CC BY
21
^Научно-технические ведомости СПбГПУ 6' 2009
УДК 621.01-52+621.865.8
В.Г. Хомченко, Е.С. Гебель, Е.В. Солонин
оптимизационным синтез рычажного МЕХАНИЗМА IV класса с выстоем
Общее при проектировании машин и механизмов заключается в том, что для заданной математической модели требуется подобрать значения варьируемых параметров, обеспечивающие получение экстремальных величин одного или нескольких критериев качества. Таким образом, приходится иметь дело с задачами многопараметрической и многокритериальной оптимизации.
Среди численных методов поиска оптимальных решений не существует универсального. Поэтому наиболее привлекательными становятся методы исследования, которые при наличии адекватной математической модели требуют минимума априорной информации о решаемой задаче, более того, позволяют по ходу решения получать такую информацию легко и просто. К таковым относится метод Монте-Карло и его модификации [1]. В основе использования метода Монте-Карло и его модификаций лежат принципы случайного поиска решения задачи, что и делает такой подход универсальным. Но платой за универсальность является определенная "слепота", и это приводит к громадным объемам вычислений даже для современных вычислительных машин, тем более что имеет место рост размерности решаемых задач (растет число фазовых координат и число конструктивных (оптимизируемых) параметров, число критериев качества, характеризующих систему).
В значительной степени эту потребность реализует метод ЛП-поиска [2], который был применен для решения задачи оптимального проектирования рычажных механизмов IV класса с приближенным выстоем выходного звена по заданной циклограмме, используемых в различных отраслях промышленности.
Механизмы IV класса благодаря своим кинематическим особенностям обладают большими потенциальными возможностями обеспечения повышенной точности выстоя выходного звена по сравнению, например, с восьмизвенными механизмами II класса с таким же числом звеньев.
Рассматриваемый механизм (см. рисунок) проектируется при условии обеспечения на интервале выстоя наилучшего равномерного приближения функции положения выходного звена механизма к заданной функции положения рабочего органа.
Важное условие синтеза плоского рычажного механизма IV класса с выстоем по заданной циклограмме - требуемая точность выстоя выходного звена [3]. В качестве параметра, характеризующего кинематическую погрешность выстоя и точностные свойства многозвенного шарнирного механизма в целом, чаще используют угол малого размаха выходного звена механизма на интервале выстоя у1. Однако этот критерий не отражает в полной мере точностных свойств рычажных механизмов, поскольку его значение можно уменьшать простым увеличением линейного параметра. Математически строгий и универсальный критерий - относительное перемещение характерной точки выходного звена за интервал выстоя
1 = >/2 • с
(1)
Кинематическая схема шарнирного механизма IV класса
В качестве свободных параметров рассматриваются одиннадцать параметров, назначенных на этапе кинематического синтеза механизма IV
Конференции
класса с выстоем выходного звена по заданной циклограмме:
X = (Ь, е, f, k, q, р, 8, Ле, , Ос, К), (2)
где Ь, е,/, k, q иp — соответственно относительные длины звеньев ВЕ, ЕО, ОЕ, ЕК, ОН и КС (единичным звеном является кривошип АБ);
— угол между сторонами ЕО и ОЕ звена ЕОЕ; £, °О, °К — углы, задающие положения звена ЕО относительно звена ВЕ, стороны ОН треугольного звена ОНЬ относительно звена ЕО, стороны КС треугольного звена КСЬ относительно биссектрисы ОК в начале и конце интервала выстоя.
Пространством параметров будет у-мерное пространство, состоящее из N точек с декартовыми координатами (Хь ..., X) Таким образом, каждой точке у-мерного пространства варьируемых параметров соответствует конкретный набор значений (2), удовлетворяющих неравенствам (3). Область поиска оптимальных сочетаний параметров представляет собой гиперпараллелепипед, заданный следующей системой параметрических ограничений:
X. < X. < X. , (3)
III' '
где X*, X** - верхняя и нижняя границы возможного изменения параметра, i = 1, ..., 11.
Целевая функция (главный критерий качества) представляет собой зависимость главного критерия оптимизации (1) от варьируемых параметров механизма (2):
Г ^)= ш1п {1}, (4)
X е О
где Х — вектор свободных параметров синтеза механизма, т. е. набор линейных и угловых кинематических параметров механизма; О -псевдовыпуклая область допустимых значений параметров синтеза, которая формируется условиями сборки и работоспособности механизма, условиями задачи синтеза, ограничениями на длины звеньев (3).
Функциональные ограничения (критерии качества) запишем в общем виде:
sfs sfssfs
z < max (f (x))< z , (5)
Ф
где f (X) - некоторые функции от свободных параметров синтеза, в качестве которых могут выступать функции углов давления в
шарнирах, критерии качества передачи сил и * **
движения [4]; z , z - минимальные и максимальные предельно допустимые значения функции.
Целевая функция задачи оптимизационного синтеза многозвенных рычажных механизмов имеет значительный объём одной пробы (проба целевой функции - однократный подсчёт её значения при фиксированном векторе параметров) и достаточно большую размерность вектора параметров. Кроме того, проба - это единственный способ получения информации о поведении целевой функции, т. к. непосредственное аналитическое выражение функции Y(X) отсутствует.
Первоначально с целью отыскания окрестностей локальных экстремумов была исследована достаточно обширная область гиперпространства параметров механизма с центром в точке, координатами которой были параметры исходного механизма, полученные после кинематического синтеза (табл. 1).
В результате кинематического синтеза рычажного механизма IV класса с выстоем [3] с заданным набором свободных параметров (см. табл. 1) рассчитываемые параметры синтеза приняли следующие значения в относительных единицах: длина стороны HL и угол при вершине Нкоромысла GHL t = 1,097 и цн = 97,59° соответственно; кинематические параметры треугольного звена KCL — длина стороны LC r = 2,485 и угол nC = 90,56°; выходное звено CD — с = 1,2343. Критерии качества передачи сил
Таблица 1
Параметры исходного механизма
Задаваемые параметры Свободные параметры
Ф1 Фв а b e f s По q k k1 P
120° 130° 50° 2 3,75 1 1,5 90° 10° 80° 90° 1 2,25 0,7 1
Научно-технические ведомости СПбГПУ 6' 2009
Таблица 2
Допуски изменения параметров
ь е Г в, град по, град оо> град ст^ град 9 к к1 Р
3,75 (±0,75) 1 (±0,5) 1,5 (±1) 90 (±10) 10 (±5) 80 (±10) 90 (±10) 1 (±0,5) 2,25 (±0,75) 0,7 (±0,1) 1 (±0,5)
и движения, т. е. их максимальные значения на полном угле поворота входного кривошипа, равны: иЕ = 41,22 иК = 34,33°, иС = 55,68°, К1= 0,54, К2 = 3,29. Погрешность позиционирования выходного звена СБ (см. рисунок) на интервале выстоя составила в относительных единицах 0,025, что соответствует отклонению от заданного положения рабочего органа ± 0,00175.
Область поиска оптимальных сочетаний параметров представляла гиперпараллелепипед, заданный как допуски изменения каждого из параметров (табл. 2) .
При решении задачи по изложенной выше методике осуществлялась рандомизация всего процесса поиска оптимальных сочетаний параметров х. (табл. 3). Параметры матрицы выбраны следующими: N = 218 — общее число всех машинных экспериментов на ЭВМ, г = 10 — мерность исходного пространства варьируемых параметров, предельно допустимое относительное перемещение характерной точки выходного звена за интервал выстоя 1тп (параметр для прекращения поиска) — 0,0001 в относительных единицах.
Анализируя полученные численные значения в качестве оптимального решения задачи проектирования рычажного механизма IV класса с приближенным выстоем выходного звена по заданной циклограмме, был принят вариант № 53, соответствующий следующему набору параметров: Ь = 1,65; е = 1,04; f = 1,48; в = 90°;
п0 = 10°; сто =80°; стК =90°; д =1; к = 2,25; р = 1; к1 = 0,7.
При этом рассчитываемые параметры синтеза составили: 7 = 1,085; г = 2,44; с = 1,33; ПН = 100,81°; пс = 90,10°.
Максимальные значения критерия качества на всем интервале изменения обобщенной координаты, а именно угла поворота входного кривошипа АВ, не превышают допустимых границ изменения и равны: иЕ = 50,00°, иК = 43,82°, иС = 53,89°, К1 = 0,81, К2 = 3,00.
Минимальное значение малого перемещения выходного звена за интервал выстоя составило 0,00012 в относительных единицах.
Сочетание идеи дискретного квазиравномерного по вероятности зондирования ] — мерного пространства варьируемых параметров в алгоритме ПЛП-поиска позволяет, с одной стороны, осуществлять глобальный квазиравномерный просмотр заданной области варьируемых параметров, а с другой - применять многие формальные оценки из математической статистики, т. е. количественные оценки влияния изменения варьируемых параметров и их парных сочетаний на анализируемые свойства рассматриваемой динамической системы. Одним из определяющих условий, повышающих эффективность применения поисковых методов при решении задач оптимального проектирования, является классификация всех параметров по степени их влияния на значение функции цели, т. е. выделение существенных параметров.
Таблица 3
№ п/п Свободные параметры синтеза Главный критерий
ь е Г в, град по, град сто> град град 9 к к1 Р 1
0 3,75 1,01 1,51 90 10 80 90 1 2,25 0,7 1,04 0,025
1 4,55 1 1,49 93 11 82 92 1,02 2,5 0,701 1,11 0,045
2 3,75 1,05 1,52 95 13 85 91 1,04 2,35 0,75 1,06 0,00039
3 3,75 1,08 1,5 99 12 82 93 1,01 2,15 0,8 1,48 0,009
4 2,15 1,03 1,53 100 11 84 96 1,03 1,95 0,734 1,26 0,015
5 1,65 1,04 1,48 91 10 81 100 1,01 3,05 0,74 1 0,0212
217 2,45 1,13 1,34 90 15 84 98 1,02 1,95 0,65 1,36 0,00013
218 1,85 1,47 1,12 92 13 81 92 1,01 3,05 0,43 1,01 0,0129
4
Конференции^
список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бусленко Н.П., Голенко Д.И., Соболь И.М. и
др. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М.: Физматгиз. 1962. 322 с.
2. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа. 2006. 175 с.
3. Хомченко В.Г., Гебель Е.С., Солонин Е.В., Соломин В.Ю. Кинематический синтез и анализ рычажных механизмов IV класса с выстоем выходного звена по заданной циклограмме // Proc. 12th World Congr. on the TMM. France, Beanson. 2006. P. 6.
4. Хорунжин В.С., Бакшеев В .А, Шариков А.Н. и др.
К определению углов давления и критериев качества передачи движения в рычажных механизмах IV класса с остановками выходного звена по заданным циклограммам // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2008. № 1 (64). С. 27-30.
5. Статников И.Н., Фирсов Г.И. Планирование вычислительного эксперимента в задачах многокритериального моделирования динамических систем // Компьютерное моделирование 2005. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та. 2005. С. 104—112.
УДК 621.01
Г.Н. Петров
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В СРЕДЕ MODEL VISION
В последние десятилетия машиностроение развивалось быстрыми темпами, в нём происходили качественные изменения. В частности, поиск новых технологий производства привел к появлению широкого класса многодвигательных машин. К существовавшим ранее подъёмно-транспортным машинам добавились разнообразные роботы с открытыми и замкнутыми кинематическими цепями, многооперационные станки с программным управлением, механизмы относительного манипулирования, всевозможные позиционирующие платформы и т. д. При моделировании этих механических систем важным условием является возможность визуального наблюдения за моделью, управления параметрами модели с помощью виртуального пульта управления. В данной статье приведено описание нескольких моделей механических систем, созданных с помощью пакета Model Vision.
Пакет Model Vision разработан Д.Б. Ино-ховым, Ю.Б. Колесовым, Ю.Б. Сениченковым (регистрационное свидетельство Роспатента № 990643 от 6 сентября 1999 г.). Подробно с этим
программным комплексом можно ознакомиться на сайте http://www.xjtek.com Пакет позволяет:
проводить вычислительный эксперимент, базирующийся на принципах объектно-ориентированного программирования. Действующая модель может быть разбита на множество отдельных устройств, взятых из имеющейся библиотеки или созданных самим пользователем. Связи между устройствами устанавливаются с помощью легко осваиваемого графического интерфейса;
решать алгебраические, дифференциальные уравнения. Запись алгебродифференциальных уравнений производится на языке, близком по форме к языку пакета MATH CAD;
создавать для каждого устройства карты поведения, которые способны описывать смену поведения динамических систем;
использовать встроенную в пакет 2D-ани-мацию. С её помощью можно создавать "пульт управления" с различными индикаторами, кнопками, бегунками, позволяющими в процессе эксперимента дискретно или плавно менять отдельные параметры модели;
