Оптимизация кинематических параметров рычажных четырехзвенных механизмов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

№ 3 (27) 2010

Б. Н. Поляков

Светлой памяти к.т. н., доцента Уральского политехнического института Б. М. Партенского посвящается1

Оптимизация кинематических параметров рычажных четырехзвенных механизмов

Представлены математическая постановка и результаты компьютерного решения задачи оптимизации кинематических параметров четырехзвенного механизма, воспроизводящего заданную траекторию движения исполнительного звена с заданной погрешностью.

Современные информационные технологии достаточно адекватно решают многие сложные технические задачи автоматизированного проектирования (АП) технологических и механических систем, обеспечивая поэтапный процесс их параметрической оптимизации [1] и достигая экстремальных значений принимаемых критериев качества.

Автор, как участник и свидетель 45-летней эволюции электронных вычислительных машин (ЭВМ) в Советском союзе и России, «переживший» многие и довольно частые смены поколений отечественных ЭВМ (от «Урал-1» до ЕС-1060 и персональных IBM), обладающий многолетним практическим опытом в построении систем АП, имеет основание выдвинуть предположение о том, что в первой половине XXI века будет создан искусственный интеллект для выбора, проектирования и оптимизации именно структур (т. е. кинематических схем, а не их параметров) любых механизмов и машин в широком диапазоне их предназначений. При этом, без сомнения, за конструктором сохранится выбор и принятие окончательного проектного решения. Если сейчас компь-

1 Б. М. Партенский для математического описания закона движения исполнительного звена механизма прокатного стана предложил автору заменить последний комбинацией кривошипно-шатунного и четырехзвенного рычажного механизма, что позволило успешно найти правильное конструкторское решение.

ютер — это помощник и советчик конструктора, а также рабочий инструмент в производстве чертежей деталей, узлов и машин в режиме АП, то в ближайшем будущем — это активный (совместно с визуальным и звуковым распознаванием и беспроводной связью) и равнозначный участник процесса проектирования.

Кроме того, многообразные постановки задач оптимизации проектирования крайне актуальны и необходимы в условиях рыночной экономики, ибо надежно обеспечивают повышение индекса перспективной конкурентоспособности страны и экономической эффективности новых создаваемых технологических производств.

Известно [2], что широчайшая гамма конструкций механизмов в различных отраслях современной промышленности и бытовой техники основана на применении рычажных четырехзвенников (механизма П. Л. Чебыше-ва), реализующих разнообразные технологические и кинематические задачи в машинах и агрегатах. Например, механизм ножного привода швейной машины, полиграфические и кондитерские производства, станкостроение и тяжелое машиностроение и т. д. Подтверждением вышеупомянутого также является факт, что в Интернете рычажным, в том числе и четырехзвенным механизмам посвящено более 43 тыс. страниц на русском языке.

Шарнирные четырехзвенные механизмы обладают уникальными свойствами, подбо-

№ 3 (27) 2010

ром длин рычагов и их исходного положения можно обеспечить:

• воспроизведение заданных траектории и закона движения;

• заданную скорость исполнительного звена в его определенном (заданном)поло-жении (на траектории);

• широкий диапазон кинематических и динамических характеристик и ряд других значимых функций.

Достаточно много рычажных механизмов и в металлургических производствах, например, в прокатных цехах: толкатели (сталки-ватели), кантователи, подъемно-качающиеся столы, маятниковые пилы, рычажно-кри-вошипные летучие ножницы и др. Поэтому их рациональное проектирование с достижением оптимальных значений критериальных функций является прагматичной и часто встречающейся конструкторской задачей.

На «Уралмашзаводе» еще в середине 60-х годов прошедшего столетия, применительно к проектированию прокатного оборудования, были сделаны первые скромные шаги в решении задач оптимизации механических систем на ЭВМ, убедительная эффективность которых привела в дальнейшем к созданию ряда автономных систем АП технологий процессов прокатки, а также металлургического, горного, бурового и другого оборудования тяжелого машиностроения.

Ниже представлена математически корректная постановка и результаты компьютерного решения одной из первых задач выбора оптимальных конструктивных параметров четырехзвенного рычажного механизма сталкивателя (МС) слитков (заготовок) при воспроизведении заданной траектории движения его исполнительного звена (шатуна).

В большинстве случаев синтез механизмов с низшими парами позволяет только приближенно реализовать заданную траекторию. Аналитическое решение такой задачи представляет собой известную математическую задачу о приближении функций, когда заданная функция приближенно заменяется другой, мало от нее отличающейся [3].

Обозначим заданную функцию, кото- | рую должен воспроизвести механизм, че- ^ рез у = F (х), где х и у — координаты точек а; кривой, которая должна приближенно совпадать с траекторией какой-либо точки исполнительного звена. Воспроизводимую механизмом функцию обозначим через у = FM (х), ее вид зависит от геометрических параметров кинематической схемы — искомых величин. Последние должны быть выбраны таким образом, чтобы функция у = FM (х) на заданном отрезке изменения аргумента х как можно меньше (с заданной погрешностью) отличалась от функции у = F (х).

Принципиальная кинематическая схема механизма сталкивателя, представляющего собой классический шарнирный четырех-звенник, показана на рис. 1. В качестве тестовой задачи представим ее решение, приближая траекторию точки М шатунной кривой (шатун — звено МС) к прямой линии у = 1,145 на заданном интервале изменения х [ х1, х2].

Все аналитические выкладки выполнены в относительных единицах, при длине стойки четырехзвенника, принятой равной единице, т. е. АД = 1. Обозначения длин звеньев механизма приведены на рис. 1, где у и Ф — углы поворота соответственно ведущего звена СД = с и ведомого АВ = а, ВС = Ь, МВ = к. Итак, искомыми параметрами являются величины а, Ь, с и к.

Рис. 1. Кинематическая схема четырехзвенного механизма сталкивателя

-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 3 (27) 2010 ' -

Составим уравнение шатунной кривой. Выражая координаты точки В через линейные и угловые параметры четырехзвенни-ка, после ряда последовательных математических преобразований данное уравнение (для точки М) может быть представлено в следующем виде:

F (х ) = (Т2 )2(73 )2

(1)

^ Я ю Г + ЯГ2 где Т2 = Т — 1 2-

1

+ ю

Я = 7(1-х)2 + у2; ю = (А Т3 = 71 + юГ2;

Т = х + у2 - а +

2кх (1 - х) 2 у2 к

Ь

Ь

к2 (1- х )2 к 2с2 к2 у2

+----— +---1—-—;

ь2 ь2 ь2 ;

= 2кхс 2к2 с (1 - х); = 2ксу 2к2су

Г Л . + .о ; Г О '

со

0

1 I

и §

И

¡О

ь

ь2

ь

ь2

со

0 &

1

I

§

13

£

§ I

2п

где i=1, 2, 3, 4; а0 = 0; ат = 0,28. Принимаем, что шатунная кривая пересекается с прямой у = 1,145 в этих точках, и из данных условий определяем параметры а, Ь, с и к.

Итак, имеем

(Т )2 (1-Я2 )(Т )2 (Т) - (Т3)

(х,) - (у -1,145) = 0, (2)

Начальные координаты точки М — х0 и у0. Приближаем шатунную кривую к прямой линии у = 1,145 на отрезке [х0; х0 + 0,28].

Известно, что простейшим видом приближения функций является интерполирование, т. е. совпадение значений функций у = F(х) и у = FM (х) в п точках рассматриваемого интервала изменения аргумента х, где п — число неизвестных параметров (или узлов интерполяции).

Аналитическое решение задачи о нахождении неизвестных параметров приближающей функции у = F (х) в данном случае сводится к решению п уравнений, которые образуются, если приравнять нулю величины разности А = F(х)- FM (х) в п точках, т. е. А(х() = F(х,)-FM (х,) = 0. Обычно отрезок приближения разбивают на узлы интерполяции по формуле П. Л. Чебышева [3], в нашем случае получаем четыре точки

а0 + ат а0 - ат ( 2( -1 х, = х0 + V т + , т cos| —--п

где ( = 1,..., 4 и у =1,145.

Для решения полученной системы нелинейных уравнений(2) применим метод скорейшего спуска [4]. Составляем функцию:

п 2

Ф (а,Ь,с, к) = > F (х,) и находим аналитиче-

(=1

ские выражения для частных производных:

дФ о^с ( ) дF ( )

— = 2> F(х,)--(х,),...,

да £ 1 (} даУ()

дФ оУТ с/ \ д^^ дF дF

— = 2> F(х,)--(х,) и для —,...,— .

дк £ 1 (' дкУ(' да дк

Решение системы нелинейных уравнений получаем из следующей формулы:

а = а - -

дФ да

• Ф

дФ да

+... +

дФ дк

(3)

к = к--

дФ дк

•Ф

дФ да

+... +

дФ дк

Подставляя в систему (3) выражения для частных производных, находим а1, Ь1, и к1; если |а1 - а| < 10-6,..., |к1 - к| < 10-6, то прекращаем счет, иначе принимаем: а = а1, Ь = Ь1, с = с1, к = к1 и снова продолжаем счет по формуле (3).

Величины максимального отклонения кривой, описываемой точкой М шатуна, от прямой у = 1,145 также рассчитываются по аналитическим зависимостям, как функци-

№ 3 (27) 2010

№ 3 (27) 2010

0

1 I

и

й

И

¡О

ям параметров четырехзвенника, на основе численного итеративного метода.

Решение системы нелинейных уравнений, естественно, зависит от начальных значений a, Ь, c и k, поэтому, варьируя их величинами в допустимых областях, получаем каждый раз свои величины максимальных отклонений 5тах от заданной прямой. Выбирая из них минимальное 5тт, считаем соответствующие кинематические параметры искомыми величинами. Принципиальная блок-схема алгоритма показана на рис. 2.

Величина отклонения существенно зависит от длины отрезка, на котором изменяется аргумент х: чем длиннее отрезок, тем больше отклонение, что естественно. Но также прослеживается тенденция к насыщению прироста величины отклонения с увеличением перемещения исполнительного звена механизма, что убедительно иллюстрирует рис. 3.

В результате расчетов по представленному алгоритму были получены следующие

0,128

0,125

00

0 &

1

I

13

£

§ I

0,100

0,25 0,28 0,35 0,40 0,45

Величина перемещения точки М по оси X

Рис. 3. Зависимость величины максимального отклонения 5^ от интервала изменения х

результаты: оптимальные величины (в относительных единицах) кинематических параметров механизма — a = 0,816, Ь = 2,226, c = 0,299 и k = 0,792 при x1 = -1,0 и x2 = - 0,2 и минимальном отклонении от воспроизводимой прямой у = 1,145, равном 0,097.

Разработанный алгоритм пригоден и для оптимизации шарнирных четырехзвенни-ков при воспроизводстве траекторий в виде плоских кривых линий. В частности, для дуги окружности радиусом 1,145 получены такие результаты: a = 0,645, Ь = 2,141, c = 0,312 и k = 0,742.

Таким образом, представленная математическая постановка и созданный алгоритм для оптимизации кинематических параметров плоских рычажных четырехзвенных механизмов рекомендуется к применению в системах автоматизированного проектирования.

В заключение хотелось бы отметить следующее. Интуиция автора подсказывает, что в ближайшем будущем новые поколения компьютеров позволят заменить громоздкие многомощные механические (в том числе и рычажные) системы на быстродействующие программируемые электронные устройства (совместно с роботами и сенсорами), выполняющие всю широту прежних функций. По крайней мере, автор уверен в том, что конструкции многих рычажных механизмов будут постепенно упрощаться за счет применения микропроцессорных устройств.

Список литературы

1. Поляков Б. Н. Повышение качества технологий и долговечности оборудования прокатных станов. Ч. 1. Екатеринбург: Изд-во Свердл. инж. — пед. ин-та, 1993. — 208 с.

2. Артоболевский И. И. Механизмы в современной технике. Рычажные механизмы. Том 1. 1970. — 608 с.

3. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. — М.: Гостехиздат, 2-е изд., 1954. — 328 с.

4. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М., Наука, 1966. — 664 с.

112