CC BY
39
ТЕХНОЛОГИЯ
УДК 519.25:637:664
Оптимизация
экспериментального моделирования новых рецептур напитков методами математической статистики
В. К. Семипятный,
канд. техн. наук; А. Е. Рябова,
канд. техн. наук; О. С. Егорова; Р. Р. Вафин,
д-р техн. наук ВНИИ пивоваренной, безалкогольной и винодельческой промышленности -филиал ФНЦ пищевых систем им. В. М. Горбатова РАН
Математические методы имеют основополагающее значение при создании моделей пищевых продуктов, в проектировании их новых видов, обработке результатов испытаний [1-4]. Современное научное сообщество при построении новых рецептур напитков идет путем оцифровки материала с получением оптимальных сочетаний компонентов рецептуры, выведенных с помощью обработки множества процессов, протекающих в продукте [5-8].
В последнее десятилетие наблюдается резкое расширение ассортимента продуктов, что связано с желанием производителей максимально удовлетворить потребительский спрос [9-11]. Эти продукты обладают сложной рецептурой, а некоторые компоненты совмещаются лишь при строгом соблюдении технологических режимов, что позволяет достичь требуемого качества [12]. В связи со сложностью и многокомпонентно-стью поступающих на рынок продуктов, перспективным представляется применение методов математической статистики при проектировании новых напитков, как предлагающих адекватную оценку поведения финального продукта при минимизации эксперимента на пространстве возможных значений компонентов.
Самый популярный прикладной метод оценки результатов экспериментов — построение уравнения регрессии [1]. Неоспоримым преимуществом метода можно назвать
получение математической модели процесса, автоматически экстраполирующей результаты за пределы накладываемых на исследуемые компоненты ограничений, а также интерполирующей поведение модели на значения, расположенные между полученными опытным путем, что существенно экономит ресурсы на проведение эксперимента. Недостатком можно обозначить низкую точность и принципиально неприменимый в реальности результат при неверном подборе функции регрессии, а также неверно составленном плане эксперимента. Этих ошибок и других подводных камней, связанных с расчетами регрессионных моделей, можно легко избежать, если привлечь к подготовке планов моделирования специалиста по математической статистике.
Оптимальным с точки зрения консенсуса между трудозатратами на проведение эксперимента и точностью интерпретации полученного результата представляется квадратичная модель регрессии с построением полного факторного плана эксперимента [1]. Регрессионное уравнение для данной модели в общем виде имеет вид (пример для трех факторов):
у ^ ^ Хъ) = а0 + + а2 Х2 +
+ аъ Х3 + а12 Х1Х2 + а13 Х1Х3 + + а23Х2Х3 + а123 Х1Х2Х3 + а11Х2 + а22 Х2 + аз3 ^
(1)
где у — исследуемая функция; Х1, Х2, Х3 — факторы, которые, предполо-
жительно, оказывают существенное влияние на поведение результирующего продукта.
Для оценки сложности эксперимента предлагается простая формула расчета общего числа опытов для построения квадратичной модели регрессии:
N = 2' + 21, (2)
где N — количество опытов; ' — количество исследуемых факторов.
При этом не следует забывать, что каждый опыт должен иметь количество повторностей больше единицы, чтобы обеспечивать возможность установления факта равноточности и значимости проведенных опытов, что имеет критическое значение для применения критериев адекватности для полученной модели.
Основными статистиками при расчете регрессионной модели служат средние значения опытов и их дисперсии воспроизводимости; размах данных, необходимый для критерия отсева аномальных данных; критерий Кокрена для проверки равноточности опытов; критерий Фишера для установления адекватности полученного уравнения [1].
Если уравнение неадекватно, то следует увеличить порядок аппроксимации, перейдя, соответственно, на другой план эксперимента, либо использовать математические методы снижения крутизны полученной функции.
Особо следует учитывать параметр доверительной вероятности при подсчете статистик. Рекомендуемые значения параметра для различных задач:
• а > 0,99 — если речь идет об особо ответственных экспериментах, связанных с установлением норм безопасности в технике и технических процессах;
• а > 0,95 — классическое неравенство в аналитических экспериментах, применяется также при аттестации методик;
• а > 0,9 — используется при описании технологических процессов в индустрии напитков.
В качестве примера несложного расчета модели приведем эксперимент, в котором определяли зависимость процента перешедшего в раствор сухого молочного продукта от времени восстановления и температуры воды (подробнее об эксперименте в [9]).
Таблица 1
Матрица технологического эксперимента
1, мин т, °с и И2 И3 И4 И5
120 60 8,896 9,00 8,71 8,82 9,00 8,95
30 60 8,552 8,68 8,47 8,53 8,62 8,46
120 20 8,414 8,42 8,45 8,37 8,53 8,30
30 20 2,638 2,62 2,83 2,97 2,13 2,64
120 40 8,818 8, 8 8,69 8,80 8,91 8,85
30 40 7,362 7,24 7,55 7,36 7,15 7,51
75 60 8,776 8,85 8,65 8,79 8,88 8,71
75 20 5,338 5,32 5,35 5,67 5,23 5,12
Таблица 2
Матрица полного факторного плана эксперимента для квадратичной модели с двумя факторами
Х0 х1 Х2 Х1 Х2 х2 х2
1 1 1
-1 1 -1 1
-1 -1 1
-1 -1 1 1
0 0 0
-1 0 0 0
0 1 0 0 1
I 1 0 -1 0 0 1
■ ггуипппгма
Матрица эксперимента представлена в табл. 1. В данном эксперименте ..., Я5 — доля перешедшего в раствор молочного продукта, %; Я — среднее значение для опыта, индекс обозначает номер повтор-ности опыта.
Опуская подробности расчета, необходимо отметить, что все данные признаются значимыми, по критерию Кокрена опыты признаются равноточными. По формуле расчета получаем коэффициенты уравнения регрессии:
Ь = (Х*Х)-1Х*^ =
= (8,02; 1,26; 1,64; (3)
- 1,36; 0,07; -0,97),
где Ь — вектор-столбец коэффициентов регрессии; Х — приведенная матрица плана эксперимента (табл. 2); Y — вектор-столбец средних значений опытов.
Проверив адекватность уравнения по критерию Фишера, приходим к выводу, что оно удовлетворяет нашим математическим требованиям. В финальном виде уравнение имеет вид:
У(г, Т) = 8,02 + 1,26? +
- 1,64 Т - 1,36Т + (4)
+ 0,07? 2 - 0,97т2,
где у — массовая доля молочного продукта в растворе, %; ? — время растворения, мин; Т — температура воды, °С.
Графически уравнение изображено на рисунке. Точками отмечены реальные данные. Входные параметры, температура и время, указаны в приведенных значениях, где -1 соответствует минимальному значению в интервале, 0 — среднему, а 1 — максимальному, в соответствии с приведенной матрицей плана, (см. табл. 2). По данным рисунка можно убедиться в одном из преимуществ регрессионного подхода — интерполяции данных внутри исследуемого интервала значений.
Несложно показать, что в опытных точках уравнение с достаточным уровнем точности приближает реальные данные, и мы можем считать математическую обработку успешно завершенной.
В заключение необходимо отметить важность предварительного планирования, так как проведение эксперимента в точках, незначимых относительно построения уравнения
3•2018 ПИВО и НАПИТКИ 49
ТЕХНОЛОГИЯ'
6
4 1
-0,5
-0,5
-1 -1
Графическая интерпретация приведенного уравнения регрессии
регрессии, ведет к прямым потерям людских и материальных ресурсов, не добавляя существенной информации для построения модели, описывающей процесс; а отсутствие экспериментальных данных в ключевых для регрессии реперных точках ведет к критической потере точности приближения до степени, неприемлемой научным сообществом. Следует отметить, что применение
данных подходов позволяет существенно оптимизировать множество методологий оценки качества, в том числе, повысить эффективность визуализации материала [13].
ЛИТЕРАТУРА
1. Фетисов, Е. А. Планирование и анализ результатов технологических экспериментов / Е. А. Фетисов [и др.]. — М.: Изд. дом «Сталинград», 2015. — 98 с.
2. Галстян, А. Г. Алгоритм расчета теплового баланса процесса восстановления сухого молока / А. Г. Галстян, В. К. Семи-пятный, С. Н. Туровская // Современные достижения биотехнологии. Актуальные проблемы молочного дела: материалы V междунар. научно-практич. конф. Северо-Кавказский федеральный университет, 2015. — С. 74-76.
3. Галстян, А. Г. К вопросу об усовершенствовании математического аппарата оценки коэффициента однородности кристаллов лактозы / А. Г. Галстян [и др.] // Научное обеспечение молочной промышленности микробиология, биотехнология, технология, контроль качества и безопасности. — М.: ФГБНУ «ВНИМИ», 2015. — С. 30-35.
4. Петров, А. Н. Оценка однородности консистенции молочных консервов при помощи коэффициентов устойчивости жировой фазы / А. Н. Петров, А. Г. Галстян, А. Ю. Золотин // Хранение и переработка сельхозсырья. — 2006. — № 6. — С. 30-32.
5. Хуршудян, С.А. Качество сырья и потребительские качества пищевого продукта / С. А. Хуршудян, А. В. Орещенко // Пищевая промышленность. — 2013. — № 6. — С. 40-41.
6. Галстян, А. Г. Развитие научных основ и практические решения совершенство-
8
0
0
Т
'ТЕХНОЛОГИЯ
вания технологий, повышения качества и расширения ассортимента молочных консервов: автореф. дис. ... д-ра техн. наук / А. Г. Галстян. — М.: Всероссийский научно-исследовательский институт мясной промышленности им. В. М. Горбатова, 2009. — 50 с.
7. Хуршудян, С. А. Матрица маркеров — основа идентификации натуральных продуктов / С. А. Хуршудян // Пищевая промышленность. — 2008. — № 5. — С. 13-14.
8. Хуршудян, С. А. Идентификационные признаки пищевых продуктов / С. А. Хур-шудян // Пищевая промышленность. — 2008. — № 11. — С. 40-42.
9. Семипятный, В. К. Совершенствование технологии восстановления сухих молочных продуктов: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.18.04 /В. К. Семипятный. — Кемерово: Кемеровский технологический институт пищевой промышленности, 2014. — 18 с.
10. Хуршудян, С. А. Качество пищевых продуктов. Термины, определения и противоречия / С. А. Хуршудян, А. Г. Галстян // Контроль качества продукции. — 2018. — № 1. — С. 48-49.
11. Семипятный, В. К. Совершенствование процесса растворения сухого молока: математическое моделирование си-
стемы «множество частиц-жидкость» / В. К. Семипятный, М. Н. Стрижко, А. Г. Галстян // Молочная промышленность. — 2013. — № 12. — С. 36-37.
12. Хуршудян, С. А. Качество сырья и потребительские качества пищевого продукта / С. А. Хуршудян, А. В. Орещенко // Пищевая промышленность. — 2013. — № 6. — С. 40-41.
13. Точилина, Р. П. Особенности минерального состава донских вин и виноматериа-лов как идентификационный показатель места происхождения / Р. П. Точилина [и др.] // Виноделие и виноградарство. — 2016. — № 3. — С. 14-16. &
Оптимизация экспериментального моделирования новых рецептур напитков методами математической статистики
Ключевые слова
математическая статистика; регрессия; рецептура напитков. Реферат
В статье рассмотрен классический метод моделирования новых рецептур напитков с применением математического подхода, указаны способы оптимизации проведения эксперимента при построении рецептур. Приведены аналитические доводы использования методики планирования эксперимента, а также справочная информация по области применения доверительных интервалов, критериям и статистикам, находящим наиболее употребительное значение в разработке новых рецептур и технологических методов производства напитков. Отдельно приведены способы построения таблиц планов экспериментов, с указанием оптимального количества опытных точек, минимизирующих материальные и человеческие затраты на получение экспериментальных данных. Указанные методы рассмотрены в совокупности с прикладным примером из области технологических процессов восстановления в индустрии напитков применительно к молочной продукции: расчет оптимального технологического режима производства напитка с использованием методов математической статистики. Пример содержит исчерпывающую информацию по этапам построения экспериментальных планов, перечисляет методы математической обработки, в частности, отсев аномальных данных после подсчета размаха данных, использование критерия Кокрена для подтверждения факта равноточности проведенных опытов, применение критерия Фишера для установления адекватности результирующего уравнения. Проведен расчет регрессионной модели, представлено приведенное к интервалу [0, 1] входных данных результирующее уравнение, представляющее зависимость массовой доли молочного продукта в растворе от температуры и времени растворения. Пример снабжен иллюстрацией графического анализа результатов регрессионного моделирования и таблицей полного факторного плана эксперимента для квадратичной модели с двумя факторами.
Авторы
Семипятный Владислав Константинович, канд. техн. наук;
Рябова Анастасия Евгеньевна, канд. техн. наук;
Егорова Олеся Сергеевна;
Вафин Рамиль Ришадович, д-р техн. наук
ВНИИ пивоваренной, безалкогольной и винодельческой
промышленности - филиал ФНЦ пищевых систем им. В. М. Горбатова РАН,
119021, Россия, г. Москва, ул. Россолимо, д. 7,
semipyatniy@gmail.com, anryz@hotmail.com,
labvin@yandex.ru, vafin-ramil@mail.ru
Experimental Modeling Optimization: New Beverages Recipes Compositioning by Statistical Approach
Key words
mathematical statistics; regression; drink recipe. Abstract
The classical method of modeling new beverage formulations using a mathematical approach is considered in the article, methods for optimizing the experiment in the construction of recipes are indicated. Analytical arguments are given for using the technique of experimental design. Reference information is provided on the scope of confidence intervals, criteria and statistics, which are of the most common value in the development of new recipes and technological methods for the production of beverages. Separately, methods are given for constructing tables of experimental plans, indicating the optimal number of test points, that minimize the material and human costs of obtaining experimental data. The above mentioned methods are considered in conjunction with an applied example from the field of recovery processes in the beverage industry in relation to dairy products: the calculation of the optimal technological regime for the production of beverages using mathematical statistics. The example contains comprehensive information on the stages of constructing experimental plans, lists the methods of mathematical processing, in particular, the screening of anomalous data after the calculation of the range of data, the use of the Cochrane criterion to confirm the fact of the accuracy of the experiments, the use of the Fisher criterion to establish the adequacy of the resulting equation. The calculation of the regression model is carried out, the resulting equation reduced to the interval [0, 1] of input data is presented, representing the dependence of the mass fraction of the dairy product in solution on the temperature and dissolution time. Example is illustrated with graphical analysis of the results of regression modeling and a table of the full factorial design of the experiment for a quadratic model with two factors.
Authors
Semipyatniy Vladislav Konstantinovich, Candidate of Technical Science; Ryabova Anastasiya Evgenevna, Candidate of Technical Science; Egorova Olesya Sergeevna;
Vafin Ramil'Rishadovich, Doctor of Technical Science All-Russian Scientific Research Institute of Brewing, Beverage and Wine Industry - Branch of V. M. Gorbatov Federal Research Center for Food Systems of RAS,
7 Rossolimo Str., Moscow, 119021, Russia, semipyatniy@gmail.com, anryz@hotmail.com, labvin@yandex.ru, vafin-ramil@mail.ru
3•2018 ПИВО и НАПИТКИ 51
