CC BY
8
УДК 519.86
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-4-538-544
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА ФОРМИРОВАНИЯ НЕТКАННОГО ПОЛОТНА МЕТОДОМ УСЛОВНОГО
ГРАДИЕНТА
В.М. Земсков, О.В.Виштак, И.А.Штырова, Н.М.Виштак
В статье рассматривается задача автоматизации производства нетканого полотна, сферы его применения и этапы его производства. На этапе формирования структуры материала, как правило, применяется аэродинамический способ, использование которого позволяет получать полотно заданной плотности. Поэтому расчет настройки параметров аэродинамического устройства для производства полотна заданной плотности является актуальной задачей, решение которой обеспечивает высокое качество продукции. Соответственно, возникает необходимость решения производственной задачи настройки аэродинамического устройства: определение оптимальных значений давления, подаваемого в аэродинамическое устройство, расстояния между полотном и диффузором для производства полотна заданной плотности. Приводится краткий анализ методов нелинейной оптимизации, на основании которого выбран метод условного градиента, как наиболее подходящий для вида целевой функции и ограничений. Произведен расчет давления, подаваемого в аэродинамическое устройство, и расстояния между полотном основы и диффузором для производства полотна поверхностной плотности, что обеспечит формирование структуры полотна заданной плотности и, соответственно, высокое качество продукции.
Ключевые слова: нетканое полотно, формирование структуры заданной плотности, аэродинамическое устройство, методы нелинейного программирования, метод условного градиента.
В развитии промышленности всех отраслей наблюдается устойчивая тенденция автоматизации производственных процессов, в том числе и в химической промышленности. Сущность модернизации информационных систем промышленных предприятий состоит в выборе и последующей реализации решений оптимизации производственных процессов, способствующих увеличению объемов производимой продукции в единицу времени, уменьшению затрат на единицу объема [1-3]. Статистика по производству химической продукции с 2016г. демонстрирует устойчивый рост рынка нетканого полотна, эта тенденция сохраняется и в перспективе до 2025г.
Неткаными, как следует из названия, называют полотна, произведенные без процедуры ткачества. Вместо этого, сырью - натуральным и синтетическим волокнам, нитям, волокнистым отходам, придают форму, укладывая его в выбранном порядке, и скрепляют механическим, аэродинамическим, гидравлическим, электростатическим или волокнообразующим способами [2]. Сферами применения нетканого полотна являются:
промышленность: фильтровальные, обтирочные, изоляционные, обивочные изделия, униформа для персонала;
медицина: одноразовые салфетки, полотенца, пеленки и простыни, перевязочный материал;
бытовая: пошив одежды, искусственный мех, основа кожзаменителей, ватин, фетр, войлок, махровые полотна.
Технологический процесс производства нетканого полотна состоит из следующих этапов:
подготовка сырья: разрыхление, очитка от примесей, смешивание волокон;
формирование основы полотна - укладка волокон, пропитка, склеивание;
формирование единого монолитного полотна, разрезание.
Для формирования структуры материала как правило применяется аэродинамический способ формирования нетканого полотна, который представляет собой напыление коротковолокнистых отходов на основу потоком сжатого воздуха. Поверхностная плотность полотна и размеры его деталей - ключевые характеристики, поступающие со стороны заказчика полотен. Технология формирования нетканых материалов аэродинамическим способом позволяет путем регулирования давления, подаваемого в аэродинамическое устройство, и расстояния между полотном и формирующим его устройством, получать заданную плотность. Потому расчет настройки аэродинамического устройства для производства полотна заданной плотности является очень актуальной задачей, решение которой обеспечивает высокое качество продукции.
Технология аэродинамического формирования структуры материала реализуется аэродинамическим устройством. Дозирующий бункер представляет собой хранилище волокна, готового к распылению на сформированную основу нетканого полотна. Поток сжатого воздуха, поступая через сопло, засасывает волокно к распылению в приемную камеру. Смешанные в камере волокно и воздушный поток поступают в расширяющийся диффузор. Обладая запасом кинетической энергии, волокнистые частицы преодолевают расстояние до движущегося волокнистой основы, покрытой связующим материалом, и закрепляются на ней.
Математическая модель зависимости поверхностной плотности нетканого материала от давления, подаваемого в аэродинамическое устройство, и от расстояния между полотном основы и диффузором имеет вид:
Р = 145,00 + 6,67*! - 15,00ж2 - 35,00ж| - 10,00ж| , (1)
где х1 - давление, подаваемое в аэродинамическое устройство, МПа; х2 - расстояние между полотном основы и диффузором, м.
При этом ограничения значений давления, подаваемого в аэродинамическое устройство, и расстояния между полотном и диффузором имеют вид:
а2 <х2 <Ь2. (2)
Решим следующую производственную задачу настройки аэродинамического устройства. Дано: поверхностная плотность нетканого полотна Р = 100 г/м2, ограничение значения давления, подаваемого в аэродинамическое устройство - 0,1 < х1 <0,2, ограничение расстояния между полотном и диффузором - 0,1 < х2 <0,3. Найти: оптимальные значения давления, подаваемого в аэродинамическое устройство, расстояния между полотном и диффузором для производства полотна заданной плотности. Таким образом, получаем задачу нелинейного программирования: Целевая функция:
/ = -рр + 145,00 + 6,67хх - 5,00х2 - 35,00х^ - 10,00х| ^ min (3)
Ограничения:
0,1 < х1 <0,2; 0,1 < х2 <0,3
(4)
Для выбора метода решения задачи настройки аэродинамического устройства рассмотрим основные методы решения задач нелинейного программирования и выберем метод решения задачи настройки аэродинамического устройства. Выполним решение задачи настройки аэродинамического устройства. Для чего проанализируем методы решения и выберем наиболее оптимальный.
Метод множителей Лагранжа. Рассмотрим задачу, когда ограничения представлены равенствами, переменные могут принимать отрицательные значения, а целевая функция, функции ограничений и их частные производные непрерывные
[4]:
F(x1,x2,..,xn) ^ш/п (5)
Л^(Х!,Х2,^,ХП) =¿¿(1 = 1,..., ш) (б)
Для решения такой задачи необходимо ввести переменные Ал, А2, ..., А™ - множителями Лагранжа, и составить функцию Лагранжа:
т
= F (х-^хг,.. ,xj + _^j(x1,x2,^,xn))
(7)
г=1
Найти и приравнять к нулю частные производные
= 1.....п),Ц:С1 = 1.....ш) (8)
В результате получим систему п + т уравнений:
(9)
— А — — О Г/ — 1 п>
Я f
lal" = bi ~hi(Xl, Х2, Хп) = 0(7 = 1, ..., Ш) Наличие экстремума целевой функции F(x) в точке Х = (х°,х2,...,х°) говорит о существовании такого вектора Л = (А5,А2,...,А^), что точка (X°,X2,..,X°,A°,A2,..,A^) является решением системы. Значит, решение системы -множество точек возможного экстремума. В нем необходимо найти такие, где экстремум достигается, и вычислить значения функции F(x) в этих точках.
Недостаток данного метода - ограниченное множество разрешимых им
задач.
Методы штрафных функций. В основе методов этой группы лежит идея сведения задачи нелинейного программирования к последовательности задач безусловной минимизации. Отказ от функциональных ограничений реализуется путем преобразования целевой функции добавлением функции штрафа:
F(x,rfc) = f(x) + P(x,rfc)^min (10)
ХЕХ v '
где Р(х, rk) - функция штрафа; rk - параметр штрафа, задаваемый на каждой k -ой итерации.
Штрафные функции строится согласно условиям:
0, при выполнении ограничений
^ ' } 1>0, при невыполнении ограничений,
В методе внешних штрафных функций при ограничениях в виде равенств используется квадратичный штраф, неравенств - квадрат срезки:
Р(*,Г*) = у {^[^(х)]2 + Е^=т+1[^у+(х)]2}, (12)
#у+(х) =шах{0,^у(х)| = | 0 ф < 0 (13)
Если расстояние между начальной точкой и точкой безусловного минимума целевой функции достаточно велико, то есть риск потери точности решения. Во избежание этого параметр штрафа постепенно увеличивают. Начальной точкой каждой итерации принимается полученное на предыдущем шаге приближение.
Недостаток метода внешних штрафов - сходимость только при достаточно слабых ограничениях.
В методе внутренних штрафных функций вместо квадратичных функций штрафа и квадрата срезки используют
1. обратную штрафную функцию
Р(х,г*) = -г^=1^ (14)
2. логарифмическую штрафную функцию
Р(х,г*) = -г,£Еуг=11п(-^у(х)) (15)
Проекция градиента. Сущность метода проекции градиента состоит в поиске проекции точки а на множество X - Пх(а), то есть ближайшей к а точки из множества X:
Пх(а) = а^тт<р(х) , где ^(х) = Ух — а||2 (16)
хеХ
Точка может быть получена по методу градиентного спуска, тогда ее проекция примет вид:
хк+1 = пх(х* = 0,1,..., где (17)
- вычисленный в точке х^еХ градиент целевой функции; ак - шаг в направлении точки X .
Каждая итерация метода представляет собой задачу условной минимизации. Потому множество X должно быть достаточно простым, иначе задача на очередном шаге приближения к решению оказывается той же сложности, что исходная задача. Это является недостатком данного метода. Примеры достаточно простых множеств X - шар или параллелепипед. Проекция для шара с радиусом R:
Проекция для координатного параллелепипеда, задаваемого неравенствами
Ьу <Ху <Су:
( Ьу, ау <Ьу Пх(а) = < ау,Ьу <ау <су (19)
( С/, а] >с;-
Метод условного градиента. Решение задачи представляет собой процесс последовательных переходов между точками от исходной хк вплоть до нахождения приемлемого решения задачи [5,6].
Пусть на к-ой итерации известна точка хк~х £Х. Для нахождения направления спуска используется минимизация функции, являющейся линейным приближением данной целевой функции/(х) в точке то есть функции
/¿(х) = /(х*-1) + (У/(х^-х),х - х^-1) (20)
Так как /(х^_1) является константой, то данная задача может быть представлена в виде:
(У/(х^_1),х - (21)
Вспомогательное приближение на каждой к -ой итерации задает вектор
кк = ага тт(У/(х^_1),х - х^-1) -х^-1, (22)
хех 4 '
определяющий на этой итерации допустимое направление в точке хк~х £Х. Обычно
его направление не совпадает с направлением антиградиента целевой функции в точке хк-1.
Новая точка хк строится следующим образом:
хк =хк~1 +кк И.к, где (23)
жк - шаговый множитель.
На практике жк ищут обычно следующим способом:
min(1, агд тт(/(х^) + (24)
а> 0 4 '
Поиск осуществляется до тех пор, пока критерий остановки не будет выполнен. В качестве критерия остановки возьмем
||/'(**)Н <£, где (25)
£> 0- точность решения.
В случае, когда X является координатным параллелепипедом, задаваемым неравенствами а^ <х^ <Ъ±, применяется формула:
{дГ(хк)
а^ если —г—- >0
\ (26) , дГ(хк)
Ь;, если ^—- <0
1 дх1
Недостаток данного метода - низкая скорость сходимости.
Таким образом, при решении задачи градиентными методами на каждом шаге приходится решать экстремальную задачу. Потому метод проекции градиента приме-
няют, когда задача отыскания проекций точек множества достаточно проста с вычислительной точки зрения, а метод условного градиента - когда ограничения задачи линейны.
Так как в задаче вычисления давления, подаваемого в устройство производства полотна, и расстояния между полотном и формирующим его устройством для удовлетворения требований по поверхностной плотности полотна целевая функция - выпуклая дифференцируемая на множестве допустимых значений вектора варьируемых переменных Д Б сйп, а ограничения - линейные, для ее решения используем метод условного градиента. Решим задачу:
45,00 + 6,67хх - 5,00х2 - 35,00х2 - 10,00х| ^ш/п 0,1 <х^< 0,2 0,1 < х2 <0,3
Зададим начальную точку х0 = (0 и точность 8 = 0,01.
а^ттС«^,!) = 1
(
(27)
ч _ /6,67 - 70хх \ ^ -5 - 20х2 )
67 1
-5 ) (29)
(
(28)
*/(*0) = (б:657)
(
(30)
Составим вспомогательную задачу:
['6,67(х1 — 0) — 5(х2 + 0) ^ ш/п 0,1 <хх< 0,2 0,1 < х2 <0,3
Так как 6,67 > 0, —5 < 0, то х0 = ((01)
Найдем новую точку приближения:
Х1 = хо +«1 (хо _хо) = (о)^сх"1 (0 3) (31)
Вычислим
«1=а^тт(145 + 6,67(0 + 0,1 - 5(0 + 0,3 «^-35(0 + 0,1 кх)2 (
-10(0 + 0,3 «х)2) = + сю (32)
(
(33)
Вычислим новую точку приближения:
хх =х0 +«! (х0 -х0) = (°°)+«1 (°°,3)= (05,3) (34) (
-0,33\ (
11 ) (35)
Проверим критерий остановки:
Н^/(х1)11 = 7(-0,33)2 + (-11)2 =11>е (36)
Критерий не выполняется, значит, продолжим приближения.
Продолжая решение, получим оптимальное решение
*=(0,3) (37)
В этой точке значение целевой функции - 42,5. Таким образом, при заданных ограничениях минимально возможное значение поверхностной плотности полотна - Р = 142,5 г/м2. Для достижения этого значения давление, подаваемое в устройство, должно составлять 0,2 МПа, расстояние между полотном и формирующим его устройством - 0,3 м.
Таким образом, зависимость поверхностной плотности нетканого полотна от давления, подаваемого в аэродинамическое устройство, и от расстояния между полот-
542
ном основы и диффузором представляет собой квадратичную функцию. Решение задачи минимизации квадратичной функции произведено с помощью метода условного градиента, как наиболее подходящего для вида целевой функции и ограничений. Произведен расчет давления, подаваемого в аэродинамическое устройство, и расстояния между полотном основы и диффузором для производства полотна поверхностной плотности. В заданных ограничениях целевое значение поверхностной плотности Р = 100 г/м2 не достижимо. Минимальное значение Р = 142,5 г/м2
Список литературы
1. Дягилев А.С., Инновации в текстильной промышленности. Монография. Витебск, 2016. 221 с.
2. Коган А.Г., Моделирование процесса производства нетканых материалов методом горячего прессования // Моделирование в технике и экономике. Витебск, 2016. С. 180-182.
3. Штырова И.А., Виштак Н.М., Токарев А.Н., Карпова А.В. Функциональные возможности программного модуля для формирования технологических карт. // Современные наукоемкие технологии. 2021. № 5. С. 102-107.
4. Аббасов М.Э. Методы оптимизации: учеб. пособие. СПб.: Издательство «ВВМ», 2014. 64 с.
5. Гасников А.В. Современные численные методы оптимизации. Метод универсального градиентного спуска: учеб. пособие. М.: МФТИ, 2018. 291 с.
6. Козлов В.Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. 244 с.
Земсков Владимир Михайлович, д-р техн. наук, профессор, VMZemskov@mephi.ru, Россия, Балаково, Балаковский инженерно-технологический институт (филиал) НИЯУМИФИ,
Виштак Ольга Васильевна, д-р пед. наук, профессор, OVVishtak@mephi.ru, Россия, Балаково, Балаковский инженерно-технологический институт (филиал) НИЯУ МИФИ,
Штырова Ирина Анатольевна, канд. техн. наук, доцент, IAShtyrova@mephi.ru, Россия, Балаково, Балаковский инженерно-технологический институт (филиал) НИЯУ МИФИ,
Виштак Наталья Михайловна, канд. пед. наук, доцент, NMVishtak@mephi.ru, Россия, Балаково, Балаковский инженерно-технологический институт (филиал) НИЯУ МИФИ
OPTIMIZATION OF PARAMETERS OF AERODYNAMIC DEVICE FOR FORMING A NONWOVENFABRIC BY THE CONDITIONAL GRADIENT METHOD
V.M. Zemskov, O.V. Vishtak, I.A. Shtyrova, N.M. Vishtak
The article deals with the task of automating the production of non-woven fabric, its scope and stages of its production. At the stage of forming the structure of the material, as a rule, an aerodynamic method is used, the use of which makes it possible to obtain a web of a given density. Therefore, the calculation of the settings of the parameters of an aerodynamic device for the production of a web of a given density is an urgent task, the solution of which ensures high product quality. Accordingly, it becomes necessary to solve the production prob-
lem of setting up an aerodynamic device: determining the optimal values of the pressure supplied to the aerodynamic device, the distance between the web and the diffuser for the production of a web of a given density. A brief analysis of nonlinear optimization methods is given, on the basis of which the conditional gradient method is chosen as the most suitable for the type of objective function and constraints. The calculation of the pressure supplied to the aerodynamic device and the distance between the base web and the diffuser for the production of a web of surface density was made, which will ensure the formation of a web structure of a given density and, accordingly, high product quality.
Key words: nonwoven fabric formation, given probability structure, aerodynamic device, non-linear programming methods, conditional gradient method
Zemskov Vladimir Mikhailovich, doctor of technical sciences, professor, VMZemskov@mephi.ru, Russia, Balakovo, Balakovo Engineering and Technology Institute (branch) of National Research Nuclear University MEPhI,
Vishtak Olga Vasilevna, doctor of pedagogical sciences, professor, OV-Vishtak@mephi. ru, Russia, Balakovo, Balakovo Engineering and Technology Institute (branch) of National Research Nuclear University MEPhI,
Shtyrova Irina Anatolievna, candidate of technical sciences, docent, IAShtyrova@mephi.ru, Russia, Balakovo, Balakovo Engineering and Technology Institute (branch) of National Research Nuclear University MEPhI,
Vishtak Natalya Mikhailovna, candidate of technical sciences, docent, NMVishtak@mephi.ru, Russia, Balakovo, Balakovo Engineering and Technology Institute (branch) of National Research Nuclear University MEPhI
УДК 004.04
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-4-544-551
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВОМ В МАШИНОСТРОЕНИИ
О.И. Борискин, С.Н. Ларин, Г.А. Нуждин, М.Г. Нуждин
Обсуждены вопросы электронной технологической документации и информации об изделии в машиностроении в соответствии с требованиями новых ГОСТ Р 58675, ГОСТР 54089 и ГОСТР 59192. Показана возможность их интеграции с системами менеджмента и комплексными информационными системами внутри организации в машиностроении. Указаны определенные преимущества формализованного описания технологии проектирования и компьютерного моделирования технологических процессов и операций в машиностроении.
Ключевые слова: автоматизированная система управления данными об изделии, электронная технологическая документация, электронный макет изделия, анализ логистической поддержки, базы данных.
Требования к обеспечению качества продукции машиностроения в большинстве случаев прямо включены в договорные условия. Обычно это целый ряд позиций в регламентированных требованиях к системе менеджмента качества (СМК) поставщика. По установленным требованиям к СМК организация-поставщик должна планировать и
544
