Оптимизационный подход к стохастической задаче управления запасами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

иркутским государственный университет путей сообщения

Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017

УДК 330.45: 519.2

Эрдэнэбат Мунхдалай,

аспирант, Монгольский национальный университет, Школа бизнеса, Монголия, Улан-Батор, e-mail: erdenebat_25@yahoo. com Кузьмин Олег Викторович, профессор, д. ф.-м. н., Иркутский государственный университет, e-mail: quzminov@mail.ru Тунгалаг Нацагдорж, профессор, к .э. н., Монгольский национальный университет, Школа бизнеса, Монголия, Улан-Батор, e-mail: tungalag88@yahoo. com Энхбат Рэнцэн,

профессор, д. ф.-м. н., Монгольский национальный университет, Школа бизнеса, Монголия, Улан-Батор, e-mail: enkhbat46@yahoo.com,

Информация о статье

Дата поступления: 18 мая 2017 г.

DOI: 10.26731/1813-9108.2017.3(55).106-110

Erde ne bat Munkhdalai"

Ph.D. .student, National University of Mongolia, Business School,

Mongolia, Ulaanbaatar e-mail: erdenebat_25@yahoo. com, O. V. Kuz min,

Prof., Dr. Sci. in Physics and Mathematics, Irkutsk State

University, e-mail: quzminov@mail.ru, Tungalag Natsagdorzh, Prof., Ph.D. in Economics, National University of Mongolia, Business School, Mongolia, Ulaanbaatar, e-mail: tungalag88@yahoo. com, E nkhbat Re ntse n,

Prof., Dr. Sci. in Physics and Mathematics, National University of Mongolia, Business School, Mongolia, Ulaanbaatar, e-mail: enkhbat46@yahoo.com

Article info

Received: May 18, 2017

ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ ПОДХОД К СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

OPTIMIZATION APPROACH TO THE STOCHASTIC PROBLEM OF THE STOCKS CONTROL

Аннотация. Внутренние изменения и внешние противоречия в торговой организации так или иначе связаны с товарными запасами, что говорит о необходимости научного подхода к управлению ими.

Основной целью управления запасами как одной из составляющих рабочего капитала является минимизация совокупных расходов на их покупку, доставку и складское хранение. При этом расходы на доставку и хранение демонстрируют разнонаправленное поведение. С одной стороны, увеличение партии поставки приводит к снижению расходов на доставку в расчете на единицу запасов, с другой стороны, это приводит к росту складских расходов на единицу запасов.

Экономичный размер заказа (англ. Economic Order Quantity, EOQ) определяется по формуле, полученной Фордом Харри-сом в 1913 г. Однако в теории управления она более известна как EOQ-модель или формула Уилсона.

И хотя с момента разработки и первого применения основной конструкции Ф. Харриса при расчете экономичного размера заказа инвентаризации прошло более 100 лет, вопросы, связанные с гарантиями поддержания низкого уровня имеющихся ресурсов и соответствующих затрат сегодня становятся все более важными.

В данной статье осуществляется модификация EOQ-модели путем ее расширения в зависимости от точки заказа, даты инвентаризации и оптимизации модели заказов.

Ключевые слова: системы управления запасами, минимизация издержек, неопределенность, оптимизационная модель.

Abstract. Internal changes and external contradictions of the trade organization are somehow connected with commodity stocks. That indicates the necessity of the scientific approach to their management.

The main purpose of stocks control, as one of the components of working capital, is to minimize the total costs for their purchase, delivery and storage. At the same time, delivery and storage costs demonstrate multidirectional behavior. On the one hand, an increase in the delivery schedule leads to a reduction in delivery costs per a stock keeping unit, and, on the other hand, this leads to an increase in storage costs per a stock keeping unit.

The economic order quantity (EOQ) is determined by the formula obtained by Ford Harris in 1913. However, in the control theory it is more commonly known as the EOQ model or the Wilson formula (R.H. Wilson).

And although more than 100 years have passed since the development and first application of the basic design of Ford Harris in calculating the economic size of the inventory order, the issues related to the guarantees of maintaining a low level of available resources and corresponding costs become even more urgent today.

In this article, the EOQ model is modified by expanding it depending on the order point, the inventory date and the optimization of the order model, taking into account the stochastic uncertainty.

Keywords: stock control systems, cost minimization, uncertainty, optimization model.

Введение

В чем секрет успеха одних компаний или подразделений и постоянных неудач других? Одним из критических факторов, который объясняет успех или неудачу современного бизнеса во всех отраслях, является управление запасами [8].

Наиболее распространенным инструментом в управлении запасами, направленным

на минимизацию суммарных затрат, традиционно признается модель экономичного размера заказа (формула Уилсона, EOQ-модель) - модель, определяющая оптимальный объём заказываемого товара, который позволяет минимизировать общие переменные издержки, связанные с заказом и хранением запасов. Причинами популярности этой модели является как простота

© Эрдэнэбат М., О. В. Кузьмин, Тунгалаг Н., Энхбат Р., 2017

Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 55, no.3

математического аппарата, так и хорошие результаты ее практического использования [7].

Исследование оптимальных условий и скидок при резервировании началось в зарубежных экономических журналах в начале 1960-х годов.

Дж. Краузер в 1964 году, первым заинтересовался вопросами скидок от поставщика как покупатель [2]. Вайс [9] изучал вопросы нелинейного роста затрат на хранение, С. Гурнани [3] - сокращения личных затрат, Дж. Кайнет [5] - влияния инфляции, В. Лев и Х. Вайс [6] - зависимости ограниченного или неограниченного периода времени от стоимости изменений, Ф. Билл, Б. Чаоуг [1] и многие другие ученые - учета случайных флуктуаций и других условий.

В статье разработана модель, позволяющая решить проблему определения оптимального управления в любом Т-сроке подписки. Точка заказа является значительным шагом вперед в решении, что влияет на надлежащий порядок.

Постановка задачи

Предположим, что стоимостьтовара за штуку зависит от его количества. Другими словами,

с = с(я, Я' , X).

Тогда общая стоимость будет

1

TC = J c(q, q', t)q(t)dt.

0

В

экономического

сформулирована

исчисления:

min Jc(q, q' , t)q(t)dt,

0

q(o) = qo> q(t) = q, t< T,

(i)

где я(0 - функция заказа;

Я о - оптимальное количество; т - точка заказа; Т - конечное время.

Задача (1) - проблема вариационного исчисления со свободным левым ограничением д0. Обозначим через Б (•) функцию

Я', X) = с(я, Я', X]я() Для решения задачи (1) нам нужно решить уравнение Эйлера - Лагранжа как необходимое условие оптимальности вариационного

исчисления:

ôF (q, q ', t ) _ d_ fôF (q, q t У

dt V

ôq

ôq '

= 0 (2)

Если мы распишем уравнение (2), то получим

дс д2 с (\ п

— + с--я(х ) = 0 (3)

дя дядХ

Это дифференциальное уравнение второго порядка. Пусть Я* = Я * (с1, с2, X) - решение уравнения (3). Так как задача (1) - задача вариационного исчисления со свободным левым концом, то, чтобы найти константы с± и с1. мы решим следующую систему нелинейных уравнений:

|я* = Я * (с^ с2, х) = Ях ,

[я*(с1, с2,0)= 0.

На практике обычно задаются типы функций заказа. В этом случае задача (4) сводится к задаче оптимизации. Например, Яг () =

(4)

min TC = ^^ +

J(bt + dt )c'hdt (5)

настоящее время проблема порядка может быть как задача вариационного

я, о

с ограничениями

\b, т + dt = ,

[Я,(0) = d= q'o, i = 1, 2,...,n. Для простоты мы опускаем индекс i и записываем задачу (5)-(6) в следующем виде:

Dc T

min TC = — + \ (bt + d)chdt,

qo 0 bt + d = qt,

q(o) = Яо = d.

(6)

(7)

Выразим b через i

b = t

Подставляя (8) в (7), имеем

min TC = — +

i следующим образом:

~Яо

(8)

qo

Яо 0

или эквивалентно

f + qo

chdt

■m Dc min iL =--+

qo

œ qx _ qo

T2 cu

+ qo chT (9)

V

Условием оптимальности для задачи (9) является

С (qo )=_ D _ cf

q.o 2t

+ chT = o

t

io7

иркутским государственный университет путей сообщения

Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017

Следовательно, мы находим экономическую

величину порядка Чо как:

Чо =, -\сн

Если взять ч (г) как

2£>

Т (2т- Т ) .

(10)

Ы + ё, о < г < т

1,

Чт, Т1 < г <т2, Ч т1

(11)

' г-т ^

Чт 2 - Т 0

,т 2 < г < Т,

то общая проблема минимизации затрат будет сформулирована следующим образом:

шт ТС = — +1 д(г )с

ёг

Чо

с ограничениями

Ьтг + ё = дт^

ё = Чо.

Учитывая (11), имеем

■ ™ Ос + шт ТС =--+

Чо

Ч - Чо

г + Чо

скЛ +1ч,сАёг +1Чт11 г -Т \скЛ

Оптимальное условие для указанной проблемы дает нам следующее уравнение:

с (Чо ) = о

или

Ос Т2с„

2т,

+ сА = о

Чо —1 Следовательно, находим Чо как

2Л + Т2 с,

Чо =•

2сй Т1

модель управления

Стохастическая запасами

При работе с моделью оптимального заказа необходимо помнить, что ценность получаемых результатов в первую очередь зависит от предположений, на которых построена модель. Введем следующие обозначения: I- - уровень запасов перед принятием

решения об оформлении заказа на дополнительную поставку;

¿1 - объем заказываемого товара (с] > 0); у = Ч -Ь 1 - суммарный объем имеющихся в наличии запасов, которые можно использовать для удовлетворения будущего спроса;

ё - фактический уровень спроса случайная переменная, d > о);

р(ё) - вероятность того, что уровень спроса равняется с/.

Предположим, что г. с/. _у и с! принимают

целочисленные значения.

Отметим, что каждое такое допущение является одновременно ограничением для применения модели в тех или иных конкретных условиях производства и может служить основой для развития и усложнения модели.

Для управления запасами фирмами используется следующий простой вид правила пополнения запасов:

у(г) = г, ч(') = о приг > т (заказ на поставку не оформлять), у(г) = 5, ч() = 5-г при г < 5 (оформлять заказ на поставку ).

(1)

Согласно (1), заказ на поставку не оформляется, если начальный объем запасов I

превышает или равен т; если г<т , то оформляется заказ с целью пополнения запасов до суммарного объема 5, который идет на удовлетворение будущего спроса покупателей.

Здесь т - критический уровень запасов (точка заказа), а 5 - уровень запасов, достигаемый в результате пополнения. Будем считать, что затраты, связанные с приобретением Ч изделий, выражаются линейной функцией:

С(д) = К + щ, ц > 0, (2) где с есть стоимость одного изделия, приобретаемого у фирмы-постановщика.

Допустим, что ожидаемые затраты на содержание запасов и ожидаемое значение экономических потерь в штрафных ситуациях в течение всего планового периода зависят лишь от у = Ч + г , т.е. от суммарного объема продукции, который имеется в наличий и, следовательно, доступен покупателям. Пусть /(у) функция ожидаемых затрат, которая выражается формулой

/(у) = !>(у - ё)р(ё)+ - у)р(ё), (у > о) (3)

ё=о

ё > у

где к - затраты на содержание одного изделия, остающегося на складе до конца планового периода, величина п - штрафные потери в расчете

на одно изделие, отсутствующее на складе в конце этого периода. Следовательно, в выражении (3) первая сумма представляет ожидаемые затраты на содержание запасов, а вторая сумма - ожидаемые штрафные потери. Предположим,

что с+И>о, р>с.

1о8

Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 55, no.3

Теперь задача минимизации общих затрат формулируется как одномерная задача минимизации:

min = [f (У + cy)] (4)

y>0

В случае линейных функций затрат на содержание запасов и штрафных потерь, если предположить, что р(ц) представляет собой плотность вероятности, а у может принимать непрерывное значение, задача (4) принимает вид

f (J ) =

Jh(y _ d)p(d)dd + Jp(d _ y)p(d)dd, при y > o,

Jp(d _ y)p(d)dd, при y < o.

задачи

(4)

(5)

Оптимальное решение удовлетворяет условию

с + f'(y)= 0

Вычислим производную f' (y):

У ¥

f'(У) = h(y - y)p(y) + J hp(d)dd - p(y - y)p(y) - Jpp(d)dd =

0 0

У

= (h + p)J p(d )dd - p

В силу условия (5), мы имеем

о

J p(d )dd

p_ c p + h

(6)

S S 1

J p(d )dd = J—dd

p_c p + h

s k

p_ c

р + h

Отсюда находим оптимальные как 5* = к (р- с)

к + к

Если с! распределено нормально, т. е

1 -(й)/ 2

p(d ) =

ад/^Р"

тогда уравнение (6) имеет вид

1 S -(d)2Л

dd =

p_ c p + h

о

В качестве тп выбирается наименьшее из чисел, удовлетворяющих условию [4]: / (ш)< К + с(5 - т) + / (5) или решается следующее неравенство:

Jh(y _ d)p(d)dd + Jp(d _ y)p(d)dd <

o m

m ¥

K + c(S _ m) + J h(y _ d )p(d + Jp(d _ y )p(d

<

Отсюда мы находим оптимальное значение 5 = 5 * как решение уравнения (6).

Например, если с1 равномерно распределено, то имеем

М=\? 0 £ ' <

1о, й < о, й > 5,

Заключение

Базовая модель EOQ устанавливает экономичный размер заказа. Мы разработали модель, позволяющую решить проблему определения оптимального управления запасами в любом Т-сроке подписки. Точка заказа является значительным шагом вперед в решении, что влияет на надлежащий порядок.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Bill Ph., Chaouch B.A. An EOQ model with random variations in demand // Management Science. 1995. № 41(5). P. 927-936.

2. Crowther J.F. Rationale for quantity discounts // Harvard Business Review 1964. № 42 (2). P. 121-127.

3. Gurnani C. Economic analysis of inventory systems // International Journal of Production Research. 1983. № 21 (2). P. 261-277.

4. Wagner Harvey M. Principles of Operations Research. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969

5. Kanet J.J., Miles J.A. Economic order quantities and inflation // International Journal of Production Research. 1985. № 23(3). P. 597-608.

6. Lev B., Weiss H.J. Inventory models with cost changes // Operations Research. 1990. № 38 (1) P. 53-63.

7. Ptak C.A. A comparison of inventory models and carrying costs // Production and Inventory Management Journal. 1988. № 29 (4). P. 1-3.

8. Tsan-Ming Choi ^d.) Handbook of EOQ Inventory Problems: Stochastic and Deterministic Models and Applications. Springer, N.Y, 2014.

9. Weiss H.J. Economic order quantity models with nonlinear holding costs // European Journal of Operational Research. 1982. № 9 (1). P. 56-60.

io9

иркутский государственный университет путей сообщения

10. Косоруков О.А., Свиридова О.А. Имитационное моделирование в стохастической задаче управления запасами // Статистика и Экономика. 2013. № 2. С. 147-149.

11. Кузьмин О.В. Комбинаторные методы моделирования дискретных распределений. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2006. 138 с.

12. Кузьмин О.В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения. Новосибирск : Наука, 2000. 294 с.

13. Докин В.Н., Кузьмин О.В. О рандомизации B-распределений // Комбинаторные и вероятностные проблемы дискретной математики : сб. науч. тр. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2010. С. 34-46.

14. Шрайбфедер Дж. Эффективное управление запасами. М. : Альпина Бизнес Букс, 2005. 304 с.

15. Скворцова Г.Г. Расчет оптимального размера заказа для практиков // Проблемы современной экономики : электрон. журн. 2007. № 4. URL http://www.m-economy.ru/art.php?nArtId=1657 (Дата обращения 22.07.2017).

1. Bill Ph., Chaouch B.A. An EOQ model with random variations in demand. Management Science, 1995, No. 41(5), pp. 927-936.

2. Crowther J.F. Rationale for quantity discounts. Harvard Business Review, 1964, No. 42 (2), pp. 121-127.

3. Gurnani C. Economic analysis of inventory systems. International Journal of Production Research, 1983, No. 21 (2), pp. 261277.

4. Wagner Harvey M. Principles of Operations Research. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969

5. Kanet J.J., Miles J.A. Economic order quantities and inflation. International Journal of Production Research, 1985, No. 23(3), pp. 597-608.

6. Lev B., Weiss H.J. Inventory models with cost changes. Operations Research, 1990, No. 38 (1), pp. 53-63.

7. Ptak C.A. A comparison of inventory models and carrying costs. Production and Inventory Management Journal, 1988, No. 29

8. Choi Ts.-M. (ed.). Handbook of EOQ Inventory Problems: Stochastic and Deterministic Models and Applications. N.Y.: Springer, 2014.

9. Weiss H.J. Economic order quantity models with nonlinear holding costs. European Journal of Operational Research, 1982, No. 9 (1), pp. 56-60.

10. Kosorukov O.A., Sviridova O.A. Imitatsionnoe modelirovanie v stokhasticheskoi zadache upravleniya zapasami [Simulation modeling in the stochastic problem of inventory management]. Statistika i Ekonomika [Statistics and Economics], 2013, No. 2, pp. 147-

11. Kuz'min O.V. Kombinatornye metody modelirovaniya diskretnykh raspredelenii [Combinatorial methods for modeling discrete distributions]. Irkutsk: Irkut. state un-ty Publ., 2006, 138 p.

12. Kuz'min O.V. Obobshchennye piramidy Paskalya i ikh prilozheniya [Generalized Pascal pyramids and their applications]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2000, 294 p.

13. Dokin V.N., Kuz'min O.V. O randomizatsii B-raspredelenii [On the randomization of B-distributions]. Kombinatornye i veroyatnostnye problemy diskretnoi matematiki: sb. nauch. tr. [Combinatorial and probabilistic problems of discrete mathematics: coll. sci. works]. Irkutsk: Irkut. state un-ty Publ., 2010, pp. 34-46.

14. Schreibfeder J. Achieving Effective Inventory Management. Coppell: Effective Inventory Management, Inc., 2005. (Russ. ed: Shraibfeder Dzh. Effektivnoe upravlenie zapasami. Moscow: Al'pina Biznes Buks Publ., 2005, 304 p.).

15. Skvortsova G.G. Raschet optimal'nogo razmera zakaza dlya praktikov [Calculation of the optimal size of the order for practitioners]. Problemy sovremennoi ekonomiki : elektron. zhurn. [Problems of the modern economics: electron. journal], 2007, No. 4. URL http://www.m-economy.ru/art.php?nArtId=1657 (Accessed 22.07.2017).

REFERENCES

(4), pp. 1-3.

149.