. Оптимальный диаметр вала определяется проекцией на ось ординат правого конца линии, найденной по расчету на прочность. Если таких требований нет, если важным фактором является стоимость вала, то можно выбрать сталь с низкими механическими характеристиками, а оптимальный диаметр вала определит точка пересечения с осью ординат этой линии (рис. 6).

Поставленная цель достигается по алгоритму, показанному ниже.

Здесь ^,2 > ’ Кг > ^<а -^з ' окружные, радиальные и осевые силы в зубчатых зацеплениях; , КБХ, ЯАУ, КВ7, КА-ц, - реакции в опорах вала;

МлХ1,Мг'Х2,Му2,Мъг,Мяхъ,Мпхъ,Муь>МЪ2 - изгибающие моменты слева и справа от сечения

2, от сечения 3 и суммарные; Ыг - больший суммарный изгибающий момент; Мэк - эквивалентный момент; J - имя ряда групп материалов, ¿(7) - диаметр вала как функция группы материалов; Ка^),Кт{^ - коэффициенты концентрации нормальных и касательных напряжений; К - имя ряда Ка 40; еа (</), £г (У) - масштабные факторы; 0"_, (./), г , (./) - пределы выносливости материалов; - коэффициенты асимметрии циклов нагружения вала; I~ имя таблицы

шпонок; WVÍ^J), Wp{J) - осевой и полярный моменты сопротивления сечения вала; <та (У), та^) - амплитуды цикла нормальных и касательных напряжений; ат, Тт - средние напряжения; па,пг - коэффициенты запаса прочности вала по нормальным и касательным напряжениям; п -общий коэффициент запаса прочности вала; У0 - осевой момент инерции сечения вала.

Пример 1

■ “Г ‘"'"Г

#rax 1 * Кг

г и ґ* ч і F* F»,з ^ ■■ ■■■; fT* - L\ - L I \ r

■ J>\ ✓ . .

Ч " р к і »

В

Rsr X

+Z

Р и с. 1, Расчетная схема №1. На валу установлены цилиндрическое зубчатое колесо на координате L2 и цилиндрическая шестерня на координате L}

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Вращающий момент на втором валу 7^= 100,0 Нм

Расстояние между опорами вала I ,=250,0 мм

Координаты расположения зубчатых колес 12=80,0 мм

L3= 170,0 мм

Делительные диаметры зубчатых колес £>2=200,0мм

£>3=100,0 мм £

Углы наклона зубьев /?2 =12,0°

&=12,0°

Угол зацепления а =20°а = 20°

Допускаемый запас прочности вала [л]=1,80

Допускаемый прогиб вала [/]=0,075 мм

Таблица 1

Параметры вала и шпонки

Параметры Номер группы материалов J

1 2 3 4

Предел прочности материала сг „ МПа 500 700 900 1100

Допускаемое напряжение [ а ], МПа 50 60 70 80

Диаметр вала по расчету на прочность </0, мм 34,0 32,0 30,0 28,0

Диаметр вала по расчету на жесткость мм 32,0 32,0 32,0 32,0

Ширина шпонки Ь, мм 10,0 10,0 10,0 10,0

Высота шпонки А, мм 8,0 8,0 8,0 8,0

Глубина шпоночного паза на валу г„ мм 5,0 5,0 5,0 5,0

Расчетный запас прочности вала и 2,66 2,60 2,24 2,00

Максимальный прогиб вала/тах, мм 0,070 0,070 0,070 0,070

500 600 700 800 900 1000 1100

Р и с. 2. Линии, полученные при расчетах вала на прочность и жесткость, пересекаются

Проекция точки пересечения на ось а'в показывает, что оптимальный предел прочности материала сгвопт =700 МПа. Это значит, что для заданных условий работы вала оптимальным

материалом является сталь 40, термическая обработка - улучшение, твердость - 192...228 НИ. предел прочности <7Н =700 МПа [2]. Проекция точки пересечения на ось с/в показывает, что оптимальный диаметр вала ¿/огтт~32 мм.

Пример 2

Ялг ' л ^ Й — плх я 1 Г

0 ¿2 и ✓ Явх ^ и

£— > >

Квч

В

/

Р и с. 3. Расчетная схема №6. На валу имеется червяк на координате и цилиндрическое зубчатое колесо на координате 1г

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Вращающий момент на втором валу Тг-2Ь,9 Нм

Вращающий момент на третьем валу Г3=1030,0 Нм

Расстояние между опорами второго вала ¿[=337,0 мм

Координаты расположения зубчатого колеса и червяка ¿2=44,0 мм

¿,=167,0 мм

Делительные диаметры зубчатого колеса и червяка 16,9 мм

£»}=78,8 мм

Делительный диаметр червячного колеса £>*=315,0 мм

Угол наклона зубьев цилиндрического колеса /?2 =12,0°

Угол зацепления а = 20°

Допускаемый запас прочности вала [л]=1,50

Допускаемый прогиб вала [/]=0,063 мм

Параметры вала и шпонки

Таблица 2

Номер группы материалов J

’ Параметры 1 2 3 4

Предел прочности материала <7 „ МПа 500 700 900 1ҐОО

Допускаемое напряжение [ <7 ], МПа 50 60 70 80

Диаметр вала по расчету на прочность (/„, мм 20,0 19,0 18,0 17,0

Диаметр вала по расчету на жесткость <!&, мм 42,0 42,0 42,0 42,0

Ширина шпонки Ь, мм 12,0 12,0 12,0 12,0

Высота шпонки А, мм 8,0 8,0 8,0 8,0

Глубина шпоночного паза на валу мм 5,0 5,0 5,0 5,0

Расчетный запас прочности вала п 2,68 2,73 2,43 2,09

Максимальный прогиб вала./шах> мм 0,060 0,060 0,060 0,060

-40

36

31

2*

24

Ю

500

600

700

800

900

1000

(Г., МПа 1100

Р и с. 4, Линия, полученная по расчету вала на жесткость, расположена выше линии, полученной по расчету на прочность

Оптимальный диаметр вала равен 42 мм. Так как это вал-червяк, витки которого нужно закаливать, то материал - сталь 40Х, термическая обработка - улучшение + закалка витков при нагреве ТВЧ, твёрдость - 45...50 НИС, предел прочности сгв=900 МПа [3].

Пример 3

-►2

Р и с. 5. Расчетная схема №4. На валу установлены коническое колесо на координате ¿2 и цилиндрическая шестерня на координате Ц

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Вращающий момент на первом валу Вращающий момент на втором валу Расстояние между опорами второго вала Координаты расположения зубчатых колес

Делительные диаметры зубчатых колес

Углы делительных конусов и наклона зубьев

Угол зацепления

Допускаемый запас прочности вала Допускаемый прогиб вала

Ту=47,8 Нм Г2= 150,6 Нм ¿1=195,0 мм Ь2=\ 15,0 мм ¿3=65,0 мм Ое 1=70,Омм £>е2=230,0 мм £>з=76,5 мм ¿,=16,9° д2 =73,10 А =0,0°

а = 20° [и]=2,50 ДО=0,059 мм

Параметры вала и шпонки

Таблица 3

Параметры Номер группы материалов J

1 2 3 4

Предел прочности материала <т „ МПа 500 700 900 1100

Допускаемое напряжение [сг ], МПа 50 60 70 ^ 80

Диаметр вала по расчету на прочность с!# мм 40,0 38,0 36,0 36,0

Диаметр вала по расчету на жесткость мм 34,0 34,0 34,0 34,0

Ширина шпонки Ь, мм 12,0 12,0 10,0 10,0

Высота шпонки Ь, мм 8,0 8,0 8,0 8,0

Глубина шпоночного паза на валу /19 мм 5,0 5,0 5,0 5,0

Расчетный запас прочности вала и 2,69 2,74 2,51 2,61

Максимальный прогиб вала/тах, мм 0,052 0,052 0,052 0,052

500 600 700 800 900 1000 1100

Р и с. 6. Линия, полученная по расчету вала на жесткость, расположена ниже линии, полученной по расчету на прочность

Перелом линии, полученной при расчете на прочность, объясняется тем, что при дальнейшем уменьшении диаметра вала запас его прочности оказался меньше допускаемого значения. Поэтому компьютер автоматически увеличил диаметр и округлил его до предыдущего стандартного значения, равного 36 мм.

Если есть требование - масса—>гтп, ¿в тт, то оптимальный предел прочности материала сгвдаи =900 МПа, сталь 40Х, термическая обработка - улучшение, твёрдость - 269...302 НВ. Оптимальный диаметр вала ¿вопт=36 мм. Если таких требований нет, то оптимальный материал - сталь 35, термическая обработка - нормализация, твёрдость - 163...192 НВ, предел

прочности о-, =550 МПа [3]. Оптимальный диаметр вала ¿Вопт.“40 мм.

При расчете осей задача решается аналогично, но с учетом того, что оси крутящих моментов не передают.

БИ Б Л ИО!~Р АФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Решетое Д.И. Детали машин. М.: Машиностроение, 1974. 654 с.

2. Шейнблит А.Е. Курсовое проектирование деталей машин. Калининград: Янтарный сказ, 2003. 454 с.

3. Черншевский Д.В. Детали машин. Проектирование приводов технологического оборудования. М.: Машиностроение, 2001. 557 с.

Статья поступила в редакцию 25 апреля 2005 г.

УДК 621.757 (031)

А.Н. Журавлев

ВЗАИМОСВЯЗЬ ЖЕСТКОСТИ ТЯЖЕЛОНАГРУЖЕННЫХ МНОГОРЯДНЫХ

РОЛИКОВЫХ ОПОР С ИХ СТРУКТУРНОЙ РАЗМЕРНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

Рассмотрено влияние структурной геометрической составляющей роликов в комплектах на жесткость многорядной роликовой опоры.

Одной из важнейших задач сборки тяжелонагруженных многорядных роликовых опор, работающих в условиях тяжелых нагрузок, которые достигают порядка 200-250 кН, является повышение ресурса.

Проблема сборки опор таких конструкций (рис. 1) состоит в непостоянстве параметров жесткости, которые зависят от структуры и влияют на ресурс. Под структурой понимается последовательность циклов роликов в комплекте по большой и малой роликовым дорожкам в зависимости от их действительных диаметров, например, 0зг0т1пВтах1 ¿т1П йтах <15Г, Каждый элемент структуры ответственен за жесткость опоры.

В исследовании жесткости опоры не участвует шариковый ряд, так как шарики не воспринимают эксплуатационную нагрузку из-за больших зазоров (зазор в роликовой дорожке составляет 0,07-0,08 мм, тогда как в шариковой - 0,3-0,5 мм).