CC BY
54
ОПТИМАЛЬНЫЙ ИНДИКАТОР ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ, ПОРАЖЕННЫХ ПОМЕХАМИ ОТ МНОГОЛУЧЕВОСТИ И МЕЖСИМВОЛЬНОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
Сухоруков Александр Сергеевич,
к.т.н., доцент кафедры общей теории связи, МТУСИ,
Москва, Россия,
suhas@yandex.ru
Ключевые слова: оптимальный приемник, оптимальный индикатор, множество, линейный оператор, линейный функционал, ортогональность, норма, ряд, производная, полином Эрмита, межсимвольная интерференция, многолучевость.
Рассматриваются возможности повышения помехоустойчивости приема двоичных сигналов, пораженных межсимвольной интерференцией и помехами от многолучевости. Для канала с постоянными параметрами о сигнале и некоторых типах помех (межсимвольная интерференция, помехи от многолучевости) мы располагаем априорной информацией. Известны форма сигнальных импульсов и время их прихода, форма импульсов от многолучевости. В совокупности помехи от многолучевости и межсимвольной интерференции хорошо описываются нормальным распределением. Априорная информация о них может быть использована для уменьшения вероятности ошибки. Принимаемый процесс z рассматривается как результат прохождения сигнала и помех через одни и те же, либо различные фильтры. Предполагается, что процессы на выходе фильтров (на входе блока оптимальной обработки) ограничены по мощности и дифференцируемы. Для решения задачи оптимального приема сигнала 5 введены множество ограниченных линейных операторов Fm(*) и множество линейных индикаторных функционалов 15(*). Индикаторный функционал 15(*) - определён на множестве и указывает, принадлежит процесс подмножеству 8 или нет. Процесс z - случайный, но в каждом конкретном случае оптимальный индикатор анализирует конкретную реализацию этого процесса и выносит решение о ее принадлежности к тому или иному подмножеству. Доказаны следующие положения:
- для любой реализации случайной помехи хёХ в существуют линейный ограниченный нормированный оператор Fm(*) и соответствующий линейный ограниченный индикатор сигнала 15(5) = 0;
- для любой реализации zË Т аддитивной смеси случайной помехи и сигнала, существуют линейный ограниченный нормированный оператор Fm(*) и соответствующий нормированный оптимальный индикатор такие, что = 1; при z = х + 5; и = 0; при z = х. Предложена структурная схема оптимального индикатора. Рассмотрены возможности оптимального индикатора для нескольких моделей аддитивных помех в канале с детерминированными параметрами: межсимвольная интерференция, помехи от многолучевости, гармоническая помеха. Для этих помех оптимальный индикатор обеспечивает сколь угодно малую вероятность ошибки. Результаты компьютерного эксперимента показывают, что при достаточном количестве дифференцирующих устройств оптимальный индикатор восстанавливает форму информационного сигнала.
Для цитирования:
Сухоруков А.С. Оптимальный индикатор двоичных сигналов, пораженных помехами от многолучевости и межсимвольной интерференции // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №2. - С. 40-47.
For citation:
Sukhorukov A.S. The optimal indicator of binary signals distorted by multipath and intersymbol interference noise. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.2, рр. 40-47. (in Russian)
I. Введение
Приемник информации осуществляет, в самом общем смысле, идентификацию принимаемого объекта, В теории электрической связи эту задачу наилучшим образом решает оптимальный (идеальный) приемник, минимизирующий в дискретном канале вероятность ошибки, либо определенные тем или иным способом потери информации [I]. Оптимальный приемник сравнивает принимаемый процесс, являющийся суммой реализации аддитивного белого гаус-совского шума (АБГШ) и передаваемого двоичного сигнала с образцами сигналов $к(1), к=1,2, хранящимися в памяти приемника. Потенциальная помехоустойчивость оптимального приемника двоичных сигналов для канала с постоянными параметрами определяется отношением энергии разности сигналов к спектральной плотности энергии шума С0 [I]:
0 "J п
(I)
во X есть множество помех, множество Z представляет собой аддитивную смесь сигналов s(t) и помех x{t) и предъявляется для анализа индикатору. Оптимальный индикатор подвергает принимаемый процесс некоторому функциональному преобразованию [2]. Ограничимся рассмотрением линейных преобразований.
Введем множество Fm(*) ограниченных линейных операторов, Fm(*) ^L2. Если для произвольного yeL2 обозначить через F,(y)....Fm(y) некоторые линейные функции от у, то Fm (у) представляет некую совокупность этих линейных преобразований:
Fm<y)=[F,(y).... Fm(y)]
{2}
Введем линейный индикаторный функционал в общем виде [2]:
с
(3)
, 4=0
В соответствии с (I) оптимальный приемник является энергетическим и форма посылок, соответствующая передаче разных сигналов, не влияет на помехоустойчивость приема.
Однако, для канала с постоянными параметрами не только о сигнале, но и некоторых типах помех мы располагаем априорной информацией: известна форма импульсов сигнала, известна форма предыдущих и последующих информационных импульсов, вызывающих межсимвольную интерференцию (МСИ), известна форма импульсов. Приходящих на вход приемника по другим путям распространения и вызывающих помехи от многолучевого распространения (МЛР). Хотя в совокупности эти помехи хорошо описываются нормальным распределением [3], априорная информация может быть использована для уменьшения вероятности ошибки.
Принимаемый процесс г рассматривается как результат прохождения сигнала и помех через одни и те же, либо различные фильтры. Предполагается, что процессы на выходе фильтров (на входе блока оптимальной обработки) ограничены по мощности и дифференцируемы.
Для решения задачи оптимального приема двоичного сигнала, пораженного помехами от МСИ и МЛР, воспользуемся известным из теории функций инструментом «индикатор», который позволяет определить принадлежность конкретной принятой реализации процесса к некоторому подмножеству.
2. Алгоритм работы оптимального индикатора
Мы ограничимся здесь рассмотрением функционального нормированного пространства 1.2 в соответствии с методикой [2]. Пусть задано некоторое обобщенное время сеТ, где Т - некоторое произвольное множество, на котором заданы Б, X и X, причем Э Х=0. Множества X, 5, 7. линейные, ограниченные, замкнутые относительно операций сложения функций и умножения функций на число.
Применительно к задаче оптимального приема, множество Э - множество информационных сигналов, множест-
Назовем его индикатором информационного сигнала, если зе5 - заданная индикаторная функция {сигнал).
Индикаторный функционал множества 5 должен удовлетворяет условию:
'лу) =
[0 при у £ л?; [А > 0 при yzS;
Линейное множество индикаторных функционалов ft(*) также принадлежат нормированному пространству L2.
Определим условия, при которых оптимальный индикатор позволяет отличить сигнал от помехи.
* Для каждого элемента x,s,z из X, S, Z, для каждого оператора FJ*% для каждого функи,ионола 1ъ (*)определены:
- вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое ||х||, нормы всех элементов в совокупности ограничены;
- расстояние в нормированном пространстве L} для любых х,у:
гМ = 11*-И1;
- сходимость по норме: хт~>х, ||хт — х|| —Ю;
- непрерывность нормы ||xj| —> ||х|| при хп]—>х ;
- фундаментальная последовательность {х,} в нормированном пространстве в соответствии с условием:
Лемма I. Пусть заданы не пустые, не пересекающиеся подмножества сигналов ScL2, и случайных помех XcL2, Xr\S =0. Тогда для любой реализации случайной помехи хеХ в L2 существуют линейный ограниченный нормированный оператор Fm{*) и соответствующий линейный ограниченный индикатор сигнала /((s)=A0 такие, что отношение:
IWI
\Ш I
где s >0 - сколь угодно малая величина.
Д оказатель ств о.
Положим, что множество {Рк(5)} ограниченных линейных операторов (2) представляет собой совокупность ортонормированных операторов:
JX(s)Fk(s)dn=
\\, k = n; 10, кФщ
(6)
г
W= EFt(sJFk(s)rf/i = »;
и к=0
Покажем, что при выполнении условия (6) реализуется требование (4).
Рассмотрим индикатор 11 (х):
IM> |XFk(x)Fk(s)c///;
(7)
, i=0
Скк = jXix)Fk(s)dH;
F0(x) = C00 F„(s) + C0I F,(s) +.....+ Fm(s);
где
Сйк = /ВДВДф;
для Р0(х), Р,(х)..... Рг (х) сходятся и, в соответствии с уравнением замкнутости, имеем:
jFk2(x)dH=JcL=Lk<oo;
При разложении в ряд по совокупности ортогональных функций при т, понятия базисности и замкнутости совпадают, разложение является единственным, сходимость разложения в ряд легко проверяется.
Тогда индикаторный функционал (3) множества 5 равен:
п=0
Следовательно, для любого конечного m конечна и сумма:
т щ оо m
ZfeOÄ-ZZcL-Zi.^
к=0 ,
k=0 n=0
k=0
так как это сумма сходящихся рядов и, значит, ограничена. Соответственно, сумма:
IÄ<XLk<co;
k=0
к=О
так как Q2 это только одно слагаемое из Lk
Но если сходится числовой ряд для Ckk, то через
Этот ряд - сумма коэффициентов абстрактных разложений. Однако, полученные коэффициенты Ск1; не есть коэффициенты разложения некоторой функции, так как на Рк(5) мы умножаем каждый раз другую функцию Рк(х). Каждое из слагаемых вида:
есть один из коэффициентов разложения функции Рь(х) по ортонормированным функциям Рь(5). Иными словами, можно представить функцию Р„(х) в виде ряда:
Следовательно, Сю есть первое слагаемое в выражении (7) для /,(х).
Аналогично, функция Р, (х) может быть разложена в ряд:
Р,(х) = С10Р0<8) + 0,^,(8) +.....+ С|тРт{*);
где
с1к = ^(х^фф;
Следовательно, С,,есть второе слагаемое в выражении
(7)-
Тогда индикатор принимает вид:
1Хх) = Сю + Сп+...+Стт;
При т—»ос ортонормированная система функций {Рь (з)} становится полной.
Так как все функции Рк(х) принадлежат к 1.2, то ряды
конечную сумму:
р/=ZC»»
можно записать разность для i>j:
i
Pi"Pj = ZCna
n=j+l
По теореме Пифагора имеем [2]:
[|ргр#=Еисл2
n=j+l
В этом случае разность ||р;-р || —> 0 при i,j -» оо, и, следовательно, последовательность {pj фундаментальная. Так как пространство L2 полное, то существует предел lim р,.
Следовательно, ряд ls (х) сходится и ограничен:
|Ux)|=|C„+ С,,+.....+ Cmm+...|=A<;
В результате всегда можно указать т, при котором выполняется неравенство (5):
IWI 1<£. \Ш\ т '
Лемма 2. Если при выполнении условий (6) леммы 2 совокупность операторов {Ft(s)} есть полная совокупность ортонормированных функций, то нормированный оптимальный индикатор реализует следующее соотношение:
lim 15 (х)=
1 при х eS; О при х g S;
(8)
Доказательство.
Введем нормированный оптимальный индикатор в виде:
I/,(*)!
ш
(9)
Из предыдущей леммы, если совокупность операторов {Fk(s)} образует систему ортонормированных функций (6), следует:
|/Дх)|=А<=о; Js (s) - ш;
При in—»оо система ортонормированных функций становится полной, а нормированный индикатор {9) принимает значения:
I,(s) = lim Ь^Ш = ] при X(eS
т-к»
Is (х) = lim Üi^i = lim — =0 при xe5;
что Соответствует выражению (8).
Теорема.
Пусть заданы не пустые, не пересекающиеся подмножества сигналов ScL2, и случайных помех XcL2, Xr^S =9, Тогда для любой реализации z аддитивной смеси случайной помехи и сигнала zeZ, Z=XuS, существуют линейный ограниченный нормированный оператор Fm(*) и соответствующий нормированный оптимальный индикатор такие, что:
П при z=x+s; hm 1 (z) = -| т->я [0 при z=x;
{10)
<м,г
s(Us)=e
(II)
Эта функция является производящей функцией для полиномов Эрмита Нк(г) [I]:
Г ik t
vk„T d ~
dt
В простейшем случае оператор Ft(s) формирует от сигнала (II) к-ю производную [5]:
(t-t,)-
Fk(s)=
(12)
Для Fk(s) выполняется условие ортонормированности: I
-j—inr^mm--
*J2кк\п\
% - J" -ii d" -'- [1 Л = Щ
О,кФ n;
Доказательство.
Так как множество Z является объединением множеств X и S, то любая сумма реализации случайной помехи х и сигнала s также принадлежит Z. Следовательно, произвольная реализация z может быть двух типов: либо z=x, либо z=s+x. Нормированный оптимальный индикатор (9) для этих двух вариантов принимает следующий вид. Если z=x, то;
Is (z=x) - lim ^^ - lim — = 0; м Is (s) m
Если z=s+x, то:
ч IAs)+IU) ,. m± А , Is(z=s+x) = 1цп A = hm-= 1;
m~** h (s) m
Это соответствует выражению (10).
3. Технические приложения
На вход оптимального индикатора поступает аддитивная смесь сигнала и помехи. Зная неинформационные параметры сигнала, следует выбрать соответствующую совокупность операторов {Ft(s)}.
Так как операторы {Fk(s)} должны представлять совокупность ортонормированных функций, то они могут быть сформированы на базе ортогональных полиномов. Пусть принимаемый сигнал имеет вид:
Таким образом функция ехр(-х:/2) и ее производные удовлетворяют условию ортогональности и взаимной связи. Они ортонормированны и образуется из Рк($) в результате линейной операции [4, 5],
Элементы 5, принадлежащие множеству 5, должны иметь общие для всех элементов 5 параметры, чтобы их можно было идентифицировать, как элементы, принадлежащие множеству 5. В данном случае случайный процесс;
(1-1,?
x(t) е S, если Л'(/) = const *е 2 ;
и-',)2
x(t) £ S, если x(t) Ф const *е 1 ;
(13)
Тогда оптимальный индикатор (3) в соответствии с (I I), (12) может быть записан в виде:
(i-i, >-
Г/ V fr ,4 -ЙГ dx d сГх dm (w'>
/Дх)= j[x(t)e 2 +—— е 2 +...+
dt dt
dt'" dt"
e 3 ]dt;
В соответствии с этим выражением структурная схема оптимального индикатора (ОИ) сигнала принимает
вид, показанный на рис. 1, где обозначены: Г[$(г*) - генератор опорного сигнала 5(1,^), прм - перемножители; с1/с1г - дифференцирующие устройства, ИНТ - интегратор, РУ - решающее устройство.
т
| [ js(t)! - d/dt |
j при -1 при I
d/dt
{
jijm
-| d/dt I -----1 Jdt I
СУММАТОР
сп
J_I ИНТ I
Рис, I. Структурная схена оптимального индикатора
Т-Сотт Том 10. #2-2016
45
z(t) 1 ---Т ~Г -\ 1 1 1 1 -----т----- 1 1 1 / \ 1 7---Т---- ' \ 1 \ 1 \ 1 \| Л
1 т V 1 У t 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ Т Г" 1 \
- -V - -, ----- -----;----- 1 ^ 1 1
Рис. 5. Напряжение на входе ОИ (а) и выходе сумматора ОИ (б) для помехи в виде гармонического колебания
Индикатор устраняет ошибку и при т>20 полностью восстанавливает полезный сигнал 57{г), что видно из рис. 56.
Выводы
1. Оптимальный индикатор реагирует на форму анализируемого процесса, т.е. помехоустойчивость приема зависит от формы сигнала.
2.Сигнал должен совпадать с производящей функцией для семейства ортогональных полиномов.
3. Оптимальный индикатор определяет наличие сигнала е аддитивной смеси сигнала и помех от многолучевости и межсимвольной интерференции при т^сс со сколь угодно малой вероятностью ошибки.
Литература
1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.:Радио и связь, 1989. - 656 с.
2. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла, - М.: Наука, 1973. -352 с.
3. Прокис Дж. Цифровая связь / Пер. с анг. под ред. Кловско-го Д.Д. - М.: Радио и связь. 2000, - 800 с.
4. Сухорукое A.C. Введение в теорию многомерной связи. -М.: Медиа Паблишер, 201 I. - 274 с.
5. Сухорукое A.C. Разделение лучей в многолучевом канале при использовании узкополосных сигналов с дифференцированием на приеме Н Радиотехника, 1986. №2. С. 55-57.
COMMUNICATIONS
THE OPTIMAL INDICATOR OF BINARY SIGNALS DISTORTED BY MULTIPATH AND INTERSYMBOL INTERFERENCE NOISE
Sukhorukov Alexander,
Cand.tech.Sci., Associate Professor of Faculty of the general theory of the Moscow Technical University of Communications
and Informatics, Moscow, Russia, suhas@yandex.ru
Abstract
This article discusses the opportunities to increase noise immunity of reception of binary signals affected by intersymbol interference and multipath interference from. We have a priori information on signal and some types of interference (intersymbol interference and multipath interference) for the channel with constant parameters. Known form of signal pulses and the time of their arrival, the form of multipath. Interference from multipath and intersymbol interference are described well by the normal distribution. Apriori information about them can be used to reduce the probability of error. The received process z is seen as the result of signal and noise through the same or different filters. Assumes that processes the output filter (at the entrance the optimal indicator) are finite energy and differentiable.
Considered the optimal reception of signal s. There are a set of the limited linear operators Fm(*) and set of the linear indicator functionals Is(*) introduced. The indicator functionals Is(*) is on the set of L2 defined.
Process z-random, but in each case the optimal indicator analyzes specific implementation of this process. He said belongs z to the subset S or not. Proved the following:
- for any implementation of random interference x € X, there is a bounded linear normalized operator Fm(*) and the bounded linear indicator;
- for any implementation of an additive mixture z € Z of random interference and signal, there is a bounded linear normalized operator Fm(*) and the corresponding normalized linear optimal indicator Is(z).
Proposed structural scheme of the optimal indicator. Considered the optimal indicator for several models of additive noise in the channel with deterministic parameters: intersymbol interference, multipath interference, harmonics. For these noises the optimal indicator provides an arbitrarily small probability of error. Computer experiment showed that if a sufficient number of differentiating devices optimal indicator recovers form the information signal.
Keywords: optimal receiver, optimal indicator, set, linear operator, linear functional, orthogonality, norm, series, derivative, Hermite polynomial, intersymbol interference, multipath interference.
References
1. Levin B.R. Theoretical bases of statistical radio engineering. Moscow: Radio i svyaz'. 1989. 656 p. (in Russian).
2. Wulich B. A short course of theory of functions of a real variable. Introduction to the theory of integral. Moscow: Nauka. 1973. 352. p. (in Russian).
3. Proakis J.G. Digital Communications: Per. s angl. / pod red. Klovskogo D.D. Moscow: Radio i svyaz'. 2000. 800 p. (in Russian).
4. Sukhorukov A.S. Introduction to the theory of multi-dimensional communication. Moscow: Media Pablisher. 2011. 274 p. (in Russian).
5. Sukhorukov A.S. Division of rays in the multipath channel using narrowband signals with differentiation at the reception / Radiotekhnika, 1986. No 2. Pp. 55-57. (in Russian).
