CC BY
3
УДК 531.383
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-10-96-97
ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДИКИ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРА ИНДИКАТОРНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРИТЕРИЯ ВЫШНЕГРАДСКОГО
А.С. Сырчина, А.В. Кулешов
Рассмотрены вопросы оптимизации методики аналитического определения параметров регулятора в контуре обратной связи индикаторного гиростабилизатора с использованием критерия устойчивости Вышнеградского. Оптимизация достигается построением дополнительных кривых на диаграмме Вышнеградского, позволяющих осуществить выбор параметров регулятора, обеспечивающих устойчивость и требуемое качество переходных процессов. Проведён расчёт параметров регулятора на примере реального гиростабилизатора.
Ключевые слова: индикаторный гиростабилизатор, устойчивость, регулятор, постоянные времени регулятора, диаграмма Вышнеградского, критерий Вышнеград-ского, степень устойчивости, колебательность.
При проектировании системы индикаторной гироскопической стабилизации одним из важнейших этапов является синтез регулятора в контуре обратной связи, обеспечивающего требуемые точностные и динамические параметры системы. Оценка правильности выбора параметров регулятора чаще всего происходит путём исследования их влияния на логарифмические частотные амплитудную и фазовую характеристики (ЛАФЧХ) и переходной процесс (ПП) [1 - 3].
При анализе переходного процесса чаще всего достаточно провести исследование корней характеристического уравнения. Процесс вычисления корней для систем высокого порядка обычно является трудоемким, так как требует громоздких математических вычислений, поэтому в таких случаях практичнее пользоваться косвенными критериями качества переходного процесса.
Для системы третьего порядка наряду с хорошо себя зарекомендовавшим методом логарифмических частотных характеристик с неменьшим удобством и наглядностью может быть использована диаграмма Вышне-градского (рис. 1), которая по выбранным параметрам Вышнеградского (характерной точке на диаграмме) позволяет судить о виде и качестве переходного процесса.
Существует ряд научных работ, посвященных исследованию и использованию критерия Вышнеградского в различных сферах [4 - 5], в том числе в системах гироскопической стабилизации [6]. Существенным ограничением использования диаграммы Вышнеградского является возможность её применения лишь для систем третьего порядка, в то время как гироскопические стабилизаторы зачастую являются системами более высокого порядка.
о
о
12 3 4 5 6 7 8
А
Рис. 1. Диаграмма Вышнеградского
9
В статье [6] проведено исследование системы третьего порядка индикаторного гиростабилизатора (ГС) с регулятором в контуре обратной связи, состоящего из одного форсирующего и одного апериодического звеньев, в результате была предложена методика аналитического определения параметров регулятора в контуре обратной связи с использованием диаграммы Вышнеградского. Однако данная методика не даёт однозначных рекомендаций по выбору параметров Вышнеградского. Целью данной статьи является оптимизация использования предложенной в [6] методики с учётом дополнительных условий, накладываемых на выбор параметров.
Как было показано в статье [6], уравнение движения индикаторного ГС по оси стабилизации в операторной форме записи с учётом регулятора, состоящего из форсирующего и апериодического звеньев, в контуре обратной связи можно представить так:
Характеристическое уравнение ГС определяется полиномом третьей степени
где - осевой момент инерции ГС; Т^Т^ - постоянные времени регулятора; а - угол стабилизации по оси Y; Бу - коэффициент демпфирования
по оси У • К — коэффициент усиления в контуре стабилизации по оси У •
•а( * ) = МУ ( * ).
У
3у • Т2 • *3 + (Бу • Т2 + 3у)• *2 + (Ку • Т1 + Бу)• * + Ку = 0,
Данное уравнение было представлено в следующем виде:
q3 + Aq2 + Bq +1 = 0, (1)
, D • T2 + J T1 • К + DY
где Л = . ; В = , - параметры Вышнеградского.
-2
^Гт^^у 3JY ' Т2 • КУ
'У
Предложенная в статье [6] методика заключалась в построении кривых равных частот среза на диаграмме Вышнеградского, выборе характерной точки с координатами Л, В на данной кривой, по которым могут быть рассчитаны параметры регулятора. Сформулированные в статье [6] рекомендации по выбору характерной точки не позволяют получить конкретные значения параметров регулятора, а лишь определяют диапазон расположения характерных точек на кривых равных частот среза, удовлетворяющих предъявляемым к системе требованиям по устойчивости. Для обеспечения требуемого качества регулирования в такой системе необходимо уточнение расположения характерных точек в диапазонах, определённых по методике в [6]. Для этого в данной статье на диаграмме Вышне-градского выполнено построение дополнительных кривых, которые вводят новые ограничения и тем самым сужают диапазон выбора характерных точек.
В любой системе автоматического регулирования третьего порядка корни характеристического уравнения могут быть:
- все три корня - вещественные (зона III на диаграмме Вышнеградского (см. рис. 1)):
q1 = ар q2 = а2; Чз = аз ;
- два корня являются комплексно-сопряжёнными и один вещественным (зоны I и II на диаграмме Вышнеградского (см. рис. 1)):
q12 =а1 + Р I; q3 =а 2, (2)
где а . - действительная часть корня; Р- мнимая часть корня.
Как известно, переходной процесс системы может быть представлен в виде суммы экспоненциальных функций времени со степенями, пропорциональными корням характеристического уравнения. В зависимости от корней характеристического уравнения переходные процессы будут описываться следующими формулами:
- все корни вещественные -
а(?) = а
уст
^ С 1е а + С2е + С3е V 1 2 3 у
два корня - комплексно-сопряжённые, один - вещественный -
г
"уст
^ -а, I ^ -а ^^
а(?) = а ст - (ClCosР? + C2sinР?)е 1 + Сзе 2
V У
где С . - некоторая константа.
В последнем случае следует рассмотреть два варианта:
- комплексно-сопряжённые корни ближе к мнимой оси | а1 < а^ | (зона I на диаграмме Вышнеградского (см. рис. 1));
- вещественный корень ближе к мнимой оси | а1 > а^ | (зона II на
диаграмме Вышнеградского (см. рис. 1)).
Таким образом, при рассмотрении одного канала индикаторного ГС переходной процесс может иметь три вида в зависимости от корней характеристического уравнения.
Основными показателями качества переходного процесса при выполнении точностных требований в общем случае являются время регулирования и перерегулирование (рис. 2). Указанные показатели будут рассмотрены в данной статье в качестве критериев качества переходного процесса в индикаторном ГС.
Время регулирования (£ , ¿дд) - время от момента приложения
единичного воздействия до момента, после которого регулируемая величина остаётся в заданных пределах от установившегося значения (а ).
Требуемая точность чаще всего задаётся в диапазоне 1.. .5 % от а ^ст :
А = 0,01...0,05.
Перерегулирование а представляет собой максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения в процентах и вычисляется как
^mav а
<г =
max -уст ^
^уст
где а - максимальное значение регулируемой величины во время пере-max
ходного процесса.
«™ -
Рис. 2. Характеристики переходного процесса
Для нанесения дополнительных кривых на диаграмму Вышнеград-ского рассмотрим корневые критерии качества переходных процессов.
Из теории автоматического управления известно [7 - 9], что корни, расположенные ближе к мнимой оси, т.е. обладающие наименьшей абсолютной величиной вещественной части, определяют наиболее долго затухающие составляющие переходной функции.
Степень устойчивости системы определяется как абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня и характеризует время переходного процесса. Для уравнения третьего порядка возможные виды расположения корней характеристического уравнения показаны на рис. 3.
Im
Re
П
Im
Im
Re
Re
Рис. 3. Корни кубического уравнения на комплексной плоскости: а, б - вещественный корень ближе к мнимой оси; в - два комплексно-сопряжённых корня ближе к мнимой оси
Для первого вида (рис. 3, а, б) составляющая с самым медленным затуханием
а (*) = С3е"а1' = С е.
Момент времени, когда именно эта составляющая переходной функции достигнет минимального значения, определяемого величиной А, и будет определять время переходного процесса:
a (t™) = C e ППУ ^
-^t
ПП = qA
Тогда зависимость между степенью устойчивости и максимальным временем переходного процесса
/ 1, 1
tnrr Ш—.
ПП л А
Для второго вида (рис. 3, в) длительность переходного процесса будет определяться колебательной составляющей, однако она также будет затухать пропорционально экспоненциальной функции, поэтому можно получить аналогичное выражение для степени устойчивости и времени ПП.
В уравнении (1) введём замену д = и получим смещённое
уравнение
д13 + А^2 + А^ + А = 0, (3)
где А = -3" + А; А2 = 3"2 - 2А"0 + В; А3 = -"0 + А"2 - В"0 +1 - коэф-
фициенты смещённого уравнения; Л = Л03
1
«3
— - связь степени устойчивости а0
системы со степенью устойчивости для смещённого уравнения.
Для получения формул, необходимых для построения дополнительных кривых, найдём зависимости между параметрами Вышнеградского А, В и степенью устойчивости ^.
Применим критерий устойчивости Гурвица к уравнению (3):
Ар А2, А3 > 0; А1А2 = А3 . Параметры Вышнеградского А, В для любой устойчивой системы являются положительными, степень устойчивости по определению
также является положительным числом, следовательно, первое неравенство всегда верно.
Из второго выражения получим взаимосвязь
(-3"0 + А) • (3"2 - 2А"0 + В) = -"0 + А"2 - В"0 +1
= 2% • (А - 2"0)2 +1 (4) А-2"0 '
При "0 = 0 получим
В = — ^ АВ = 1. А
Данное выражение соответствует границе устойчивости системы на диаграмме Вышнеградского (см. рис. 1).
Для нахождения ещё одного соотношения воспользуемся апериодической границей устойчивости данного кубического уравнения А3 = 0 ,
тогда получим
-"0 + А"2 -В"0 +1 = 0,
В=-"0+Ч+1 (5)
"0
Важно отметить, что при "0 = 1 совместное решение уравнений (4) и
(5) даст следующее значение параметров Вышнеградского: А = В = 3, что соответствует точке С на диаграмме Вышнеградского (см. рис. 1).
101
Задавая различные в пределах [0,2; 1], можно получить значения
параметров Вышнеградского, а, следовательно, построить дополнительные кривые на диаграмме (рис. 4, 5). Значение % = 0,1 не показано на рис. 4 для
соблюдения масштаба.
5 6
А
10
Рис. 4. Кривые степени устойчивости на диаграмме Вышнеградского
œ 2.9
2.5 2.6
Рис. 5. Кривые степени устойчивости на диаграмме Вышнеградского
(увеличено)
102
Если система третьего порядка имеет пару комплексно-сопряжённых корней, то переходной процесс системы будет колебательным. Пусть система имеет три корня вида (2). В таком случае вещественная составляющая комплексно-сопряженных корней является коэффициентом затухания ПП, а мнимая определяет угловую частоту колебаний. Отношение мнимой части корня к действительной называется колебательностью системы
ц=^.
Для построения дополнительных кривых на диаграмме Вышнеград-ского применим теорему Виета к кубическому уравнению (1):
+q2+qз = -А qlq2+qlqз + q2qз = В .qlq2qз =-1.
Подставим в данную систему уравнений корни уравнения вида (2):
2а1 + а 2 = -А, а2 ( + ц22а1а 2 = В, а2а 2 (1 + ц2 )= -1.
Введём замену ^ = 1 + ц2, избавляясь от ар а2:
4^2(А3 + В3) - ^3А2В2 + (2^3 - 4^2 -16^)АВ - ^3 +12^2 - 48^ + 64 = 0.
Подставляя в данное уравнение значения ц = 0 и ц^ да, можно найти соотношение между параметрами Вышнеградского А, В, после чего при изменении одного из них получить значение второго, следовательно, получить точку на диаграмме Вышнеградского. Объединяя множество точек, получим три кривые на диаграмме Вышнеградского, которые ограничивают зону колебательности (рис. 6). На рис. 6 красной штриховой линией показана диаграмма Вышнеградского, синей сплошной - кривые, ограничивающие зоны разных видов переходных процессов. При ц = 0 граница зоны апериодического переходного процесса совпадает с кривой ECF на диаграмме Вышнеградского. При ц ^да граница устойчивости системы совпадает с соответствующей кривой.
На рис. 7 представлена диаграмма Вышнеградского с нанесёнными на неё дополнительными кривыми колебательности, соответствующими значениям ц е [0,5; 4]. Данные кривые можно получить при изменении значения колебательности от нуля до бесконечности.
103
СЕ 5 -
Рис. 6. Границы зоны колебательности
(1=4 (.1=3 \i=2 (1=1 (1=0.5
1 , \
_ 1 / /
II Iff
\ ^-— 1 1 1 :
ц=0.5 р=1
Н=2
ц=3 ц=4
Рис. 7. Кривые колебательности на диаграмме Вышнеградского
Из теории автоматического управления известна следующая взаимосвязь между перерегулированием и колебательностью [9] :
к
-к
а<100-в ^ или
ln
а 100
Таким образом, задавая желаемое значение перерегулирования, можно определить максимально возможное значение колебательности для данной системы.
Используя соотношения между параметрами гиростабилизатора и параметрами Вышнеградского, полученные в статье [6], а также дополнительные кривые степени устойчивости и колебательности, описанные ранее, получим следующие графики кривых равных частот среза на диаграмме Вышнеградского (рис. 8).
Рис. 8. Кривые равных частот среза на диаграмме Вышнеградского с дополнительными кривыми: а - степени устойчивости;
б - колебательности
По данным графикам можно определить диапазон характерных точек на диаграмме Вышнеградского, удовлетворяющих сразу трем требованиям: по полосе пропускания, перерегулированию и времени переходного процесса.
В качестве примера рассмотрим индикаторный ГС со следующими
2
параметрами: момент инерции относительно оси У Jу = 75сН*см*с ; коэффициент демпфирования по оси У DY = 13,37 сНх см* с; суммарный
у
внешний возмущающий момент Му = 1500сН*см; угол статической ошибки по оси У аст = 0,8'; коэффициент усиления в контуре ОС по оси У
кУ =
му
ос„.
____Н* м тл
= 322,3-; желаемая частота среза ю = 60 Гц.
рад сР
Для данной системы построим диаграмму Вышнеградского, на которой построим кривую равных частот ю = 60 Гц (оранжевая кривая), ис-
ср
пользуя соотношения из [6], а также нанесём на неё дополнительные кривые степени устойчивости (зелёные кривые) и колебательности (синие кривые) (рис. 9).
¡.1-4 ц-3 ц-2 |t=l ¡1-0.5
Рис. 9. Кривая равных частот среза ®ср = 60 Гц
на диаграмме Вышнеградского с дополнительными кривыми: а - степени устойчивости; б - колебательности
При увеличении масштаба и объединении двух графиков получим кривые на рис. 10, на котором выделим три точки с координатами (2; 1,669), (3; 1,857) и (4; 2,091).
}j-lri-0.6r] 0.7 р-0.5 Г| 0.6 г[=0.5 тр0.4 Ц=1
трО.З
Рис. 10. Кривая равных частот среза ю^ = 60 Гц
на диаграмме Вышнеградского с дополнительными кривыми
(увеличено)
106
Для данных трёх точек определим параметры регулятора по формулам, представленным в статье [6], для скорректированной системы с различными параметрами регулятора построим ЛАФЧХ (рис. 11), а также переходные процессы (рис. 12). Голубым цветом показаны графики, соответствующие первой точке (2; 1,669), оранжевым - второй точке (3; 1,857), фиолетовым - третьей (4; 2,091). Время переходного процесса и величину перерегулирования будем определять при А = 0,02, полученные результаты представлены в таблице.
Результаты расчета параметров регулятора
А В ТГ T2, с Запас по фазе Аф, Перерегулирование, % Время регулирования,
град. с
2 1,669 Т1 = 0,004023 Т2 = 0,001206 32,2 22,3 0,0237
3 1,857 Т = 0,003658 Т2 = 0,000657 40,2 18,8 0,0255
4 2,091 Т = 0,003564 Т2 = 0,000426 44,2 17,6 0,0262
Частота, Гц
Рис. 11. ЛАФЧХ скорректированной системы с параметрами
регуляторов из таблицы
107
Рис. 12. Переходные процессы скорректированной системы с параметрами регуляторов из таблицы
Из полученных логарифмических характеристик (рис. 11) видно, что все три системы являются устойчивыми, обладают достаточными запасами устойчивости по фазе, а также имеют частоту среза, равную 60 Гц.
Из рис. 10 следует, что наименьшим значением колебательности обладает точка с координатами (4; 2,091), наибольшим - точка с координатами (2; 1,669), что соответствует полученным значениям перерегулирования для всех трёх систем (см. рис. 12). Полученные результаты согласуются с положениями теории автоматического управления, что подтверждает правильность предложенной методики. Задаваясь требуемым значением перерегулирования, можно получить максимально возможное значение колебательности, которое ограничит зону выбора параметров Вышнеградского.
Наименьшим временем переходного процесса обладает точка с координатами (2; 1,669), наибольшим - точка с координатами (4; 2,091). Наибольшее значение степени устойчивости ц соответствует точке с координатами (2; 1,669), наименьшее - точка с координатами (4; 2,091). В результате можно прийти к заключению, что при увеличении степени устойчивости ц время переходного процесса уменьшается, что соответствует аналитическим соотношениям теории автоматического управления.
Таким образом, может быть сформулирована уточнённая методика выбора параметров регулятора в контуре обратной связи индикаторного ГС. В соответствии с [6] по требованиям к частоте среза системы выполняется построение кривой равных частот среза на диаграмме Вышнеградского. Дополнительно на диаграмму Вышнеградского наносятся кривые, соответствующие требуемым степени устойчивости и колебательности. Отсутствие
108
точек пересечения кривой равных частот среза с дополнительными кривыми говорит о невозможности выполнения требуемых условий. При наличии пересечений выбор характерной точки на кривой равных частот среза необходимо проводить в зонах, ограниченных дополнительными кривыми.
Предложенная методика позволяет аналитически определять параметры регулятора в контуре обратной связи индикаторного гиростабилиза-тора, а также обладает наглядностью и эффективностью при их выборе, что говорит о возможности его применения при разработке индикаторных гиро-стабилизаторов.
Список литературы
1. Матвеев В.А., Подчезерцев В.П., Фатеев В.В. Гироскопические стабилизаторы на динамически настраиваемых вибрационных гироскопах. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 103 с.
2. Fateyev V.V., Polynkov A.V., Kuleshov A.V. Long-focus optoelectronic systems for Earth remote sensing // AIP Conference Proceedings. 2021. Т. 2318. №.1. С. 170001.
3. Гироскопические системы. Проектирование гироскопических систем. Ч. II. Гироскопические стабилизаторы: пособие для вузов / под ред. Д.С. Пельпора. М.: Высшая школа, 1977. 223 с.
4. Щепетов А.Г. Об оптимальных формах переходного процесса и амплитудно-частотной характеристике линейной динамической системы // Проблемы управления. 2008. №3. С 30-36.
5. Жмудь В.А. К вопросу об обобщении диаграммы Вышнеградского // Автоматика и программная инженерия. 2013. № 4(6). С 90-95.
6. Сырчина А.С., Кулешов А.В. Синтез регулятора индикаторного гиростабилизатора с использованием критерия Вышнеградского // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. Вып. 11. С. 99-110.
7. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. 4-е изд., перераб. и доп. СПб.: Изд-во «Профессия», 2004. 752 с.
8. Бесекерский В.А., Фабрикант Е.А. Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. Л.: Судостроение, 1968.
9. Теория автоматического управления. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / под ред. А. А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 1986, 367 с.
Сырчина Анна Сергеевна, студентка, sheeser@,mail.ru, Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
Кулешов Александр Викторович, канд. техн. наук., доцент, [email protected], Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана
OPTIMIZATION OF THE SYNTHESIS METHOD OF THE INDICATOR GYROSTABILIZER CONTROLLER USING THE VYSHNEGRADSKII CRITERION
A.S. Syrchina, A.V. Kuleshov
Optimization of the method of analytical determination of the parameters of the controller in the feedback loop of the indicator gyrostabilizer using the Vyshnegradsky stability criterion is considered. Optimization is achieved by constructing additional curves on the Vysh-negradsky diagram, which allow the selection of the controller parameters ensuring stability and required quality of transients. The controller parameters are calculated on the example of a real gyrostabilizer.
Key words: indicator gyrostabilizer, stability, controller, controller time constants, Vyshnegradsky diagram, Vyshnegradsky criterion, degree of stability, oscillation.
Syrchina Anna Sergeevna, student, sheeser@,mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Bau-man State Technical University,
Kuleshov Alexander Viktorovich, candidate of technical sciences, docent, kuleshov@,bmstu.ru, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University
УДК 004.932.4
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-10-110-111
ИССЛЕДОВАНИЕ И АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НАГРЕВА ИЛЛЮМИНАТОРА ОЭС НА ИК-ИЗОБРАЖЕНИЯ
П.А. Гессен
В целях изучения изменения показателей оптико-электронных систем при нагреве проведены натурные эксперименты по выявлению зависимостей между показателями температуры иллюминатора и выходными изображениями инфракрасных камер с различными характеристиками. В ходе экспериментов были задействованы три инфракрасные камеры и тестовый стенд для имитации нагрева иллюминатора. В ходе работы в различных погодных и временных условиях, при разной температуре окружающей среды были проведены съемки заранее выбранных объектов интереса. На основании полученных данных исследовалось влияние нагрева на параметры инфракрасного изображения и был создан программный модуль, позволяющий сымитировать выходное изображение в нагретой среде по изображению в нормальных тепловых условиях.
Ключевые слова: инфракрасный диапазон, оптико-электронные системы, информационное обеспечение, преобразование изображений.
В оптико-электронных системах, в том числе в системах технического зрения, остро стоит задача определения изменчивости изображения под влиянием внешних условий. Под такими условиями могут
110
