Оптимизация автотранспортных маршрутов: эвристические алгоритмы и практика логистического менеджмента Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рогаткин А.Ю., Захаркина М.В.

УДК 330.4:656

оптимизация автотранспортных маршрутов: эвристические алгоритмы и практика логистического

менеджмента

В статье дана сравнительная оценка алгоритмов решения задачи транспортной маршрутизации. Описан двухфазный алгоритм решения таких задач, с использованием которого построены оптимальные кольцевые маршруты транспортных перевозок.

Ключевые слова: задача транспортной маршрутизации; задача коммивояжёра; оптимальный кольцевой маршрут; Гамильтонов цикл; точные, эвристические и метаэвристические алгоритмы; алгоритм Литтла; алгоритм зачистки.

A.Y. Rogatkin, M.V. Zakharkina

VEHICLE ROUTING OPTIMIZATION: HEURISTICS ALGORITHMS AND PRACTICE OF LOGISTICS MANAGEMENT

The article provides a comparative evaluation of Algorithms for Vehicle Routing Problem. A two-phase algorithm for solving such problems is described, which is using for designed Optimal Circle Routes for Vehicle.

Key words: Vehicle Routing Problem; Traveling Salesman Problem; Optimal Circle Route; Hamiltonian Cycle; Exacts, Heuristics and Metaheuristics Algorithms; Little's Algorithm; Sweep Algorithm.

V__' точки зрения практики управления, оптимизация автотранспортных

маршрутов представляет собой типовую задачу логистического менеджмента. Критерием оптимальности (целевой функцией) при этом является минимум суммарных затрат на перевозку, а ограничения задаются в зависимости от ситуации. Ими могут выступать грузоподъемность и вместимость транспортного средства, максимально возможный пробег за период времени (например, за день), минимальный объём груза, подлежащего перевозке и др. В этом случае искомый оптимальный вариант маршрута (при условии, что задача имеет непустое множество допустимых решений) является наилучшим с точки зрения целевой функции в рамках заданной системы ограничений.

Однако, с одной стороны, в практике российских транспортно-логистических компаний планирование маршрутов осуществляется, главным образом, на основе опытно-эмпирического (операционного) подхода, когда задача решается на основе имеющихся знаний специфики конкретной логистической ситуации. В этом случае выбранный вариант в математическом смысле не является оптимальным. Скорее, он представляет собой обобщённый результат оценки отдельных показателей транспортно-логистической системы. Недостатком данного подхода является отсутствие как чёткого критерия оптимальности, так и надёжного алгоритма решения задачи. С другой стороны, многочисленные исследования в данной области образовали особый класс задач транспортной маршрутизации (Vehicle Routing Problem), ставший разделом экономико-математического моделирования и формальной теории алгоритмов.

И это, во многом, не случайно. Так, ещё в 1736 г. Л. Эйлер поставил задачу о семи мостах [Кристофидес 1978: 228-229]. Классическую транспортную задачу в простейшем виде в 1781 г. поставил Г. Монж.

В 1859 г. УР. Гамильтон разработал головоломку «Кругосветное путешествие», которая больше известна как задача коммивояжёра (Traveling Salesman Problem). Данная задача, в формализованном виде описанная К. Менгером в 1929 г. [Гиндуллин 2013: 25], является наиболее интересной с точки зрения практического применения в транспортной логистике и сводится к построению оптимального кольцевого маршрута (Optimal Circle Route), проходящего через конкретные пункты один и только один раз с последующим возвратом в исходный пункт. Такой кольцевой маршрут представляет собой Гамильтонов цикл (Hamiltonian Cycle).

В 1940 г. Л.В. Канторовичем и М.К. Гавуриным была осуществлена формализация классической транспортной задачи, а для её решения предложен метод потенциалов [Канторович 2011: 439-462].

В терминах теории графов задача транспортной маршрутизации была сформулирована в 1959 г. Дж.Б. Данцигом и Дж. Рамсером [Dantzig, Ramser 1959]. Легко заметить, что в такой постановке она представляет собой задачу для k «коммивояжёров», под которыми понимаются транспортные средства (k > 0).

К настоящему времени применительно к задачам транспортной маршрутизации, сформулированным на основе теории графов, разработан внушительный арсенал методов и алгоритмов. Согласно общепринятой классификации, все они подразделяются на точные, эвристические и метаэвристические.

Точные алгоритмы (Exacts Algorithms) решения задачи в нелинейной постановке сводятся к выбору оптимального варианта из множества допустимых путём их последовательного перебора. Простейшим точным алгоритмом является алгоритм «грубой силы». Его основным недостатком служит медленная скорость реализации, что практически не позволяет использовать данный алгоритм при решении задач не только большой, но даже средней размерности.

Наиболее эффективный точный алгоритм решения задачи коммивояжёра, основанный на методе ветвей и границ, был предложен в 1964 г. группой авторов во главе с Дж. Литтлом [Little and others 1964]. Он строит дерево решений для перебора вариантов маршрута с отсечением тех из них, которые являются заведомо неоптимальными, длина которых больше или равна длине ранее построенного [Костюк 2013]. Алгоритм Литтла прекрасно работает при построении кольцевого маршрута для одного транспортного средства (k = 1). Однако он не позволяет осуществлять совместную оптимизацию кольцевых маршрутов нескольких транспортных средств (k > 1). Иными словами, данный алгоритм не предназначен для решения полной задачи транспортной маршрутизации.

Эвристические алгоритмы (Heuristics Algorithms) не имеют строгого математического обоснования и направлены на отыскание не оптимального, а приемлемого решения за приемлемое время. Классические эвристики, в значительной степени, основаны на методе локального поиска в окрестности некоторого улучшаемого решения. По мнению Т.С. Емельяновой, качество конечного решения определяется, с одной стороны, начальным решением, а с другой - используемым механизмом его улучшения [Емельянова 2009: 7].

Среди классических эвристических алгоритмов поиска цикла Гамильтона минимальной стоимости доставки грузов из исходной вершины графа («центрального склада») до всех остальных его вершин («пунктов назначения») наиболее известен алгоритм, разработанный в 1964 г. Дж. Кларком и Дж. Райтом [Clarke, Wright 1964] и опубликованный фактически «в ответ» на упоминавшуюся статью Дж. Литтла.

Алгоритм Кларка-Райта позволяет решить задачу объединения маятниковых маршрутов в кольцевые. Однако, по оценке А.Ю. Тюрина, данный метод имеет ряд существенных недостатков, в том числе нечёткий выбор транспортного средства при формировании маршрута, неправильное построение порядка объезда пунктов на маршруте, приводящее к увеличению общего пробега подвижного состава, возможность зацикливания (отсутствие конечного результата) при решении задачи [Тюрин 2007: 51].

В качестве альтернативы для первоначальной декомпозиции исходного транспортного графа на k подграфов и построения множества k опорных решений (k > 1) используется так называемый алгоритм зачистки (Sweep Algorithm), в 1971 г. предложенный А. Реном и в 1974 г. доработанный Б.Е. Жиллеттом и Л.Р. Миллером1. Данный алгоритм основан на упрощённом варианте кластерного

1 На русский язык термин «Sweep Algorithm» был ошибочно переведён как «алгоритм Свира». Именно в таком виде данный алгоритм описан во многих отечественных работах. Особенно курьёзно это выглядит в одной статье [Ананьева 2013], где ошибочное понятие вынесено в название, а при обратном переводе на английский язык приобрело вид «Svir Agorithm».

метода. Его подробное описание дано М.С. Пожидаевым [Пожидаев 2010: 25-26].

Однако в общем случае алгоритм зачистки не позволяет находить оптимальный кольцевой маршрут (Гамильтонов цикл) в каждом из построенных k подграфов. Поэтому его следует использовать в комбинации, например, с алгоритмом Литтла. Такая комбинация представляет собой двухфазный алгоритм (two-phase algorithm) [Пожидаев 2010: 24].

Метаэвристические алгоритмы (Metaheuristics Algorithms) представляют собой результаты новейших разработок, инспирированных процессами самоорганизации в живой и неживой природе. Метаэвристики, в отличие от классических эвристик, основаны на методе не локального, а глобального поиска. По мнению специалистов [Алсагарова 2014: 1; Емельянова 2009: 7; Пожидаев 2010: 33], это обеспечивает им три важных технических преимущества:

• они позволяют исследовать большее пространство поиска для нахождения решения, максимально близкого к глобальному оптимуму;

• они способны к преодолению точки локального минимума для продолжения поиска;

• они способны найти решение, близкое к оптимальному, за приемлемый отрезок времени.

Вместе с тем, различным метаэвристическим алгоритмам присущи один или несколько из следующих недостатков: 1) сложность настройки параметров; 2) неопределённость времени сходимости; 3) относительно медленная сходимость; 4) преждевременная сходимость; 5) отсутствие учёта истории решений из предыдущих итераций; 6) слабая изученность.

Наиболее изученные метаэвристики и их недостатки, описанные Е.В. Ал-сагаровой [Алсагарова 2014: 6], представлены в Таблице 1.

Однако в настоящее время исследования в области разработки метаэври-стик приобрели характер «профессиональной моды». При этом тестирование и практическая применимость метаэвристических алгоритмов в экономике вызывают ряд закономерных вопросов. Так, для демонстрации преимуществ какого-либо одного алгоритма в качестве базы сравнения выбирается другой алгоритм, причём зачастую это делается произвольно и без достаточного обоснования. Между тем, ещё Э. Дейкстра в своё время отмечал: «Тестирование программ может служить для доказательства наличия ошибок, но никогда не докажет их отсутствия» [Дал, Дейкстра, Хоор 1975: 13].

Таблица 1 - Хорошо изученные метаэвристики

Методы Алгоритмы Автор(ы) Недостатки

Эволюционные методы Генетические алгоритмы (Genetic Algorithms) Дж. Потвин (1995); С. Рональд (1995) (1), (3)

Методы «роевого интеллекта» Алгоритм роя частиц (Particle Swarm Optimization) Б. Голден и А. Ассад (1988) (1)

Алгоритм муравьиной колонии (Ant Colony Optimization) М. Дориго (1992) (1), (2)

Методы, имитирующие физические процессы Алгоритм гармонического поиска (Harmony Search) З. Джим и Дж. Ким (2001) (3)

Алгоритм имитации отжига (Simulated Annealing) Э. Аартс и Й. Корст (1989) (1), (4)

Мульти- стартовые методы Адаптивный алгоритм случайного ro^^Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) И. Маринакис, А. Мигдалас и П. Пардалос (2005) (2), (5)

Алгоритм табу-поиска (Tabu Search) Ф. Гловер (1986); И. Осман (1993) (1), (4)

При этом процедура оценки алгоритмов проводится на материалах сложных и сверхсложных задач, а проводимые исследования смещаются в узкоспециальные сферы теории алгоритмов, весьма далёкие от экономической и управленческой практики. Примером в этом отношении может служить многолетняя дискуссия о линейном, полиномиальном и экспоненциальном времени решения той или иной задачи2.

В итоге следует согласиться с мнением М.С. Пожидаева: «Большое количество работ, посвящённых метаэвристикам, создали ситуацию неопределённости в научном мире, не позволяя однозначно определить наилучший алгоритм для практического внедрения» [Пожидаев 2010: 6]. В целом же представляется, что для решения типовых экономических и управленческих задач, к числу которых относится проектирование кольцевого маршрута в транспортных графах малой и средней размерности, вполне достаточно арсенала классических эвристических алгоритмов.

Рассмотрим пример практической реализации описанного выше двухфазного алгоритма на примере деятельности одной московской транспортно-логистической компании в избранном сегменте автотранспортных перевозок по данным 2015 года.

Избранный сегмент включает 24 населённых пункта. Исходному пункту, в котором размещён центральный склад, присвоен порядковый номер 1. Остальные пункты, определяющие направления автоперевозок, в порядке удаления от склада пронумерованы от 2 до 24.

2 Характерным является следующее высказывание «Точные методы, например метод ветвей и границ, позволяют всегда находить оптимальное решение, но для решения ОТ-полных задач решение будет найдено за экспоненциальное время, так как пока не предложен ни один точный алгоритм решения хотя бы одной ОТ-полной задачи за полиномиальное время» [Конников, Кудинов 2008: 1].

В настоящее время автомобильные перевозки по рассматриваемым направлениям организованы по маятниковому принципу. Плюсами данного принципа являются простота и минимальные затраты, связанные: 1) с разработкой маршрута; 2) с погрузочно-разгрузочными работами; 3) с диспетчеризацией; 4) с общим управлением перевозками.

Однако существенными минусами маятникового принципа являются высокие показатели суммарного автопробега, транспортной работы с учётом массы перевозимых грузов и, как следствие, затрат на автомобильное топливо и расходов по ремонту и обслуживанию транспортных средств.

Для перевозок на избранных направлениях используется грузовой автомобиль ЗИЛ-5301 «Бычок» со следующими техническими характеристиками: грузоподъёмность - 3 тонны; средний коэффициент загрузки транспортного средства -0,8; тип топлива - дизельное; базовая норма расхода топлива при скорости 60 км/ час - 12 л/100 км.

Таблица 2 - Показатели по расчёту среднедневного нормативного

расхода топлива в 2015 году

Пункты отправления и назначения Расстояние от/до склада, км Среднее число рейсов в день Пробег от/до склада, км Нормативный расход топлива, л

1. 0 0 0 0,0

2. 93 10 1860 292,0

3. 100 5 1000 157,0

4. 103 5 1030 161,7

5. 106 5 1060 166,4

6. 116 5 1160 182,1

7. 112 3 672 105,5

8. 116 3 696 109,3

9. 127 3 762 119,6

10. 133 3 798 125,3

11. 67 10 1340 210,4

12. 111 3 666 104,6

13. 111 3 666 104,6

14. 112 3 672 105,5

15. 116 3 696 109,3

16. 102 10 2040 320,3

17. 113 5 1130 177,4

18. 128 10 2560 401,9

19. 124 5 1240 194,7

20. 131 5 1310 205,7

21. 49 10 980 153,9

22. 59 4 472 74,1

23. 106 4 848 133,1

24. 117 10 2340 367,4

Итого р 2452 25998 4081,7

Показатели по расчёту среднедневного нормативного расхода топлива представлены в таблице 2. Расчёт осуществлялся на основе методики, утверждённой Минтрансом России [Нормы... 2008]. При этом учитывалась «зимняя» надбавка в размере 10%, установленная в период с ноября по май [Нормы. 2008: 78].

По результатам расчётов среднегодовой нормативный расход топлива на 100 км пробега с грузом составил 15,7 л.

При суммарном среднедневном пробеге, равном 25998 км, среднедневной нормативный расход топлива по рассматриваемым направлениям автоперевозок составил:

25998 • 15,7 / 100 ~ 4081,7 л.

При средней цене дизельного топлива в 2015 году, равной 34,7 руб./л, среднедневные затраты на топливо составили:

4081,7 • 34,7 ~ 141,6 тыс. руб.

Рассмотрим теперь, какие изменения произойдут в результате оптимизации маршрутов и перехода к организации автотранспортных перевозок по кольцевому принципу.

Вначале сформулируем оптимизационную задачу в терминах теории графов. Имеем полный транспортный граф G (V, E), в котором:

V = {v.}= {vj} - множество вершин, интерпретируемых как пункты отправления (i = 1, ..., 24) и как пункты назначения (j = 1, ..., 24);

Е = (е12, ..., епп j) - множество рёбер, отображающих пути от пункта отправления (v.) до пункта назначения (v);

сопряженные пункты маршрута не совпадают (v. ф v), т.е. граф не имеет петель;

рёбрам Е = {е.} сопоставлены веса С = {с..}, с.. > 0, выражающие стоимость перевозки между пунктами v,, v.;

центральный склад компании находится в пункте vv являющейся начальной вершиной транспортного графа.

Таким образом, в принятых обозначениях задача логистической компании заключается в оптимизации маршрута доставки всех грузов с минимальной суммарной стоимостью (затратами на перевозку). Отсюда целевая функция задачи (критерий оптимальности) имеет вид:

F(X) = YFk(X) = YCX ^ min,

где С = {j - стоимость перевозки по пути, задаваемому дугами Е = {е..}; Х = {х..} - булева переменная, (х.. = 0,1 в зависимости от того, включает ли маршрут дугу е.. или не включает); k - порядковый номер маршрута (k > 1); i, j - пункты (вершины графа), включённые в маршрут k (/' , j = 1, 2, ... 24).

При этом также известны:

• грузоподъёмность транспортного средства = 3 тонны;

• средний коэффициент загрузки транспортного средства = 0,8;

• расстояния t> 0 между пунктами v., v, задаваемые матрицей T = {t представленной в таблице 3.

Таблица 3 - Матрица расстояний ^.Р) в полном транспортном графе по избранным направлениям автоперевозок

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1 1 93 100 103 106 116 112 116 127 133 67 III III 112 Мб 102 113 128 124 131 49 59 106 117

2 93 2 17 37 23 33 36 40 59 65 26 43 48 44 48 57 56 71 53 63 80 117 1 13 90

3 100 17 3 20 16 26 29 33 52 58 33 44 37 45 49 62 53 68 60 64 87 124 118 95

4 103 37 20 4 36 40 49 53 72 78 53 64 59 65 69 82 73 88 83 84 98 135 138 115

5 106 23 16 36 5 10 21 25 44 50 39 44 34 37 41 62 61 76 57 64 93 130 IIS 95

6 116 33 26 40 10 6 31 35 54 60 49 54 46 47 51 72 71 86 69 74 103 140 128 105

7 112 36 29 49 21 31 7 4 35 37 45 31 25 24 28 59 48 63 48 51 96 128 IIS 95

В 116 40 33 53 25 35 ■1 8 35 41 49 35 26 28 32 63 52 67 49 55 100 132 122 99

9 127 59 52 72 44 54 35 35 9 6 60 34 26 27 31 70 51 66 49 54 111 140 129 106

10 1.43 6? 58 78 50 60 37 41 6 10 66 40 31 33 37 76 57 72 54 60 117 146 135 112

11 67 26 33 53 39 49 45 49 60 66 11 44 42 45 49 47 46 61 64 64 54 91 103 80

1 2 1 11 43 44 64 44 54 31 35 34 40 44 12 13 19 23 42 23 38 12 20 94 112 101 78

13 1 11 4-К 37 59 34 46 25 2(> 26 31 42 13 13 10 14 55 32 44 26 34 100 130 116 86

]4 112 44 45 65 37 47 24 28 2- 33 45 19 10 14 7 55 36 51 33 39 96 125 114 91

15 116 4S 49 69 41 51 28 32 31 зт 49 23 14 7 15 59 40 55 28 43 100 129 118 95

16 101 57 62 82 62 72 59 63 70 76 47 42 55 55 59 16 33 17 56 62 67 70 56 33

17 113 56 53 73 61 71 48 52 51 57 46 23 32 36 40 33 17 15 33 43 85 103 92 69

18 128 71 68 88 76 86 63 67 66 72 61 38 44 51 55 17 15 18 47 58 84 87 74 51

Ii! 124 53 60 83 57 69 48 49 49 54 64 12 26 33 28 56 33 47 19 21 101 131 1 17 87

20 131 63 64 84 64 74 51 55 54 60 64 20 34 39 43 62 43 58 21 20 114 132 121 98

21 49 so 87 98 93 103 96 100 111 117 54 94 100 96 100 67 85 84 101 114 21 37 84 87

22 59 117 124 135 130 140 128 132 140 146 91 112 130 125 129 70 103 87 131 132 37 22 61 73

23 106 113 118 138 118 128 118 122 ¡29 135 103 101 Мб 114 118 56 92 74 117 121 84 61 23 23

24 117 90 95 115 9; 105 95 99 106 112 ВО 78 86 91 95 33 69 51 87 9S 87 73 23 24

С учётом этого, задача оптимизации маршрутов по критерию минимальной суммарной стоимости полностью сводима к эквивалентной, но более простой в реализации задаче оптимизации маршрутов по критерию минимального суммарного пробега. Следовательно, её целевая функция может быть преобразована следующим образом:

F(X) = YFiX) = их ^ min.

Основным жёстким ограничением в задаче выступает необходимость выполнения дневного плана перевозок:

щх = Q,

где Q = {q- необходимый объём дневных перевозок между пунктами v ,, v; Qk - объём дневных перевозок по маршруту k (k > 1).

Дополнительным нежёстким ограничением в задаче служит предельное значение дневного пробега одного автотранспортного средства, равное 300 км:

jjx < зоо,

где Т = {t..} - расстояние перевозок по маршруту k (k > 1).

На первом этапе решения задачи на основе алгоритма зачистки Рена-Жиллетта-Миллера была произведена декомпозиция транспортного графа. В ре-

зультате получены 10 подграфов {к = 1, ..., 10), выступающих в качестве опорных транспортных маршрутов (опорных решений) для второго этапа оптимизации.

Таблица 4 - Результаты решения задачи поиска оптимальных кольцевых маршрутов по избранным направлениям автоперевозок

Подграф Оптимальный маршрут Пробег за 1 рейс, км Число рейсов Дневной пробег, км

k = 1 (1)^(2)^(6)^(5)^(3)^(4)^(1) 275 5 1375

k = 2 (1)^(2)^(8)^(7)^(10)^(9)^(1) 276 3 828

k = 3 (1)^(11)^(2)^(15)^(14)^(13)^(12)^(1) 282 2 564

k = 4 (1)^(11)^(15)^(14)^(13)^(12)^(1) 257 1 257

k = 5 (1)^(11)^(20)^(19)^(1) 276 5 1380

k = 6 (1)^(11)^(17)^(18)^(16)^(1) 247 2 494

k = 7 (1)^(16)^(18)^17^(1) 247 1 247

k = 8 (1)^(16)^(18)^(1) 247 7 1729

k = 9 (1)^(21)^(24)^(23)^(22)^(1) 279 4 1116

k = 10 (1)^(21)^(24)^(1) 253 6 1518

На втором этапе решения задачи на основе алгоритма Липла в каждом из 10 подграфов (k = 1, ..., 10) был осуществлён поиск оптимальных кольцевых маршрутов (Гамильтоновых циклов) с минимальным пробегом (Т/Х ^ min). Результаты решения задачи представлены в таблице 4 и на рисунке 1.

Определим среднедневной пробег автотранспортных средств по всем оптимальным кольцевым маршрутам избранного сегмента перевозок:

1375 +828 +564 +257 +1380 +494 +247 +1729 +1116 +1518 = 9508 км. При суммарном среднедневном пробеге, равном 9508 км, среднедневной нормативный расход топлива по рассматриваемым направлениям автоперевозок составил:

9508 • 15,7 / 100 ~ 1492,8 л.

При средней цене дизельного топлива в 2015 году, равной 34,7 руб./л., среднедневные затраты на топливо составят: 1492,8 • 34,7 ~ 51,8 тыс. руб.

В результате среднедневная экономия затрат на автомобильное топливо в абсолютном и относительном выражении составит: (141,6 - 51,8) = 89,8 тыс. руб.; 89,8 / 141,6 • 100% ~ 63,4%.

Таким образом, переход к организации перевозок по оптимальным кольцевым маршрутам приводит к существенному сокращению дальности суммарного ав-

(10) (9)

Маршрут к = (3 ргйса)

Рисунок 1 - Оптимальные кольцевые маршруты по избранным направлениям автоперевозок

топробега и, как результат, к снижению условно-переменной части себестоимости автоперевозок.

Литература

Алсагарова Е.В. Метаэвристические методы оптимизации в экономике // Экономика. Право. Менеджмент: сборник трудов молодых исследователей БГУ - 2014. - Выпуск 1(1) [Электронный ресурс]. URL: http://izdatelstvo.isea.ru/epm/ archive.aspx? id=1 (дата обращения: 17.04.2016).

Ананьева Н.В. Статистические исследования эффективности применения алгоритма Свира // Логистика. - 2013. - № 5. - С. 24-26.

Гиндуллин Р.В. Оптимизация маршрута доставки однородного груза от множества производителей множеству потребителей. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Уфа, 2013. - 147 с.

Дал У., Дейкстра Э., Хоор К. Структурное программирование - М.: Мир, 1975. - 248 с.

Емельянова Т.С. Эвристические и метаэвристические методы решения динамической транспортной задачи [Электронный ресурс]. URL: http://masters. donntu.org/ 2009/kita/aleksandrova/library/article07.pdf (дата обращения: 15.04.2016).

Канторович Л.В. Избранные труды. Математико-экономические работы. - Новосибирск: Наука, 2011. - 760 с.

Конников П.В., Кудинов В.А. Оптимизация методом муравьиной колонии как метаэвристика [Электронный ресурс]. URL: http://scientific-notes.ru/ pdf/008-05.pdf (дата обращения: 18.04.2016).

Костюк Ю.Л. Эффективная реализация алгоритма решения задачи коммивояжёра методом ветвей и границ // Прикладная дискретная математика. -2013. - № 2 (20). - С.78-90.

Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978. - 432 с.

Нормы расхода топлив и смазочных материалов на автомобильном транспорте. Методические рекомендации. Приложение к распоряжению Минтранса России от 14 марта 2008 г. № АМ-23-р. - 114 с.

ПожидаевМ.С. Алгоритмы решения задачи маршрутизации транспорта. Дисс. ... канд. техн. наук. - Томск, 2010. - 135 с.

Clarke G., Wright J.W. Scheduling of Vehicles from a central depot to a number of delivery // Operations Research. - 1964. - № 12. - Р. 568-581.

Dantzig G.B., Ramser J.H. The Truck Dispatching Problem // Management Science. - 1959. - № 6. - Р. 80-91.

Little J.D.C., and others. An Algorithm for the Traveling Salesman Problem // Operations Research. - 1964. - № 11. - Р. 972-989.