Оптимизация инвестиционного портфеля в случае разрешимости и запрета на короткие продажи Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Удк 336

оптимизация инвестиционного портфеля в случае разрешимости и запрета на короткие продажи

Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mail: klitinanina@yandex. ru Ростовский государственный университет «РИНХ»

В статье систематизированы основные теоретические предпосылки формирования инвестиционного портфеля, представлен анализ этапов выбора объектов инвестиций с точки зрения портфельного инвестора, рассмотрена методика формирования и управления портфелем ценных бумаг в случае разрешимости и запрета на короткие продажи. В результате проведенного анализа построены графики зависимости риска и доходности инвестиционных портфелей ценных бумаг российских эмитентов, а также определены оптимальные портфели при различных позициях инвестора.

Ключевые слова: инвестиции, инвестиционные портфели, короткая позиция, длинная позиция, формирование, управление, оптимизация.

В настоящее время в России активно развивается фондовый рынок: выставляются на торги новые ценные бумаги, с каждым годом увеличивается объем операций. Теория оптимального портфеля помогает составить инвестиционный пакет финансовых активов, риск которого минимален по сравнению со всеми другими возможными портфелями из активов этих компаний. Структурой оптимального портфеля являются построение моделей математической оптимизации и их решение.

Портфельное инвестирование позволяет планировать, оценивать, контролировать конечные результаты всей инвестиционной деятельности в различных секторах фондового рынка. Основная задача портфельного инвестирования - улучшить условия инвестирования, придав совокупности ценных бумаг такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы с позиции отдельно

взятой ценной бумаги и возможны только при их комбинации.

Цель любого инвестора - составить такой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально возможную отдачу с минимально допустимым риском. Обязанность инвестора сводится к определению оптимальной пропорции долей распределения вкладываемой суммы между доступным набором фондовых активов.

На компоненты вектора инвестиционного портфеля накладываются различные ограничения, зависящие от следующих факторов:

- вид сделки;

- тип участвующих активов;

- величина открываемых позиций и т. д.

Портфели, удовлетворяющие условиям данного конкретного рынка, называются допустимыми. Только с ними имеет дело инвестор. Ограничения могут накладываться и на действия инвестора. По каждому приобретенному активу инвестор способен находиться как в длинной позиции, так и в короткой.

Длинная позиция предполагает покупку актива с целью последующей продажи при повышении его стоимости в надежде на получение дохода от разности цен покупки и продажи.

Короткая позиция осуществляется, когда инвестор уверен в понижении стоимости актива. Для этого он в начальный момент времени берет данный актив взаймы у другого инвестора, сразу же продает, а впоследствии покупает его на рынке ценных бумаг по сниженной стоимости и возвращает своему кредитору.

Теоретически реализованная доходность операции короткой продажи в благоприятном случае стремится к бесконечности, поскольку не требует никакого начального вложения капитала. Если же взятие в долг невозможно, то предельная ожидаемая эффективностьпортфеля совпадает с эффективностью той ценной бумаги, эффективность которой наибольшая. Когда имеется несколько видов таких предельно эффективных, но рисковых ценных бумаг, то капитал распределяется между ними. Но зато и риск доходности теоретически неограничен, поскольку при повышении цены актива инвестор обязан покупать его по этой более высокой цене. Эта операция имеет смысл, если инвестор предполагает, что ценные бумаги через некоторое время упадут в цене, и при возврате долга в виде фиксированного количества активов он сможет приобрести их за меньшую сумму, чем была получена при продаже в момент, следующий за моментом взятия в долг. Инвестор в этой ситуации азартно играет на понижение.

Осуществив короткую продажу по какому-то активу, инвестор способен купить на вырученные деньги другие активы в большем количестве, чем имел до этого. Это приводит к перераспределению стоимости активов портфеля.

Рассмотрим пример нахождения оптимального портфеля в случае разрешимости и запрета на короткие продажи, сравним полученные результаты. Поставленную задачу будем решать с помощью построения модели математической оптимизации в векторной форме.

Сформируем оптимальный портфель из трех акций компаний: «Балтика», Банк Москвы и «Южный Кузбасс», используя котировки цен 2009 г.

Найдем средние нормы доходности, дисперсии и показатели рисков по каждой рассматриваемой акции (табл. 1).

Для нахождения множества эффективных портфелей используем модель Блэка в координатах весов:

Таблица 1

средняя норма прибыли, дисперсия и показатель риска трех акций

X (t) = X0 +1-V0, t > 0,

C-1 • I

X0 =-

компания средняя норма доходности дисперсия Показатель риска

«Балтика» 0,000542209 0,000710702 0,026659003

Банк Москвы 0,000511431 0,000679955 0,026075953

«Южный Кузбасс» 0,016330932 0,005911779 0,076888096

(1) (2)

Iх- С 1 • Г V0 = -(Г • С-1 • R)X0 + С-1 • R, где Х(0 - множество эффективных портфелей в случае разрешимости коротких продаж в координатах весов;

X0 - матрица весов портфеля соответствующего минимального риска; t - параметр;

V0 - множество допустимых портфелей; С = (covj) - ковариационная матрица, где cov.j- ковариация между 7 и]-м активами; С 1 - обратная матрица к ковариационной матрице С;

I - единичный вектор, столбец размерности п х 1;

Iт - единичный вектор, строка размерности 1 х п;

R - матрица доходностей. Тогда ожидаемый доход и показатель риска портфеля рассчитываются по следующим формулам:

(3)

Ep = RT - X,

D = Xт - C - X,

p _ '

(4)

где Ep - ожидаемый доход инвестиционного портфеля;

Dp- дисперсия портфеля; cp - показатель риска портфеля; RT, Xт - транспонированные матрицы по отношению к матрицам R, X.

Из всего эффективного множества определим ожидаемый доход и показатель риска оптимального портфеля аналитическим способом, используя необходимое условие безусловного экстремума: a2p = Xх- C ■ X ^ min, X(t) = X0 + tV0, t > 0, cp = (X0 +1-V0)x C(X0 +1-V0) =

= X 0%CX0 + 2tV 0%CX0 +12V 0%CV0 =

= o2p (X0) + 2tV tHCX0 +12V 0zCV0. Найдем производную по переменной t и приравняем ее к нулю

до 2

= 2V 0lCX0 + 2tV 0lCV0 = 0.

dt

Преобразуем и выразим t

tV 0lCV0 =-V 0lCX0,

t = -

-V 0xCX0

V0%CV0 '

Следовательно

Шп с2 (X0 +1 • V0) = X0гСХ0 -

¡еЯ Р

-2

V 0тсх0 ■ V о^0

• V 0хсх0 +

( V 01СХ V0гСУ0

о Л

V 0 =

(V 01СХ0 )2

2 о 2 о

= С Р (Х )--V0xCV0 Р (Х )

достигается при

_ -V0тСХ0

¡шт _ VО^СУ0 ' Рассмотрим допустимый портфель в точке С 1 • I

х0 = .

Iх- С 1 • I Обозначим Х = Iх • С 1 • I. Так как V0 ± I, то 1

1 „ 1

V,пСХ0 = V —\СХ0 = V -1 =-V0хI = 0.

X

Следовательно

X X

шin с2 (X0 +1 • V0) =

¡еЯ Р

_ _2 (хо) _ (V'С0 )2 р(х ) V0гCV0

= °Р (X0).

Е = ЛТХ0

р

и риском

= у1 X0х- С ■ X0.

с =

0,00013004 0,00067955 0,000145651 ч0,000757733 0,000145651 0,005911779у

X = X0 =

(0,492620431 ^ 0,513429804

ч-0,006050235,

Значит, минимальный риск достигается при = 0, и тогда координаты вектора X совпадают с координатамиX0, т. е.

X ^) = X0 + ¡V0 = X0.

Следовательно, при ¡Шт = 0 инвестиционный портфель является оптимальным с доходностью

Для нахождения портфеля с минимальным показателем риска, сформированного из трех рассматриваемых акций, достаточно найти координаты допустимого портфеля X0. Для этого необходимо составить ковариационную матрицу и найти к ней обратную:

(0,000710702 0,00013004 0,000757733 ^

Тогда

'1679,987009 -276,6284823 -208,5142514^ С1 = -276,6284823 1524,037455 -2,091839858 208,5142514 -2,091839859 195,9313267 ,

Используя формулу (1), найдем координаты весов оптимального портфеля:

Для минимизации риска инвестору необходимо совершить короткую продажу акций компании «Южный Кузбасс» и полученные средства вместе с собственными распределить между акциями компаний «Балтика» и Банка Москвы следующим образом:

- «Балтика» - 49,3 %;

- Банк Москвы - 51,3 %.

Умножив транспонированную матрицу доход-ностей ВТ = (0,000542209; 0,000511431; 0,016330932) на вектор X, найдем ожидаемый доход оптимального портфеля:

Е р = 0,000430881.

Извлекая корень из произведения X0т • С • X0, получим риск с р = 0,020304886.

Изобразим графически эффективное множество инвестиционных портфелей без ограничений на короткие продажи с помощью формул (1), (2), (3), (4) и отметим точку, соответствующую оптимальному портфелю (рис. 1).

Анализируя проделанные расчеты и полученные результаты, можно сделать вывод, что портфель с минимальным значением риска располагается вначале эффективного множества, т. е. от точки оптимального портфеля берет свое начало эффективный фронт. Если инвестор стремится при формировании портфеля к наименьшему риску, то необязательно строить все эффективное множество инвестиционных портфелей. Достаточно найти по формуле (1) вектор X 0, координаты которого и будут весами оптимального портфеля.

Рассмотрим формирование оптимального портфеля в случае запрета на короткие продажи. Предположим, что инвестор предпочитает работать с ценными бумагами только на повышении их цен, т. е. находится в длинной позиции. Сформируем и построим эффективное множество инвестиционных портфелей в случае запрета на короткие продажи. Используем котировки цен акций уже рассмотренных компаний, составленную ковариационную матрицу и обратную к ней.

Чтобы инвестор находился в длинной позиции, необходимо и достаточно, чтобы все веса портфеля были положительные х1 > 0, т. е. х1 е[0,1]. Также необходимо, чтобы сумма всех весов, входящих в портфель составляла 1. Изобразим требуемые условия графически (рис. 2).

Р

0,0014 0,0012 0,001 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0

X0 =

V0 =

0,02025 0,0203 0,02035 0,0204 0,02045 0,0205 0,02055 0,0206

рис. 1. Эффективное множество инвестиционных портфелей, сформированных из трех акций

рис. 2.Пространство R3 относительно весов xp x2, x3

Следовательно, чтобы инвестору сформировать портфель с ограничением на короткие продажи, ему необходимо выбирать значения весов x1, x2, x3, расположенные внутри равностороннего треугольника АВС, на его сторонах или в единичных точках вершин.

Введем ограничение в рассмотренную модель для векторной формы

x(t) = X0 +1 ■V0 > 0

при t > 0.

С помощью формул (1) и (2) найдем для акций компаний «Балтика», «Южный Кузбасс» и Банк Москвы координаты векторов X0 и V0:

(0,492620431 > 0,513429804 -0,006050235

у

Г-3,150640398 ^ 0,058704314 3,091936084

ч 7 /

Составим систему неравенств относительно переменной t, учитывая введенное ограничение: '0,492620431 - 3,150640398t> 0 0,513429804 + 0,058704314t > 0 . -0,006050235 + 3,091936084t> 0 Преобразуя систему, получаем

V < 0,156355651 t >-8,746031901. J> 0,001956779

Следовательно,

0,001956779 > t < 0,156355651.

Данное неравенство означает, что при любом t из полученного отрезка инвестор будет находиться в длинной позиции, его выбор зависит от целей и отношения к риску: чем меньше значение t, тем меньше риск, чем больше t - больше доходность, но также и риск.

Используем минимальное значение t . = = 0,001956779 и максимальное значение t =

' тах

= 0,156355651 для нахождения координат вектора X. Затем полученные веса подставим в формулы ожидаемого дохода и показателя риска инвестиционного портфеля. Наименьший риск портфель будет иметь при

Xтт = X0 + 0,001956779V0, а наибольший риск - при

х_ = X0 + 0,15635565^°.

Тогда

X_ =

(0<48655324 ^ 0<513544676 0

X__ =

Г 0

0,522608556 0,477391444

Л

Значит, Е - = 0,000526403,

с„

F = 0,008063526, я

= 0,020309488, x = 0,04007113.

и

0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0

0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045

рис. 3. Множество портфелей, состоящее из трех активов при запрете на короткие продажи

Координаты Xшin располагаются на отрезке ВС рис. 2, так как х3 = 0. Координаты Xшax - на отрезке АВ, так как х1 = 0. Следовательно, для получения оптимального портфеля, т. е. портфеля с минимальным показателем риска при запрете на короткие продажи инвестору необходимо вкладывать средства только в акции двух компаний - «Балтика» и Банк Москвы. Для получения максимальной прибыли инвестору необходимо вкладывать инвестиции только в акции Банка Москвы и компании «Южный Кузбасс».

Построим график зависимости ожидаемого дохода и показателя риска для множества портфелей, сформированных инвестором, находящимся в длинной позиции. На графике первая точка соответствует портфелю с наименьшим значением риска (сшш,Ешш), последняя точка - портфель с максимальной доходностью (сшах, Ешах) (рис. 3).

При формировании инвестиционных портфелей, состоящих более чем из двух активов, инвестор не всегда может подобрать длинную позицию, так как при t > 0 рассматривается только эффективное множество, на котором не обязательно будут располагаться портфели со всеми положительными весами. Чем больше активов в портфеле ценных бумаг, тем сложнее ограничить короткие продажи на эффективном множестве.

Рассмотрев длинную и короткую позиции инвестора при формировании инвестиционного портфеля, можно сделать вывод, что минимальный риск в данном примере имеет оптимальный портфель при t = 0 без ограничений на короткие продажи. В длинной позиции при ¡шт = 0,001956779 значение риска увеличилось совсем незначительно

на 0,0004602 %, доходность тоже выросла - на 0,0095522 %. При tmax= 0,156355651 показатель риска очень высокий - 4 %, несмотря на выросшую доходность -0,806 %. Каждый инвестор выбирает позицию в зависимости от своих целей. То есть играют роль количество финансовых ресурсов, временные горизонты и отношение инвестора к риску.

Для получения максимальной доходности инвестору необходимо играть не только на повышение стоимости активов, но и на понижение их цен, т. е. предпочтительней находиться в короткой позиции. Если инвестор не хочет рисковать, беря взаймы активы у кредиторов, ему следует формировать хорошо диверсифицированный портфель, располагая только собственными средствами: находиться в длинной позиции.

Обстоятельства, в которых действуют инвесторы, различны. Поэтому портфели ценных бумаг необходимо составлять с учетом таких различий. При этом определяющими факторами являются допустимый уровень риска и период инвестирования, которые зависят от предпочтений конкретного инвестора. Занимаясь инвестициями, целесообразно выработать определенную политику своих действий и определить:

- основные цели инвестирования;

- состав инвестиционного портфеля;

- приемлемые виды ценных бумаг;

- качество бумаги;

- диверсификацию портфеля и т. д.

Состояние рынка и возможности инвестора

влияют на выбор его инвестиционной стратегии.

Список литературы

1. Кочетыгов А. А. Финансовая математика. Ростов н/Д.: Феникс. 2004.

2. Клитина Н. А. Оптимизация портфеля ценных бумаг в зависимости от диверсификации инвестиций // Финансовые исследования. 2010. № 1.

3. Клитина Н. А. Формирование портфелей ценных бумаг для различных типов инвесторов // Финансовая аналитика: проблемы и решения 2011. № 23.

4. URL: http://www. stocks. investfunds. ru.