CC BY
56
Заключение
Получено уравнение регрессии, описывающее глубину упрочненного диффузионным хромированием слоя деталей из серого феррито-перлитного чугуна в зависимости от температуры и времени выдержки. На основании этого уравнения можно назначить режим химико-термической обработки с целью получения упрочненного слоя требуемой толщины.
Предложены два уравнения регрессии: неполный полином второй степени и полный полином второй степени. Второе уравнение адекватнее описывает глубину упрочненного слоя, однако для упрощенных расчетов можно использовать более простое уравнение полного факторного эксперимента.
Список литературы
1. Некрасов В.И. Многофакторный эксперимент. Планирование и
обработка результатов: Учеб. пособие. - Курган: Изд-во КГУ, 1998. - 146 с.
2. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов экспери-
мента. -М.: Наука, 1971.-192 с.
3. Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии
металлов методами планирования экспериментов. -М.: Машиностроение. София: Техника, 1980.-304 с.
4. Степнов М.Н. Статистические методы обработки результатов
механических испытаний: справочник.-М.: Машиностроение, 1985.-232с.
5. Лавренчик В.Н. Постановка физического эксперимента и статисти-
ческая обработка его результатов: Учеб. пособие для вузов.- М.: Энергоатомиздат, 1986.-272с.
УДК 519.87(04) А.Г. Кокин
Курганский государственный университет
ОПТИМИЗАЦИЯ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Аннотация. В работе рассматривается использование метамодели - регрессионной модели,полученной в результате экспериментов с имитационной моделью с целью замещения последней при оптимизации. В качестве объекта для исследования выбран пост ДПС. В результате исследования выявлены основные характеристики системы.
Ключевые слова: оптимизация, метамодель, регрессия, факторы, отклик.
A.G.Kokin,
Kurgan State University
OPTIMIZATION OF SIMULATION MODELS
Annotation.The work studies the use of meta -regression model got from the experiments with the simulation model to replace it in optimization. The post of traffic patrol service is chosen as an study object. As the results of the research the main system characteristics are brought out.
Key words: meta-model, regression, factors, response.
Задача оптимизации на основе имитационного моделирования формулируется следующим образом: необходимо найти значения входных переменных (факторов),
оптимизирующих основной выходной показатель системы (отклик). При этом предполагается, что функция отклика может быть рассчитана с помощью проведения имитационного эксперимента с моделью сложной системы [1].
Оптимизация на основе имитационного моделирования заключается в совместном использовании имитационной модели сложной системы и алгоритма оптимизации. С помощью ИМ рассчитываются значения отклика для различных комбинаций значений факторов, которые предлагает алгоритм оптимизации. Поисковый алгоритм оптимизации, в свою очередь, используя значения отклика, пытается улучшить решение.
Применение в качестве алгоритма оптимизации точных математических методов оптимизации, обеспечивающих нахождение оптимального решения, не всегда целесообразно, поскольку имитационная модель является копией реальной системы с некоторой степенью точности. Поэтому, в большинстве случаев в качестве алгоритма поисковой оптимизации лучше использовать методы, которые не обязательно гарантируют достижение точного оптимума, а находят близкие к оптимальным решения и при этом обеспечивают быструю поисковую сходимость алгоритма.
На сегодняшний день существует несколько программных пакетов оптимизации имитационного моделирования, которые используют средства имитационного моделирования совместно с различными методами поиска решений. В большинстве пакетов оптимизации в качестве процедур поиска решений используются эволюционные стратегии и генетические алгоритмы.
Наиболее применимым на практике способом решения данной проблемы является использование метамоделей. Метамоделью принято называть приближенную математическую модель, полученную в результате экспериментов с имитационной моделью с целью замещения последней при оптимизации.
Основными методами построения метамоделей являются регрессионные модели и искусственные нейронные сети, к которым в последнее время проявляется большой интерес, благодаря их мощной аппроксимирующей способности.
Метамодели являются регрессионными моделями, представляющими собой оценку функции реакции системы на изменение значений факторов. С построением регрессионных моделей связано планирование машинных экспериментов с моделями систем.
Машинные эксперименты моделей систем производятся с помощью средств имитационного моделирования, к которым относятся сети Петри, система GPSS и другие.
Рассмотрим исследование моделей в системе GPSS. Важными характеристиками системы оптимизации на основе имитационного моделирования являются: нормативы обслуживания заявок и стационарность получаемых оптимальных решений.
Нормативы обслуживания для каждой операции обслуживания заявок разрабатываются как определенные нормы времени обслуживания от ^ до Время обслуживания в заданных нормах определяет квалификацию исполнителя. Введение времени обслуживания в приборах СМО в соответствии с нормативами позволяет осуществлять оптимизацию с заданными ограничениями.
Стационарность потоков обслуживания определяется как поток событий, в котором его вероятностные характеристики не зависят от времени. Стационарность потоков предполагает, что оптимальный режим обслуживания должен сохраняться на протяжении всего рабочего времени. Это достигается равенством средних значений времени поступлений заявок в систему и вре-
мени обслуживания заявок в системе: Тж = Тк (Тж - интервал времени между поступлением заявок в систему, Тк -время обслуживания).
Для построения модели используется прибор обслуживания заявок (рис. 1).
W
Q U К
Y
Рис. 1. Прибор обслуживания заявок в СМО, где входной поток, О - накопитель (очередь), и - поток обслуживания, К - узел обслуживания, Y - выходной поток.
Критериями оптимизации имитационных моделей СМО являются максимально возможная загрузка приборов, наличие очереди и, как результат, максимальное значение выходного потока. Параметрами являются времена обслуживания потоков.
Рассмотрим некоторые схемы организации модели в соответствии с требованиями. Два и более последовательно включенных приборов должны иметь среднее время обслуживания, равное среднему времени поступления заявок (транзактов) в систему. Например, для двух последовательно включенных приборов со средним значением входного потока 10 ед. среднее время обслуживания должно быть также равно 10 ед.
Для параллельно двух и более включенных приборов общее время обслуживания определяется по выражению: Тк = Тж * К, где К - количество приборов.
Выходные данные при обслуживании трех параллельных приборов при среднем времени поступления транзактов в систему - 10 ед.:
Facility
SB1 SB2 SB3
Queue <AD set>
LI
L2 L3
Queue <AD set)
LI
L2 L3
Auerage utilization .98 .96 .94
Maximum contents
1 1 1
Auerage time/trans
.OB .OB .OB
Auerage Contents
.00 .00 .00
SAuerage time/trans
.ШШ .ШШ .ШШ
Number entries 16 16 16
Total entries
Auerage time/tran 29.38 28.75 28.13
16 16 16
Zero entries
16 16 16
Percent zeros
100.00 100.00 100.00
Current contents
0 0 0
Модель имеет три параллельно включенных прибора (Facility) SB1c загрузкой 0.98, SB2 - 0.96, SB3 - 0.94; Среднее время обслуживания: SB1 - 29.38, SB2 - 28.75, SB3 - 28.13; минимальные очереди; обслужено транзактов каждым прибором - 16 при времени моделирования 480 ед. (все поступившие в модель транзакты обслужены) - оптимальный вариант
Таким образом, можно рассчитать оптимальное время обслуживания для различных схем моделей при заданном значении плотности входного потока, например, для параллельно-последовательной схемы включения приборов (рис. 2).
k2
«ШЮ
DO
k3
Рис. 2. Параллельно-последовательная схема включения приборов
Выходные данные для модели (рис. 2)
Facility
SB1 SB2 SB3
Queue <AD set)
Auerage utilization .98 .94 .96
Queue <AD set)
Maximum contents
1 1 1
Auerage time/trans
.00 .ШШ .mm
Auerage contents
.00 .00 .OB
ÎAuerage time/trans
.00 .mo .mo
Number entries 24
23
24
Total entries
Auerage time/tran 19.58 19.57 19.17
24
23
24
Zero entries
24
23
24
Percent zeros
100.00 100.00 100.00
Current contents
0 0 0
Среднее время поступления транзактов в систему равно 10 ед., среднее время обслуживания - 19.58, 19.57, 19.17; загрузка приборов - 0.98, 0.94, 0.96; количество обслуженных транзактов - 24, 23, 24.
Для исследования моделей будем считать нормативы обслуживания для каждой операции обслуживания факторами. Границы нормативов обслуживания совпадают с min и max значениями факторов. В качестве отклика - максимальные значения выходного потока и загрузки приборов обслуживания.
Проверим с помощью пакета STATISTICA, что два последовательно включенных прибора при оптимальном варианте должны иметь среднее время обслуживания, равное среднему времени поступления транзактов в систему Составим таблицу испытаний:
1 Varl 2 Var2 Э Var3 4 Var4 5 Vai5 Б Var6
1 5 5 49 49 48 47
2 5 10 49 97 40 47
3 5 15 49 97 48 32
4 10 5 96 48 40 47
5 10 10 98 98 48 47
6 10 15 96 98 40 31
7 15 5 98 32 32 31
е 15 10 98 84 32 31
9 15 15 98 95 32 31
где Varl - фактор - среднее время обслуживания транзактов 1-м прибором, Var2 - фактор - среднее время обслуживания транзактов 2-м прибором, Var3 - процент загрузки первого прибора, Var4 - процент загрузки второго прибора, Var5 - число обслуженных транзактов 1-м прибором, Var6 - число обслуженных транзактов 2-м прибором.
На приведенном графике видно, что только в 5 наблюдении при времени обслуживания (10,10) выполняются все критерии: максимальная загрузка приборов (0.98, 0.96), максимальное число обслуженных транзактов (48, 47):
/ " / V / / \ \ ; / / / i
»•- .«- -•■» -•• / \ v / . Ч'- -----а
ГУ ' **t3"..... ------
• Verl Var2 var3 Var4
• varf. Varô
График поверхности зависимости количества обслуженных заявок на выходе системы Var6 от времени обслуживания первым Varl и вторым прибором Var2 без учета загрузки приборов:
L1
MEN
Входной поток Out
-ршьо
Поток нарушителей
Рис. 3. Модель поста ДПС
Программа модели^М^АТЕ
GENERATE 1.6 IF Q$L1 >4,OUT
QUEUE L1 SEIZE MEN DEPART L1 ADVANCE 2.4 SAVEVALUE SUMMA+,250 RELEASE MEN OUT TERMINATE GENERATE 1 TERMINATE 1 START 60 END
Выходные данные за 1 час работы 5 инспекторов:
По полученной поверхности и функции отклика можно судить о приближении решения к оптимальному варианту.
В качестве практического примера рассматривается построение модели для исследования работы поста ДПС [2].
На шоссе при въезде в город работает пост ДПС. На посту в течение дня работает 5 инспекторов. Рабочий день инспектора равен 10 часам. Режим работы - через трое суток. Затраты на одного инспектора равны 35000 рублей в месяц. Инспектор оформляет протокол в среднем 12 минут. В течение часа скоростной режим нарушают в среднем 35 водителей. Инспекторы останавливают машину, если ожидают оформления не более четырех машин. Средний размер штрафа равен 250 рублям.
Определить параметры работы системы: найти среднее время ожидания оформления, среднюю очередь на оформление, среднюю сумму от штрафов за месяц, месячные затраты на пост ДПС, «прибыль» поста за месяц. Определить оптимальное (с точки зрения прибыли) число инспекторов на посту при сохранении остальных условий задачи.
Данная задача относится к задачам СМО с ограниченной очередью.
Для имитационного моделирования СМО поста ДПС используется система GPSS. Вводятся некоторые допущения. Так как инспектор оформляет протокол в среднем за 12 минут, то вместо пяти инспекторов рассматривается один с временем оформления протокола 12/5=2,4 мин. Следовательно, задача сводится к одному прибору обслуживания с временем 2,4 мин. Очередь к посту ДПС должна быть не более четырех машин. Нарушают режим в среднем 35 машин в час, или 0,6 машин/мин, следовательно, машины поступают на пост ДПС каждые 1,6 мин. Модель такой системы представлена на рис. 3.
GUMMA 6000.00
Загрузка инспекторов MEN - 0,97; оштрафовано машин - 25; среднее количество машин в очереди - 3,42; среднее количество машин в системе - 3,42+4=7,42; среднее время в очереди - 7,07; сумма штрафа - 6000 р.
Для исследования за один день работы поста ДПС составляется таблица испытаний:
1 Varl 2 Var2 3 Var3 4 Var4 5 Var5
1 2 6,00 24750 6999 17751
2 4 3,00 49750 13999 35751
3 6 2,00 74750 20998 53752
4 8 1,50 99750 27998 71752
5 10 1,20 99750 34998 64752
6 12 1,00 99750 41997 57753
7 14 0,86 99750 48997 50753
где: Varl - количество инспекторов, Var2 - время обслуживания машин, Var3 - средняя сумма штрафов за день в р., Var4- средние затраты на пост ДПС за день в р., Var5 - средняя прибыль за день в р..
График поверхности зависимости суммы штрафов от количества инспекторов и времени обслуживания (Varl - количество инспекторов, Var2 - время оформления протокола):
Наибольшее значение суммы штрафа за один день достигается при максимальном количестве инспекторов и минимальном времени обслуживания.
График поверхности зависимости прибыли Var5 от средней суммы штрафа Var3 и средних затрат Var4:
Ш -20000
Наибольшее значение прибыли образуется при максимальной сумме штрафов и минимальной сумме затрат.
График зависимости прибыли Var5 от количества инспекторов Var1:
График средних(Таблицав 10м*10с)
Varl
Оптимальное количество инспекторов равно 8. Прибыль поста ДПС за один день при этом составляет 71752 р.
Список литературы
1. Афонин П. Система оптимизации на основе имитационного моделиро-
вания. http://www.bioinformatix.ru.
2. Математическое моделирование и оптимизация системы массового
обслуживания. httD://www.BestReferat.
УДК 519.234
В.А. Симахин, О.С. Черепанов
Курганский государственный университет
ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНОГО НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ПРОГНОЗА
Аннотация. В статье приводится исследование ро-бастного непараметрического алгоритма прогноза на основе взвешенного метода максимального правдоподо-
бия для разных моделей случайных стационарных процессов.
Ключевые слова: взвешенный метод максимального правдоподобия, робастное непараметрическое прогнозирование, эффективность оценок.
V.A. Simakhin, O.S. Cherepanov Kurgan State University
RESEARCH OF ROBUST NONPARAMETRIC ALGORITHMS FOR PREDICTION
Annotation. In paper we have researched robust nonparametric algorithms for prediction by weighted maximum likelihood method for different stochastic stationary models.
Key words: robust nonparametric prediction, weighted maximum likelihood method, effectiveness of estimates.
Введение
Задаче анализа и прогнозирования случайных процессов посвящено много работ [1-4]. В настоящее время существует достаточно большое число различных моделей случайных процессов. Неверный выбор модели или небольшие отклонения от нее, например, наличие выбросов, могут привести к тому, что полученные результаты по прогнозу будут далеки от истинных. Взвешенный метод максимального правдоподобия (ВММП) вместе с ядерными оценками позволяют получить эффективные робастные непараметрические алгоритмы прогноза, которые включают известные непараметрические алгоритмы [3] как частные случаи.
В данной работе приводятся результаты исследования эффективности робастных непараметрических оценок прогноза [4] для ряда моделей случайных стационарных процессов.
1. Постановка задачи
Пусть Xo,...,XN1 — последовательность случайных величин (выборка) из случайного стационарного процесса X(t) со слабой зависимостью. В качестве математической модели случайного процесса используется модель нелинейной авторегрессии вида:
X = m(Xt_m) + £,.,
Xi-m = (Xi-1,.., Xi-m )Г ,
где m( Xi-m ) — функция авторегрессии;
е: — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин.
Структура функции m( X. ) и закон распределения е: считаются неизвестными. Предполагается, что е: распределена симметрично относительно нуля.
Требуется оценить значение временного ряда на к шагов вперед.
2. Взвешенный метод максимального правдоподобия
Поиск оценок прогноза производится в классе условных М-оценок на основе эмпирических уравнений вида:
\щ(Х,в! XN_m )dFN (t / Х^ ) = 0, (1)
