Оптимизация ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга для цифровых систем связи, использующих принцип OFDM/OQAM передачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

ОПТИМИЗАЦИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО БАЗИСА ВЕЙЛЯ-ГЕЙЗЕНБЕРГА ДЛЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ ПРИНЦИП OFDM/OQAM ПЕРЕДАЧИ

В.П. Волчков11 Д.А. Петров21

1) Московский технический университет связи

и информатики (МТУСИ)

e-mail: volchkovvalery@mail.ru

2) Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

e-mail: dapetroff@gmail.com

Рассматривается алгебраическая процедура получения обобщенного ортогонального базиса Вейля-Г ейзенберга, обладающего свойством наилучшей локализации одновременно в частотной и временной областях. Вычисляются оптимальные значения фазового параметра такого базиса для нескольких видов симметрии формирующей базисной функции. Представленные в работе результаты моделирования, подтверждают хорошие характеристики локализации и позволяют выбрать наилучший вид симметрии.

Ключевые слова: цифровые системы связи, OFDM, OQAM, базис Вейля-Г ейзенберга, ортогонализация, оптимизация.

Известно, что в цифровых системах связи, использующих принцип OFDM передачи, наибольшую спектральную эффективность можно достичь, применяя смещенную квадратурную амплитудную модуляцию (OQAM) и согласованный с этим видом модуляции обобщенный ортогональный базис Вейля-Гейзенберга [1-4]. Передаваемый OFDM/OQAM сигнал в этом случае можно эквивалентно представить в виде комплексной огибающей:

M-1

s(t) = X

k=o

X ck,l¥k,l(t) X ck,l¥k,l(t)

l=-да

l=-*

vR (t) = g (t - lT) exp 2%jFk It -

, t e □ = (-да, да), aT ^

2 M

vh (t) = -jg (t+Tl2 - lT) exp 2njFk It -

aT

2M

\

(1)

(2)

(3)

где j = yf-1; cRl = Re(ak l), Ckl = Im(ak l) - действительные и мнимые части комплексных информационных QAM символов akl; vkRi (t) и vk t (t) - комплексные функции, полученные в результате равномерных сдвигов по времени и частоте двух инициализирующих функций g (t) и g(t + T/2)1; M > 2 - количество поднесущих; F = 1/T - расстояние между поднесущими; T - символьный временной период; a e □ = (-да,да) -фазовый параметр. Система функций B [□ ] □ fykl (t),vk,l (t)} нормирована и ортогональна

v k,l(t), vk ,l '(t)) R = ^k,k '$l ,l', (vk,l(t), vk ,l '(t)) R = ^k,k'^l ,l', (vk,l(t), vk ,l '(t))R = 0 (4)

1 Обычный базис Вейля-Гейзенберга задается на символьном интервале только одной инициализирующей функцией g (t) [5].

103

В.П. Волчков, Д.А. Петров. Оптимизация ортогонального...

в смысле вещественного скалярного произведения (x(t),y(t))R = Re j x(t) y(t)dt и

называется обобщенным ортогональным базисом Вейля-Гейзенберга. При этом для модулирующих OQAM коэффициентов справедливы выражения:

cRi = (s (t) YRi (t))R, ck,i = {s (t),Yk,i (t))R ■

Запишем теперь модель OFDM/OQAM сигнала в дискретном времени. Если формирующий фильтр g(t) имеет полосу пропускания F = 1/T, то с учетом M сдвигов в частотной области ширина спектра сигнала s(t) равна W = M/T. Полагая M четным, нетрудно убедиться, что на конечном временном интервале [о, NT ] дискретизированный с частотой fd = W сигнал (1) и соответствующий дискретный базис Вейля-Гейзенберга B [ JN ] принимают вид:

M-и L-1

к=о VI=о

L-1

s [n ]=XIXcR yri N-Z cii yI,i [n]

i=0

n e J

N

yri [n ] = g [(n - iM )mod n ] exP (J M k (n -a 2)),

YRl [n ] = - Jg [( n + M I2 - iM )mod N ] eXP V J M k ( n - a 2)) ,

B [ JN ] ^ {Yk,l [n ],Wk,i [n]} ,

(5)

(6)

(7)

(8)

где s [n ] = s (nT/M), g [n] = g (nT/M); JN = {0,1,..., N -1}, N = M ■ L > M (L - любое натуральное число). Система базисных функций B [JN ] является дискретным аналогом системы B [□ ] и ортогональна в смысле вещественного скалярного произведения на дискретном интервале JN :

N-1 _

(x [n ^ y[n ])R = Re X x [n\y [n ]. (9)

n=0

Условие ортогональности (4) в этом случае можно представить в матричном

виде

Re (U*U ) = I2 n , (10)

где “*”- символ эрмитового сопряжения; I2N - единичная (2N х 2N) -матрица; U = ( U r , U ,) - блочная прямоугольная матрица размерности (N х 2 N), у которой блоки UR, Uj - квадратные (N х N) -матрицы, составленные из столбцов соответствующих базисных функций \pRi = (yRi [0],...,YRi [ N - 1])Г , YRi = (yRi [0],...,^ [ N -1]^ для

всех значений индексов k = 0,...,M-1, l = 0,...,L-1. Формула (5) описывает алгоритм формирования (модуляции) OFDM/OQAM сигнала в дискретном времени. Соответствующий алгоритм демодуляции имеет вид:

cR =(s[n]yR [n])R, cii =(s[n],Yk,i [n])R ■

Для построения робастной OFDM/OQAM системы, то есть наименее чувствительной к частотно-временному рассеянию канала, необходимо решить задачу синтеза обобщенного ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга, для которого функция неопределенности формирующего импульса

104

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

№ 1(56) 2009

¥g (t, f ) = Ag (t, f) = J” g(x + t/2) g(x -t/2) exp (-2 j) dx

обладает максимальной локализацией одновременно по t и f .

В [4] был предложен общий алгебраический подход построения таких базисов. В данной работе будет показано, что характеристики локализации базисов могут быть улучшены, если решить дополнительную задачу оптимизации по выбору фазового параметра а в формулах (5)-(7). Приводятся решения данной задачи при различных ограничениях на структуру формирующих функций g [л] и соответствующие результаты

моделирования.

Синтез обобщенного ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга

По аналогии с предыдущим, определим комплексный сигнальный базис с желаемыми характеристиками локализации по времени и частоте в виде блочной матрицы

G = [G R, G д ],

(11)

Gr (Л1М + к) = wkRi [л ]

g(t )=go(t)

Gg (л,IM + к) = yIk l [л]

g(t )=go(t) ’

(12)

где л = o,..., N -1, к = o,...,M -1, l = o,...,L -1, матрица GR определяет базис подпространства для действительных компонент, модулирующих OQAM символов cRl, а матрица Gд - для мнимых компонент ск 1. Формирующая функция go (t) определяет характеристики локализации данного базиса. Например, в качестве go (t) может быть

выбран Гауссиан go (t) = (2<r)^exp (-mjt2), t е □ , обладающий наилучшими характеристиками локализации по времени и частоте [4]. Полученный в этом случае базис (8) Bo [ JN ] называется базисом Габора, а G - матрицей Габора.

Отметим, что G не удовлетворяет условию ортогональности (1o), то есть, базис Габора не является ортогональным.

Обозначим через Мтп (F) множество всех матриц размера т х л над полем F . Если т = л, будет использоваться сокращенная запись Мл (F). Здесь F или поле вещественных чисел □ или поле комплексных чисел C , кроме того, обозначим через □ множество целых чисел.

Рассматривается задача для нахождения матрицы U обобщенного ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга, наиболее близкой к матрице базиса Габора G по матичной норме |Л|E = tr(ЛЛ*).

Задача 1. На подмножестве A = {U е MN 2N (C) :Re(U*U) = I2N } комплексных ортогональных матриц, для которых справедливо выражение

Re(U *U) = I2 n (13)

найти оптимальную матрицу Uопт, которая доставляет минимум в задаче на экстремум

Uonm : rniAl)|G - ЦE , (14)

где G е MN 2N (C) - матрица базиса Габора.

Отметим, что решение Uопт будет задавать ортогональный базис (8) с наилучшими характеристиками локализации.

105

В.П. Волчков, Д.А. Петров. Оптимизация ортогонального...

Нахождение экстремума Uопт, если решить следующую вспомогательную зада-

чу.

Задача 2. На множестве V = {V е М2N (R): V* V = I2N } вещественных ортогональных матриц найти оптимальную матрицу Vonm, которая доставляет минимум в задаче

V„

: min G В - V .

VeJ В ИВ '

(15)

где G В =

Re G Im G

: M2N (□ ) задается комплексной матрицей базиса Габора G.

В работе [4] показано, что экстремальные задачи (14) и (15) эквивалентны, а их решения связаны соотношением

U

опт

= V + jV

1опт J 2i

(16)

где матрицы V1onm , V2onm е MNх2N (D )

V,

V

находятся из блочного разбиения:

Таким образом, матрица Uonm искомого оптимального базиса Вейля-Гейзенберга (8) может быть получена из решения задачи 2 по формуле (16). В [4] показано, что матрица Vonm определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Оптимальная матрица Vonm, доставляющая максимум в экстремальной задаче (15), определяется выражением

Vonm = SWT , (17)

где S, We V - пара действительных ортогональных матриц, входящих в сингулярное разложение матрицы G В = S£Wr.

Матрицы S, W составлены из собственных векторов матриц GB GB и GB Gв, соответственно; £ = (а{j) е M2N - диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят сингулярные числа = ай матрицы GВ, упорядоченные в порядке невоз-

растания: а1 > а2 >... > а2 N > О.

Значение достигаемого экстремума в задаче (15) равно

mini |G В

V еИ В

-V

2

В

2 N

||GВ - Vonml 1В =2 (а, -1)2,

1=1

(18)

а оптимальная формирующая функция g [л], n е JN для базиса (8) задается первым столбцом этой матрицы, то есть

g [Л] = Uonm ( n,1) . (19)

Дополнительная оптимизация по фазовому параметру а

Отметим, что а выступает в качестве параметра в задачах (14) и (15) (см. (6)-(8) ). Поэтому значение достигаемого экстремума (18) представляет собой некоторую функцию от а е □ :

F(а) □ IG (а)-Vo

onm || в

2

(20)

106

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

№ 1(56) 2009

Следовательно, можно дополнительно уменьшить значение минимума и улучшить локализацию базиса, решив дополнительную экстремальную задачу:

то есть наити

a

Обозначим

F(а) ^ min,

' ' п

mm (|Gв (а)- Vonm||“).

(21)

(22)

Fa (а) □ IIgв (а)GB (а)-II“ .

(23)

Лемма 1. Для любого а е □ функция (23) мажорирует функцию (20), то есть

F(а) = ||Gв (а)-VlI! <1 |Gв (а)GB (а)-II! = F0 (а).

Из леммы 1 непосредственно следует, что минимизация функции Fo (а) по а приведет к минимизации функции F (а). Поэтому экстремальная задача (21) сводится к задаче Fo (а) ^ min, то есть

0 ' ' лсП

хopt

: min (|Gв (а) gTb (а)-1 \ ).

(24)

Заметим, что GB GTb -1 = tr

(GBGB) - 2tr [GBGB ] + 2N. Следовательно, зада-

ча (24) эквивалентна экстремальнои задаче

tr

(GвGB f - 2tr [GbgB ]^ minn.

(25)

Введем обозначение: B = GBGB. Можно показать, что tr(B) не зависит от а,

поэтому вместо (25) получаем следующую экстремальную задачу для нахождения а

vopt *

tr

(G B GTb ) = tr [b2 ]^ min. (26)

Изменим группировку элементов блочнои матрицы G B следующим образом: переставим строки так, что сначала идет стока из блока [Re U R Re U j ], затем из блока [Im U R Im U j ], потом опять из блока [Re U R Re U j ] и т.д. Полученную матрицу

обозначим Gв. Ей соответствует матрица 15 = Gв (4B. Нетрудно убедиться, что такая перестановка не меняет сумму диагональных элементов матрицы B , поэтому tr [B2 ] = tr [B2 ].

В дальнейшем, будем использовать не матрицу B, а матрицу B. При этом, задача (26) принимает эквивалентный вид:

tr

(G в G B )2

^ min.

аей

Представим матрицу 15 в следующем виде:

(27)

В.П. Волчков, Д.А. Петров. Оптимизация ортогонального...

Ш-1 Ш_-1 , ,т /~г / \\т

В =1 Вт = !(U(«)) A(иT(а)) ,

107

(28)

где непосредственной проверкой можно установить, что A - симметрическая матрица размерности 2N х 2N, не зависящая от а и имеющая следующую структуру:

1=0

A = £ GiOf, Gi = G(1) G(2) ... G(

i(N )'

-|T

Здесь Gl - блочная матрица размерности 2N х 2 , а G(п) = нальная матрица размерности 2 х 2 с элементами

ей = в [(П -1 - 1Ш)шЛ N ]. Glj1 = в [(П -1 - М + М

Таким образом, A представляется в виде

A

ей о о ей

- диаго-

2 mod N

, П е Jn .

A11 . 1 <

A N1 . A • nNN ]

L-1

где Aк П = E G\к)G 1П) - симметрические матрицы размерности 2 х 2 .

l=0

Матрица U (а), входящая в (28), является блочно-диагональной матрицей размерности 2 N х 2 N:

U (а) =

U1 (а) 0 ...

0 U2 (а) ...

0

о

0 ... 0 UN (а)

на диагонали которой находятся матрицы вращения размерности 2 х 2 :

U п+1 (а) =

, _а

,_а

cos(%(n-а2))-sin(2^M(n

_sin(%(n-^)) cos(27M(n /2

В итоге мы получаем следующую структуру матрицы Вт:

, П е Jn.

(U, )т a „ (UT )т (u, )т A,,„ (uf )'" . .. (Ui )т A,

(U )т A „ (Uf )т (U2 )т A (Uf )т . .. (U 2 )т A1

(U n )"' A n ,1 (Uf )т (U n )т A n ,2 (UT У" . .. (U n )т A,

В„

В этих обозначениях задача (27) принимает вид:

(29)

((Ш-1 Л2Л Ш-1 , . Ш-1 Ш-1

tr (^ ) = tr IE Вт =Ё tr((Bm )2 )+Ё E tr (Bm,Bm2 )^ mOliP-

(30)

m1 =0, m2 ^т, =0

Нетрудно убедиться в справедливости следующей леммы:

т=0

т=0

т

T

т

T

т

T

108

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

№ 1(56) 2009

M-1 / ч

Лемма 2. Z tr ((Bm )21 не зависит от а.

m=0

Эта лемма позволяет вместо задачи (30) рассматривать задачу

M-1 M-1

f (а)=Е Z tr (Bmi Bm, mil,

т =0, m2 ^m =0

которая с учетом (29) после преобразований приобретает вид

N-1N-1 I

f («)=ZZK .1

n=0 к=0

M-i M-1

Z Z COS

mi =0, m2 ^m=0

А—(к + n-а) Mv '

^ min,

аеП

(31)

1 Г (L-1 ] (L-1 ]]2

где А о (m - m2), Г2,„ = - (Z ей,*0 0'"+' -(Z ей*11 Ой .

Необходимым условием минимума функции f (а) является равенство нулю ее производной: f' (а) = 0. Это условие выполняется, если

M-1 M-1 I 2_

z z |аM

mj =0 m2 =0;mj ^m2 ^ ± J^

N-1N-1

ZZ

n=0 к=0

ГП,кsin| АM(к+n-а)

= 0.

(32)

Будем рассматривать только внутренние суммы по n и к для любых фиксированных m1 = 0,1,..., M -1; m2 = 0,1,..., M -1; m1 ф m2, то есть, для любого фиксированного А = 1,2,..., M -1:

N-1N-1

ZZ

n=0 к=0

2П

гПк sinl А^г(к+n-а)

M

(33)

Введем обозначение p = n - к, p = 0,1,..., N -1, к = n - p и перейдем в (33) к суммированию по индексам n и p :

N-1

Z

Р=0

N-1

ZrP(n)sin( АT7(2n-Р-а)

n=p V

rp (n)=rn-p,n .

(34)

(35)

Достаточно рассмотреть только внутреннюю сумму выражения (34) при фиксированных p = 0,1,...,N -1:

N -1+ p/

N 1 / \ N —1*у2 1 /\ f \

Zrp(n)sin[AMi(2n-p-а))= z rp(n+p2)sin[A%(n-/2)].

(36)

В дальнейшем, нам потребуется воспользоваться свойствами симметрии функций дискретного аргумента rp (n) и g [n]. В общем случае эти свойства определяются для произвольной комплексной функции, заданной на конечном интервале JN [7].

Определение 1. Функция дискретного аргумента g [n] называется

(N -1) -симметричной (или просто симметричной), если

g[N -1 - n] = g[n], n e Jn .

(37)

109

В.П. Волчков, Д.А. Петров. Оптимизация ортогонального...

Определение 2. Функция дискретного аргумента g [л] обладает свойством сопряженной N -симметрии, если

g [л] = g * [(“Л )mod N ]:

[ g * [о], если л = о

[g * [N - k], если л Ф 0 (л = 1,...,N -1)

(38)

Если g [л] является действительной функцией, свойство приобретает вид:

[ ]= Г(- ) ] = J g[0], если л =0

91 9r[( )modN J jg [ n - л ], если л Ф 0 (л = 1,..., N -1).

(39)

Нетрудно убедиться в справедливости следующей леммы.

Лемма 3. Пусть функция g [л] является (N -1) -симметричной. Тогда функция (35) обладает следующими свойствами симметрии и периодичности:

2.

р/ | = Гр (л + р/ )

/2У 1 /2/

л+р2 )= Гр (л+р

3- М/ - периодичность: Гр (л + М/2 + р2) = ГР (л + )

(М2 -1)

4- (М/п -1) - симметрия: Гр (М/2 -1 - л + р/) = Гр (л + р2).

В рассматриваемой сумме (36) синус имеет период М/ (2 А), т.е. на одном М/ 2 периоде функции Гр (л) укладывается целое число периодов синуса.

Из леммы 3 следует, что на любом периодическом интервале Jp, м/2 D \РМ/2, (р +1) М/2 - 1jc Jn , где ре J/n/м = {о,1,...,2^М -1}, функция

sin ^А4^(л -а/2)j является четной, а функция Гр (л + р/2) - нечетной относительно

середины отрезка Jp, М/2, то есть точки М/ 4 -1/2 + рМ/ 2.

Таким образом, для того, чтобы сумма (36) обращалась в ноль, необходимо и достаточно, чтобы на каждом периоде Jp, М/2 нулевое значение синуса попадало в точку симметрии функции Гр (л):

sin 14| а( М4 - >2-% )'=0.

Отсюда непосредственно следует, что

(40)

а = М2 -1 + М, q е D . (41)

При этом значении а сумма (36) обращается в ноль для любых р = 0,1,...,N -1, следовательно, выполняется условие (32), поэтому а является экстремальной точкой функции f (а).

Проведенное рассмотрение позволяет сформулировать следующую теорему Теорема 2. Пусть дискретная формирующая функция g [л], л е Jn , входящая в

описание (6)-(8) обобщенного ортогонального базиса Вейля-Гейзенберга B [Jn ],

110

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

№ 1(56) 2009

удовлетворяет свойству (N -1) -симметрии (37). Тогда наилучшая локализация базиса B [ JN ] по критерию (21), а значит и критерию :

достигается при значениях аопт

|G(a)-U||2 ^ min

IIE аеО

(min),

V UeA )

M/2 -1 + qM/ 2, q e □ .

(42)

Аналогичное исследование можно провести и для случая, когда функция g [л]

удовлетворяет свойству сопряженной N -симметрии (39). Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 2 формирующая функция g [л] удовлетворяет свойству сопряженной N -симметрии (39). Тогда наилучшая, в смысле критерия (42), локализация обобщенного ортонормированного базиса Вейля-Гейзенберга B [ Jn ] достигается при значения параметра аопт = М/2 + qM/2, qe □ .

Результаты моделирования

На рис.1 представлены графики дискретной базисной функции Габора и оптимальной базисной функций (19) на интервале от о до N -1, где N = LM (L = 12,

М = 16), в случае (N -1) -симметрии при значении а = аопт = M/2 -1. Для наглядности кривые сдвинуты в середину интервала. Видно, что оптимальная базисная функция g [л - N/ 2] достаточно близка к исходной функции Г абора g0 [л - N/ 2].

Смещение а от оптимального а значения приводит к исчезновению симметрии формирующего импульса и к увеличению его «боковых лепестков» (рис.2). При а > аопт = M/2 -1 увеличиваются боковые лепестки справа, а при а > аопт - слева.

Общие закономерности поведения базисных функций сохраняются и для случая сопряженной N -симметрии.

При этом, как видно из результатов расчета, представленных в таблице 1, оптимальным с точки зрения локализации базиса по критерию (42) является случай сопряженной N -симметрии (39).

Рис.1. Графики исходной базисной функции Габора g0 [л - N/2] и оптимальной базисной функции g [л - N/ 2] при аопт = M/ 2 -1

111

В.П. Волчков, Д.А. Петров. Оптимизация ортогонального...

Рис.2. Графики базисной функции g [n - N/2] при а Ф аопт (а = М/4 -1 < аопт,

а = 3М/4 -1 > аопт)

Таблица 1

Норма разности F(a) между матрицами базисов для различных a (L=12, M=i6)

Неоптимальное значение а = 12 Неоптимальное значение а = 4 R II ю 1 н1 II й II ю II 00

^-1)-симметрия 41,28 18,06 2,84 4,61

Сопряженная N-симметрия 29,42 29,42 3,07 1,15

На рис.3 видно, что модуль спектра gAk ] □

VN

N -1

X g[n ] е

j 2nknjN

n=0

базисной функ-

ции g [n] не зависит от а и является четной функцией.

Рис.3. Графики модуля спектра базисной функции Габора g0„ [к ] и оптимальной базисной функции g„\k] (а е□ )

112

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

№ 1(56) 2009

Выводы

Приведенный в работе результат показывает, что дополнительная оптимизация по фазовому параметру а позволяет значительно улучшить характеристики локализации базисов в частотно-временной области.

Выбор оптимального значения а зависит от вида симметрии формирующего

импульса g [л]. Показано, что наилучшая локализация обеспечивается в случае со-

пряженной N - симметрии.

Отклонение от полученного оптимального значения aopt приводит к нарушению симметрии формирующей базисной функции во временной области, и как следствие к ухудшению ее временной локализации. Однако, при этом хорошая локализация в частотной области сохраняется.

Полученные результаты могут быть использованы для построения цифровых OFDM/OQAM систем с хорошими частотно-временными характеристиками локализации. Применение таких базисов позволяет формировать оптимальные OFDM сигналы, обладающие наименьшей чувствительностью к межканальной и межсимвольной интерференции и низким уровнем внеполосного излучения [3,4].

Литература

1. Прокис, Дж. Цифровая связь [Текст]: пер. с англ. / Дж. Прокис; Под ред. Д.Д. Клов-ского. - Москва: Радио и связь, 2000.

2. Le Floch B. Coded Orthogonal Frequency Division Multiplex [Текст] / B. Le Floch, M. Alard, C. Berrou // Proceedings of the IEEE. - 1995. - vol.83. - №6. - P. 982-986.

3. Bolcskei, H. Efficient design of OFDM/OQAM pulse shaping filter [Текст] / H. Bolcskei, D. Duhamel, R. Hleiss // Proceedings of IEEE International Conference on Communications (ICC 99).- 1999. - vol.1. - P. 559-564.

4. Волчков, В. П. Сигнальные базисы с хорошей частотно-временной локализацией [Текст] / В. П. Волчков / / Журнал «Электросвязь». - 2007. - №2. - С. 21-25.

5. Kozek, W. Nonorthogonal pulseshapes for multicarrier communications in doubly dispersive channels [Текст] / W. Kozek, A. F. Molisch // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. - 1998. - vol.16. - №8. - P. 1579-1589.

6. Хорн, Р. Матричный анализ [Текст] / Р. Хорн, Ч. Джонсон. - Москва: Мир, 1989.

7. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А. Оппенгейм, Р. Шафер. -Москва: Техносфера, 2006.

ORTHOGONAL WEYL-HEISENBERG BASIS OPTIMISATION FOR DIGITAL COMMUNICATION SYSTEMS BASED ON OFDM/OQAM

The article considers the algebraic method of receiving of generalized orthogonal Weyl-Heisenberg basis well localized simultaneously in time and frequency domain. Optimal magnitudes of phase parameter are calculated given several type of symmetry of basis prototype function. Presented results of calculation confirm good localization characteristics and let to select the best type of symmetry.

Key words: digital communication systems, OFDM, OQAM,

Weyl-Heisenberg basis, orthogonalization, optimization.

V.P. Volchkov1 D.A. Petrov2)