CC BY
3УДК 5:004+66.01(075)
Egor F. Feoktistov, Ilya V. Germashev
OPTIMIZATION OF THE INGREDIENT CONCENTRATION OF A POLYMERIC COMPOSITION UNDER THE CONDITIONS OF FUZZY-SPECIFIED INTERACTION OF ACTIVE ADDITIVES
Volgograd state university, Volgograd, Russia faa-201_193934@volsu.ru
It is proposed to use the solution of the fuzzy programming problem to calculate the optimal concentration of the ingredients of the polymer composition in order to best display the specified properties. The analysis of the latest achievements of the world science showed a rather high relevance of the problem under consideration. It is proposed to solve the task of fuzzy programming based on the decomposition of fuzzy numbers into alpha levels. As a result of such a decomposition, a complex of real quadratic programming problems is obtained, the solutions of which give the alpha levels of the original fuzzy programming problem. These alpha levels are approximated by a membership function, and the result is a vector of fuzzy numbers: a solution to a fuzzy programming problem. The proposed approach is illustrated by a computational experiment.
Key words: optimization methods, fuzzy programming, alpha levels, membership function, approximation, polymer composition
DOI 10.36807/1998-9849-2023-64-90-113-119
Введение
Композиционные материалы имеют сложную комплексную структуру за счет того, что состоят из ряда химических компонентов. Современные прикладные технологические задачи создают высокие требования к качеству полимерных композиций, которые должны обладать уникальными оптимизированными свойствами. Вопросы управления свойствами полимеров являются многокритериальными и предполагают на данный момент лишь приближенные решения за счет математических и информационных методов с интеграцией подходов квантовой химии. Стоит отметить, что эмпирические методики крайне затратны по времени и ресурсам и даже не всегда осуществимы ввиду ограниченности или трудно-доступности отдельных компонентов или оборудования. Возможность не только качественного, но и количественного описания проявления тех или иных свойств полимера является перспективной задачей, у которой пока нет адекватного решения. Среди наиболее распространённых подходов управления выделяется использование активных и пассивных примесей в композиции [1]. Химическая система пополняется за счет конкретных ингредиентов, за счет чего достигается большая прозрачность, огнестойкость, стабилизация в определенных условиях или пластичность. Перечень управляемых свойств, важных на различных производствах, достаточно многообразен.
Композиционные материалы широко распространены в прикладных задачах современности. При синтезе
Феоктистов Е.Ф., Гермашев И.В.
ОПТИМИЗАЦИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ИНГРЕДИЕНТОВ ПОЛИМЕРНОЙ КОМПОЗИЦИИ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКО ЗАДАННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АКТИВНЫХ ДОБАВОК
Волгоградский государственный университет, Волгоград, Россия
faa-201_193934@volsu.ru
Предлагается использовать решение задачи нечеткого программирования для вычисления оптимальной концентрации ингредиентов полимерной композиции с целью наилучшего проявления заданных свойств. Проведенный анализ показал достаточно высокую актуальность рассматриваемой задачи. Задачу нечеткого программирования предлагается решать на основе разложения нечетких чисел на альфа-уровни. В результате такого разложения получается комплекс задач вещественного квадратичного программирования, решения которых дают альфа-уровни исходной задачи нечеткого программирования. Эти альфа-уровни аппроксимированы функцией принадлежности и в результате получен вектор нечетких чисел: решение задачи нечеткого программирования. Предложенный подход проиллюстрирован вычислительным экспериментом.
Ключевые слова: методы оптимизации, нечеткое программирование, альфа-уровни, функция принадлежности, аппроксимация, полимерная композиция
Дата поступления - 17 июня 2022 года
Дата принятия - 24 декабря 2022 года
комплексных химических систем неоднократно появляются новыми требование и запросы к производству в различных сферах человеческой деятельности. Идентификация и управление свойств полимеров является задачей со множеством факторов, решение которой возможно путем различных методик, включая информационные, математические, эмпирические и квантово-химические [1]. Актуальность композиционных материалов обуславливается их широким использованием как в научных направлениях, так и в прикладных. Сами полимерные композиции обладают рядом критических физических и химических свойств, которые являются следствием цепного строения молекул. Вязкость, прозрачность, гибкость и огнестойкость - одни из множества возможных свойств таких материалов.
Данные композиции образуют изделия, применение которых можно встретить от промышленности и строительства до радиоэлектронных технологий. Спектр свойств, включающий надежность, стабильность и долговечность определяет широкое использование этих материалов, однако в каждом конкретном случае существует множество индивидуальных факторов и условий импле-ментации. Полную вариативность подобных факторов учесть достаточно сложно, особенно учитывая наполнение полимерных матриц различных пассивными и активными добавками для функциональности или упрощения технологических процессов. Синтез новых материалов редко сопровождается предварительной теоретической работой, гораздо чаще подобные методы используются
на этапе оценки готовых веществ после эмпирических исследований. Поэтому применение математических и информационных методов и моделей может стать крайне актуальным и перспективным инструментом с предсказательным функционалом независимо от выбранного этапа проектирования полимерного продукта.
Наиболее известные полимерные композиции синтезированы около полувека назад. Современные прикладные задачи сфокусированы больше на оптимизации свойств известных полимерных материалов несмотря на то, что происходит синтез новых веществ. Одним из перспективных вектором развития выделяются нанокомпо-зиты, которые требуют более сложного технологического процесса синтеза, однако обладают куда более высокими показателями критических свойств. Тем не менее, сохраняется необходимость идентификации и оптимизации свойств композиций с точки зрения имплементации в различных сферах человеческой деятельности. Как правило эмпирический метод в данном случае более распространен и технически является более легким. Однако экспериментальная методика сопровождается использованием дорогостоящей техники и затратного технологического процесса в большом масштабе. Следовательно, потенциал имплементации математических подходов с включением химических и информационных методов, дает возможность реализовать предсказательный операционный функционал [2-4].
В научных кругах самым распространенным выделяется этап контроля свойств с помощью активных и пассивных примесей [5-9]. Данные процессы достаточно редко используют предварительные расчёты, математическое моделирование или теоретическую основу. Чаще встречаются квантово-химические методы, используемые на этапах полимеризации или синтеза нового вещества для получения определенных характеристик. Реже в работах приводится математическое описание управления на основе доступной проверенной эмпирической информации.
Теоретические аспекты управления химической системой имеют точечный характер описания на основе эмпирических данных. Подробная информация о наличии корреляций между концентрациями и проявлением свойств может быть описана в патентах. Их недостатком для построения универсальной модели является узкая направленность. Создание общей системы контроля влияния примесей является комплексной задачи из-за разнообразия взаимодействий внутри химической системы композиционного материала [1, 12]. Кроме того, каждая композиция обладает целым рядом свойств, каждое из которых зависит от значений концентрации. Заказчики, как правило, требуют конечный и полный набор свойств с критическими показателями проявления. Как следствие, данная задача имеет широкий потенциал в современных условиях синтеза полимеров.
Проблема также определяется еще тем, что не существует единого метода для каждой определенной задачи. Широкий спектр свойств огромного числа различных полимеров открывает возможности для длительного продуктивного анализа. В связи с этим актуализация обобщенности в методиках может стать приоритетной задачей, на перспективе имеющей многообещающий потенциал оптимизации производств и научных исследований в данной предметной области.
Проектирование композиционного материала, имеющим необходимые свойства и характеристики, на основе структуры и состава химической системы, все еще не имеет универсального решения в науке [1, 13-17]. Существует ряд работ, где комплексные полимерные композиции описываются средствами нечёткой математики [18-20]. Подход имеет преимущества, так как исходная информация часто представлена в диапазонных значениях, либо отсутствует. Однако задача при этом осложняется полярными экспертными мнениями по определенным
вопросам или конкретной рецептуре, что создает необходимость описывать переменные лингвистически.
Составы рецептур композиционных материалов редко имеют точные значения концентраций, что создает благоприятную основу для использования нечеткого анализа [10]. В предыдущих исследованиях использовалась задача нечеткого квадратичного программирования для оптимизации свойств, где нечеткими были только используемые переменные [11]. Поэтому в [11] произведена дефаззификация значений, что привело к задаче вещественного квадратичного программирования, где нечеткими являются уже как переменные, так и параметры. В связи с этим предложено решение с помощью альфа-уровней.
Учитывая нечеткий характер данных, получение точных значений в перспективе может стать важной задачей в рамках определенных практических задач или технологических процессов. Целесообразно использовать метод после расчета альфа-уровней, являющийся интерполяцией вектора концентраций. Иногда заказчикам может быть критична точная граница температуры плавления композиции, что при расчетах потребует применения метода приближения. Однако на настоящем этапе предлагается визуализация полученных результатов для определения необходимости аппроксимации или интерполяции промежуточных значений. Статья предлагает решение абстрактного примера для доказательства возможности имплементации подхода при работе с нечеткими данными. В результате будет проведена визуализация функции принадлежности для нечетких векторов каждого альфа-уровня.
Постановка задачи
Задача данного исследования состоит в том, что в рамках работы с полимером Р, у которого имеется определенный набор свойств Q1■■■Qm, в свою очередь имеют величины проявления, которые обозначены ху.хт. В данной полимерной композиции кроме матрицы Р входят различные ингредиенты s1■..sm представляющие собой, как правило, активные доба1 вки, влияющие на указанные свойства, с концентрацией сг..сп. Цель состоит в поиске оптимального набора значений сг..сп, который обеспечивает наилучшее проявление одного конкретного свойства
Qj.
Математическая модель
Некоторое значение ] будет постоянным на протяжении всего исследования.
Для достижения поставленных целей предлагается описать задачу математического программирования, где в качестве переменных нечеткие значения с1, ■.., сп. При этом необходимо ввести так называемые граничные значения концентраций для соответствия реальным примерам. Для этого обозначим через р™п минимально возможное содержание s., в то время как через р™ах обозначим максимально возможное содержание si. Наконец, через р обозначим наибольшее суммарное содержание всех добавок, т.е.
1 П п
Л=1 '
, <гГл > тш,( = 1,п,
(1)
где с. - нечеткое значение для е..
Эти значения позволяют учитывать определенные характеристики моделирования. Например, у определенных добавок при переходе конкретного порога концентрации совокупное влияние на полимерную композицию может значительно ухудшаться, что приводит к разрыву химических связей. Подобный нежелательный эффект необходимо учитывать в модели. При решении ряда прикладных задач содержание определенной добавки в композиции может быть принципиальным - продиктованным техническими требованиями заказчика или другими при-
чинами - поэтому представлено третье ограничение.
Обозначим через элементы нечеткой матрицы 3=(2,4) удельное, на единицу концентрации, воздействие на свойство ((. пары добавок si и si, а элементы вектора 1=(I,) - удельное воздействие доёавки si на проявление свойства (. соответственно. Будем считать, что матрица 2 и вектор 1 заданы.
Изменяя концентрации с. можно оптимизировать нечеткое проявление свойства ((. композиционного материала, которое опис.ывается след.ующим соотношением:
а. =--с ^с +1 с
1 2
Таким образом, получаем задачу нечеткого программирования.
qj (с) = -1 ст De + llс-
(2)
при ограничениях (1), где элементы матрицы 3=(„ )зада-ны следующим образом:
(3)
где матрицы D и Д полагаем заданными:
D =
1 0.5 0.75 0
0.5 0.5 1.3 0.6
0.75 1.3 1.5 0.85
0 0.6 0.85 1.05
S =
Л
0.05 0.05 0.05 0.05
0.05 0.05 0.05 0.05
0.05 0.05 0.05 0.05
0.05 0.05 0.05 0.05^
Примем, что общая доля всех ингредиентов огра-. Каждая активная добавка также
------- ------------ " —• - ,-100(Х-0.5)2!П2 - -
=р-100(л"-0.7)2|п2
d11a1right=1.29 а1-уровня. Выполняя аналогичные вычисле-ния1 для осталь1ных параметров, получим:
D„
г 0.71 0.21 0.46 -0.29
0.21 0.21 1.01
0.46 1.01 1.21
0.31 0.56
-0.29^ 0.31 0.56 0.76
/^ =(-0.04;0.96;0.09;0.21),
D„
L
.29 0.78 1.04 0.29^
0.78 0.78 1.59 0.89
1.04 1.59 1.78 1.14
0.29 0.89 1.14 1.34
= (0.54;1.54;0.67;0.78).
Затем решается задача квадратичного программирования, соответствующая задаче нечеткого программирования (2) для данного альфа-уровня. После этих расчетов повторяем описанную процедуру для остальных значений а-уровня, вплоть до 0.9. Графическое представление решения для одного из альфа-уровней представлено на рис. 1. Полученные решения представлены в таблице 1.
ничена p =e
имеет граничные нечеткие значения
p min =g-106(x-0.001)2ln2.
В рамках исследования в качестве решения для всех нечетких параметров, переменных задачи (2) и ограничений (1) предлагается вычислять a-уровень для некоторого фиксированного значения a е [0, 1]. В результате получается классическая задача квадратичного программирования над вещественными числами. В процессе вычислений выводятся соответствующие a-уровни для оптимального нечеткого решения. Далее данная процедура повторяется для всех избранных значений a-уровня. Для этого вводятся обозначения Da и la, на основе которых при значениях альфа уровней от 0.1 до 1 с шагом в 0.1 будут посчитаны векторы концентраций 4 для каждой из четырех взятых в вычислительном эксперименте добавок.
Вычислительный эксперимент
Построим a-уровни для параметров модели. Например, для a-уровня a; = 0.1 рассчитанные матрица и вектор Da1,la1 для левой1 и правой границы принимают следующи1й в1ид, представленный на рис. 1, изображающий график для функции ~dl е^" и его пересечение с прямой y = 0.1 соответствующей данному a-уровню. Решая это уравнение, получим два решения, соответствующих левой границе d11a1.left=0.71 и правой границе
Рис. 1. Графическое представление уравнения
Визуализация решения
Визуализация функции принадлежности каждого альфа-уровня проведена по полученным дискретным точкам из векторов для каждой концентрации активной добавки. Процедура применена к первой и четвертой добавке, так как концентрация второй и третьей либо не менялась в зависимости от альфа-уровня, либо изменения были незначительны. По итогам иллюстрации получены функции и их графики, по которым возможно найти промежуточные между известными дискретными значения.
Одним из важнейших классов данных функций является множество алгебраических полиномов. Полиномы в данном случае имеют преимущество — их значения вычисляются с относительной простотой, соответственно их можно легко интегрировать, дифференцировать и проводить простейшие арифметические операции. Полиномиальное представление данных в этом случае представляет собой наиболее оптимальный метод нахождения промежуточных значений. Вычисления по дискретным точкам выполнены в программной среде SciLаb.
В результате получен вектор нечётких координат
teft
nght
e
Таблица 1. Результаты вычислений
а-уро-вень ^ для левой а границы га для правой границы для левой // правой границы
0.1 [0.356; 0; 0; 0.244] [0.461; 0.002; 0.002; 0.335] -0.049 // 0.223
0.2 [0.360; 0; 0.010; 0.230] [0.489; 0.002; 0.004; 0.305] -0.002 // 0.218
0.3 [0.374; 0; 0; 0.226] [0.492; 0.002; 0.002; 0.204] 0.018 // 0.207
0.4 [0.376; 0; 0; 0.224] [0.501; 0.002; 0.002; 0.195] 0.022 // 0.188
0.5 [0.379; 0; 0; 0.221] [0.498; 0.002; 0.002; 0.298] 0.039 // 0.171
0.6 [0.374; 0; 0.011; 0.215] [0.506; 0.002; 0.029; 0.263] 0.050 // 0.121
0.7 [0.380; 0; 0; 0.220] [0.499; 0.002; 0.002; 0.297] 0.062 // 0.154
0.8 [0.380; 0; 0; 0.220] [0.502; 0.002; 0.002; 0.294] 0.073 // 0.172
0.9 [0.385; 0; 0.009; 0.206] [0.504; 0.002; 0.004; 0.316] 0.091 // 0.135
1.0 [0.422; 0.001; 0.001; 0.376] [0.422; 0.001; 0.001; 0.376] 0.112
1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
17 0.21 0.25 0.29 0.33 0.37
X
г* и г; по альфа-уровням, которые представлены на рис. 2 и 3.
Рис 3. Графическое представление значений альфа-уровней для четвертой добавки
триваемой фигуры, находим координаты центра тяжести с = (хс, ус) всей фигуры. Разбиение показано на рис. 4 и 5.
2 Sd *
Рис. 2. Графическое представление значений для первой добавки
Аппроксимация нечетких чисел на основе альфа-уровней
Для аппроксимации нечетких чисел возьмем функцию е-ьгъг и будем подбирать параметр дельта таким образом, чтобы эта функция наименьшим образом отклонялась от значений альфа-уровней. Для расчета такого отклонения воспользуемся методом наименьших квадратов. В качестве параметра q возьмем центр тяжести многоугольника с вершинами в точках границ альфа-уровней (рис. 4 и 5).
Для этого используется подход разделения фигуры на компоненты, так как каждый график возможно разбить на составляющие его треугольники. По известным формулам рассчитывается центр тяжести с| = (хс|, ус|) каждого треугольника (где I = 1...г - номер треугольника) и затем по формуле [21] (4), где Scl - площадь рассма-
0.350 0.370 0.390 0.410 0.430 0.450 0.470 0.490 0.510 Рис. 4. Разбиение для графика первой добавки
Результаты вычисления центров тяжести обеих фигур, приведенных на рис. 4 и 5 приведены в таблице 2.
Таблица 2. Центры тяжести фигур
Фигура Центр тяжести
с1 (рис. 4) [0.42981; 0.51758]
с4 (рис. 5) [0.24398; 0.55045]
Выражая переменную x из формулы (3) для каждой из рассматриваемых добавок, получается следующая формула:
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
\
•
00 0.05 0.10 0.15 0.20
Рис. 5. Разбиение для графика четвертой добавки
х =х -д-
х = х + 6,/-
где хс - рассчитанный центр тяжести фигуры, а - рассматриваемый альфа-уровень. Тогда согласно методу наименьших квадратов отклонение R2 функции принадлежности от границ альфа-уровней вычисляется по следующей формуле:
- <
'+К
аФ1
Величину R2 необходимо минимизировать относительно параметра 5. Для этого продифференцируем R2 по 5 и найдем нули полученной функции. Согласно расчетам, наименьшее отклонение от первоначальных расчетов достигается при дельта, равном 0.05, как и принято в вычислительном эксперименте. Распределение видно на рис. 6.
Рис. б. График функции Я2
Следовательно, вектор нечеткого множества в результате аппроксимации имеет вид:
;0;0; е
Функции принадлежности представлены на рис. 7.
Рис. 7. График функции принадлежности для первой
и четвертой добавки (оранжевая и синяя линии соответственно)
Заключение
В данном исследовании путем выполненных вычислений получен результат в виде альфа-уровней координат нечеткого вектора концентраций. С помощью проведенной аппроксимации расчетов были получены результаты, наиболее приближенные к вычислительному эксперименту. Особенность предложенной модели состоит в том, что концентрация сохраняет нечеткий характер данных к моменту проведения визуализации и после нее. Перспективным методом дальнейшего изучения полученных функций являются интерполяция и аппроксимация данных для поиска промежуточных значений по известных дискретным величинам.
С помощью предложенной модели возможно получать оптимальные концентрации добавок с дальнейшим сохранением их нечеткой природы в целях управления определенными свойствами определенной полимерной композиции. Данная модель дает возможность продолжить исследования в указанных терминах нечеткой математики, сохраняя возможность проведения дефаз-зификации на желаемом этапе работы. Таким образом осуществляется переход к вещественной модели, с которой гораздо проще проводить известные математические операции. Соответственно, можно заявить, что данная работа предусмотрено развитие предложенной модели в будущем. Прежде всего, это проявляется в применении квантово-химических методов для прикладного использования модели с конкретными ингредиентами: активными или пассивными добавками в рамках полимерной матрицей. Более того, получение матрицы D и вектора ! на данный момент проходит исключительно экспериментальным путем, либо с использованием потенциала методов квантовой химии. Эмпирические методы, в свою очередь требует больших ресурсных затрат и часто трудноосуществимы ввиду необходимости наличия дорогостоящего оборудования, трудоемкости и длительности процессов и неопределенности выходных данных. В дальнейших работах планируется включение в предложенную модель квантово-химических методов для уточнения вычислений нечетких концентраций и последующей оценки результатов с качественной точки зрения. Наконец, большим потенциалом обладает имплементация методов машинного обучения, обработки больших данных или искусственного интеллекта для анализа параметров модели, исходя из
известных рецептур композиционных материалов.
Полученная в исследовании информация позволит формализовать исходные данные предметной области на основе математического моделирования, когда при получении технических требований заказа без вмешательства человека формируется набор требуемых свойств к конечной полимерной композиции. При этом происходит вычисление оценок соответствия сформированным потребностям для определенных ингредиентов-кандидатов в компоненты полимерной композиции. В процессе происходит обработка технических основ производства состава химической структуры, в рамках которой достигается высокое качество получаемой композиции. Математическое моделирование крайне перспективно в данной области, однако по-прежнему не имеет признанных прикладных способов конвертации технологических требований в процессы производства. Таким образом можно достичь улучшения синтеза новых материалов, оптимизации их состава и, соответственно, свойств полимерной композиции. Дальнейшая разработка позволит учитывать множество факторов разработки полимеров, включая экономический и экологический.
Литература
1. Бобрышев А.Н., Ерофеев В.Т., Козомазов В.Н. Полимерные композиционные материалы: учеб. пособие. М.: Изд-во АСВ, 2013. 480 с.
2. Wang G. et al. Modelling of thermal transport through a nanocellular polymer foam: Toward the generation of a new superinsulating material // Nanoscale. 2017. Vol. 9. №18. P. 5996-6009.
3. Flor Yanhira Rentería-Baltiérrez, Martín Edgar Reyes-Melo, Jesús Gabino Puente-Córdova, Beatriz López-Walle Correlation between the mechanical and dielectric responses in polymer films by a fractional calculus approach // Applied Polymer. 2021. Vol. 138. № 7.
4. Григорьев И.В. Численное исследование процесса полимеризации бутадиена методами математического моделирования // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. 2018.
5. Yasin Akgul, Hayrettin Ahlatci, Muhammet E. Turan, Hamza Simsir, Mehmet A. Erden, Yavuz Sun, Ali Kilic Mechanical, tribological, and biological properties of carbon fiber/hydroxyapatite reinforced hybrid composites // Polymer Composites 2020. №41. P. 2426-2432.
6. Wu M.C. et al. Polymer Additives for Morphology Control in High-Performance Lead-Reduced Perovskite Solar Cells // Solar RRL. 2020. Vol. 4. № 6. P. 2000093.
7. Chen Q. et al. Thermal management of polymer electrolyte membrane fuel cells: A re-view of cooling methods, material properties, and durability // Applied Energy. 2021. Vol. 286. P. 116496.
8. Germashev, I.V., Derbisher, V.E., & Orlova, S.A. Evaluation of activity of the fireproofing compounds in elastomer compositions by means of fuzzy sets // Kauchuk i Rezina. 2001. №6. P. 15-17.
9. Germashev, I.V., Derbisher, V.E., & Vasil'ev, P.M. Prediction of the activity of low-molecular organics in polymer compounds using probabilistic methods // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 1998. Vol. 32. №5. P. 514-517.
10. Germashev, I.V., Derbisher, E.V., Derbisher, V.E., Mashihina, T.P. Model of Paired and Solitary Influence of Ingredients of Polymer Composition // Studies in Systems, Decision and Control. 2021. №342. P. 205-217.
11. Germashev I.V., Feoktistov, E.F., Derbisher, V.E., Derbisher, E.V. Optimization of the ingredients of the polymer composition under the conditions of pair interaction of active additives // Studies in Systems, Decision and Control. 2022. Vol. 418. P. 311-321.
12. Derbisher E.V., Derbisher V.E. Application of computational methods for the creation and selection of
polymer compositions with specified properties // Математическая Физика и Компьютерное Моделирование. 2019. Vol. 1. №22. P. 35-53.
13. Jozwik J. et al. Analysis and comparative assessment of basic tribological properties of selected polymer composites // Materials. 2019. Т. 13. №. 1. С. 75.
14. Yang X. et al. A review on thermally conductive polymeric composites: classification, measurement, model and equations, mechanism and fabrication methods // Advanced composites and hybrid materials. 2018. Т. 1. №. 2. С. 207-230.
15. El Moumen A., Tarfaoui M., Lafdi K. Additive manufacturing of polymer composites: Processing and modeling approaches // Composites Part B: Engineering. 2019. Т. 171. С. 166-182.
16. Zhai S. et al. Effective thermal conductivity of polymer composites: Theoretical models and simulation models // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2018. Т. 117. С. 358-374.
17. Raju G. K. M. et al. Characterizing and modeling of mechanical properties of epoxy polymer composites reinforced with fly ash //Materials Today: Proceedings. 2018. Т. 5. №. 14. С. 27998-28007.
18. Anand G. et al. Investigation of drilling parameters on hybrid polymer composites using grey relational analysis, regression, fuzzy logic, and ANN models // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. 2018. Т. 40. №. 4. С. 1-20.
19. Sinha A. K., Narang H. K., Bhattacharya S. Experimental determination, modelling and prediction of sliding wear of hybrid polymer composites using RSM and fuzzy logic //Arabian Journal for Science and Engineering. 2021. Т. 46. №. 3. С. 2071-2082.
20. Upputuri H. B., Nimmagadda V. S., Duraisamy E. Optimization of drilling parameters on carbon fiber reinforced polymer composites using fuzzy logic // Materials Today: Proceedings. 2020. Т. 23. С. 528-535.
21. Дворянинов С.В., Краутер З. Чем центр тяжести треугольника отличается от центра тяжести четырехугольника // Математическое образование. 2012. №. 1. С. 10-19.
Reference
1 Bobryshev A.N., Yerofeev V.T., Kozomazov V.N. Polymernie Compositsionnie Materialy: Ucheb. Posobie (Polymer composite materials: textbook). ASV, Moscow, 2013. (In Russian)
2. Wang G. et al. Modelling of thermal transport through a nanocellular polymer foam: Toward the generation of a new superinsulating material // Nanoscale. 2017. Vol. 9. №18. P. 5996-6009.
3. Flor Yanhira Rentería-Baltiérrez, Martín Edgar Reyes-Melo, Jesús Gabino Puente-Córdova, Beatriz López-Walle Correlation between the mechanical and dielectric responses in polymer films by a fractional calculus approach // Applied Polymer. 2021. Vol. 138. № 7.
4. Grigoriev I.V. Chislennoe issledovanie processa polimerizatsii butadiena metodami matematicheskogo modelirovania (Numerical study of the butadiene polymerization process by methods of mathematical modeling). Paper presented at Differencialnie Uravnenia I Smezhnie Problemi (Differential Equations and Related Problems), Bashkir State University, Sterlitamak, June 25-29, 2018 (In Russian).
5. Yasin Akgul, Hayrettin Ahlatci, Muhammet E. Turan, Hamza Simsir, Mehmet A. Erden, Yavuz Sun, Ali Kilic Mechanical, tribological, and biological properties of carbon fiber/hydroxyapatite reinforced hybrid composites // Polymer Composites 2020. №41. P. 2426-2432.
6. Wu M.C. et al. Polymer Additives for Morphology Control in High-Performance Lead-Reduced Perovskite Solar Cells // Solar RRL. 2020. Vol. 4. № 6. P. 2000093.
7. Chen Q. et al. Thermal management of polymer
electrolyte membrane fuel cells: A re-view of cooling methods, material properties, and durability // Applied Energy. 2021. Vol. 286. P. 116496.
8. Germashev, I.V., Derbisher, V.E., & Orlova, S.A. Evaluation of activity of the fireproofing compounds in elastomer compositions by means of fuzzy sets // Kauchuk i Rezina. 2001. №6. P. 15-17.
9. Germashev, I.V., Derbisher, V.E., & Vasil'ev, P.M. Prediction of the activity of low-molecular organics in polymer compounds using probabilistic methods // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 1998. Vol. 32. №5. P. 514-517.
10. Germashev, I.V., Derbisher, E.V., Derbisher, V.E., Mashihina, T.P. Model of Paired and Solitary Influence of Ingredients of Polymer Composition // Studies in Systems, Decision and Control. 2021. №342. P. 205-217.
11. Germashev I.V., Feoktistov, E.F., Derbisher, V.E., Derbisher, E.V. Optimization of the ingredients of the polymer composition under the conditions of pair interaction of active additives // Studies in Systems, Decision and Control. 2022. Vol. 418. P. 311-321.
12. Derbisher E.V., Derbisher V.E. Application of computational methods for the creation and selection of polymer compositions with specified properties. Matematicheskaya Fizika I Computernoe Modelirovanie. 2019, vol. 1, no. 22, pp. 35-53.
13. Jozwik J. et al. Analysis and comparative assessment of basic tribological properties of selected polymer composites // Materials. 2019. T. 13. №. 1. C. 75.
14. Yang X. et al. A review on thermally conductive polymeric composites: classification, measurement, model and equations, mechanism and fabrication methods //
Advanced composites and hybrid materials. 2018. T. 1. №. 2. C. 207-230.
15. El Moumen A., Tarfaoui M., Lafdi K. Additive manufacturing of polymer composites: Processing and modeling approaches // Composites Part B: Engineering. 2019. T. 171. C. 166-182.
16. Zhai S. et al. Effective thermal conductivity of polymer composites: Theoretical models and simulation models // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2018. T. 117. C. 358-374.
17. Raju G. K. M. et al. Characterizing and modeling of mechanical properties of epoxy polymer composites reinforced with fly ash //Materials Today: Proceedings. 2018. T. 5. №. 14. C. 27998-28007.
18. Anand G. et al. Investigation of drilling parameters on hybrid polymer composites using grey relational analysis, regression, fuzzy logic, and ANN models // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. 2018. T. 40. №. 4. C. 1-20.
19. Sinha A. K., Narang H. K., Bhattacharya S. Experimental determination, modelling and prediction of sliding wear of hybrid polymer composites using RSM and fuzzy logic //Arabian Journal for Science and Engineering. 2021. T. 46. №. 3. C. 2071-2082.
20. Upputuri H. B., Nimmagadda V. S., Duraisamy E. Optimization of drilling parameters on carbon fiber reinforced polymer composites using fuzzy logic // Materials Today: Proceedings. 2020. T. 23. C. 528-535.
21. Dvoryaninov, S.V., and Krauter, Z. Chem center tyazhesti treugolnika otlichaetcha ot centra tyazhesti cheturekhugolnika. Matematicheskoe Obrazovanie, vol. 1 2012, pp. 10-19.
Сведения об авторах
Феоктистов Егор Федорович, аспирант кафматематического анализа и теории функций; Egor F. Feoktistov, post-graduate student of the Mathematical Analysis and Theory of Functions Department, faa-201_193934@volsu.ru
Гермашев Илья Васильевич, д-р техн. наук, профессор, каф. Математического Анализа и Теории Функций; Ilya V. Germashev Dr Sci (Eng.), professor of the Mathematical Analysis and Theory of Functions Department, germasheviv@mail.ru
