CC BY
2
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 66
Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science
ИНФОРМАТИКА И ПРОГРАММИРОВАНИЕ INFORMATICS AND PROGRAMMING
Научная статья
УДК 519.6, 004.942
doi: 10.17223/19988605/66/8
Оптимальный выбор начальных условий задачи Коши и его применение для расчета начального состава реакционной смеси
Евгения Викторовна Антипина1, Светлана Анатольевна Мустафина2, Андрей Федорович Антипин3
12 Уфимский университет науки и технологий, Уфа, Россия 3 Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологий, Стерлитамак, Россия
1 stepashinaev@ya. ru 2 mustafina_sa@mail. ru 3 andrejantipin@ya.ru
Аннотация. Статья посвящена разработке численного алгоритма оптимального выбора начальных условий задачи Коши и его применению к задаче оптимального выбора начальных концентраций веществ химической реакции. В общем виде сформулирована задача определения оптимального состава реакционной смеси на основе кинетической модели реакции. Разработан пошаговый алгоритм для решения задачи с использованием метода штрафов и метода Хука-Дживса. Преимуществом алгоритма является учет физико-химических особенностей задачи. На основе сформулированного алгоритма разработан программный комплекс для каталитической реакции синтеза ^(адамантил)ацетамида. С его помощью вычислены оптимальные концентрации реагентов реакции, при которых достигается наибольшее значение концентрации целевого продукта.
Ключевые слова: метод штрафов; метод Хука-Дживса; программный комплекс; химическая реакция; оптимальные концентрации реагентов.
Благодарности: Исследование выполнено в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FZWU-2023-0002).
Для цитирования: Антипина Е.В., Мустафина С.А., Антипин А.Ф. Оптимальный выбор начальных условий задачи Коши и его применение для расчета начального состава реакционной смеси // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 66. С. 76-86. doi: 10.17223/19988605/66/8
Original article
doi: 10.17223/19988605/66/8
Optimal choice of initial conditions of the Cauchy problem and its application to the calculation of the initial composition of the reaction mixture
Evgenia V. Antipina1, Svetlana A. Mustafina2, Andrey F. Antipin3
12 Ufa University of Science and Technology, Ufa, Russian Federation 3 Sterlitamak branch of Ufa University of Science and Technology, Sterlitamak• Russian Federation
1 stepashinaev@ya. ru
© Е.В. Антипина, С.А. Мустафина, А.Ф. Антипин, 2024
2 mustafina_sa@mail. ru 3 andrejantipin@ya.ru
Abstract. The article is devoted to the development of a numerical algorithm for optimal selection of initial conditions of the Cauchy problem and its application to the problem of optimal selection of initial concentrations of substances in a chemical reaction. In general form, the problem of determining the optimal composition of the reaction mixture is formulated based on the kinetic model of the reaction. A step-by-step algorithm has been developed to solve the problem using the penalty method and the Hooke-Jeeves method. The advantage of the algorithm is that it takes into account the physical and chemical features of the problem. Based on the formulated algorithm, a software package has been developed for the catalytic reaction of the synthesis of N-(adamantyl)acetamide. With its help, the optimal concentrations of the reaction reagents were calculated, at which the highest concentration of the target product is achieved.
Keywords: penalty method; Hook-Jeeves method; software package; chemical reaction; optimal concentrations of reagents.
Acknowledgments: This research was funded by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (scientific code FZWU-2023-0002).
For citation: Antipina, E.V., Mustafina, S.A., Antipin, A.F. (2024) Optimal choice of initial conditions of the Cauchy problem and its application to the calculation of the initial composition of the reaction mixture. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 66. pp. 76-86. doi: 10.17223/19988605/66/8
Введение
Для исследования закономерностей протекания динамических процессов широко применяются математические методы. Например, динамический процесс можно описать с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальные условия задачи Коши задают начальное состояние процесса, и варьируя ими можно влиять на его поведение. Практически значимой задачей исследования каталитических процессов является задача определения оптимального состава реакционной смеси. Иными словами, требуется определить, в каком количестве взять тот или иной реагент, чтобы в конце реакции получить продукт требуемого качества или обеспечить выполнение количественного показателя процесса. Данную задачу можно решить путем применения кинетического подхода и методов оптимизации. Созданное на основе математического описания процесса программное обеспечение позволит без проведения многократных химических экспериментов определить оптимальные условия его ведения и тем самым значительно удешевить себестоимость синтеза веществ. Поэтому разработка алгоритма и программного обеспечения для расчета оптимальных концентраций реагентов является актуальной задачей и представляет научный интерес.
Основой описания каталитического процесса является кинетическая модель реакции, которая включает в себя перечень реагентов, отдельных стадий их превращения, уравнение скоростей стадий, зависящих от концентраций реагентов и температуры. Математическое описание изменения концентраций реагирующих веществ во времени можно представить в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, начальные условия которой определяют начальный состав реагирующей смеси.
Задача определения набора начальных концентраций реагентов, обеспечивающих выполнение заданного количественного или качественного критерия, представляет собой оптимизационную задачу и обладает несколькими особенностями. Во-первых, нелинейностью модели динамики процесса, обусловленной экспоненциальной зависимостью констант скоростей от температуры. Данная особенность ограничивает применимость некоторых методов оптимизации, например линейного программирования [1, 2]. Во-вторых, ввиду сложных химических превращений в реакционной системе содержится большое количество промежуточных веществ. Это приводит к большой размерности системы дифференциальных уравнений, описывающей протекание процесса. Поэтому возникают трудности в применении метода динамического программирования ввиду ресурсоемких вычислений [3-5].
В-третьих, при решении задачи следует учитывать ограничения, накладываемые на значения начальных концентраций веществ. Данная особенность подразумевает применение численных методов поиска условного экстремума. В-четвертых, в ходе поиска оптимальных начальных концентраций необходимо контролировать выход суммы их значений за пределы значения заданной начальной суммарной концентрации.
В работе [6] приведен алгоритм расчета оптимальных начальных концентраций веществ химических реакций на основе эвристического метода искусственных иммунных систем. Недостатком данного алгоритма является отсутствие этапа проверки выполнения условия равенства суммы рассчитанных начальных концентраций заданному значению. Алгоритм применим только для реакций, в которых содержится два исходных вещества, тогда как в большинстве случаев сложные химические превращения включают в себя три и более исходных веществ.
В работе [7] показано решение задачи поиска оптимального значения начальной концентрации диизобутилалюминийгидрида для полимеризации изопрена на неодимсодержащей каталитической системе. В качестве критерия оптимальности рассмотрено достижение среднемассовой молекулярной массы заданного значения. Вычисления проведены с помощью генетического алгоритма на основе кинетической модели реакции. В данной работе исследование ограничено поиском оптимальной начальной концентрации только одного компонента реакционной системы.
Поэтому возникает необходимость разработки численного алгоритма и соответствующего программного обеспечения для поиска оптимального начального состава реакционной смеси, состоящей из трех и более исходных веществ. Алгоритм должен учитывать перечисленные физико-химические особенности задачи. Для учета ограничений, накладываемых на значения начальных концентраций веществ и на их суммарную концентрацию, можно применить метод штрафов [8-11]. С помощью метода штрафов предлагается перейти к задаче поиска безусловного экстремума, а затем решить задачу без ограничений с помощью метода Хука-Дживса [12, 13].
1. Постановка задачи
Задачу выбора оптимального начального условия задачи Коши сформулируем на примере модели химической реакции, механизм протекания которой можно представить в виде схемы
ПапХ, , * = 1т, (1)
1=1 1=1
где X - образующиеся и расходующиеся вещества в ходе химических превращений, ая-, Ь^ - сте-хиометрические коэффициенты веществ.
Изменение концентраций веществ Хг во времени описывается системой дифференциальных уравнений [14]
Шх т ;—
~± ^, 1 = 1, п, (2)
Ш *=1
с начальными условиями
х(0) = х0, (3)
где х(0 = (х^),х2(0,...,хп(?)) - вектор концентраций веществ, I е [0,т] - время, V* = Ь-а*1 - разность стехиометрических коэффициентов до и после взаимодействия веществ, Пз = ^ (х, Т) - скорость 5-й стадии реакции.
Кинетическое уравнение реакции согласно закону действующих масс имеет вид [15]:
п
п* (х,Т) = к* (Т )П х", (4)
1=1
где Т - температура реакции, ка (Т) - константа скорости 5-й стадии реакции (1), рассчитываемая по уравнению Аррениуса:
ks (T) = k0exP
f E
--i. I= 1, m, (5)
RT 1
где к0 - кинетическая константа, Е - энергия активации 5-й стадии, R - универсальная газовая постоянная.
Вектор х0 = (х0,х0,...,х0) представляет собой вектор начальных концентраций веществ. Обозначим за С0 суммарную концентрацию веществ в начальный момент времени, т.е.
п п
с0 = 1 *0. (6)
1=1
При этом на значения концентраций веществ в начальный момент времени наложены ограничения
ха < Х0 < хЬ ,1 = 1п. (7)
Задача определения оптимального начального состава реакционной смеси состоит в поиске ра х0 = ( вой функции
0, 0 0 0ч - " (С\ ti\
вектора x = (хг ,х2,...,xn), который с учетом условии (6), (7) доставляет минимальное значение целе-
F (x0) = ф( x(x)). (8)
2. Численный алгоритм определения оптимального начального состава реакционной смеси
Задача оптимизации начальных концентраций (1)-(8) представляет собой задачу поиска условного экстремума функции (8), поскольку имеются условия (6), (7), ограничивающие область поиска решения.
Для решения задачи условного экстремума применяется две группы численных методов: методы возможных направлений и методы последовательной безусловной оптимизации [13].
К методам возможных направлений относятся методы непосредственного решения задачи условной оптимизации, основанные на переходе от одной допустимой точки к другой допустимой точке с лучшим значением целевой функции (метод проекции градиента, метод Зойтендейка, метод Франка-Вульфа).
Метод проекции градиента сходится только для выпуклых дифференцируемых функций. Для невыпуклых задач его применение неэффективно. Методы Зойтендейка и Франка-Вульфа применимы для задач, у которых система ограничений состоит только из линейных неравенств. Кроме того, применение данных методов подразумевает необходимость решения подзадач линейного программирования.
Основная идея методов второй группы заключается в том, чтобы преобразовать задачу условной оптимизации в последовательность задач безусловной оптимизации путем введения в рассмотрение вспомогательных функций. Одним из таких методов является метод штрафов, преимущество которого - возможность применения эффективных и надежных методов безусловной оптимизации, а также невысокая сложность программной реализации.
Для решения задачи (1)-(8) применим метод штрафов, позволяющий свести сформулированную задачу к задаче без ограничений.
Рассмотрим вспомогательную функцию
G(x°) = F(x0) + J(x0, qk) ^ min, (9)
где J (x0, qk) - функция штрафов, такая что J (x0, qk) = 0, если ограничения (6), (7) выполняются, и J(x0,qk) > 0 в противном случае. Если ограничения (6), (7) нарушены и qk ^ да при k ^ да, то J(x0,qk) ^да при k ^ да.
Введем в рассмотрение следующие функции:
/(x0) = О,-£x°, p, (x0) = xf - x0, g, (x0) = x0 - xb. t=1
Для ограничения типа равенств /(х0) = 0 применим квадратичный штраф, для ограничений типа неравенств р1 (х0) < 0, gi (х0) < 0, 1 = 1, п, - квадрат срезки. Поэтому представим функцию штрафов в виде функции
¿(х°, Чк) = ^ {[/(х°)]2 + £ [шах{0,рг(х0)}]2 + £ [шах{0, gг(x0)}]2 (10)
Для решения задачи оптимизации (1)-(5), (10) без ограничений применим метод Хука-Дживса. Процедура поиска решения оптимизационной задачи с помощью данного метода включает в себя два этапа: исследующий поиск и ускоряющий поиск по образцу [13]. Найденный вектор начальных концентраций х0 = (х°, х°,..., х°), при котором функция (9) принимает наименьшее значение, является начальным для следующей итерации метода штрафов. Таким образом, алгоритм определения оптимальных начальных концентраций химической реакции состоит из следующих шагов.
Шаг 1. Задать параметры для метода штрафов: номер текущей итерации к = 0, начальное значение штрафа д0, параметр для увеличения штрафа г (рекомендуется выбрать число от 4 до 10 [13]), константу в1 > 0 для окончания работы алгоритма.
Шаг 2. Задать параметры метода Хука-Дживса: начальный вектор концентраций
х° = (х°1,х°2,...,х°п), величины шагов по координатным направлениям кг,к1,...,Нп, константу 82 > 0
для окончания работы метода Хука-Дживса (к >е2,1 = 1,п), ускоряющий множитель X > 0, параметр уменьшения шага ц
Шаг 3. Положить у = х°. Установить номер текущей координаты вектора начальных концентраций равным 1: 7 = 1.
Шаг 4. Решить прямую кинетическую задачу с начальными условиями х° = (х^,х°2,...,х°). Вычислить значение целевой функции О( х°).
Шаг 5. Решить прямую кинетическую задачу с начальными условиями х°+ = (х^,...,х° + + к,..., х^ ). Вычислить значение целевой функции О (х°+).
Шаг 6. Проверить, является ли шаг И, удачным. Если х°+) < х°), то положить х° = х°+ и перейти к шагу 10. Иначе перейти к шагу 7.
Шаг 7. Решить прямую кинетическую задачу с начальными условиями х°_ = (х^,...,х° -
-к,...,х°). Вычислить значение функции О(х°_).
Шаг 8. Проверить условие, является ли шаг И, удачным в противоположном направлении. Если С(х°_) < О(хк), то положить х° = х°_ и перейти к шагу 10. Иначе перейти к шагу 9.
Шаг 9. Если шаг И, неудачный в обоих направлениях, то оставить вектор начальных концентраций х° без изменений.
Шаг 10. Если рассмотрены все координаты (г = п), то проверить, является ли исследующий поиск удачным. Если О(х°) < О(у), т.е. произошло уменьшение значения целевой функции, то исследующий поиск прошел успешно и следует перейти к шагу 11. В противном случае перейти к шагу 12. Шаг 11. Провести поиск по образцу. Положить г = х°, х° = 2 + Л( г — у) и перейти к шагу 3. Шаг 12. Проверить условие окончания работы алгоритма метода Хука-Дживса. Если для всех 7 (7 = 1, п) выполнено неравенство
к, <82, (11)
то перейти к шагу 13. В противном случае уменьшить значение шага к = к для тех 7, для которых не выполнено неравенство (11), и перейти к шагу 3.
Шаг 13. Проверить условие окончания поиска решения. Если J(x0,qk) >81, то положить qk+1 = r • qk, k = k +1 и перейти к шагу 3. Иначе остановить поиск решения. В качестве решения задачи определения оптимальных начальных концентраций реакции принять последний вектор x0.
3. Вычислительный эксперимент
Алгоритм выбора оптимальных начальных условий Коши применительно к задачам химической кинетики реализован в виде программного комплекса в системе программирования Delphi. Рассмотрим применение этого комплекса для задачи определения оптимальных начальных концентраций для каталитической реакции синтеза ^(адамантил)ацетамида. Продукты данной реакции применяются для получения противовирусных лекарственных препаратов, используемых для лечения и профилактики тяжелых заболеваний.
Схема реакции синтеза ^(адамантил)ацетамида взаимодействием 1-бромадамантана с ацето-нитрилом под действием комплексов марганца представляется совокупностью стадий [16]:
X1 + X2 ^X3 + X4, Хз + X ^X6,
X6 оX7,
Х7 + X8 ^X9, (12)
X9 ^ X10 + X10 ^ X12, X 4 + X11 ^ X 2 + X13,
где Xi - CicHisBr, X2 - Mn, X3 - C10H15, x4 - MnBr, X5 - CH3CN, Xs - C1QH15NCCH3, X7 - C1QH15NCCH3, Xs - H2O, X9 - C1QH15NH2COCH3, X10 - C1QH15NHCOCH3, X11 - H+, X12 - C1QH15NHCOCH3, X13 - HBr.
Кинетические уравнения стадий реакции (12) имеют вид:
Wi( x,T) = ki(T ) xix2, w2( x,T) = k2(T ) x3 x5,
w3( x,T) = k3(T ) x6,
w4( x,T) = k4(T) x7, w5 (x, T) = k5 (T) x7 x8, w6( x,T ) = k6(T ) x9,
w7( x,T) = k7(T ) xio,
w8( x,T) = k8(T ) x4 x11,
где x - концентрация /-го вещества (моль/л), ks (T) - константа скорости 5-й стадии (1/ч для s = 3, 4, б, 7; л/(моль-ч) для s = 1, 2, 5, 8), рассчитываемая по уравнению Аррениуса.
Кинетическая модель данной реакции представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dx 8 -
~± = 2 , i = 1,13, (13)
dt s=1
с начальными условиями
x1(0) = x10, x2(0) = x0, x5 (0) = x° , x8 (0) = x80,
х} (0) = 0, I = 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13. (14)
В таблице 1 приведены значения стехиометрических коэффициентов \ ^.
Численные значения кинетических параметров реакции синтеза ^(адамантил)ацетамида приведены в работе [16].
Таблица 1
Значения стехиометрических коэффициентов (v si)
s\i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 -1 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0
8 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1
Исходными веществами реакции (12) являются Xi, X2, X5, X%. Концентрации данных веществ в начальный момент времени связаны соотношением
x0 + x0 + Х0 + Х0 = C0. (15)
Зададим начальную суммарную концентрацию реагентов Co = 10 моль/л.
Пусть на допустимые значения начальных концентраций исходных веществ наложены ограничения
0 < x0 < С0, j = 1,2,5,8. (16)
Начальные концентрации остальных веществ равны нулю.
Поскольку целевым продуктом реакции (12) является вещество X12, рассмотрим в качестве критерия оптимальности максимальное значение концентрации веществаX12 в конце реакции:
F(x0) = -x12(x) ^ min. (17)
Необходимо для реакции (12) определить вектор начальных концентраций реагентов x0 = (x20, x50, x80), удовлетворяющий условиям (15), (16) и доставляющий минимум критерию оптимальности (17).
Для решения сформулированной задачи разработан программный комплекс в среде визуального программирования Delphi (рис. 1).
OptimReagent
Параметры процесса | Метод Хчка-Джив' < i Ч Графики Численное решение | Т= [203 К
п= |500
Начальные концентрации
со= [То х1(0)=[з х2(0)=[Т х5(0)=[з х8(0) = [з
моль/л моль/л моль/л моль/л моль/л
Концентрации веществ
2.923 0.437730 1.137300 0.126650 0,445400 0,103590 0,008162 0.029509
2.334 0.435800 1,138300 0.127240 0,445020 0,102240 0.008033 0.023685
2.340 0,433860 1.138700 0,127840 0,444630 0,100300 0,008037 0,023863
2.346 0,431340 1,139100 0,128440 0,444250 0,099577 0,007974 0,030042
2,952 0,430030 1,139400 0,129040 0,443880 0,098263 0,007911 0,030222
2,958 0,428120 1,139800 0,129640 0,443500 0,096960 0,007849 0,030403
2,964 0,426220 1,140200 0,130250 0,443130 0,095669 0,007796 0,030596
2,970 0.424330 1.140600 0,130860 0,442760 0.094389 0,007724 0,030770
2.376 0.422450 1.140300 0.131470 0.442400 0.093120 0,007662 0,030955
2.382 0,420570 1.141300 0.132030 0.442040 0.031862 0.007600 0,031142
2,388 0,418700 1.141600 0.132710 0.441680 0.030615 0,007538 0,031323
2,334 0,416840 1,142000 0,133340 0,441320 0,083380 0,007477 0,031518
3,000 0,414390 1,142400 0,133970 0,440970 0,088156 0,007415 0,031708
Решение задачи поиска оптимальных концентраций реагентов Оптимальные начальные концентрации веществ Х1(0)=[ЗЛ4~
х2(0) = pL95
со= [То-
моль/л моль/л моль/л
х5(0)= [2ДГ х8(0)= ¡2лГ
моль/л моль/л
Критерий оптимальности
0:00:40
х12 (tau) = |2,32
моль/л
Рис. 1. Главное окно программного комплекса Fig. 1. Main window of the software package
Для пользователя имеется возможность ввода параметров химической реакции и параметров алгоритма. Результаты вычислений представляются в численном и графическом виде.
Реакция рассмотрена при температуре Т = 130°С продолжительностью т = 2 ч. Начальная суммарная концентрация исходных веществ С0 принята равной 10 моль/л.
Функция штрафов для задачи (12)-(17) имеет вид:
к (г -,2 2 2
J( х°, дк) = ^ с0_( х0+ х2+ х0+ х0) + 2 Гшах{0, — хг0}] + 2 Гшах{0, хг0 — С0}1 .
2 у'" ] г=1,2,0,8' ] г= 1,2,0,8' ] ,
При решении задачи (12)-(17) применены следующие параметры алгоритма метода штрафов и метода Хука-Дживса: начальное значение штрафа = 1, параметр для увеличения штрафа г = 8, константы 8! =82 = 10_3, начальный вектор концентраций реагентов х° = (3,1, 3, 3), величины шагов по координатным направлениям к = 0,1 (7 =1, 2, 5, 8), ускоряющий множитель X = 0,3, параметр уменьшения шага ц = 2.
В результате проведенных вычислений получен следующий набор начальных концентраций реагентов (моль/л):
х0 = 3,14, х20 = 1,90, х00 = 2,00, х80 = 2,41, (18)
при котором достигается наибольшее значение концентрации целевого продукта реакции Х12, равное 2,32 моль/л.
На рис. 2, 3 приведены изменения концентраций исходных веществ и целевого продукта реакции с течением времени.
Рис. 2. Динамика концентраций исходных веществ Рис. 3. Динамика концентрации целевого вещества
Fig. 2. Dynamics of concentrations of initial substances Fig. 3. Dynamics of target substance concentration
В табл. 2 приведены результаты решения системы дифференциальных уравнений (13) при некоторых начальных условиях (14), удовлетворяющих ограничениям (15), (16).
Таблица 2
Зависимость концентрации вещества X5 от начальных концентраций реагентов
№ X°, моль/л x°, моль/л моль/л X0, моль/л X12 (т), моль/л
1 3 1 3 3 1,49
2 3 3 1 3 1
3 3 3 3 1 1
4 4 2 2 2 1,99
5 2 2 4 2 1,68
6 2 2 2 4 1,64
7 5 1 2 2 1,86
Окончание табл. 2
№ X0, моль/л X0, моль/л X0, моль/л X0, моль/л X12 (т), моль/л
8 5 2 1 2 1
9 5 2 2 1 1
10 2 1 5 2 1,09
11 2 2 5 1 1
12 2 1 2 5 1,08
13 6 1 1 2 1
14 6 1 2 1 1
15 6 1 1 0,99
16 2 1 6 1 0,99
17 1 1 6 2 0,61
18 1 6 1 0,87
19 2 1 1 6 0,93
20 1 1 2 6 0,61
21 7 1 1 1 0,99
22 3,14 1,95 2,50 2,41 2,32
Из табл. 2 видно, что наибольшее значение концентрации целевого продукта реакции обеспечивает набор начальных концентраций реагентов (18). Поэтому можно сделать вывод о корректной работе алгоритма определения оптимального начального состава реакционной смеси.
Заключение
Разработанный алгоритм можно применять для решения задачи оптимального выбора начальных условий задачи Коши. В основу алгоритма положены метод штрафов и метод Хука-Дживса. Алгоритм учитывает такие особенности задачи, как наличие ограничений на значения начальных концентраций веществ и ограничения на начальную суммарную концентрацию веществ. Алгоритм применим для исследования каталитических реакций с нелинейной динамикой, в том числе и для реакций, содержащих три и более исходных веществ. На основе алгоритма разработан программный комплекс для расчета начальных концентраций реагентов.
Работа программного комплекса апробирована на реакции синтеза ^(адамантил)ацетамида, описываемой нелинейной системой дифференциальных уравнений. Определены начальные концентрации реагентов, при которых достигается наибольшее значение концентрации целевого продукта реакции. При этом выполнены физико-химические ограничения задачи. Сравнение полученного значения концентрации целевого продукта реакции с его значением, вычисленным при других начальных концентрациях, показало, что рассчитанный с помощью алгоритма набор начальных концентраций реагентов обеспечивает достижение наибольшего значения концентрации целевого продукта реакции.
Список источников
1. Royce N.J. Linear Programming Applied to Production Planning and Operation of a Chemical Process // Journal of the Operational
Research Society. 1970. V. 21. P. 61-80.
2. Santos L., Villas-Boas F., Oliveira A.R.L., Perm C. Optimized choice of parameters in interior-point methods for linear program-
ming // Computational Optimization and Applications. 2019. V. 73 (1). P. 535-574.
3. Biegler L.T. Integrated Optimization Strategies for Dynamic Process Operations // Theoretical Foundations of Chemical Engineering.
2017. V. 51 (6). P. 910-927.
4. Dadebo S.A., Mcauley K.B. Dynamic optimization of constrained chemical engineering problems using dynamic programming //
Computers & Chemical Engineering. 1995. V. 19 (5). P. 513-525.
5. Pan Y., Fei Z.-S., Zhao L., Liang J. Dynamic optimization for chemical process based on improved iterative dynamic program-
ming algorithm // Journal of East China University of Science and Technology. 2013. V. 39 (1). P. 61-65.
6. Антипина Е.В., Антипин А.Ф. Алгоритм расчета оптимальных начальных концентраций веществ химических реакций //
Вестник Технологического университета. 2017. Т. 20, № 13. С. 84-87.
7. Антипина Е.В., Мифтахов Э.Н., Мустафина С.А. Поиск оптимального значения начальной концентрации диизобутил-
алюминийгидрида для регулирования молекулярной массы полиизопрена на неодимсодержащей каталитической системе // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Химия. 2020. № 3 (41). С. 52-64.
8. Jiang C., Lin Q., Yu C., Teo K.L., Duan G.R. An Exact Penalty Method for Free Terminal Time Optimal Control Problem with
Continuous Inequality Constraints // Journal of Optimization Theory and Applications. 2012. V. 154. P. 30-53. doi: 10.1007/s10957-012-0006-9
9. Smith S., Mayne D.Q. Exact penalty algorithm for optimal control problems with control and terminal constraints // International
Journal of Control. 2007. V. 48 (1). P. 257-271.
10. Gugat M., Zuazua E. Exact penalization of terminal constraints for optimal control problems // Optimal Control Applications and Methods. 2016. V. 37 (6). P. 1329-1354.
11. Антипина Е.В., Мустафина С.А., Антипин А.Ф., Морозкин Н.Д. Алгоритм решения задачи оптимального управления химико-технологическим процессом с терминальными ограничениями // Инженерные технологии и системы. 2022. Т. 32, № 3. С. 410-422. doi: 10.15507/2658-4123.032.202203.410-422
12. Бушуев А.Ю., Ряузов С.С. Оптимизация конструкции твердотопливного модельного газогенератора // Математическое моделирование и численные методы. 2019. № 4 (24). С. 3-14.
13. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М. : Высшая школа, 2005. 544 с.
14. Быков В.И. Моделирование и оптимизация химико-технологических процессов. Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2002. 298 с.
15. Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.Н. Кинетические модели каталитических реакций. Новосибирск : Наука, 1983. 254 с.
16. Новичкова А.В. Численный анализ реакционной способности олефинов и алюминийорганических соединений на основе кинетических моделей частных и общих реакций : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2015. 110 с.
References
1. Royce, N.J. (1970) Linear Programming Applied to Production Planning and Operation of a Chemical Process. Journal of the
Operational Research Society. 21. pp. 61-80.
2. Santos, L., Villas-Boas, F., Oliveira, A.R.L. & Perm, C. (2019) Optimized choice of parameters in interior-point methods for linear
programming. Computational Optimization and Applications. 73(1). pp. 535-574.
3. Biegler, L.T. (2017) Integrated Optimization Strategies for Dynamic Process Operations. Theoretical Foundations of Chemical
Engineering. 51(6). pp. 910-927.
4. Dadebo, S.A. & Mcauley, K.B. (1995) Dynamic optimization of constrained chemical engineering problems using dynamic
programming. Computers & Chemical Engineering. 19(5). pp. 513-525.
5. Pan, Y., Fei, Z.-S., Zhao, L. & Liang, J. (2013) Dynamic optimization for chemical process based on improved iterative dynamic
programming algorithm. Journal of East China University of Science and Technology. 39(1). pp. 61-65.
6. Antipina, E.V. & Antipin, A.F. (2017) Algoritm rascheta optimal'nykh nachal'nykh kontsentratsiy veshchestv khimicheskikh reaktsiy
[Algorithm for calculation of optimal initial concentrations of substances of chemical reactions]. Vestnik Tekhnologicheskogo universiteta. 20(13). pp. 84-87.
7. Antipina, E.V., Miftakhov, E.N. & Mustafina, S.A. (2020) Poisk optimal'nogo znacheniya nachal'noy kontsentratsii diizobutil-
alyuminiygidrida dlya regulirovaniya molekulyarnoy massy poliizoprena na neodimsoderzhashchey kataliticheskoy sisteme [Search for the optimal value of the initial concentration of diisobutylaluminum hydride for the regulation of the polyisoprene molecular mass on a neodymium-containing catalytic system]. Vestnik Tverskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Khimiya. 41. pp. 52-64.
8. Jiang, C., Lin, Q., Yu, C., Teo, K.L. & Duan, G.R. (2012) An Exact Penalty Method for Free Terminal Time Optimal Control
Problem with Continuous Inequality Constraints. Journal of Optimization Theory and Applications. 154. pp. 30-53. DOI: 10.1007/s10957-012-0006-9
9. Smith, S. & Mayne, D.Q. (2007) Exact penalty algorithm for optimal control problems with control and terminal constraints.
International Journal of Control. 48(1). pp. 257-271.
10. Gugat, M. & Zuazua, E. (2016) Exact penalization of terminal constraints for optimal control problems. Optimal Control Applications and Methods. 37(6). pp. 1329-1354.
11. Antipina, E.V., Mustafina, S.A., Antipin, A.F. & Morozkin, N.D. (2022) Algoritm resheniya zadachi optimal'nogo upravleniya khimiko-tekhnologicheskim protsessom s terminal'nymi ogranicheniyami [Algorithm for solving the problem of optimal control of a chemical-technological process with terminal constraints]. Inzhenernye tekhnologii i sistemy - Engineering Technologies and Systems. 32(3). pp. 410-422. DOI: 10.15507/2658-4123.032.202203.410-422
12. Bushuev, A.Yu. & Ryauzov, S.S. (2019) Optimizatsiya konstruktsii tverdotoplivnogo model'nogo gazogeneratora [Optimization of the design of a solid fuel model gas generator]. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody - Mathematical Modeling and Computational Methods. 24. pp. 3-14.
13. Panteleev, A.V. & Letova, T.A. (2005) Metody optimizatsii v primerakh i zadachakh [Optimization Methods in Examples and Tasks]. Moscow: Vysshaya shkola.
14. Bykov, V.I. (2002)Modelirovanie i optimizatsiya khimiko-tekhnologicheskikh protsessov [Modeling and Optimization of Chemical-Technological Processes]. Krasnoyarsk: KSTU.
15. Yablonskiy, G.S., Bykov, V.I. & Gorban, A.N. (1983) Kineticheskie modeli kataliticheskikh reaktsiy [Kinetic models of catalytic reactions]. Novosibirsk: Nauka.
16. Novichkova, A.V. (2015) Chislennyy analiz reaktsionnoy sposobnosti olefinov i alyuminiyorganicheskikh soedineniy na osnove kineticheskikh modeley chastnykh i obshchikh reaktsiy [Numerical analysis of the reactivity of olefins and organoaluminum compounds based on kinetic models of particular and general reactions]: Physics and Mathematics Cand. Diss. Ufa, BSU.
Информация об авторах:
Антипина Евгения Викторовна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник управления научных исследований и разработок Уфимского университета науки и технологий (Уфа, Россия). E-mail: stepashinaev@ya.ru Мустафина Светлана Анатольевна - профессор, доктор физико-математических наук, проректор по развитию филиальной сети Уфимского университета науки и технологий (Уфа, Россия). E-mail: mustafina_sa@mail.ru
Антипин Андрей Федорович - доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и программирования Стерлитамакского филиала Уфимского университета науки и технологий (Стерлитамак, Россия). E-mail: andrejantipin@ya.ru
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Antipina Evgenia V. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Ufa University of Science and Technology, Ufa, Russian Federation). E-mail: stepashinaev@ya.ru
Mustafina Svetlana A. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Vice-Rector for Branch Network Development, Ufa University of Science and Technology, Ufa, Russian Federation). E-mail: mustafina_sa@mail.ru
Antipin Andrey F. (Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Sterlitamak branch of Ufa University of Science and Technology, Sterlitamak, Russian Federation). E-mail: andrejantipin@ya.ru
The author declares no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 16.10.2023; принята к публикации 05.03.2024 Received 16.10.2023; accepted for publication 05.03.2024
