CC BY
47
Машиностроение. Строительство. Материаловедение. Металлообработка
УДК 621.516
ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЖИДКОСТНОКОЛЬЦЕВЫХ ВАКУУМ-НАСОСОВ Ю.В. Воробьев1, Ю.В. Родионов1, Д.В. Никитин1, В.Ю. Попов2, А.А. Нищев1
Кафедры: «Теория машин, механизмов и детали машин» (1),
«Системы автоматизированного проектирования» (2),
ГОУВПО «ТГТУ»; tmm-dm@mail.nnn.tstu.ru
Ключевые слова и фразы: быстрота действия; коэффициент быстроты действия; скорость жидкости; удельная мощность.
Аннотация: Разработан метод оптимизации конструктивных параметров жидкостнокольцевых вакуум-насосов, основывающийся на выборе функционала, обеспечивающего минимум удельной мощности жидкостно-кольцевых вакуум-насосов с учетом различных физических факторов.
Обозначения
Ь - ширина корпуса вакуум-насоса, м;
Ь0 - ширина рабочего колеса, м; е - эксцентриситет, м;
п - частота вращения рабочего колеса, об/мин;
g - ускорение свободного падения, м/с2; т - показатель политропы сжатия;
^уд - удельная мощность на валу вакуум-насоса, кВт;
Рвс - давление всасывания, Па;
Ратм - атмосферное давление, Па;
Рн - давление нагнетания, Па;
9дпрж - расход дополнительно подаваемой рабочей жидкости, м3/ч; д0 - расход рабочей жидкости через рабочее колесо, м3/ч;
Я - радиус корпуса вакуум-насоса, м;
Г - радиус ступицы рабочего колеса, м; г2 - радиус рабочего колеса, м;
Б - действительная быстрота действия, м3/ч;
- теоретическая быстрота действия, м3/ч;
- абсолютная скорость жидкости, м/с; и2 - окружная скорость рабочего колеса, м/с;
г - число лопаток рабочего колеса;
Р2 - угол наклона лопаток рабочего колеса, рад;
Д - зазор между рабочим колесом и корпусом вакуум-насоса, м; ц - динамическая вязкость жидкости, Па-с;
р - плотность жидкости, кг/м3;
Ф - угол поворота рабочего колеса, рад; у - коэффициент, учитывающий влияние толщины лопаток рабочего колеса; ю - угловая скорость вращения, с-1.
Одним из самых распространенных средств низковакуумной откачки в настоящее время являются жидкостнокольцевые вакуум-насосы (ЖВН). Использование ЖВН для различных процессов, то есть выбор соответствующего вакуум-насоса, при котором выполняются предъявляемые к насосу требования, проводится, как правило, методом подбора. Значение правильного выбора типоразмера насоса недооценивается, однако, в этом кроется причина повышенных затрат электроэнергии, мощности, перерасхода дополнительно подаваемой рабочей
жидкости и частых поломок вакуумного оборудования. Указанный метод затрудняет совершенствование конструкций ЖВН в направлении повышения эффективности и снижения энергозатрат, так как для этого требуется перебор большого количества комбинаций их типоразмеров. Поэтому чрезвычайно актуальной является задача формализации и автоматизации этого метода путем постановки и решения соответствующей оптимизационной задачи, основывающейся на выборе функционала, обеспечивающего минимум удельной мощности ЖВН.
На основании анализа существующих теорий расчета удельной мощности и исследований, проведенных на кафедре «Теория машин, механизмов и детали машин» ТГТУ, разработан метод оптимизации основных конструктивных параметров одноступенчатого ЖВН с осевым подводом и отводом сжимаемого газа из условия минимальной удельной мощности на валу вакуум-насоса.
При решении уравнений, описывающих жидкостные потоки в рабочей полости вакуум-насоса, приняты следующие допущения [2]:
- движение потоков жидкости в насосе принимается установившимся;
- расход жидкости в любом сечении постоянен и может быть установлен из условия неразрывности потоков;
- погружение лопаток рабочего колеса в жидкостное кольцо происходит непрерывно при любом угле поворота рабочего колеса;
- при движении жидкость не отрывается от внутренних стенок корпуса и в вакуум-насосе нет обратных потоков.
Эффективная мощность N на валу ЖВН складывается из мощности Жсж, затрачиваемой на сжатие жидкостно-газовой смеси; потери мощности в безлопа-точном пространстве жидкостного кольца ^л; потери мощности в рабочем колесе Жк; мощности Nтр, затрачиваемой на преодоление трения в уплотнителях и подшипниках,
+ И§л + + N
где [1]
Nсж — га
т
т -1
т-1
-1
(1)
Максимально возможная быстрота действия характеризуется геометрическим объемом рабочей полости ЖВН, получаемым в предположении, что внутренняя поверхность жидкостного кольца цилиндрическая, а торцевой зазор между лопатками и боковыми крышками отсутствует (рис. 1),
£ т — ГО^О^!1 -(л/ г2 )2 ^
... пг2(1 -(Л/Г2)2 )-52 ^— 2( №)2) .
Коэффициент быстроты действия 1 в формуле (1) характеризует потери быстроты действия ЖВН, связанные с изменением геометрии жидкостного кольца, образованием «мертвой зоны» (пространство между втулкой рабочего
т
колеса и внутренней поверхностью жидкостного кольца в верхнем сечении вакуум-насоса) (рис. 2), перетеканием и натеканием газовой фазы в торцевых зазорах и испарением (конденсацией) рабочей жидкости в ячейки рабочего колеса.
В результате обработки экспериментальных данных была получена следующая эмпирическая зависимость
Х =
(- 50e-2,2 p + 36)(l - e-0,3(q +1))
30
где р - безразмерная величина давления
- Рв
всасывания, p =
Р
■; q - безразмерная
77//77/
Рис. 2. «Мертвая зона» ЖВН
величина расхода дополнительно подаваемой рабочей жидкости, q — -
q0
• Для
qдпрж
определения значений параметров р ид использовался программный продукт Мар1е 8.
Для определения ^л в безлопаточном пространстве, необходимо знать закон изменения от ф, который определяется с использованием двухмерной модели
течения жидкости, основанной на уравнениях Навье-Стокса и неразрывности (2), решаемых численным методом [3-5],
дм дм иди 1 1 dp a
----+ u-------+ —--------= — X-------------І- + П-
dt дх p ду p p дх p
Cv Cv a Cv і 1dp a
— + u---------+ —--------= — Y------------І- + Г-
Ct дх p ду p p ду p
du Cv „
— + — = 0,
дх дУ
дх2
д 2v "Г"
V
(
дх2 дУ
(2)
где / - время, с; р - давление, Па; х, у - координаты частицы жидкости; и - компонента радиальной скорости, м/с; V - компонента окружной скорости, м/с.
Полученные эпюры изменения абсолютной скорости жидкости в безлопа-точном пространстве с достаточной степенью точности подтверждаются экспериментально [1].
Для вычисления значения средней скорости жидкости Vф ср по полученным эпюрам при произвольном угле поворота ф используется интерполяционный многочлен Лагранжа, имеющий вид
п п (ф-ф,)
-ф ср
(ф)=Е vi П
Известно [1], что
j=1
Nбл = Мю,
где М - момент сил трения жидкости в безлопаточном пространстве
2п
М =
pvtp ср^г
h f
Г2 + — I (2h + b)dф .
8
В безлопаточном пространстве течение жидкости принимают эквивалентным течению в открытом криволинейном замкнутом канале прямоугольного сечения. Смачиваемый периметр такого канала - 2к + Ь (к - высота безлопаточного пространства при угле поворота рабочего колеса ф, м, к = е + Д — е соє ф), а коэффициент гидравлического трения для турбулентного режима течения определяют по формуле
X, = 0.,/і + «'”,2!
г ^ 4Яг Яе,
где Кэ - эквивалентная шероховатость внутренней поверхности корпуса, м, Кэ = (0,1...0,2) • 10-3 ; Яг - гидравлический радиус, м, = кЬ /(2к + Ь); Яе - число
Рейнольдса, Яе = 4vф срЯг Р .
ц
Потери мощности N в рабочем колесе
N = q0Hт (і — ’Лк^г|)Р к = 102 ,
где qo = 60п(г2 — ^22 )ь0 п у; Нт - теоретический напор, создаваемый рабочим колесом насоса, м, Нт = Нт те/(1 + пл) (Нтоо - теоретический напор, создаваемый рабочим колесом, имеющим бесконечное число лопаток, м, Нт <»=(/ ё) —
— [2ю2е722С^(Р2)/(пё)]; е' - эксцентриситет внутренней поверхности жидкостного кольца, м; Г22 - расчетный радиус внутренней поверхности жидкостного кольца, м).
Для учета влияния конечного числа лопаток рабочего колеса на напор, создаваемый рабочим колесом, использованы поправки Пфлейдерера [1]
П = Н. = 1/ (1 + Пл ).
т ГС
Коэффициент, учитывающий влияние конечного числа лопаток на напор пл, определяется по формуле
п =ул2 л zJ ’
где ул = (0,55...0,68) + 0,6єіпР2 ; J- статистический момент рабочей ячейки отно-
( / \2\ /
/2.
1 -1^
сительно оси рабочего колеса, м2, 3
Мощность трения в подшипниках и уплотнителях Х-гр зависит от потерь в уплотнителях и, как показывают экспериментальные исследования, не превышает 1-1,5 % от мощности на валу.
Вышесказанное позволяет записать математическое выражение для нахождения удельной мощности потерь - одной из основных эксплуатационных характеристик вакуум-насоса - как функционала, определенного на функциях, характеризующих конструктивные параметры элементов ЖВН и его физические процессы в рабочей полости. Выбор этих функций по условию минимума функционала -удельной мощности потерь, представляет собой задачу оптимизации.
Функционал цели, как отношение эффективной мощности на валу ЖВН к действительной быстроте действия, представляем в виде
(3)
Далее введем вектор-функцию нормированных параметров х{х0,...,Хп}, объединив их в следующей последовательности: х0 = г2/г2тах; Х1 = е/етах; Х2 - Ь/Ьтах;
где у - вектор параметров, устанавливаемых на этапе технического задания на проектирование насоса.
Исходными данными для проведения оптимизации являются: у4 - действительная быстрота действия, у5 - давление всасывания, с учетом физических свойств применяемой жидкости: у1 - удельная вязкость; у2 - плотность жидкости; Уз - удельный вес. Остальные параметры, используемые в функции цели, варьируются в пределах ограничений вида
где дг-, и - минимальные и максимальные значения параметров, выбираемых в соответствии с физическим смыслом и конструктивными ограничениями.
Окончательно задача оптимизации, сформулированная выше, математически приобретает вид
при ограничениях (4).
Приведенная выше функция цели имеет сложный нелинейный характер с функциональными ограничениями и линейными ограничениями, имеющими вид неравенств, что не позволяет применять методы линейного программирования для получения оптимальной конструкции ЖВН. Поэтому для получения минимума функции цели используется метод штрафных функций.
Решение задач оптимизации методом штрафных функций основано на сведении их к последовательности безусловных задач для функций, зависящих от параметра и обладающих следующими свойствами:
- в большей части допустимой области, определяемой ограничениями, искомые функции близки к целевой функции;
- при приближении к границе допустимой области или при выходе из нее функции достаточно быстро возрастают.
Степень близости и рост зависят от параметра функций и по мере его изменения в соответствующую сторону возрастают.
Для дальнейшего решения преобразуем ограничения (4) к виду fj (Х (0)) > 0,
На основе функций Худ(Х(0)) и ^(Х(0))> 0, I — 0, ...,16 строится функция Я(Х(0), К) следующего вида:
*3 n/nmax, x4 Р2/в2шах’ x5 Рвс/Рвс max, x6 ^^max, x7 p/pmax, x8 ^?max-
Функционал цели (3) представим в виде функции
тах
вс тах
Nуд = Nуд (y, x(0)),
qi < Xj < li, i = 0, ..., 8,
(4)
N уд = N уд (X (0)) ^ min
j = 0,..., 16 :
R(X(0),K) = Nуд(Х(0)) + F(,/0(X(0)), /1(X(0}),..., /16(X(0))),
где K - параметр, называемый коэффициентом штрафа; F - функция штрафа за нарушение ограничений.
В нашем случае будем применять внешнюю функцию штрафа вида
16
F (X (0), K) = K ^ кj (min{0, f (X(0))})2.
i=0
Значение функции во всех точках определяются численно, используя для вычисления интеграла метод Симпсона [3].
По предложенному алгоритму создана программа на языке программирования C++ в среде программирования CodeGear RAD Studio 2007, которая позволяет получить конкретные значения конструктивных параметров ЖВН для различных типоразмеров с минимальными затратами энергии. Метод оптимизации конструктивных параметров обеспечивает проведение автоматического перебора различных комбинаций типоразмеров ЖВН и отыскание типоразмера, удовлетворяющего заданным эксплуатационным критериям. Предложенный алгоритм оптимизации конструктивных параметров из условия минимальной удельной мощности может быть рекомендован для проектирования перспективных конструкций ЖВН.
Список литературы
1. Фролов, Е.С. Вакуумная техника / Е.С. Фролов, В.Е. Минайчев, А.Т. Александрова. - М. : Машиностроение, 1985. - 359 с.
2. Родионов, Ю.В. К вопросу оптимизации конструктивных параметров двухступенчатых жидкостно-кольцевых вакуумных насосов / Ю.В. Родионов, Ю.В. Воробьев // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2000. - Т. 6, № 2. - С. 274-280.
3. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. - М. : БИНОМ, Лаборатория знаний, 2006. - 636 с.
4. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости : пер. с англ. / С. Патанкар ; пер. с англ. под ред. В. Д. Виленского. - М. : Атомиздат, 1984. - 152 с.
5. Лаврентьев, М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М. : Наука, 1973. - 416 с.
Optimization of Design Factors of Liquid-Ring Vacuum Pumps
Yu.V. Vorobyov1, Yu.V. Rodionov1, D.V. Nikitin1, V.Yu. Popov2, A.A. Nishchev1
Departments: “Theory of Mechanisms, Machines and Details of Machines” (1), “Systems of Computer Aided Design” (2), TSTU; tmm-dm@mail.nnn.tstu.ru
Key words and phrases: action speed; coefficient of action speed; fluid velocity; power density.
Abstract: The paper presents the method of optimization of design factors of liquid ring vacuum pumps which is based on the choice of the functional providing minimum of specific capacity of liquid ring vacuum pump with regard for different physical factors.
Optimisierung der konstruktiven Parameter der Flussigkeitspumpen
Zusammenfassung: Es ist die Methode der Optimisierung der konstruktiven Parameter der Flussigkeitspumpen, die auf die Wahl des das Minimum der bezogenen Leistung der Flussigkeitspumpen mit Berucksichtigung der verschiedenen Faktoren gewahrleitenden Funktionals gestutzt wird, erarbeitet.
Optimisation des parametres constructifs des pompes liquides circulaires a vide
Resume: Est elaboree la methode de l’optimisation des parametres constructifs des pompes liquides circulaires a vide fondee sur le choix du fonctionnel assurant le minimum de la puissance specifique des pompes liquides circulaires a vide compte tenue des facteurs physiques differents.
Авторы: Воробьев Юрий Валентинович - доктор технических наук, профессор кафедры «Теория машин, механизмов и детали машин»; Родионов Юрий Викторович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Теория машин, механизмов и детали машин»; Никитин Дмитрий Вячеславович - аспирант кафедры «Теория машин, механизмов и детали машин»; Попов Вадим Юрьевич -студент; Нищев Андрей Анатольевич - соискатель кафедры «Теория машин, механизмов и детали машин», ГОУ ВПО «ТГТУ».
Рецензент: Буланов Владимир Евгеньевич - кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная механика и сопротивление материалов», ГОУ ВПО «ТГТУ».
