Оптимизация геометрии высокоскоростного роликового подшипника при перекосах колец Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.822.6

ОПТИМИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИИ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО РОЛИКОВОГО ПОДШИПНИКА ПРИ ПЕРЕКОСАХ КОЛЕЦ

© 2009 Е.П. Жильников1, В.В. Макарчук2, А.Н. Пахомов2

1 Самарский государственный аэрокосмический университет 2 ОАО "Завод авиационных подшипников"

Поступила в редакцию 21.01.2009

В работе приводятся методики и результаты расчетов оптимальной внутренней геометрии высокоскоростных радиальных роликовых подшипников авиационных двигателей при перекосах колец. Приведены рекомендации по повышению работоспособности подшипниковых опор ГТД. Ключевые слова: подшипники качения роликовые, перекосы колец, внутренняя геометрия.

Работоспособность роликовых подшипников существенно снижается при перекосах колец подшипников в опорах авиационных газотурбинных двигателей, где перекосы возникают вследствие деформаций тонкостенных валов и корпусов в рабочих условиях.

Повышение работоспособности подшипников и снижение неравномерности распределения нагрузки по линии контакта при перекосе обеспечивается, как правило, профилированием образующей ролика [1-5]. Нами рассмотрено распределение нагрузки по линии контакта при перекосе роликов с различной формой бомбины. Показано, что у высокоскоростных подшипников при перекосах условия контактирования ролика с наружным и внутренним кольцами различны. Это необходимо учитывать при выборе образующей ролика и внутренней геометрии подшипника в целом. При этом беговую дорожку наружного кольца целесообразно выполнять цилиндрической, а профилировать только образующую роликов и беговую дорожку внутреннего кольца.

Рассмотрим характеристики трех типов роликов: цилиндрического, с радиусной бомбиной и с логарифмическим профилем бомбины. При этом с целью унификации исходных данных для всех профилированных роликов задаются лишь величина Лф , величина фаски у торца ¡Т а также длина цилиндрического пояска ¡с (рис. 1).

Для ролика с радиусной бомбиной радиус профиля образующей является константой и определяется по формуле:

Жильников Евгений Петрович, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры "Основы конструирования машин". Тел. (846) 267-46-12. E-mail: okm@ssau.ru. Макарчук Владимир Владимирович, исполнительный директор УК "ЕПК". Тел. (846) 312-26-71 Пахомов Александр Николаевич, инженер специального конструкторского бюро. Тел. (846) 312-29-63.

=

1Ф (Р - 1Ф )

2А

Для ролика с образующей, описываемой логарифмической кривой, профиль ролика определяется выбранным участком логарифмической кривой.

Для логарифмического профиля принимаем функцию

у = а ф ¡п [х/ (1Т + 1ф )).

При этом начало оси координат приводим к торцу ролика. Точка, соответствующая концу бомбины, будет иметь координату X = ¡т + ¡ф .

Тогда величина параметра логарифмического профиля определится по формуле:

А

аФ =

Ф

In [1ф/ Т +1) •

Радиус профиля является переменной величиной и в произвольной точке с координатой х определяется по выражению [6]:

яф = (1 + (у/сх )2 )3/у |с 2 у ¡дх'

После дифференцирования, подстановки и преобразований получим формулу для расчета радиуса кривизны профиля:

R ф -

(афф + х2 }'5

аФ х

Так как X > ¡т и, следовательно, аф << х в практических расчетах можно принять:

кф *х Vаф.

Профиль образующей беговой дорожки внутреннего кольца принимаем соответствующим типу профилированного ролика, т.е. цилин-

/

и

■

!

г

Рис. 1. Схема профиля бомбинированного ролика

дрическим, с радиусной бомбиной или с бомби-ной логарифмического профиля.

При этом с целью унификации исходных данных для всех профилированных колец задаются лишь величина бомбины Дк и длина ци-

/к

с, а также величина фаски !Тк у торцов кольца (рис. 2). При этом длину цилиндрического пояска принимаем одинаковой для кольца и ролика.

Для кольца с радиусной бомбиной радиус профиля является константой и определяется по формуле:

у = а

/п (х/ (/

Тк + / фк )).

При этом начало оси координат приводим к торцу кольца. Точка, соответствующая концу бомбины, будет иметь координату

х = / Тк + / фк .

Тогда параметр логарифмической кривой определится по формуле:

афк =

/П [(/ / Тк + 1) '

Кфк = (/к - /С V1

/8Д

фк

При этом длину /к рабочего участка беговой дорожки кольца определим с учетом фасок у торцов: /к = В - 2/Тк . Длину бомбины кольца определим по формуле: /фК = (/ к - /с )/ 2 .

Для кольца с образующей, описываемой логарифмической кривой принимаем функцию

Распределение нагрузки по линии контакта при перекосе роликов является неравномерным. Для его расчета разработаны достаточно точные методы [5,7], основанные на положениях теории упругости. Однако в связи с большой трудоемкостью вычислений для решения задач определения оптимального профиля образующей роликов и колец используем упрощенное решение.

Рис. 2. Схема профиля кольца с бомбиной

При этом область контакта ролика разбивается на п участков длиной Л1 = Iр /п . Приведенный радиус кривизны в каждом сечении в контакте ролика с кольцом определяется по формуле:

п = ЯЪЯ 2,

пр' " п 2, ± Яи

Здесь: Яу - радиус ролика в данном сечении; Я2, - радиус кольца. При этом знак плюс принимается для контакта ролика с внутренним кольцом, а минус - для контакта с наружным.

Здесь для внутреннего кольца принимаем знак минус, для наружного - плюс.

При определении радиуса ролика координаты сечений отсчитываем от начала бомбиниро-ванного участка.

Для цилиндрического ролика (рис.1)

Яи = А,/2 .

Здесь А* - номинальный диаметр ролика.

Для ролика с радиусной бомбиной получим:

Я

А* (К - 1ф - х % - х)

2

2 Я

ф

Яу =

А 2

пРи 1ф > х > 1р - 1ф;

при 1ф < X < 1р - 1ф .

2

Я =

ф 1п 1 + 1 при х < 1ф ;

1ф + 1т 4

при 1ф < X < 1р - 1ф;

А 1р + 1т - х Я. =+ ал1п-^-х > 1р - 1А

2

1ф + т приЛ^'р- 1ф

Я 2 в, =

- А* 2

'при 1ф <х < 1р - 1ф .

Для кольца с логарифмическим профилем бомбины получим:

п = й т - А* + а 1п х + ф + 1Т к - 1ф

Я 2 в, = -2-+ а фк -1-+1-

2 1фк + 1Тк

при х < 1ф ;

й - А

п т

Я 2 в, =

2

при 1ф < X < 1р - 1ф

/„ + - + 1-, - х

Я2в1 = йт А + 1Тк 1фк"1ф

2

х > I -1

фк

1фк + 1Тк

Для ролика с логарифмическим профилем бомбины получим:

А* , х + 1Т Яи, = -* + а ф 1п

Радиус наружного кольца во всех сечениях определяется по формуле:

Я2„ =(т + А* ))2 . Радиус не профилированного внутреннего кольца постоянный для всех сечений и определяется по формуле:

Я2в1 = ( - А* )2 .

Здесь А* - номинальный диаметр ролика, йт - средний диаметр подшипника.

Для кольца с радиусной бомбиной получим:

Я = йт - Р. Л ((V - 2х) - 1С )

2 в! " 2 (-10

при 1ф > х > 1р - 1ф;

при р

Зазор между профилями ролика и кольца при перекосе определяется, как показано на рис. 3. При этом х0 - координата точки, в которой 2 = 0 при § = 0, т.е. условной точки поворота ролика, зависит от формы ролика.

Зазор между профилированными поверхностями ролика и кольца может быть определен по формуле:

= Я0 - Яи + Я0 к - Я2в, +(х - х0 К .

Здесь Я0 и Я0к - радиус ролика и внутреннего кольца в сечении с координатой х0 .

Координату х0 определим из условия Ккх + Крх = Кв , где 0кх и 0рХ - углы между общей касательной к профилям кольца и ролика и осями кольца и ролика соответственно, 0в - угол перекоса ролика относительно оси внутреннего кольца.

Для не профилированных ролика и кольца х0 =0 при любом значении угла перекоса ролика относительно кольца. Радиус ролика в точке с координатой х0 равен ^ = А* /2 , радиус кольца в этой точке равен Я0к = ((т - А* )/2 .

Для роликов и колец с криволинейной бом-

Рис. 3. Схема перекоса ролика относительно кольца

биной предельные значения углов поворота относительно кромки цилиндрического участка

будут равны углам 0 и 0 наклона касатель-

к р

ной к соответствующей кривой в точке перехода к цилиндрическому участку.

Для роликов и колец с радиусной бомбиной

при X = 1ф имеем: 0р * (2Яф ) и

0К * /о/(2Яфк ). Тогда при 0е <0К + &р координата условной точки поворота ролика, определится как Х0 = /ф . Радиус Я0 ролика в точке с координатой Хо равен Э« /2 , радиус кольца в этой точке равен Яо к =(йт - В« )/ 2 . При 0в >0к + 0р углы наклона общей касательной к осям ролика и кольца в точке с координатой Хо будут равны:

0рх *(с/2 + 1ф - хо )/Яф - для ролика;

0кх *(с/2 + :ф - хо )/Як - для кольца.

Из условия 0кх + 0 рх = 0в после подстановки и преобразований получим:

хг

= /р/2 - Яхо 0

Тогда найдем

Хп

=(- «1 - Та

40ва 2

]/(40в).

личины деформаций в контактах в сечениях вдоль образующей ролика определяются по за-

висимости

8 = 8о - 2, где 8о

контактная

Здесь: /р = /с + 2/ф - расчетная длина ролика; Яхо = Яф ■ Як/(яф + Як ) - приведенный радиус кривизны профилей ролика и кольца.

Для роликов и колец с логарифмической бомбиной при х = /ф имеем:

0р = аф1 (/ф + /Т ) и 0к = афк/(/фк + :тк ).

Тогда при 0в < 0к + 0р координата условной точки поворота ролика, определится как Xо = /ф . Радиус Яо ролика в точке с координатой Хо равен Б« /2 , радиус кольца в этой точке равен Я о к = т - Б«, )) 2 . При 0в > 0к + 0р углы наклона общей касательной к осям ролика и кольца в точке с координатой Хо будут равны:

0рх = аф I(хо + 1Т ) - для ролика;

0кх = афк/(хо + :фк - /ф + :тк ) - для кольца.

Из условия 0кх + 0 рх = 0в после подстановки и преобразований получим уравнение второго порядка:

0вхо + а1 хо + а2 = о.

Здесь:

а1 = ((/фк - :ф + :Тк + Т )0в - аф - афк )

а2 = ((/Фк - :ф + :Тк \/Т0в - аф )- ак:Т ).

деформация в точке с координатой Хо. По величинам деформаций определяются нагрузки в контактах в каждом сечении. При этом перекосы ролика относительно колец будут определяться условиями равновесия его под действием нагрузки, распределенной по линиям контакта и центробежной силы ролика.

С другой стороны по аналогии с гипотезой Винклера о пропорциональности деформаций нагрузкам в данной точке приближенно деформации в каждой точке линии контакта можно определить по формуле:

8, = 2Ег (а, + аш )/(п ■ А).

При этом: а, = ц(1п (2 Я21/Ъ1)+ о,4о7 ) ,

а^ = ) (/п (2 Яи/Ъ )+ о ,4о7 ), Ъ = 2^Е1 (п + Г« )Япр11 (п-А).

Здесь П и Г)«, - характеристики модулей упругости, определяемые по формулам:

п

= (1 -в2)/Е и п« =(1 -в2«)/Е

По условию совместности перемещений ве-

где Е и Е« - модули упругости, в и в« - коэффициенты Пуассона для материалов кольца и ролика соответственно.

При этом условие равновесия ролика в контакте можно написать в виде:

Е = 1^. .

г=1

Здесь Еп - нагрузка в контакте ролика с кольцом.

Решение приведенной системы уравнений выполняется численно последовательными приближениями. В качестве начального приближения принимается

8о = 2 Еп (а о + а«о )/(п- /« ).

Здесь: ао = )(/п(2 Я2о /Ъо )+ о,4о7 ),

а« о =Г« (/п (2 Яю/ Ъо)+ о,4о7 ),

Ъо = 2V Еп (П + П )Я пр о/(п ■/« ) , Яш

- радиус ролика, Я2о - радиус кольца и Япро -приведенный радиус кривизны в точке с координатой Хо.

Для всех точек линии контакта ролика с кольцом определяются величины 21 и 8{ по приведенным выше формулам.

При 8, < 0 принимается Е1 = 0, иначе значение нагрузки определяется методом простой итерации по формулам:

и

Ъ = 2^1 Е (п + п )Япр,1 (п-Л!);

аг =п(!п(2Я20=,/Ъ, )+ 0,407 ); аш =п№ (П (2 Яи/Ъ1 ) + 0,407 );

Е = (п51 Л!)/(2(аж + а,)).

В качестве начального приближения принимается Е = Рп/п . Если относительная погрешность - Е0 )/Е, | превышает заданную величину, принимается Е0 = Е ^ и расчет повторяется.

Условия равновесия сил, действующих на ролик, имеют вид:

е = е + е ,

Н 6 С '

п п

X Ен,х, = X Е6,х, + рс !Р/2.

, = 1 , = 1

Здесь: Е6 и Ен - нормальные нагрузки в контактах ролика с внутренним и наружным кольцами, и Ен, - значения нагрузок в точках с координатами х, .

При относительном перекосе колец 0 значения перекоса ролика относительно внутреннего и наружного колец определяются из решения приведенной системы уравнений равновесия ролика методом хорд. В качестве начального приближения принимается перекос ролика относительно внутреннего кольца 06 = 0/2 . Вычисляется значение перекоса ролика относительно наружного кольца 0Н = 0 - 06. По приведенной ранее методике определяются нагрузки Е ■

И FHi И МОМеНТЫ X Feixi И X FHi Xi .

i=i i=1

Условие равновесия ролика проверяется по соотношению:

±Fmx-^Fmxl ]/{Fclp/ 2 )- 1 < 0,001 .

i = 1 i = 1 )/

При невыполнении условий равновесия уточняется значение 0в и расчет повторяется.

В качестве критерия оптимизации профиля бомбины примем условие: напряжение на кромке ролика (сечение 1) при перекосе не должно превышать среднее значение контактных напряжений, определяемое по известным зависимостям [8] без учета перекоса колец:

с „„ =

_1_

п

I Fв Е прв l p R прв

ренним кольцом;

с = —

нт

П

FнЕ прн

l R

p прн

для контакта с внут-

- для контакта с на-

При этом усилие в контакте максимально нагруженного ролика с внутренним кольцом определим по формуле: Ев = 4,6 Ег /г .

Усилие в контакте с наружным кольцом будет равно: Ен = Е6 + Ес.

Приведенный модуль упругости определим по формуле:

Е =

прв

П

(1 -^2 )) +(1 -el )/EM

контакта с внутренним кольцом;

Е......= П

для

прн

- для

контакта с наружным кольцом.

Приведенный радиус кривизны определим по формуле:

RпРв = Dw (1 -у)/2

для контакта с внут-

пр6

ренним кольцом;

Япрн = (1 + х)/2 - для контакта с наружным кольцом.

Здесь у = .

Для определения величин бомбины для ролика и для кольца составим уравнения:

и, (Лф ,ЛК )=^н 0-°нт = 0 и и 2 (Лф Л (1)-^вт = 0.

Здесь ав (1) и ан (1) - напряжения в сечении 1 у кромки ролика при перекосе.

Для решения полученной системы нелинейных уравнений применим метод Ньютона. При этом значения производных указанных функций определим как отношение приращений этих функций к приращениям аргументов.

В качестве начальных приближений аргументов Лф и Лк принимаем значения, при которых напряжения у кромки ролика больше нуля.

Обозначим начальные значения функций: ит = и (Лф ) и

и20 = и2 (Лф Л ).

Тогда приращения функций определим как

ружным кольцом.

разность:

и1ф = U (Лф + 44)-U-

и2ф = и2 (Лф + л,л )-и

U1k = U (Лф ,4 + л)-u

U2к = U2 (Лф 4к +Л)-U

10 .

20 .

10 ,

20 .

1

Определитель системы найдем по формуле:

ОРг = и1ф • и2К - и1к • и2ф .

Уточненные значения величин бомбины ролика и кольца определим по формулам:

Лф =Лф +(и 20 ■ и 1к - и 10 • и 2 к )-А/Орг ; Ак = А + (и 10 ■ и2ф - и20 ■ и 1ф )■ л/Орг.

Процесс повторяется до достижения заданной точности вычисления критерия оптимизации, приведенного выше:

и 1 (Лф ,Лк (1)-°нт = 0 и

и2(Лф,Лк)^ав(1)-авт = 0.

В качестве примера рассмотрим результаты расчета межвального роликового подшипника 5-272822Р2 при следующих исходных данных: d = 110 мм, О = 140 мм, О = 8 мм, I = 10 мм, ¡с = 1 ^ 5 мм, ¡Т = 0,5±0,2 мм, Лф = 0,002 ^ 0,012 мм.

Частота вращения внутреннего кольца Пв = 10200 об./мин., наружного - Пн = 13300 об./мин. Радиальная нагрузка на подшипник Ег =7 кН. Перекос внутреннего кольца относительно наружного принимался равным 0 =1 ^ 8 минут.

На рис. 4 приведены результаты расчета величины бомбины у ролика и у внутреннего кольца в зависимости от длины цилиндрического участка. Видно, что величина бомбины мало за-

длина участка

Рис. 4. Зависимость величин бомбины ролика и внутреннего кольца от длины цилиндрического участка

Рис

5 6 7

угол перекоса, мин.

5. Зависимость величин бомбины ролика и внутреннего кольца от угла перекоса колец подшипника

висит от длины цилиндрического участка профиля ролика и кольца.

Значительно более существенной является зависимость величины бомбины от величины угла перекоса колец, приведенная на рис. 5.

Таким образом, разработанная методика позволяет оптимизировать величину бомбины ролика и колец и, следовательно, повысить работоспособность подшипника при перекосе колец.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харрис Т.А. Влияние перекоса на усталостную долговечность цилиндрических роликоподшипников с закругленными роликами // Проблемы трения и смазки. 1969. №2. С. 62-67.

2. Галахов М.А. Влияние перекоса колец на распределение давления вдоль образующей цилиндрического ролика // Труды ВНИПП. 1976, №2, С. 14-17.

3. Беркович М.С. Долговечность подшипников качения в условиях несоосности их колец // Вестник машиностроения. 1983. №10. С. 9-12.

4. Орлов А.В. Опоры качения с поверхностями сложной формы. М.: Наука, 1983. 125 с.

5. Галахов М.А., Бурмистров А.Н. Расчет подшипниковых узлов. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

6. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев, Наукова думка, 1973. 743 с.

7. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 510 с.

8. Черменский О.Н., Федотов Н.Н. Подшипники качения: Справочник-каталог. М.: Машиностроение, 2003. 576 с.

OPTIMIZATION OF THE GEOMETRY OF HIGH-SPEED BEARING WITHIN RING MISALIGNMENTS

© 2009 E.P. Zhilnikov1, V.V. Makarchuk2, A.N. Pahomov2

1 Samara State Aerospace University 2 OJSC 'Aviation Bearing Plant", Samara

In the work were used methods and results of the calculation of the optimization of the inner geometry of high- speed radial roller bearings in the aviation engines within ring misalignments. Recommendations to raise the capacity for the work of the bearing support in the GTE. Key words: roller bearings, ring misalignments, inner geometry.

Evgenii Zhilnikov Petrovich, Candidate of Technics, Associate Professor, professor at the Design Basics machines Department. Tel. (846) 267-46-12.

Vladimir Makarchuk, EPK Special Bearings Division Director. Tel. (846) 312-26-71.

Alexander Pahomov, an Engineer of the Special Design Bureau. Tel. (846) 312-29-63.