Оптимизационное технологическое проектирование: бипараметрическая макси-минная задача Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл №ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155М 1994-0408_

Оптимизационное технологическое проектирование: бипараметрическая макси-минная задача # 04, апрель 2011

авторы: Лазаренко А. Г., Лазаренко Г. П.

УДК 658.51

МГТУ им. Н.Э. Баумана info@rk9.bmstu.ru

Проектирование машиностроительных производственных процессов органически связано с решением технологических задач, характеризующихся большим количеством взаимосвязанных изменяемых факторов и альтернативностью возможных исходов. Одной из важных проблем в задачах такого типа является проблема макси-минной оптимизации при которой качество разрабатываемого проекта оценивается по совокупности значений двух параметров, причём, повышению качества проекта соответствует увеличение одного из этих параметров и уменьшение другого. Оптимизационное решение такой задачи направлено на достижение максимального значения повышающего параметра проекта при минимально возможном значении понижающего параметра. Например, - разработка технологического процесса, обеспечивающего максимальную производительность при минимально возможных производственных затратах.

В обсуждаемом нами подходе, для решения такой задачи предлагается использовать моделирование проектируемого процесса на направленной сети N (рис. 1.)

Направленная сеть [1, 2]. является частным случаем ориентированного графа и состоит из следующих семантических связанных элементов: множество вершин Е; множество дуг А; весовая функция текущих дуговых потоков Е; весовая функция пропускной способности дуг £ и весовая функция цены дуговых потоков Р (1).

И= Е иА иЕ иР

Е= {х/, Х2, ... Хе ... Хе}

А={... (хе, хе+0,...},

Е={/(хе, хе+,)} | V (хе, хе+/) еА Ь={1(хе, хе+/)} I V (хе, хе+1) еА Р {р(хе, хе+/)} | \/ (хе, хе+[) еА

Л

> (1)

Целью макси-минной оптимизации сетевой модели является формирование такой конфигурации дуговых потоков, при которой

достигается максимальный сетевой поток тахЕъ>, обладающий минимальной

„ ттт-М стоимостью Р .

Постановка рассматриваемой нами макси-минной оптимизационной задачи была сформулирована в работе [3], авторы которой применили её для

анализа и минимизации рисковой угрозы проектов. Графоаналитическая концепция предложенного метода, на наш взгляд, является достаточно универсальной и может быть применена к решению широкого круга макси-минных проектных задач, включая задачи технологического проектирования (рис. 2). Заметим, однако, что технологическое проектирование

характеризуется своей спецификой, в связи с чем, разработка и использование сетевой модели для решения макси-минных производственных задач требует её производственной интерпретации [4], и апробации макси-минной методологии на практическом примере решения технологической задачи.

Сформулировать исходные данные для моделирования проектируемого техпроцесса

Интерпретировать исходные технологические данные в понятиях направленной сети

Сформировать топологическую схему направленной сети, моделирующую проектируемый техпроцесс

Произвести псевдоиерархичесое преобразование созданной сетевой модели

Построить дерево э^путей для выявления сквозных потоков сети

Определить максимальный поток минимальной стоимости исследуемой сетевой модели

Интерпретировать результаты сетевого моделирования в понятиях исходной технологической задачи

Рис. 2. Общая графоаналитическая концепция решения макси-минной сетевой задачи при технологическом проектировании.

Одной из ключевых процедур графоаналитического метода является псевдоиерархическое преобразование И1^ : N к1егИ исходной сетевой модели процесса (рис. 3) и заключается в упорядочивании и

пространственном структурировании общей топологии сети:

с! с2 сЗ

*■ ск = 1,сН

Рис. 3. Схема псевдоиерархического преобразования сетевой модели:

N - исходная топологическая сетевая модель процесса: /?Л - функция преобразования; л,егЛг - псевдоиерархическая сетевая модель процесса; й= 1,Н-текущий номер псевдоиерархического уровня сети: ск = 1,сН - текущий номер разреза дуг сети на й-ом уровне псевдоиерархически преобразованной сетевой модели; т = 1,М - текущий номер дуги, лежащей в текущем разрезе поеобоазованной сетевой модели.

Псевдоиерархическая модель сети позволяет найти значение максимального сетевого потока (2):

Минимизация стоимости максимального потока тах Е является следующим этапом и требует преобразования псевдоиерархической сетевой

И1еГлт ^ ^ И1егттг

модели N в дерево ^/-путей V.

Посторенние дерева ^/-путей Иш: ИеrN ЬегЖ является важной

компонентой метода, так как топологическая конфигурация и весовые функции сквозных путей играют роль исходных данных для логической формализации процесса выявления перечня всех существующих в сети

сквозных потоков, величины потоков на этих ^/-путях №^)1} \Уі=[1,ї], а также, - для определения цены этих потоков {P(st)i} \Уі=[1,ї].

Общая схема такого преобразования показана на рис. 4.

Общая концепция поиска максимального сетевого потока

минимальной стоимости таахР^ & ттРм описывается алгоритмом,

представленным на рис.5.

Для иллюстрации рассмотренной методики бипараметрического макси-минного технологического проектирования рассмотрим пример, применяя общую концепцию графоаналитического решения сетевой задачи (рис. 2).

Исходные технологические данные Требуется спроектировать топологическую структуру технологического процесса изготовления детали, имеющей следующий общий технологический маршрут; токарная обработка фрезерная

обработка шлифовальная обработка. Технологический процесс должен обеспечивать максимальную производительность и минимальные

производственные затраты при реализации его на участке механообработки, имеющем станочный парк, описанный в таблице 1.

Показатели участка механической обработки Табл. 1.

Группа станков Производительность, дет./час Издержки производства, руб./дет.

Токарная (Т) 40 1

Фрезерная (Ф) 10 1

Сверлильная (С) 20 1

Фрезерносверлильная (ФС) 20 3

Токарнофрезерная (ТФ) 20 3

Токарнофрезерносверлильная (ТФС) 10 3

Интерпретация технологических данных в понятиях сетевого моделирования

При сетевом моделировании производственных возможностей заданного участка механической обработки, производственно-экономические показатели участка приобретают следующее толкование:

- производительность группы станков = пропускная способность дуг сети;

- текущая загрузка группы станков = текущий поток на дугах сети;

- издержки производства = цена единицы потока на дугах сети

- производительность участка = максимально достижимый сетевой поток;

- текущая загрузка участка = текущее значение сетевого потока;

- суммарные издержки участка = стоимость сетевого потока.

Формирование топологической схемы направленной сети, моделирующей проектируемый техпроцесс

Сетевая оптимизационная модель разрабатываемого макси-минного технологического процесса должна содержать все возможные технологические маршруты изготовления заданной детали на заданном

участке механической обработки. В соответствии с исходными данными рассматриваемой задачи, такая модель имеет вид, представленный в табл.2. и на рис. 6

Маршруты обработки детали и их пути на сетевой модели Табл. 2.

Маршрут обработки Путь на сетевой модели

ТФС Б 4

Т - ФС Б - х1 - t

С ё - Т - 2 т х1 -

С ё Т - 2 -

Рис. 6. Сетевая оптимизационная модель технологического процесса

Псевдоиерархичесое преобразование созданной сетевой модели

Исходная сетевая модель не требует псевдоиерархического преобразования, так как её топология уже имеет конфигурацию, эквивалентную псевдоиерархической структуре.

По совокупности результатов, полученных от разрезов всех уровней

~ тахт~№ с а

псевдоиерархической сети получаем - Ь = 50.

Построение дерева э^путей

Для построения дерева st-путей разделяем все сквозные st-пути W(st) сети в вершине-стоке. Конфигурация дерева st-путей для условий рассматриваемой задачи представлена на рис. 7.

Схема дерева st-путей показывает, что на сети могут быть реализованы в различных сочетаниях четыре st-потока, причём, потоки W(st)2 и W(st)3 имеют дугу совместного использования ^, х1), а потоки W(st)3 и W(st)4 -дугу совместного использования (х2, £).

Определение максимального потока минимальной стоимости на исследуемой сетевой модели Анализируем варианты допустимых сочетаний st-потоков сети и

~ шаХтЫ ТТ

выделяем альтернативы, в которых реализуется сетевой поток Г . Для этих

~ шахт-Ы о шт-глЫ

альтернатив определяем их цены и находим искомый поток Г & Р .

Для рассматриваемого здесь случая имеет два альтернативных

шахгЫ

максимальных сетевых потока Г :

шахрЫ1 ^ф)1 & W(st)2 & W(st)4) = 50 шахрЫ2 (W(st)1 & W(st)2 & W(st)3 & W(st)4) = 50

тт шах-гЫ

Дуговые потоки для этих Г равны приведённым ниже значениям:

шахГЫ1 = (1^Д)=10, l(s,x1)=20,1(х1Д)=20, l(s,x2)=20, l(x2,t)=20}

шахГЫ2 = {l(s,t)=10, l(s,x1)=30, l(x1,t)=20,1(х1,х2)=10, l(s,x2)=10, 1(х,2Д)=20}

Цены этих сетевых потоков с учётом заданных цен потоков на дугах сети будут иметь следующие величины:

Р1 = 10*3 + 20*1 + 20*3 + 20*3 +20*1 = 190

Р2 = 10*3 + 30*1 + 29*3 + 10*1 + 10*3 + 20*1 = 180

Таким образом, на заданной сети может быть достигнут максимальный

шахгЫ сг\ „ ~ „ шгптЫ л ол

поток Г 2 = 50, имеющий минимальную стоимость Р 2 = 180,

Такой сетевой поток реализуется при использовании второй альтернативной структуры st-путей на заданной сети и при найденной структуре распределения дуговых потоков: шахрЫ2 ^01 & W(st)2 & W(st)3 & W(st)4) = 50

шахГЫ2 = {l(s,t)=10, 1^,х1)=30, l(x1,t)=20,1(х1,х2)=10, l(s,x2)=10, l(x,2,t)=20}

Интерпретация результатов сетевого моделирования в понятиях исходной технологической задачи Для организации технологического процесса изготовления заданной детали при заданным общим технологическом маршрутом и на заданной системе станочного оборудования, для достижения максимальной производительности участка механической обработки при минимально возможных производственных затратах, необходимо распределить технологические потоки предмета труда по следующей схеме:

- токарная обработка - 30 дет/час

- фрезерная обработка - 10 дет/час

- сверлильная обработка - 20 дет/час

- фрезерносверлильная обработка - 20 дет/час

- токарнофрезерная обработка - 10 дет/час

- токарнофрезерно-сверлильная обработка - 10 дет/час

Заключение

Обобщая рассмотренные выше закономерности, можно сформировать общий подход к определению максимального потока минимальной стоимости на направленной сетевой модели. Алгоритм данного проектного процесса (рис. 5) представляет собой простую последовательность логикоматематических процедур, которая предлагает формализуемую схему решения рассматриваемой оптимизационной задачи и создаёт базу для автоматизации рассмотренной области инженерной деятельности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ford L.R., Fulkerson D.R. Flows in networks - Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1962. - 276 р.

2. Edward Minieka. Optimization Algorithms for Networks and Graphs - Marcel Dekker, Inc., New York and Basel, 1978. - 323 р.

3. Омельченко И.Н., Лазаренко А.Г. Графоаналитическое решение логистической задачи о максимальном сетевом потоке минимальной стоимости - Вестник машиностроения, 2007 г., №9, с.71-73.

4. Лазаренко Г.П., Лазаренко А.Г. Метод оптимизации проектирования маршрутных технологических процессов. - «Наука и Образование: электронное научно-техническое издание». 2011, № 2, февраль, URL http://technomag.edu.ru/doc/166884.html