Научная статья на тему 'Оптимизация алгоритмов расчета коэффициента размытости для непараметрических оценок'

Оптимизация алгоритмов расчета коэффициента размытости для непараметрических оценок Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

CC BY
205
42
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Браништи В. В., Медведев А. В.

Рассматривается метод настройки коэффициента размытости для оценки Розенблатта-Парзена функции плотности вероятности. Предлагается упрощение выражения для функционала качества, а также сравнивается несколько алгоритмов по скорости оптимизации.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Оптимизация алгоритмов расчета коэффициента размытости для непараметрических оценок»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2014. Информационные технологии

УДК 519.6:519.21

В. В. Браништи Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ОПТИМИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА РАЗМЫТОСТИ ДЛЯ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНОК

Рассматривается метод настройки коэффициента размытости для оценки Розенблатта-Парзена функции плотности вероятности. Предлагается упрощение выражения для функционала качества, а также сравнивается несколько алгоритмов по скорости оптимизации.

В различных областях науки и техники часто встречается задача оценивания неизвестной функции плотности вероятности непрерывной случайной величины. Функция плотности вероятности используется при проверке статистических гипотез, при решении различных задач классификации, распознавания образов, восстановления зависимостей и др. Одним из наиболее распространённых подходов, позволяющим по выборке значений случайной величины восстановить её функцию плотности вероятности fx), является использование непараметрических оценок Розенблатта-Парзена [1; 2]:

' " ' ^- * ' (1)

1 п 1

/( x) = IX h Ф

n = h

h

4 (i -'2)

< i,

(2)

z > 1.

W (h) =

1

-УУ fo

n2 h1 i=1 j=1 -L

ф

dx -

-УУф

n( n -1)h

i=1 j=1, j*i

гxJ-xl ^ h

(3)

нивается эффективность известных алгоритмов оптимизации в применении к функционалу (3).

С учётом оптимальной формы ядра (2) функционал (3) принимает вид

К(И) =А +77^ I (2 - ^ )3 (( + 6г + 4)-

1< 2ц < 2

У (4)

5nh

80n2h,

п(п - 1)h

У (1 -2)•

x, - x,

где zj =-

h

суммирование ведётся по обоим ин-

где XI, х2, ..., хп - выборка значений случайной величины; ф(г) - ядерная функция; И - коэффициент размытости. Оптимизация функционала качества данной оценки в виде усреднённой глобальной квадратичной ошибки аппроксимации

Q = [ М {(х) - / (х) )2 jdx

-да

по форме ядра даёт оптимальную функцию в виде усечённой параболы [3]:

' 3,

ф( г) = '

дексам /, у, удовлетворяющим соответствующему условию. Выражение (4) не содержит операторов интегрирования и позволяет существенно ускорить процесс минимизации.

Для минимизации функционала (4) рассмотрено 5 алгоритмов локальной оптимизации (см. табл. 1). Метод кубической интерполяции использует аналитическое выражение для производной оптимизируемой функции, а метод Ньютона - второй производной. Из (4) непосредственно выводится:

(И) =

dn

На качество оптимизации существенно влияет коэффициент размытости h. Однако его оптимальное значение выражается через вторую производную функции fx) [3], следовательно, неприменимо на практике. В работе [4] предлагается методика расчёта коэффициента размытости h по выборке значений случайной величины без использования функции fx). Данная методика сводится к минимизации функционала

-— +

1

5п 80п

У (-80z3 +120z2-32)-

1

п(п - 1)0<,<1

У (2 -1)

(5)

d dh

■W (h) =

г i_

5п

40п2

У ( -200z3 + 240Z2 -32) +

У К -1)

(6)

по И. Однако в данном функционале присутствует оператор интегрирования, что делает его вычисление затратным, а процесс минимизации - медленным. В работе предлагается упрощение выражения (3) с целью повышения скорости оптимизации, а также срав-

п(п -1)0<% <1

\ у /

Для каждого алгоритма оценивалось время минимизации функции (4) по h с точностью до 0,001, усредненное по 900 запускам для различных выборок случайной величины объёма п = 100. Погрешность оценивалась по правилу «3 с». Результаты представлены в таблице. Для получения результатов использовался процессор Intel® Core™ i3-2330M.

Численные эксперименты показали, что наиболее эффективным по скорости работы при минимизации функции (4) является метод Пауэлла. Таким образом, в приложениях при расчёте коэффициента размыто-

3

2

h

3

3

h

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

сти для непараметрической оценки функции плотности вероятности предлагается минимизировать критерий качества в виде (4) методом Пауэлла.

Время работы алгоритмов оптимизации

Метод минимизации Время минимизации, с

Метод золотого сечения [5] 4,11±0,05

Метод Пауэлла [5] 0,91 ±0,02

Метод кубической интерполяции [6] 0,99±0,04

Метод Ньютона [7] 6,0±0,4

Конечно-разностная аппроксимация метода Ньютона [7] 6,3±0,2

Библиографические ссылки

1. Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function // The Annals of Mathematical Statistics. 1956. Vol. 27. № 3. P. 832-837.

2. Parzen E. On estimation of a probability density function and mode // The Annals of Mathematical Statistics. 1962. Vol. 35. № 3. P. 1065-1076.

3. Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятностей и её применения. 1969. Т. 14. № 1. С. 156-161.

4. Лапко А. В., Медведев А. В., Тишина Е. А. К оптимизации некоторых непараметрических оценок // Применение вычислительных машин в системах управления непрерывным производством. Фрунзе : Илим, 1975. С. 93-107.

5. Рубан А. И. Методы анализа данных : учеб. пособие. 2-е изд., исправл. и доп. Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2004. 319 с.

6. Пантелеев А. В., Летова Т. А. Методы оптимизации в примерах и задачах : учеб. пособие. 2-е изд., испр. М. : Высш. шк., 2005. 544 с.

7. Калиткин Н. Н. Численные методы / под ред. А. А. Самарского. М. : Наука, 1978. 512 с.

© Браништи В. В., 2014

УДК 519.68

С. С. Волкова Научный руководитель - Л. В. Липинский Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ОТБОР ИНФОРМАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ С ПОМОЩЬЮ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

Рассматривается алгоритм отбора информативных признаков, основанный на использовании нейронной сети, представляются результаты применения метода к практической задаче.

В настоящее время на практике трудно найти задачи регрессии или классификации, которые не требовали предварительной работы с данными, а также снижение размерности признакового пространства задачи. Задача эта не нова, но продолжает оставаться актуальной, так как существующие методы не всегда удовлетворяют запросам исследователей. В этой работе рассматривается снижение размерности признакового пространства за счет отбора информативных признаков, который осуществляется с помощью нейронных сетей. Информативность признака рассматривается относительно конкретной выходной переменной.

Благодаря отсутствию строгих требований к решаемой задаче (целевой функции) нейронные сети широко применяются к настоящему моменту [1], а также ищутся новые пути использования этого простого, но мощного инструмента анализа данных. В настоящей работе рассматривается метод оценки информативности (значимости) признаков путем последовательной фиксации их значений [2]. Идея этого метода основывается на следующем предположении: если признак является избыточным для построения регрессии или осуществлении классификации, то фиксация входа, соответствующего этому признаку, не приведет к существенному ухудшению значения целевой функции обученной нейронной сети по сравнению со значением целевой функции, полученном на

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

исходной выборке. Эта идея реализуется по следующему алгоритму: (1) Обучение нейронной сети; (2) Тестирование нейронной сети на экзаменующей выборке; (3) Вычисление среднего значения для каждой входной переменной; (4) Вычисления значения целевой функции при фиксировании каждого входа тестовой выборки по очереди; (5) Анализ значений целевой функции, отбор наиболее информативных признаков. Стоит отметить, что в такой формулировке пункта (3) содержится ограничение на применение метода: только для задач с ве щественными входными переменными, но для качественных переменных возможна замена среднего значения на наиболее часто встречаемое значение переменной.

Для исследования описанного метода была взята практическая задача, в которой необходимо оценить нагрузки на отопление и кондиционирование в зависимости от параметров строения: (1) относительная компактность, (2) площадь поверхности, (3) площадь стен, (4) площадь крыши, (5) высота, (6) ориентация, (7) площадь остекления, (8) расположение остекления. Объем выборки 768 объектов, на обучающую и тестовую выборка делилась случайным образом (доля обучающей 0,6), среднее значение признаков рассчитывалось по полной выборке. Для оценки эффективности метода в признаковое пространство вводился еще один признак, значение которого были сгенери-

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.