Оптимизация формы планера ракеты для увеличения максимальной дальности её полёта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.677; 623.462.12; 531.55.011

ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ПЛАНЕРА РАКЕТЫ ДЛЯ УВЕЛИЧЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОЙ ДАЛЬНОСТИ ЕЁ ПОЛЁТА

А.Н. Маршавин, С.Ю. Симаков

Рассматривается увеличение максимальной дальности полёта двухступенчатой бикалиберной ракеты с аэродинамическим управлением путём изменения формы её планера. Значения определяющих её параметров, обеспечивающие наибольшую максимальную дальность полёта, вычисляются с помощью оптимизации. Для проведения оптимизации выбраны методы сопряжённых градиентов, золотого сечения и внешней штрафной функции. Составлена целевая функция и разработано необходимое программное обеспечение.

Ключевые слова: оптимизация, форма планера ракеты, метод сопряжённых градиентов.

Важнейшей баллистической характеристикой ракеты является максимальная дальность полёта. Её стремятся увеличить, чтобы иметь возможность поразить противника на не досягаемом для него расстоянии. На дальность влияет большое число взаимосвязанных факторов. По природе действующих на ракету сил можно выделить три группы способов повышения её дальности:

- изменение энергетических характеристик двигателя;

- изменение аэродинамических сил и моментов;

- изменение массы, моментов инерции, положения центра масс.

Объектом данной работы является двухступенчатая бикалиберная

ракета-прототип с аэродинамическим управлением. Задача: так изменить форму планера только её маршевой ступени (и тем самым аэродинамические силы и моменты), чтобы обеспечить как можно большую дальность полёта с учётом ограничений на массу, внутренний объём и габариты ракеты при заданном законе управления.

Такая постановка задачи требует проведения оптимизации (оптимизация - определение значений параметров, обеспечивающих максимальное или минимальное значение целевой функции при соблюдении заданных ограничений). Целевая функция - функция параметров объекта или процесса, для которой требуется найти оптимум.

Схема маршевой ступени ракеты-прототипа представлена на рис. 1.

Ограничения составляют:

- на увеличение массы 5 %;

- на уменьшение внутреннего объёма 5 %;

- на увеличение длины ракеты 5 %.

Изменяемые геометрические параметры маршевой ступени (МС):

- длина носовой части /нос;

- длина первой цилиндрической части /циль

- длина кормовой части /к0рм ;

- длина второй цилиндрической части /цил2;

- диаметр донного среза dдн;

- длины консолей /к1, бортовой и концевой Ьк1 хорд и угол стреловидности % 01 рулей;

- длины консолей /к2, бортовой Ьб2 и концевой Ьк2 хорд и угол стреловидности % 02 крыльев.

Рис. 1. Маршевая ступень ракеты-прототипа

Прямых аналитических зависимостей между геометрическими параметрами планера и дальностью полёта нет, поэтому при оптимизации используются численные методы:

- метод сопряжённых градиентов (МСГ) - для определения направления поиска;

- метод золотого сечения - для нахождения минимума в определённом с помощью МСГ направлении;

- метод внешней штрафной функции - для обеспечения невыхода за ограничения.

Идея МСГ заключается в построении нового приближения х^+1 по следующей схеме:

хк+1 = хк + ккЧ, Ч = -V/ (хк)+-1,

Ьк = ^(Хк) ч2 , Ьо = 0, кк = агвш1п /(хк + к8к), V/ (хк-1 )2

где х - вектор варьируемых параметров; h - длина шага; s - вектор, определяющий направление поиска минимума; V - градиент.

Характерной особенностью этого метода является тот факт, что он приводит к точке минимума квадратичной целевой функции за число итераций, не более чем размерность задачи n, т. е. обладает квадратичной сходимостью. Несмотря на то, что последний алгоритм приведён для квадратичной функции, метод успешно может применяться и для неквадратичных функций, но при этом через каждые n шагов производят обновление метода, т. е. полагают вк = 0 при к = 0, n, 2n, ... . Метод сопряжённых градиентов, являясь по форме методом первого порядка (использует только первую производную) и поэтому простым в реализации, выгодно отличается от обычных градиентных методов тем, что он обладает, по существу, всеми достоинствами метода второго порядка (в том числе квадратичной сходимостью) [2].

Метод золотого сечения - численный метод поиска минимума функции на отрезке путём его постепенного уменьшения. Золотым сечением принято называть деление отрезка на две части так, чтобы отношение всего отрезка к его большей части равнялось отношению большей части к меньшей. Благодаря этому свойству, на каждом шаге, кроме первого, требуется только одно вычисление функции.

Методы штрафных функций заключаются в добавлении к целевой функции f(х) некоторых «штрафов» 8(х) при выходе за ограничения (внешняя штрафная функция) или приближении к ним (внутренняя штрафная функция). Так оптимизация функции f(x) с учётом ограничений g(x) сводится к оптимизации функции f(x) + 8(х), что упрощает решение.

Введём целевую функцию

g - ограничиваемая величина; - граничное значение этой величины;

&тт, g тах_ минимальное и максимальное значения этой величины.

Для проведения оптимизации формы планера было разработано программное обеспечение в системе МаШсаё (программы расчёта параметров атмосферы, аэродинамических характеристик, дальности, ограничений и оптимизации) на основе методик, приведённых в [1 - 3]. Блок-схема алгоритма оптимизации представлена на рис. 2.

где D(x) -

G =

к (g - g гр )2

, если g £ (gmin; g max ). 0, если g e (gmm;g max

max/' к - эмпирический коэффициент;

( Конец )

Рис. 2. Блок-схема алгоритма оптимизации

На рис. 2 еу - критерий остановки (максимальная разница между

последним и предпоследним значениями целевой функции).

Оптимизация привела к следующим результатам (таблица):

- увеличению длин носа и кормы, что уменьшило лобовое сопротивление;

- увеличению размеров рулей, что увеличило управляющий момент;

- уменьшению размеров крыльев, что уменьшило стабилизирующий момент.

Результаты ^ оптимизации

Параметр Старое значение (относительное) Новое значение (относительное)

Длина носовой части 1,0 1,20

Длина первой цилиндрической части 1,0 0,98

Длина кормы 1,0 1,31

Длина второй цилиндрической части 1,0 0,96

Диаметр донного среза 1,0 0,97

Длина консолей руля 1,0 1,10

Длина бортовой хорды руля 1,0 1,17

Длина концевой хорды руля 1,0 1,98

Угол стреловидности руля по передней кромке 1,0 1,01

Длина консолей крыла 1,0 0,88

Длина бортовой хорды крыла 1,0 0,97

Длина концевой хорды крыла 1,0 0,91

Угол стреловидности крыла по передней кромке 1,0 1,00

Масса МС 1,0 0,99

Внутренний объём МС 1,0 1,03

Длина МС 1,0 1,05

Максимальная дальность 1,0 1,25

При этом дальность полёта ракеты возросла на 25 %, масса МС уменьшилась на 1 %, объём МС увеличился на 3 %, длина МС увеличилась на 5 %, т.е. ограничения были соблюдены, а поставленная задача решена.

Список литературы

1. Лебедев А. А., Чернобровкин Л.С. Динамика полёта беспилотных летательных аппаратов: учебное пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1973. 616 с.

2. Основы синтеза систем летательных аппаратов: Учеб. пособие для студентов втузов / А. А, Лебедев [и др.]; под ред. А. А. Лебедева. М.: Машиностроение, 1987. 224 с.

3. Лимонникова Е.В. Математические методы. Часть 2. Северодвинск, 2008. 31 с.

Маршавин Алексей Николаевич, инженер, marschavin. alexei@yandex. ru, Россия, Тула, АО «КБП»,

Симаков Сергей Юрьевич, начальник отдела, susim@mail.ru, Россия, Тула, АО «КБП»

OPTIMIZA TION OF THE FORM OF THE ROCKET AIRFRAME FOR INCREASING THE

MAXIMUM RANGE OF ITS FLIGHT

A.N. Marshavin, S.Yu. Simakov

The paper considers an increase in the maximum range of flight of a two-stage two-caliber rocket with aerodynamic control by changing the shape of its airframe. The values of parameters determining it, ensuring the greatest maximum flight range, are calculated using optimization. For the optimization, the methods conjugate gradients, golden section and external penalty function are chosen, the criterion function is made and the necessary software is developed.

Key words: optimization, the form of the rocket airframe, the method of conjugate gradients.

Marshavin Alexey Nikolaevich, engineer, marschavin. alexei@yandex. ru, Russia, Tula,, JSC «KBP»,

Simakov Sergey Yurievich, chief of department, susim@mail.ru, Russia, Tula, JSC

«KBP»