CC BY
17
в условиях неопределенности - системы искусственного интеллекта, объектное проектирование - системы управления должны строиться как преобразователи семантической информации. У этого вывода есть и другая сторона: регулятор должен представлять из себя сеть, причем, все элементы сети синтезируются заранее, off-line, а реконфигурация сети осуществляется в процессе управления, on-line, по мере поступления данных о действии возмущений.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Боровков A.A. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986. -431с.
2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
3. Баландин Д.В., Коган М.М. Оценка предельных возможностей робастного H- управления линейными неопределенными системами //A и Т.- 2000.- №10.- С. 117-124.
4. Дубовик С.А. Аналитическое конструирование регуляторов для сингулярно возмущенных систем // Проблемы управления и информатики.-1999.- № 5.- С.54-68.
5. Дубовик С.А. Синтез линейных сингулярно возмущенных систем //Динам. системы.- 1999.- Вып.15.- С.45-49.
6. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений.- М.: Наука, 1979.- 424с.
7. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. - М.: Наука, 1985. - 520с.
8. Чечкин А.В. Математическая информатика.- М.: Наука, 1991. - 416с.
Надшшла 05.09.2003
Розглядаеться задача стаб1л1зацп одного 3i статв pie-новаги нeлiнiйного слабко збуреного об'екта e умоеах пов-ноЧ iнфоpмaцi'i про вектор стану. Для pi-шення зaдaчi про-понуеться iмовipнicно-acимпmоmичний метод, заснований на функцiонaлi дИ. Даний пiдхiд поpiвнюemьcя з гаранто-ваним керуванням, що е pi-шенням зaдaчi робастного H синтезу.
The problem of stabilization of one from balance states from of the nonlinear poorly disturbed object in conditions of the full information of a state vector is considered. For the decision of the problem it is offered probabilistic-asymptotic method based on functional of action. The given approach is compared with the guaranteed management being the decision of a problem robust - Synthesis.
УДК 517.92
В.Г. Козырев
ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕГУЛЯТОР ВЫХОДА СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ
Построено асимптотическое приближение оптимального терминального регулятора выхода сингулярно возмущенных систем, равномерное по области управления. Приближение представлено в общей композиционной форме решения линейно-квадратичной задачи оптимального управления.
ВВЕДЕНИЕ
Движения управляемых технических объектов обладают обычно свойством разномасштабности (различия характерных времен). Оно заключается в наличии у движений быстро и медленно изменяющихся составляющих. Например, среди движений летательного аппарата можно выделить медленные линейные и быстрые угловые. Линейные движения Л А - это движения его центра масс. Они всегда более размеренные, плавные, чем резкие и нерегулярные угловые движения - вращения вокруг центра масс. ЛА значительно более инерционен по отношению к поступательному движению, чем к вращательному. Разномасштабность наблюдается и у движений других объектов - быстроходных судов, электроэнергетических установок с быстродействующими аппаратами управления, силовых электроприводов, радиофизических приборов с паразитными емкостными и индуктивными связями и др. У всех этих объектов имеются составляющие движения, одни из которых изменя-
ются медленно, а другие - быстро, причем различие характерных времен составляет порядок и более. Аналогичное свойство появляется и у системы управления объектом. Подобная система также будет обладать быстро и медленно изменяющимися составляющими в законе управления. Даже если управление осуществляется только по одномасштабным параметрам, это происходит в силу многосвязности объекта.
Наличие быстрых движений у динамических систем затрудняет их исследование. Оно принудительно навязывает малый шаг интегрирования при численном моде-лированиии, увеличивает машинное время решения задач, приводит к накоплению ошибок интегрирования, затрудняет расчет законов управления и их реализацию при встраивании в бортовые компьютеры объектов. Подобная особенность известна под названием жесткости систем.
Являясь затрудняющим фактором вообще при исследовании систем, различие характерных времен движений может быть обращено, тем не менее, на получение преимуществ при таком исследовании. Это удается сделать, если можно применить асимптотические методы. В настоящей статье выполнено асимптотическое исследование оптимального регулятора выхода представленных систем. Свойство разномасштабности выража-
ется введением малого множителя при некоторых производных уравнений системы. Те переменные, при производных которых находится малый параметр, являются "быстрыми", другие - "медленными". Такой подход известен в литературе под названием теории сингулярных возмущений [1]. С его помощью строится асимптотическое приближение регулятора любой степени точности, являющееся упрощением точного решения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается математическая модель линейной управляемой системы с быстрыми и медленными движениями в виде нормальной системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных и произвольными начальными условиями
d-t= Al(t)y + A2(t)z + Bi(t)u, y\t
= y0, 0 y '
dz
1 dt = A3(t)y + A4(t)z + B2(t)u, z\
0
= z0,
где X > 0 - малый параметр.
В этих уравнениях у - "медленная" переменная, г "быстрая". В самом деле, при X — 0 производная функ-
йг
9 F(y,z, ut) = D
Ф=ИFИ, где H - постоянная матрица размера qx(n+m), q <(n + m); F - постоянная положительно определенная матрица q X q ;
III. Q(t) - неотрицательно, а R(t) - положительно определенные и непрерывные на [0, T] матрицы.
Введем блочные матрицы (аргумент t в обозначениях переменных опускаем)
A =
A1 A2 1 1 XA3 iA4
S = BR-1B' =
, B =
B1 i B2
S1 iS2 1 , 1 iS'2 iS3
(1)
Б1 = Б^-1 Б{ , Б2 = в^В^ , = В2.
При выполнении условий 1-111 оптимальное в смысле критерия (2) управление и = и (г) для системы (1) существует и имеет известный вид [2]
u = -R-1 BKx ,
(3)
ции z будет большой:
(вне X -окрестности тех точек фазового пространства, в которых F(y, z, u, t) = A3(t)y + A 4(t)z + t)u = 0. Значит переменная z изменяется быстро. Уравнения (1) заданы на фиксированном отрезке времени 0 < t < T; y 6 En , z 6 Em , x = col [y, z ] 6 En + m - вектор состояния; u 6 Er - вектор управления.
Параметр X в уравнениях (1) принято называть син-
л dz
гулярно возмущающим, а содержащий его член X — -
сингулярным возмущением [1]. Данное определение связано с тем, что, хотя этот член и является малым в определенном смысле, он вызывает существенное изменение решения.
Для сингулярно возмущенной системы (1) рассмотрим задачу построения оптимального управления u = u(t), сводящего к минимуму квадратичный функционал
T
I[u(t)] = 1X(T)Фх(T) +1 J[x'(t)Q(t)x(t)+ u (t)R(t)u(t)]dt (2) 0
(штрих обозначает транспонирование).
Относительно выражений (1) и (2) предположим, что:
I. Матрицы Ai(t) (i = 1,4) и Bj(t) (j = 1, 2) непрерывны на отрезке [ 0, T] ;
II. Ф - постоянная неотрицательно определенная матрица. Будем использовать для нее представление
где К = К (г) - (п + т ) х ( п + т) -матрица-решение матричного дифференциального уравнения Риккати с условием на правом конце
^ = - KA - AK + KSK - Q, Kl dt U = T
Если матрицы разбить на блоки:
= Ф HFH .(4)
K= K1 i K2 , ф = 'ф1 Ф2 , Q = Q1 q2
i K2 ÍK3 ф2 Ф3 Q2 Q3
то уравнение (4) перепишется как система трех уравнений с условиями на конце
йК.
-Л = - К1А1 - А1К1 - К2 А3 - А3' К2 ' + К1 К1 + +К1 $2К2' + К2^2'К1 + К2^3К2 - °1,
йК2
Х= - К1А2 - К2А4 - ХА1 К2 - А3 К3 + ХК1S1К2 +
+К1Б2К3 + ХК2Б2'К2 + К2^3К3 - 02, (5)
йК3
Х= - ХК2 'А2 - ХА2 К2 - К3А4 - А4'К3 ' + +X2 К2 ' К2 + ХК2 ' ^2К3 + ХК3^2 ' К2 + К3 ^3К3 - 03,
KA = ФK
1 lt = T 1 2 lt = T
21- .=h, K3
= \Ф -
t = T i 3
(6)
Система матричных дифференциальных уравнений (5) с условиями (6) представляет собой сингулярно возмущенную (при X —^ 0 ) систему. Ее решение задает матрицу обратной связи в формуле оптимального регу-
лятора (3). Как мы и говорили, ему присуще то же свойство разномасштабности процессов, что и объекту управления (1).
В случае регулятора, однако, разномасштабность более проблемное свойство:
1) матричные дифференциальные уравнения (5) имеют более высокий порядок, чем исходные векторные дифференциальные уравнения объекта (1);
2) цифровая реализация регулятора с быстро и медленно изменяющимися коэффициентами в реальном времени требует повышенных расходов ресурсов бортового компьютера ввиду необходимости частой дискретизации процессов по времени из-за наличия быстрых компонент в управлении.;
3) конечные (при Ь = Т) условия (6) системы (5) неограниченно возрастают при X ^ 0. Это создает дополнительные трудности численного интегрирования системы (5).
Таким образом, особенности задачи (5), (6) затрудняют построение регулятора. Поэтому целесообразно его асимптотическое упрощение. В данной статье строится асимптотическое приближение матрицы Риккати К, которое после подстановки в формулу (3) дает асимптотическое приближение регулятора.
Впервые аналогичная задача рассмотрена в [3, 4]. Но в этих работах матрица Ф выбиралась специальным образом так, чтобы конечные условия (6) были ограничены по параметру X . Мы рассматриваем случай произвольных, в том числе неограниченных при X ^ 0 условий (6). Асимптотика решения уравнений (5) с неограниченно большими конечными условиями (6) получена в [5]. Однако в этой работе рассмотрен регулятор состояния, соответствующий положительной определенности терминальной матрицы Ф = НГН (единичности матрицы Н:Н = Е). Нами рассматривается общий случай регулятора выхода, при котором матрица Ф неотрицательно определенная, соответственно Н - прямоугольная. Для этого случая выражения из [5] для представления регулятора непригодны.
Заметим, что как и в [5] асимптотическое разложение решения задачи (5), (6) нельзя в общем случае построить в виде К + ПК, где К - регулярный ряд, а ПК -погранслойный ряд. Поэтому здесь используется специальное представление матрицы К в виде композиции из трех более простых матриц, и это представление позволяет построить искомую асимптотику. Оно служит обобщением на случай регулятора выхода соответствующего представления из [5].
Матрицу Риккати К можно записать в виде [6]
К = Р + WH (НМН + Г-1 )-1 НЖ, (7)
где матрицы Р , Ж и М подчиняются уравнениям
йР
й- = - РА - А'Р + РБР - б , Р|г = т = 0, йЖ
Л = - ¿Р), = т ( Е - единичная матрица),
= Е ,
(8)
й§=^{г)W, = т =
Композиционное представление матрицы Риккати (7) используется в дальнейшем для построения ее асимптотики.
Матрицы разобьем на блоки
Р=
Р1 ХР2 , Ж = X Ж2 , М = М1 М2
ХР2' XР3 Ж3 X М2 М3
Е=
Еп 0
0Е
(Еп и Ет - единичные матрицы размеров п X т и т X т соответственно), и три уравнения (8) перепишем в виде трех систем уравнений для блоков. Уравнения
для Р (г = 1, 3) имеют тот же вид (5), что и уравнения для К{ (г = 1, 3) , но с нулевыми условиями на конце
РА = 0 (г = 1, 3), п = т
(9)
а уравнения для (г = 1, 4) и М1 (г = 1, 3)
запишутся так:
-Л=- Ж1(А1 - ¿1Р1 - ^Р2') -
-Ж2(А3 -¿2Р1 -¿3Р2')' 1( = т =
йЖ2
X л = - (А 2 - - ¿2Р3) -
-Ж2(А4 - Х¿2 Р2 - ¿3Р3). Ж21( = т = 0
_3 =- Щ(А1 - ¿1Р1 - ¿2Р2 ) -
-Ж4(А3 - ¿2' Р1 - ¿3Р2 )' Ж31( = т = йЖ4
Х1Г = - Ж3 (А2 - Х¿1Р2 - ¿2Р3 ) --Ж4(А4 - Х¿2 Р2 - ¿3Р3). Ж4|г = т = \Ет• йМ.
—1 = - ^ Щ- Ж2¿2'Ж1'-
-^¿3Щ, М11( = т = 0, йМ2
_2 = - ¿1 щ - ^¿2 Ж4 ' - Щ ' -
-^¿3 Ж4 ', М21( = т =
йМ3
-¿Т=- Ж3¿1 Ж3 ' - ^¿2 Ж4 ' - Ж3 ' --^¿3 Ж4 ', М31 г = т =
(10)
(11)
Далее будем строить асимптотику решений уравнений для и (10), (11), которая по формуле (7) даст асимптотику всей матрицы К и, соответственно, асимптотику регулятора по формуле (3).
АСИМПТОТИКА СОСТАВЛЯЮЩИХ МАТРИЦ
Р, Ж И м
В дополнение к условиям 1-111 потребуем выполнения условий
IV. Все матрицы А,(г) (, = М) , Б,(г) (1 = 1, 2) ,
1 1
0(г) , Я (г) р + 2 раза непрерывно дифференцируемы на [0, Т] (р - некоторое натуральное число: р = 0,1,2...);
V. Система (1) по терминологии [3, 4] управляема в пограничном слое, то есть
гапк\в2(г), А4(г), в2( г), ..., Ат - X) Б(\= т на [ 0, Т] ;
VI. Система (1) наблюдаема в пограничном слое
[3,4], то есть гапк[С*'(г), А4' (г), С*'(г),...,(А4')т-1 (г), С*'(г)] = т на [0, Т] , где С*(г) - решение уравнения С* С* О3 .
Асимптотика Р(г, X) . Асимптотические разложения компонент Р{(г,Х) матрицы Р(г,Х) при выполнении условий 11^1 построены в [4] на основе результатов [1]. Эти разложения, записанные в общепринятой форме
Рг(г, X) = Р,р(г, X) + оР,р(г, X) (, = 1,3), (12)
где Р,р( г, X) - главная часть, представляющая собой ,р
(для главной части) суммы степеней X с матричными
коэффициентами, зависящими от времени, а оР,р(г, X) -
,р
малый остаток разложения
Лемма 1. Пусть выполнены условия 11^1 и определены коэффициенты разложений (13) до номера р включительно. Тогда р-ые матричные суммы (13) являются асимптотическими приближениями для матричных компонент Р(г, X) при X — 0 , равномерными на отрезке 0 <г< Т, то есть для остатков разложений выполняются оценки
||Р,(г, X) -Р^гЛЦ^|оРгр(гД)|| = Xp +1О(1)
(, = 173), (14)
где || 0( 1 )|| < С для всех достаточно малых X и всех г 6 [0, Т] , С > 0 - некоторая постоянная.
Для пограничных функций ПкР^т)
(, = 1, 3; к = 0, 1, ...,р) при этом справедливо неравенство
\\ПкР{(т)|| < Сехр (ат) при т < 0 ,
(15)
где а > 0 - некоторая постоянная.
Асимптотика Щ г, X) . Получим асимптотику решения задачи (10)
Ж,(г, X) = щр(г, X) + оЖ,р(г, X) (, = 1, 4), (16)
где асимптотическое приближение р -го порядка Ж,р(г, X) будем искать по-прежнему как сумму степеней
X с матричными коэффициентами, зависящими отдельно от "медленного" времени и "быстрого" времени т , а именно:
Ж,р(г, X) = £ Xк[ж,к(г) + пкжг(т)] (, = 1,3), (17)
к = 0
Р,р(г, X) =£ Xk[Р,к(г) + ПкРг(т)], (, = 1,3) (13) к = 0
где т = (г - Т) /X - "растянутое" (или "быстрое") время. Остаток имеет порядок Xp + 1 .
Коэффициенты разложений (13) Р,к(г) и ПkPi(т) определяются с помощью известного алгоритма [1], заключающегося в подстановке разложений (13) в уравнения типа (5) для Р, вместо Р, и приравнивания
коэффициентов при одинаковых степенях X в обеих частях уравнений, причем отдельно приравниваются коэффициенты, зависящие от £, и отдельно - зависящие от т . Это и дает уравнения для определения коэффициентов (см. [3, 4]). Граничные условия для них записываются с учетом (9) тоже аналогично [1].
Сформулируем доказанную в [4] теорему как лемму 1:
у
Ж4р(г, X) =1-П-1Г4(т) +£Xk[Ж4к(г) +ПкЖА(т)] , (18) к = 0
а остаток разложения оЖ,р(г, X) подлежит оценке.
,р
Для получения коэффициентов разложений (17), (18) согласно алгоритму [1] подставим эти и ранее полученные разложения (13) в уравнения (10) в качестве Ж, и Р{ соответственно. Приравнивая коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях X (отдельно для
Ж, Р и отдельно для , ПР ), получим уравнения для их определения. Граничные условия находятся также по алгоритму [1].
В результате в "минус" первом приближении (для
коэффициентов при X-1) получаем уравнение и граничное условие
йП , W4 _
-¡г-- - -П-1W4 [А4 (т) - ¿3 (т) Р30( т) -
-¿3 ( т) П0Р3 ], П-1Ж4( 0 ) = Ет. В нулевом приближении (при X0)
(19)
= - Ж10 (А1 - ¿1Р10 - ¿2Р 20 ) --Ж20(А3 - 2Р10 - ¿3^20), Жю(т) = Еп. 0 = -Жю(А2 - ¿2Р30) - Ж20(А4 - ¿3Р30) ,
йЖ30 _ _ _
-й- = - Ж30 (А1 - ¿1Р10 - ¿2Р 20 ) -
-Ж40(А3 - ¿^10 - ¿3Р 20), Ж30(т) = -П0Р3(0) ,
0 = -Ж30(А2 - ¿2Р30) - Ж40(А4 - ¿3Р30) ,
йт = 0, П0 Ж1( 0) = 0 (Д^ (т) = 0),
йП0
йП0 Ж2
= - П0Ж1 [А2(т) - ¿2(т)Р30(т) - ¿2(т)П0Р3] -
- П0 Ж2А( т) -¿3 ( т) Р30 (т) - ¿3( т) П0Р3] + ДТ^т) , П Ж2(0) = -Ж20( т) ,
йП0Ж3
йт
(20)
П0/Ж3 (т), П^( 0) = |П0/ж3 (о) йо,
йт
= - П0Ж3[А2(т) - ¿2(т)Р30(т) - ¿2(т)П0Р3] -
- П0 Ж4 [А4(т)- ¿3( т)Р30(т) -¿3(т)П0Р3] + П0Гж4(т) ,
П0 Ж4(0) = -Ж40( т) ,
где ДТ^т) = [ Ж10 (т) ¿2 (т) + Ж20( т) т) ]П0Р3;
Д^*) = -П-1Ж4{А3(т) - 2(т) [Р10(т) + ПР1 ] --¿3( т) [ Р' 20( т) + П0 Р' 2 ]}; ПГж4(т) = -П-1Ж4{[А41)(т) - ¿3(т)Р30)(т) --¿31)(т) + (Р30( т) + П0Р3 )]т - 2( т) [ Р20 (т) +П0Р2] -
- ¿3 (т) [ Р31( т) + П1Р3 ]} + [Ж30( т) ¿2 (т) + + Ж40 (т) ¿3 (т ЛП0Р3.
(выражения вида Г(1)(т) обозначают здесь и далее первую производную функции Г (г) по времени г при
г = т).
Согласно лемме из работы [3] при выполнении условий ¡-III, V, VI собственные числа матрицы
а (г) = А 4 (г) - ¿3 (г) Р30( г) лежат в левой полуплоскости для всех г 6 [ 0, т] , так что а(г) имеет для всех таких г обратную матрицу, и алгебраические уравнения из (20) разрешимы.
Таким же образом можно записать уравнения и конечные условия для определения последующих членов разложений (17), (18). Ввиду громоздкости они здесь не приводятся.
Пусть выполняется условие IV. При этом условии определим коэффициенты разложений (17), (18) до номера р включительно и составим суммы (17), (18) порядка р . Тогда справедлива
Лемма 2. При выполнении условий П^! совокупность частичных сумм (17), (18) является равномерным асимптотическим приближением решения задачи (10) при X —У 0 на отрезке 0 < г < т с точностью до порядка р + 1 , то есть справедливы оценки
II (г, X) - Жгр(г, X)! -1\аЖгр(г, X)! = 1Р +10( 1)
(г = М), (21)
где 0( 1) - ограниченная на [ 0, т] при всех достаточно малых X функция (||О(1 )|| < С, С > 0 - некоторая постоянная). При этом все П-функции имеют экспоненциальную оценку
\ПКЖ1 (т)|| < С ехр(ат) при т < 0 (г = 1,3 ; к = 0, 1, ...,р и г = 4 ; к = -1, 0, 1, ...р ), (22)
где а > 0 - некоторая постоянная.
Доказательство можно провести аналогично [1] (но в матричной, а не в векторной записи). Сначала, как и в [1], доказывается экспоненциальное убывание П -функций (22). Для этого последовательно (для к =-1, 0, 1, ...р) рассматриваются уравнения типа (19), (20) и с помощью теоремы об уравнении с почти постоянной матрицей [7] доказываются требуемые оценки (22). За-тем доказывается сама асимптотика для Жг( г, X), то есть оценивается остаточный член оЦгр(г,'К)
из (16) в виде (21). Доказательство проводится для задачи (10) по аналогии с [1]. При этом необходимо
учитывать асимптотику для Р{(г, X) (г = 1, 3 ) и, кроме того, неограниченное условие на конце для Ж4(г, X) . Все эти отличия, однако, не сказываются принципиально на ходе доказательства.
Асимптотика М( г, X) . Получим теперь асимптотику решения задачи (11) в виде
М1 (г, X) = Мр(г, X) + оМр(г, X) (г = 1, 3 ), (23)
Жгр(г, X) = £Xk[Мгк(г, X) + Пкы1 (т)], (г = 1, 2 ), (24) к = 0
р
М3р(г, X) =£Xк[М3к(г) + ПкМ3(т)]. (25) к = 0
0
Подставляя разложения (24), (25) и ранее полученные разложения (17), (18) в уравнения (11) в качестве М{ и и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой частях уравнений (отдельно - коэффициенты, зависящие от г и отдельно - от т ), получим уравнения для определения коэффициентов разложений (24), (25). Подобно [1] найдем и конечные условия для коэффициентов.
В результате при X-1 имеем
йМ■
3, -1
йг = 0, М3, -1 (Т) = -П-1М3 (0),
йт = П-/м3(т)= -П-1 Т) П-1 Ж 4, (26) 0
йП-1М3
П-1 М3( 0) = ¡П-1/М3 (о) йо.
При X0 :
йМ10 _____ _ -йг0 = - Жю^Ж'ю - ^10^20 - ^'2 Ж10 -
-^20^3^' 20, Мю( Т) = 0,
йМ20 —_ — _ — _
= - ^10^1 Ж '30 - ^10^2 Г'40 - ^20^ 2 Г' 30 -
-^20^3^' 40, М20(Т) = -П0М2(0) ,
йг
= - ^30^1 Ж '30 - ^30^2 Г'40 - ^40^2 Ж'30 -
-Г40^Г40, М30(Т) = -П0М3(0) ,
йт = 0, П0М1 (0) = 0 (ДМ1(т) = 0),
йП0М1
(27)
йП0М2 йт
йП0М3
йт
= П'М2(т)^ П0М2(0) = 1П0/М2(о)¿о,
= Пo/мз(т), П0М3 (0 ) = !П0/М3(о) ¿о ,
Лемма 3. При условиях П-У1 суммы (24), (25) дают равномерные асимптотические приближения р -го порядка для компонент М,( г, X) решения задачи (11) при X — 0 на отрезке 0 < г < Т, то есть справедливы оценки
\м,(г, X) - М,р(г, X)! - \оМ1р(г, X)! = X? +10( 1),
(, = 1, 3), (28)
где || 0( 1 )|| < С на [0, Т] при всех достаточно малых X ( С > 0 - некоторая постоянная),
а все П - функции подчиняются экспоненциальной оценке
\ПЪМ1 (т)||< С ехр(ат) при т< 0 (, = 173; к = 0,1,...,р и , = 4; к = -1,0,1,...,р ), (29)
где а > 0 - некоторая постоянная.
Доказательство. Экспоненциальные оценки (29) очевидны в силу уравнений (26), (27) и экспоненциальных оценок (22) из леммы 2. Основная оценка (28) доказывается аналогично соответствующей оценке из [5].
АСИМПТОТИКА МАТРИЦЫ К И АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯТОРА
Используя асимптотические приближения матриц Р, Ш и М, получим асимптотическое приближение всей матрицы Риккати К. Составим матрицу
К(гД) =Р(г^+Ф'(гЯ)н\иМ(г,Т)н +р-1]-1н^(г,7), (30)
где
Р(г, X) =
Щ гЛ) =
Р1 р(г, X) XP2p (г, X) XP 2р(г, X) XPзp (г, X)
р(г, X) X ^2р(г, X) Ж3р(г, X) X ^4р(г, X)
где П0/М2(т) ={ Ж10(Т)^(Т) + [ Ж20(Т) + ПМ2] х х 53( Т) ^П^Ж 4;
П/ш (т) = -П-1 Ж4 { ? 2( Т) [ ^30( Т) + П0^ 3 ] +
+^ (Т) [ 40 (Т)+П0^ ' 4]}-{[ Фзo( Т) +П0^3] ^ (Т) +
+ [Щ0 (Т) +П0^4]^3 (Т )}П-1Г4 - тП-1Ж4^31)( Т) П-1Г4.
Таким же способом можно выписать уравнения и для последующих коэффициентов разложений (24), (25), ко-торые не приводим ввиду их громоздкости.
Пусть мы нашли (при выполнения условия IV) члены разложений (24), (25) до номера р включительно и составили суммы (24), (25).
М( г, X) =
мхр(г, X) М2р(г, X) М 2р(г, X) М3р(г, X)
при этом для КГ(г, X) примем аналогичное К1 (г, X) блочное представление
К (г, X) =
Кр(г, X) XK2p(г, X) АК2р(г, X) XKзp(г, X)
Теорема. При выполнении условий 11^1 матричные функции К,р(г, X) (, = 1, 3;) являются р -ми асимпто-
0
0
тическими приближениями для функций Кц(г, X)
(г = 1, 3;) при X — 0, равномерными на отрезке 0 < г < т, то есть
К(г, X) = Кр(г, X) + оКр(г, X) (г =1, 3; ), (31)
где для остатков oK-( t, X) выполняются оценки ip
||oKj p( t, X) 11 = Xp + 1O ( 1 ),
||oKfr(t,X) || = XPO( 1) (i = 2, 3 ),
(32)
при X — 0 равномерно на [0, т] (то есть в (32)
||О(1)|| < С для Уг 6 [0, т] и 6 (0, X0 ] , где С > 0
и X0 > 0 - некоторые постоянные).
Доказательство проводим в последовательности, принятой в [5]. Докажем сначала, что матрица
~ -1 -1
[НМ(г, X)Н + Г ] существует и равномерно
ограничена при г 6 [0, т] и достаточно малых X . Из леммы 3 имеем
(33)
М( г, X) = М( г, X) + О^ +1),
где М(г, X) в соответствии с (8) равна т
М(г, X)=|Ж(о, X)5(о, X)Л-1 (о)(о, X) Ж'(о, X)йо.
г
Из последнего выражения видно, что матрица М( г^) неотрицательно определенная (поскольку Я (г) положительно определенная). Поэтому согласно неравенству для определителя суммы двух матриц, одна из которых
положительно определенная (в данном случае Г-1 ), а другая неотрицательно определенная ( НМ( г, X) Н ), для > 0 и У г 6 [ 0, т]
ае1(|_НМ(г, X)Н + Г-1] > ае1Г-1) . (34)
Из (33), (34) следует, что при достаточно малых X
¿еЬ[иМН + Г-1 ] > ае1 [НМН + Г-1 + О^ + 1)] =
ае^ [НМН + Г-1 ] + О ар + 1) > 22 [Г-1 ] > 0,) г 6 [ 0, т].
Следовательно, [НМ(г, X)Н + Г-1 ]-1 существует при всех г 6 [ 0, т] и всех достаточно малых X .
Матрица [НМ(г, X)Н + Г-1 ]-1 также равномерно ограничена при г 6 [ 0, т] и достаточно малых X . Это следует из равномерной ограниченности исходной мат-
рицы [ HM( t, X) H + F-1 ]-1 при t 6 [ 0, T ] и X> 0 как обратной к сумме положительно определенной постоян--1
ной матрицы F и неотрицательно определенной, зависящей от t и X матрицы HM( t, X)H :
[ hMH + F-1 ]-1 = [ HMH + F-1 + O(XP + 1 )]-1 = = {[HMH + F-1 ] • [E + [HMH + F-1]-1O(XP + 1 )]}-1 = =( [E + [ HMH ' + F-1 ]-1 O(XP + 1 )]-1 [ HMH + F-1 ]-1 ),
то есть [HM(t, X)H + F-1 ]-1 в самом деле равномерно ограничена при t 6 [ 0, T] и достаточно малых X > 0 .
Теперь справедливость теоремы непосредственно следует из формулы (7) и лемм 1 - 3.
Из теоремы следует, что подстановка матрицы K в формулу (3) вместо K дает асимптотическое приближение регулятора с точностью до O(XP + 1 ) .
Синтезированы алгоритмы оценки потокосцеплений ротора и статора асинхронных двигателей при наличии постоянных погрешностей измерения тока и напряжения. Алгоритмы устраняют известную проблему "чистого" интегрирования и минимизируют объём вычислений. Рассмотрены вопросы помехозащищённости от эффекта квантования в преобразователе частоты с широтно-импульсной модуляцией.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений/ А.Б.Васильева,
B.Ф.Бутузов. - М.: "Наука", 1973. - 272 с.
2. Брайсон А. Прикладная теория оптимального управления/ А. Брайсон, Хо Ю-Ши.- М."Мир", 1972. - 544с.
3. Kokotovic P.V. Singular Perturbations of Linear Regulators: Basic Theorems/ P.V. Kootovic, R.A. Yackel // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1972. - V.17. - №1, Fabruary. -P.29-37.
4. Yackel R.A. Метод пограничного слоя для матричного уравнения Риккати/ R.A. Yackel P.V., Kokotovic// IEEE Trans. on Automatic Control. - 1973. - V.18. - №1, Fabruary. -P.17-24.
5. Глизер В.Я. Асимптотика решения одной сингулярно возмущенной задачи Коши, возникающей в теории оптимального управления/ В.Я. Глизер, М.Г. Дмитриев// Дифференциальные уравнения. - 1978. - Т.14. -, №4. -
C.601-612.
6. Козырев В.Г. Терминальная ошибка почти точного оптимального приведения в ноль/ Динамические системы: межвед. науч. сб. - Симферополь: КФТ. - 2001. - Вып. 17. - С. 18-22.
7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: "Наука", 1967. - 472 с.
Надшшла 26.09.2003
Побудовано асимптотичне наближення оптимального термгнального регулятора виходу сгнгулярно збурених систем, ргвномгрне за областю керування. Наближення пред-
ставлено в загалъти композицгинги формг ргшення лгнгино-квадратичноЧ задач1 оптималъного керування.
An uniform at control field asymptotic approximation of the optimal terminal output regulator of a singular perturbed system is constructed. The approximation is presented in the general composition form of a linear quadratic optimal control solution of problem.
