CC BY
57
УДК 519. 813.7 Л.А. Максименко СГГ А, Новосибирск
ОПТИМИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
L.A. Maksimenko
Siberian State Geodetic Academy
Novosibirsk
EXPERIMENTAL INVESTIGATION OPTIMIZATION BASED ON MATHEMATICAL PLANNING METHODS
Application of mathematical experiment planning methods makes possible to obtain a considerably larger body of information than that in the ordinary experiment. And we are presented with a new possibility to assess an influence of each of the factors upon the response function.
В настоящее время для целей строительства производится много новых материалов, в том числе и на базе неделовой древесины и отходов деревообработки. К таким материалам относят древесностружечные, цементностружечные, древесноволокнистые плиты, фибролит, арболит, а также изделия на основе древесной муки - термопластичные древеснополимерные композиционные материалы. Исследование свойств новых материалов, как известно, проводится на основе экспериментальных исследований. Экспериментом называют совокупность операций производимых над объектом исследования с целью извлечения информации о его свойствах. Эксперимент может быть активным, если исследователь имеет возможность менять условия проведения опытов, в противном случае эксперимент - пассивный. Одной из главных задач обработки результатов эксперимента является задача построения математической модели. Другой задачей обработки полученной информации является задача оптимизации, т.е. определение сочетания влияющих факторов, при котором заданный показатель оптимальности имеет экстремальное значение.
Планирование эксперимента представляет собой целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизмов и процессов изучаемого явления. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и оценить ее адекватность. Целью планирования эксперимента является определение условий проведения опытов для получения наиболее достоверной информации об объекте. Применение методов математического планирования эксперимента позволяет получить значительно больший объем информации, чем при обычном эксперименте. При этом представляется возможность оценить влияние каждого из параметров на функции отклика. Термины и определения, относящиеся к
методам планирования эксперимента, приняты в соответствии с нормативными документами. Выбор факторов и уровней варьирования определяется целями исследования. Планирование эксперимента предполагает наличие модели и критериев оптимальности. Выбор модели почти всегда основан на анализе априорной информации. Следует отметить универсальность матриц планирования, то есть возможность получения по одной матрице различных функций отклика при использовании одних и тех же методов обработки.
В качестве примера, рассмотрим экспериментальные исследования с целью изучения кратковременной прочности фанеры марки ФСФ ^см(вр)) при смятии ее в отверстии жесткими штампами с использованием методики математического планирования. При выборе числа и условий экспериментов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи, применены методы математического планирования. Из анализа априорной информации решили построить квадратичную модель и в качестве исходного плана принять некомпозиционный план тина ВВз Бокса - Бенкина. Варьируемыми переменными являлись толщина образцов, диаметр отверстия, направление волокон наружного шпона фанерной пластинки. Преобразование размерных управляемых факторов в безразмерные нормированные выполнено по формуле перехода:
-дО/Лх,., (1)
где 21 - безразмерное значение фактора;
XI - натуральное значение фактора;
х0 - натуральное значение фактора на нулевом уровне;
Ахг- - интервал варьирования факторов.
Уровни варьирования и их кодированные значения приведены в табл. 1.
Таблица 1
Факторы варьирования X Уровень варьирования Интервал варьирования
Нижний -1 Нулевой 0 Верхний +1
Диаметр отверстия, см X! 0,4 0,8 1,2 0,4
Толщина образца, см X2 0,8 1,0 1,2 0,2
Направление волокон Хз 0о 0о 0о 0о
Функция отклика, соответствующая плану эксперимента, имела вид: к к к У = а0 + Т, + Е а0- ■ у^ + Т аи • х* , (2)
г= 1 г> j г =1
где у - отклик;
а0, аи ц - коэффициенты регрессии;
хи х,■ - нормированные значения факторов.
Пользуясь уравнением (2), можно определить значение функции отклика в любой точке факторного пространства, а также оценить степень влияния каждого фактора на выход у. Образцы изготавливали в соответствии с матрицей планирования эксперимента, которая приведена в табл. 2.
Таблица 2
Тлан Натуральные значения факторов
№ Х1 Х2 Х3 Диаметр, см Толщина, см Направление волокон, град.
1 +1 +1 0 1,2 1,2 45
2 +1 -1 0 1,2 0,8 45
3 -1 +1 0 0,4 1,2 45
4 -1 -1 0 0,4 0,8 45
5 +1 0 +1 1,2 1,0 90
6 +1 0 -1 1,2 1,0 0
7 -1 0 +1 0,4 1,0 90
8 -1 0 -1 0,4 1,0 0
9 0 +1 +1 0,8 1,2 90
10 0 +1 -1 0,8 1,2 0
11 0 -1 +1 0,8 0,8 90
12 0 -1 -1 0,8 0,0 0
13 0 0 0 0,8 1,0 45
14 0 0 0 0,8 1,0 45
15 0 0 0 0,8 1,0 45
Для испытаний выбрана семислойная и девятислойная фанера толщиной 8, 10 и 12 мм отвечающая требованиям, предъявляемым к сорту В/ВВ согласно ГОСТ 3916—69. Фанера клееная. Для получения сопоставимых результатов из каждого листа изготавливали группы образцов с ориентацией волокон наружных шпонов вдоль, поперек и под углом 45° к продольной оси образца. Исследования проводили на испытательной машине Р-5 с ценой деления шкалы силоизмерителя 20 Н, при непрерывно возрастающей нагрузке со скоростью роста напряжений смятия 40 МПа/мин. Испытания осуществляли загружением выступающих концов цилиндрических штампов, поставленных без натяга в отверстия образцов, имеющих диаметр 4,8 и 12 мм. Нагрузку передавали таким образом, что образец в целом работал на растяжение. Обработка результатов испытаний проводилась по специально разработанной программе «ПЛАН». В результате для функции отклика Ксм(Вр) получили уравнение регрессии следующего вида:
у = 61,1 - 16,5X1 - 3,8Х2 + + 4,8X13 + 3,9Хц + 1,1Х22 - 5,6Х33.
По величинам и знакам коэффициентов регрессии проводился анализ полученных уравнений. Так, фактор Х1, - диаметр отверстия оказывает на прочность материала при смятии в отверстии наибольшее влияние. При изменении диаметра отверстия от 4 до 12 мм прочность снижается на 30-35 %. При изменении толщины материала от 8 до 12 мм прочность изменяется на 5-7 %. Установлено также, что при изменении направления действия
усилия относительно главной оси образца в пределах от 0 до 45° прочность фанеры при смятии в отверстии увеличивается. Полученные результаты необходимы, при использовании фанеры в качестве конструкционного материала, а также в расчетах фанерных элементов при производстве мебели.
В качестве вывода можно отметить, что представленная выше методика вполне приемлема в исследованиях прочностных свойств листовых материалов полученных на базе неделовой древесины и отходов деревообработки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вознесенский, В.А. Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях. - 1-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика,1981. - 263 с.
2. Монтгомери, Д.К. Планирование эксперимента и анализ данных. - Л.: Судостроение, 1980. - 384 с.
© Л.А. Максименко, 2010
