Научная статья на тему 'Оптимальные соотношения компонентов экогеосистем и их характеристик'

Оптимальные соотношения компонентов экогеосистем и их характеристик Текст научной статьи по специальности «Математика»

110
52
Поделиться
Ключевые слова
ЭКОГЕОСИСТЕМЫ / ВОДА / ЛЕД / ОБОБЩЕННОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ / ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ / ECOGEOSYSTEMS / WATER / ICE / GENERALIZED GOLDEN SECTION / FIBONACCI SEQUENCE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Коновалов Александр Александрович

Для описания жизненного цикла экогеосистем используются две связанные друг с другом последовательности Обобщенное Золотое Сечение (ОЗС) и Фибоначчи. Показана сущностная разница между ними: показатель степени уравнения ОЗС равен числу компонентов экогеосистемы, а порядковый номер каждого члена последовательности Фибоначчи числу пройденных ею циклов. Приведены примеры применения этих последовательностей при анализе экогеосистем.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Коновалов Александр Александрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Оптимальные соотношения компонентов экогеосистем и их характеристик»

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИРОДНЫХ СИСТЕМ

УДК 577.3: 630. 1

А.А. Коновалов

ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ ЭКОГЕОСИСТЕМ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для описания жизненного цикла экогеосистем используются две связанные друг с другом последовательности — Обобщенное Золотое Сечение (ОЗС) и Фибоначчи. Показана сущностная разница между ними: показатель степени уравнения ОЗС равен числу компонентов экогеосистемы, а порядковый номер каждого члена последовательности Фибоначчи — числу пройденных ею циклов. Приведены примеры применения этих последовательностей при анализе экогеосистем.

Экогеосистемы, вода, лед, Обобщенное Золотое Сечение, последовательность Фибоначчи.

Золотое Сечение

Каждая система лишь частично заполнена массой вещества. Остальная часть остается условно пустой. Условно потому, что на самом деле в ней «растворены» (взвешены) мельчайшие частицы, размеры, масса и время жизни которых суммарно меньше одной частицы, принятой за элементарную (наименьшую из наблюденных). То есть «пустота» по суммарной массе, объему, занимаемому этими «растворенными» частицами, и времени их существования примерно идентична (несколько меньше) элементарной частице, которая не поддается измерению. Если емкость системы выразить в относительной (безразмерной) форме, через единицу, а ее вещественную часть через х, то выражение ее свободного (жизненного) пространства (у) приобретает вид:

у = 1 - хп, (1)

где п = 0, 1, 2, 3, 4, ... — число частиц (компонентов) системы или их связей (соединений), деформирующихся и рвущихся при перегрузках.

Формула (1) отражает противостояние аргумента х (вещества) и функции у («пустоты») — математических абстракций, под которыми можно понимать любые оппозиции, включая и нематериальные (мыслительные, информационные, художественные.). Из графика формулы (1) видно, что при всех п с увеличением Х величина У уменьшается (рис. 1). Существуют точки, в которой у и х сравниваются, функция становится равной аргументу: у = х = ф. Очевидно, что в этих точках «хаос» и «гармония», «беспорядок» и «порядок», между которыми развивается и функционирует система, максимально уравновешены, гармоничны, а сама система устойчива, продуктивна и жизнеспособна.

С учетом У = Х= ф формула (1) преобразуется в

фп + ф - 1 = 0. (2)

Приближенное решение этого уравнения при разных п с точностью до пятого знака после запятой приведено в табл. 1. Величины ф, за исключением варианта с п = 1, когда ф = 0,5, являются иррациональными числами. На рис. 2 дан график, составленный по табл. 1, и его аппроксимация.

0,4

4 ^2

11=1 /

X1

Рис. 1. График функции У от X при разных п (кружки — значения ф)

Значения ф при разных п

Таблица 1

п ф п ф п ф

1 0,5 8 0,81165 16 0,87727

2 0,61803 9 0,82430 17 0,88191

3 0,68233 10 0,83508 18 0,88624

4 0,72449 11 0,84440 20 0,89390

5 0,75488 12 0,85255 23 0,90338

6 0,77809 14 0,86618 27 0,91338

7 0,79654 15 0,87717 31 0,92138

Р =0,5+0,161п(1/п) при 11<10 кЗ= 0,95

'V* = 10

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ч*Рп=2

0,9 0,3 0,7 0,6 0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,3 1/п

Рис. 2. Зависимость ф от п (кружки — расчет по формуле, п — любое число от 1 и выше)

Все экогеосистемы представляют собой иерархию меньших систем (субсистем) разного порядка. Величина п в формуле (2) служит мерой упорядоченности системы: п = 0 означает полный беспорядок, хаос, когда частицы не связаны друг с другом, существуют сами по себе; п = 1 — формула (1) линейна, одномерна; п = 2 — двухмерна; п = 3 — трехмерна и т.д. Линейность (п = 1) характеризует монолит, неделимое тело, взаимодействующее со своим окружением на паритетных началах, деля жизненное пространство пополам. Такое состояние равновесно и устойчиво, но в нем нет места новообра-зованиям, неоткуда взяться силам и материи для рождения нового. Линейные связи всегда условны и действуют лишь определенное время. Значение п = 2 — наиболее распространенное, поскольку все формообразующие поверхности можно разложить на плоские фрагменты и, кроме того, как показано ранее [Коновалов, Иванов, 2007], многокомпонентные системы можно свести к двухкомпонентным, представив их как дихотомию доминантной компоненты и суммы остальных.

Целые п соответствуют четким границам между фазовыми состояниями системы, разным траекториям их развития; дробные, промежуточные, заключают в себе мир фракталов с его причудливыми, трудновообразимыми формами. Величина 2-го члена этого ряда — ф (2) = 0,618034. = 0,62 и обратная ей: 1/ф (2) = Ф (2) = 1,62 — называется Золотым Сечением (ЗС) [Сороко, 1984]. Оно делит единичный отрезок на две части так, что его отношение к большей части равно отношению большей части к меньшей:

1/ф = ф/(1 - ф) (3)

— и оба этих отношения примерно равны 1,62, а их обратные величины — 0,62. Это наиболее часто встречающаяся пропорция близких к равновесию оппозиций во всех системах Мироздания, и косных и живых, энергетически наиболее выгодное, оптимальное (гармоническое), соотношение его частей, обеспечивающее их устойчивость и длительное существование, а в произведениях искусства — также и наилучшее их восприятие. Она известна со времен строительства египетских пирамид, если не раньше, и прославлена целой плеядой знаменитых мыслителей, архитекторов и художников от древности до наших дней (Фидий, Фибоначчи, Леонардо да Винчи, Дюрер, Кеплер, Корбюзье, Дали, Флоренский, Малевич.), которые активно ее использовали в своем творчестве.

Закономерности ЗС отражаются в художественных и музыкальных произведениях, часто неосознанно для авторов, нужные пропорции между элементами содержания улавливаются интуитивно в процессе творения в моменты максимального вдохновения. Художники Возрождения называли ЗС божественной или золотой пропорцией. Золотое Сечение — это объективно существующий в природе, но никогда не достигаемый аттрактор красоты и гармонии, притягивающий мастера. Чем ближе произведение к совершенству, тем больше оно соответствует золотой пропорции.

Наряду с п = 3,14 — отношением длины окружности к диаметру и е = 2,72 — основанием натуральных логарифмов, величина Ф(2) = 1,62 входит в тройку самых важных и часто употребляемых на практике иррациональных чисел. Причем Ф(2) и п связаны непосредственно: Ф(2) = 2соэ п/5.

В физической природе эти закономерности проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, строении и свойствах многих химических веществ, планетарных и космических системах, распределении суши и моря, генных структурах живых организмов, биоритмах, функционировании головного мозга и зрительного восприятия [Стахов, 2008].

В статье Теодора Ландшейдта [http://astrologic.ru/library/golden.htm] — директора Канадского Института исследований циклов солнечной активности — прослеживается связь таких, казалось бы, несопоставимых явлений, как колебания солнечной оси, процент поверхности, пораженной засухой, активность питания термитов, интенсивность действия обезболивающих препаратов, индекс военной активности, вероятность рождения мальчиков,— и везде колебания рассматриваемых величин находятся в отношении золотого сечения.

Пропорция ЗС проявляется и в общественно-экономических системах. Н.И. Бакумцев [2008] приводит доли госсобственности в экономике ряда ведущих стран мира. В большинстве из них она составляет около 50 %: в Италии — 55 %, в Швеции — 62 %, в Китае — 65,8 %, в США — 32 %, а в России — 10 %. Эти цифры довольно точно отражают уровень экономического развития этих стран и роль ЗС как его показателя. Наверное, можно согласиться с предложением этого автора о законодательном установлении доли государ-

ственного и частного секторов в экономике в пропорции ЗС (0,618 и 0,382 или хотя бы по 0,5).

Обработка параметров монотонно изменяющихся систем разной природы в безразмерном виде показала, что их связи хорошо описываются полиномом второй степени, численные коэффициенты которого, отражающие уровень их взаимодействия, отвечают пропорции ЗС и в сумме равны 1 [Коновалов, Арефьев, 2008; Коновалов, Казанцева, 2009]. Для параметров, изменяющихся с ускорением, эти коэффициенты равны 0,618 и 0,382; изменяющихся с замедлением--------0,618 и 1,618. Для примера на рис. 3 показана

зависимость относительного диаметра = (б - б0)/ (бт - б0) и относительной площади поперечного разреза ствола /п = С пихты на Аляске и сосны в п. Нум-то от размерного (т) и безразмерного (относительного) возраста /т = (т - т0) / (тт - т0), где б, бт и б0 — текущий, максимальный и минимальный диаметры дерева на контрольной высоте (1,3 м), соответствующие т, тт и т0 — текущему, максимальному и минимальному (начальному) возрасту. Начало отсчета на левом графике — 1578 г., на правом — 1579, возраст обоих деревьев больше 400 лет; значки — фактические данные; кривые — расчет по формулам, показанным на графиках, с численными коэффициентами, равными ЗС. У молодых деревьев зависимость от /т также имеет вид полинома второй степени, но численные коэффициенты довольно далеки от ЗС [Коновалов, Казанцева, 2009].

Рис. 3. Зависимость относительного диаметра/с пихты (Аляска) и сосны (п. Нумто) от размерного т и безразмерного /т возраста

На оси времени (рис. 3) выделяется особая точка, в которой / + /п = + /б2 = = 1. Она характеризует равновесие между длиной (или диаметром) замыкающей окружности ствола (корой) и площадью ствольного круга, ответственной за внутреннее давление на замыкающую окружность в растущем дереве. Эти два параметра существуют в режиме единства и оппозиции друг к другу: кора не только защищает ствол, но и препятствует его свободному разрастанию. Равновесие между ними, как следует из уравнения (2), возможно только при / = = 0,618 и соответственно С = 0,382. По-видимому, при достижении радиусом ствола значения = 0,618 период становления (созревания) древесного организма, характеризующегося увеличением массы и уплотнением, сменяется периодом деградации (разуплотнения).

Продемонстрируем основное правило ЗС, отвечающее формуле (3), его применимость и адекватность действительности на примерах, связанных с фазовыми превращениями вода-лед и строением воды — основного материала, из которого состоит животный и растительный мир. Кроме того, ранее показано, что поведение нагруженных твердых тел, сцепление частиц в кото-

рых обеспечивается льдом (например, мерзлые грунты), удобно использовать в качестве модели развития экогеосистем [Коновалов, 2006].

Фазовые переходы пара в воду и воды в лед — это, образно говоря, альфа и омега жизненного цикла организмов: переход пара в воду дает начало жизни, воды в лед — губит ее. Жизнь заключена между этими переходами. Жидкая фаза воды конденсируется из пара при его остывании ниже 100 °С и переходит в лед при 0 °С. «Путь» до достижения минимальной теплоемкости — +37 °С, при которой активность метаболизма максимальна, составляет 100 - 37 = 63 °С. Соотношение 63 и 37 примерно равно ЗС. При высоких давлениях (до 220 МПа) обычная вода не замерзает до -22 °С. Расстояние от 37 до -22 ° равно 59 °, а от 0 до 22 ° — 22 °; относительные расстояния 22/59 = 0,37 и 37/59 = 0,63 также соотносятся в пропорции, близкой к ЗС.

Атомы в молекуле воды образуют равнобедренный треугольник Н-О-Н. Расстояния Н-О и Н-Н равны 0,096 и 0,154 нм, а их отношение — 0,62. В молекуле льда расстояние между атомами водорода и кислорода Н-О составляет 0,099 нм, а угол в вершине треугольника Н-О-Н равен 109,5° [Вялов, 2000], тогда сторона Н-Н равна 0,162 нм. Отношения сторон 0,099/0,162 и углов 109,5/180 равны ЗС (= 0,61).

Структуру кристалла льда можно представить решеткой, в которой каждая молекула связана с четырьмя другими, находящимися от нее на расстоянии 0,276 нм. Размеры большей и меньшей стороны единичной ячейки этой решетки 0,737 и 0,452 нм [Шавлов, 1996] вместе с расстоянием между молекулами 0,276 нм образуют ряд, в котором каждый последующий член находится с предыдущим в отношении: 0,276/0,452 = 0,452/0,737 = 0,61.

На рис. 4 показана зависимость продукции растительности (фитопродукции) П от радиационного баланса В и индекса сухости J [Будыко, 1971].

_ 70

_ 60 \ в

50

40

30

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

~~ 20^

10-*" 1 1 1 '

------------1---------------1-----------------1---------------3

0,62 1 2 3 J

Рис. 4. Зависимость фитопродукции П (т/(га ' год)) от радиационного баланса В (ккал/см2 ' год) и индекса сухости J (доли единицы)

3

Величина J = В/иЬ (и — годовая сумма осадков, £ = 0,6 ккал /см — скрытая теплота парообразования), выражает соотношение тепла и влаги. Характерно, что во всех случаях максимум продукции приходится не на J = 1, при котором достигается равновесие между этими параметрами, а на J ~ 0,62 — ЗС. Дело в том, что для органической жизни более значимо не количество осадков, а валовое увлажнение территории (ю), равное сумме испарения д и подземного стока ^. Эта величина близка к сумме осадков за теплый период года иТ. Например, в Западной Сибири от тундры до средней тайги включительно иТ ~ 115 см, а м/ ~ 105 см [Орлова, 1962] ). иТ примерно в 1,4-1,6 раза

меньше годовой суммы осадков и. Если в выражение J вместо и подставить иТ, то величина J получится равной не 0,62, а примерно 1.

Пропорция распределения основных «статей расхода» воды, поступающей на сушу из атмосферы: осадки и = 73 см, полный сток f = 26 см, испарение д = 47 см, также близка к величине ЗС: 47/73 = 0,64; 26/73 = 0,36 [Физикогеографический атлас мира, 1964].

Остальные члены ряда в табл. 1 соответствуют идеальным пропорциям на других уровнях упорядоченности (при других целых п). Все члены этого ряда в совокупности называются Обобщенным Золотым Сечением (ОЗС) [Сороко, 1984].

Наш анализ ОЗС показал, что: 1) каждый член этого ряда — фп с точностью до десятых долей процента равен (фп-1)г, где г = 0,5 1/п (кружки на кривой рис. 2); при п < 10 зависимость ф от п упрощается (см. формулу на рис. 2);

2) ОЗС хорошо увязывается с долговечностью нагруженного ледяного тела и параметрами главных вращательных циклов Земли — годовым, месячным и суточным. Формула ОЗС практически идентична формуле относительной долговечности ледяного тела [Коновалов, 2009]:

(Тэ / т)ПЛ = £ = (Р/Рм), (4)

где Р — нагрузка (давление) на мерзлое тело (при заданной долговечности Р — это длительная прочность мерзлого тела); Рм — максимальное давление, которое это тело может выдержать не разрушаясь хотя бы одно мгновение (тэ); тэ — минимальный (элементарный) отрезок времени, измеряемый в данном опыте; т — долговечность (время до начала разрушения); упл = 0,083 — предельная (предразрушительная) деформация, равная относительному уменьшению объема льда при плавлении, совпадающая с частотой.

В табл. 2 приведены значения первых 11 членов последовательности ОЗС (фп), относительного времени т/тэ и (тэ/т)0083 = £. Величины т/тэ (в общем случае — это любое число, равное или большее единицы) представлены геометрической прогрессией, первый член которой равен 4380, второй в 12 раз меньше — 365, а начиная с третьего и примерно до пятнадцатого члена: 365/41 = 91; 365/42 = 91/2 = 46; 365/43 = 30; 365/44 = 23; 365/45 = 18; 365/46 = 15; 365/47 = 13. Инвариантом этой последовательности является четверть орбиты вращательных циклов Земли, примерно 90о, совпадающая с продолжительностью главных климатических фаз (весна, лето, осень, зима или утро, день, вечер, ночь). Эти числа также почти совпадают с выделенными календарными отрезками года (полугодием, кварталом, месяцем и т.п.). Например, если принять тэ = 1 час, то эти числа, до 6-го включительно, примерно соответствуют количеству часов в полугодии, полумесяце, полунеде-ле, четверти недели, ее шестой части и сутках. При тэ = 1 сутки эти же числа (4380, 365, 91, 46, 30 и 23) соответствуют количеству суток: в 12 (11) годах (период основного цикла солнечной активности), году, квартале, половине квартала, месяце и четверти квартала.

Таблица 2

Значения ОЗС (фп), т /тэ и £ = (тэ /т)0083

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

фп 0.5 0,618 0,682 0,724 0,755 0,778 0,796 0,812 0,824 0,835 0,844

Т /Тэ 4380 365 91 46 30 23 18 15 13 11 10

£ 0.497 0,613 0,687 0,728 0,753 0,771 0,79 0,800 0,810 0,820 0,846

Как видно из табл. 2, разница между величинами ОЗС и £, рассчитанными для выделенных отношений т/тэ, составляет сотые доли процента. Так как границы (связи) между частицами являются концентраторами напряжений и вакансиями разрушения, то увеличение их числа (увеличение п) сопровождается уменьшением долговечности т/тэ, как это и следует из табл. 2. Таким образом, странное на первый взгляд совпадение ОЗС с относительной прочностью мерзлого тела £ = (Р/Рм) имеет вполне материальную природу.

Все члены последовательности ОЗС обладают замечательным свойством — результаты их возведения в степень п и вычитания их из единицы одинаковы: 1) 0,51 = 0,5 и 1 - 0,5 = 0,5; 2) 0,6182 = 0,372 и 1 - 0,618 = 0,372;

3) 0,6823 = 0,318 и 1 - 0,682 = 0,318 и т.д. Таким образом, связанная энергия, использованная на производство (или произведение хх... = х") вещественной части, и свободная энергия (у = 1 - хп) равны, что и следует из формулы (2), в которой Х и У обозначены одной буквой ф.

Все равновесные, гармоничные, системы подобны самим себе на каждом шаге развития. С учетом равновесия свободной и связанной энергии это возможно, если на каждом последующем шаге энергия, не использованная на предыдущем шаге, т.е. свободная, связывается произведением или производством (эти слова синонимичны, так как имеют общий корень и схожий смысл) новой субстанции. Тогда пошаговый алгоритм развития, например, двухкомпонентной системы выглядит так: первый шаг — х1 = хх = х2 (производство новой субстанции; затраченная или связанная энергия), у1 = 1 - х12 (оставшаяся или свободная энергия); второй шаг — х2 = у1 = 1 - х1 , у2 = 1 - х22 = = 1 - (1 - х12)2; третий шаг — х3 = у2 , уз = 1 - х32; ... и т.д. На графиках рис. 5 показана реализация этого алгоритма при разной точности представления величины Х = ф.

Согласно рис. 5, экогеосистема развивается в пространстве между 0 и 1 примерно по синусоидальному закону с центром симметрии на отметке 0,5 и только в «коридоре» между ф = 0,62 и 1 - ф = 0,38 линейно. Это область зрелости системы, где ее развитие гармонично, производство энтропии минимально, а жизнеспособность и устойчивость максимальны. Протяженность этой области зависит от точности задания величины ф (или Ф). Чем точнее задана величина ф, т.е. чем больше в ней знаков после запятой, тем длиннее этот «жизненный» коридор. В приведенном примере уточнение (увеличение) начального значения х дает примерно тройное удлинение жизненного коридора. Но абсолютная устойчивость системы, соответствующая постоянному пребыванию в этом коридоре, недостижима, так как ф — число с бесконечным количеством знаков после запятой. При любой точности задания величины ф его стенки однажды начинают расходиться, связи между частицами рвутся и каждая из частиц переводится в свободное колебательное состояние в пространстве между 0 и 1 типа «броуновского движения». Такое состояние в философском смысле можно охарактеризовать как «дурную бесконечность». Это понятие, введенное Гегелем, относится к представлению о развитии природы как бесконечной череде круговоротов материи с постоянным возвратом к одним и тем же исходным пунктам. Диалектический материализм «исходит из признания неисчерпаемости и неоднородности материального мира, существования бесчисленного множества качественно различных уровней структурной организации материи, вечного саморазвития и качественных изменений материи и форм ее движения» [Философский словарь, 1984].

Рис. 5. Схематическая модель развития экогеосистем, близких к устойчивому равновесию (/ — количество шагов (циклов): а — при х = ф = 0,616; б — при х = ф = 0,61803

Золотое Сечение, тем более в обобщенном виде и с учетом связанных с ним последовательностей, типа чисел Фибоначчи (о них далее), как нельзя лучше воплощает этот принцип. Но в то же время оно дает ключ, обоснование возможности количественной оценки этого «бесчисленного множества качественных изменений материи и форм ее движения» в конечных величинах, приближенных, но вполне реальных для данного уровня развития науки и техники.

Числа Фибоначчи

Золотое Сечение тесно связано с последовательностью Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89., также издавна используемой для описании циклических структур, их поступательного развития на любом уровне. В этом ряду каждый последующий член равен сумме двух предыдущих, а начиная с пятого отношение последующего к предыдущему с погрешностью от десятой доли процента и меньше равно 1,62. Французский математик Люка, живший в XIX в., показал [Стахов, 2008], что вообще в любой последовательности с произвольными первыми двумя числами, включая дробные, а далее составленной так, что каждый член ряда равен сумме двух предшествующих, отношение последующего члена к предыдущему довольно быстро становится примерно постоянной величиной, близкой к 1,62. Например, возьмем ряд, первые два числа (подчеркнуты) которого выбраны совершенно произвольно, а остальные составлены по указанному правилу: 0,8; 4; 4,8; 8,8; 13,6; 22,4; 36; 58,4; 94,4; 152,8; ... . В этом ряду начиная с 6-го члена отношение последующего к предыдущему примерно равно 1,62.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Особенно убедительно проявление последовательности Фибоначчи в филлотаксисе (расположении листьев) растений (по [Стахов, 2008]). Листья на стебле располагаются по винтовой оси. Число оборотов вокруг оси стебля для последовательного перехода от нижнего листа к верхнему, расположенному точно над нижним, называется листовым циклом. Винтовое листорасположение принято характеризовать дробью, числителем которой является число оборотов в листовом цикле, а знаменателем — число листьев в этом

цикле. Эти дроби образуют числовую последовательность, состоящую из отношений соседних чисел Фибоначчи: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, ... . Причем установлено, что для различных растений характерны свои дроби филлотаксиса. Например, дробь 1/2 свойственна злакам, березе, винограду; 1/3 — осоке, тюльпану, ольхе; 2/5 — груше, смородине, сливе; 3/8 — капусте, редьке, льну; 5/13 — ели, жасмину и т.д. Практически все соцветья и плотно упакованные ботанические структуры (сосновые и кедровые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнухов и мн. др.) также следуют числам Фибоначчи. В частности, семечки в головке подсолнуха располагаются по спиралям, закрученным навстречу друг другу, при этом отношение числа левых и правых спиралей равно отношению соседних чисел Фибоначчи: 8/13, 13/21, 21/34, 34/55. В основе закономерностей филлотаксиса лежит физическая причина — именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению.

Числами Фибоначчи активно интересуются бизнесмены и экономисты. Американский финансист и исследователь Ральф Эллиотт, занимаясь анализом биржевых цен, обнаружил, что относительно крупные волны, описывающие колебания котировок ценных бумаг, являются огибающими мелких волн, те, в свою очередь,— еще более мелких, а количество мелких колебаний в периоде более крупного соответствует ряду Фибоначчи [Волновая теория.].

Частное от деления двух соседних членов в последовательности Фибоначчи в пределе равно второму члену ОЗС (ф2 = 0,618 или Ф2 = 1,618). Последовательности, подобные «фибоначчиевой», можно составить для любого (п) члена ОЗС, пользуясь простым правилом: количество единиц, с которых начинаются такие последовательности, должно совпадать с порядковым номером ОЗС (с количеством компонентов в вещественной части системы), а последующие члены (Рт), после последней единицы, определяются по формуле

Ет = Ет-1 "*■ Ет-п. (5)

Для первого, второго, третьего и четвертого членов ОЗС согласно этому правилу получаются следующие ряды: 1) 1, 2, 4, 8, 16, 32...; 2) 1, 1, 2, 3, 5, 8... (собственно ряд Фибоначчи, см. выше); 3) 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60...; 4) 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 36... (подчеркнуты единицы, указывающие на количество компонентов в вещественной части системы). Например: 7-й член 4-го ряда равен: Р7 = Р6 + Р7-4 = 7 + 3 = 10; 9-й член 3-го ряда равен: Р9 = Р8 + Р9-3 = 19 + 9 = 28. Нетрудно удостовериться, что частное от деления последующего члена на предыдущий в этих рядах стремится (в первом ряду равно) соответственно к первому (Ф1 = 2), второму (Ф2 = 1,62), третьему (Ф3 = 1,47) и четвертому (Ф4 = 1,38) членам ОЗС. Ряд 1 — классическая геометрическая прогрессия, широко известен; применяется, например, для подсчета делящихся клеток, описания «демографического взрыва» и других лавинообразных процессов. Ряд 2, наиболее актуальный при анализе систем любой природы, охарактеризован выше. Ряды 3 и 4 можно использовать для моделирования начального этапа развития, характеризующегося низкими темпами деформирования.

Последовательности подобного типа, в которых каждый последующий член больше предшествующего примерно в Фп раз, можно использовать для описания фазы (полупериода) становления (созревания) системы. Для описания фазы ее старения (деградации) можно использовать обратные последовательности, убывающие, в которых каждый последующий член меньше предшествующего примерно в Фп раз, например обратную последователь-

ность Фибоначчи: 1, 1, 0,5, 0,33, 0,2, 0,125, ... . На рис. 6 показана зависимость членов «фибоначчиевых» рядов от их порядкового номера (т) для основных (первых трех) членов ОЗС в полулогарифмическом масштабе и даны ее формулы. С хорошей достоверностью (во всех случаях Я > 0,999) они линейны. Анализ показывает, что коэффициент пропорциональности в формулах стремится к величине логарифма соответствующего члена ОЗС: 1) 1п2 = 0,693; 2) 1п1,62 = 0,481; 3) 1п1,47 = 0,385. В результате получаем предельную формулу Рт для всего ряда ОЗС:

=(фп)т

А 50 40 30 20 10 0

1 10 19 28 37 46 55 64 т

Рис. 6. Зависимость А = !п(Гт ) от т, п: 1 — для п = 1; 2 — для п = 2; 3 — для п = 3

Заключение

Последовательности ОЗС и Фибоначчи отражают один из законов природы, касающийся структурирования различных систем Мироздания, регламентирующий организацию пространственно-временных элементов в единое целое, и являются эффективными инструментами анализа экогеосистем. Сущностная разница между этими последовательностями состоит в том, что члены первой из них (ОЗС) соответствуют числу элементов экогеосистем, второй — числу циклов развития. Несмотря на некоторый мистический шлейф, тянущийся за этим законом с древних времен, когда жрецы и монахи, открывшие этот закон, использовали его в эзотерических практиках, он нисколько не таинственней и удивительней других объективно существующих законов природы. Он также до конца не познаваем (собственно, именно он и указывает на невозможность полного познания Мира), но, в общем, вполне поддается материалистическому объяснению.

ЛИТЕРАТУРА

Бакумцев Н.И. XVII Международный научный симпозиум «Перестройка естествознания и экономики»-2008, Санкт-Петербург // Академия Тринитаризма. М., Эл № 776567, публ. 14744, 21.03.2008.

Будыко М.И. Климат и жизнь. Л.: Гидрометеоиздат, 1971. 472 с.

Волновая теория Эллиотта [Электрон. ресурс]. Режим доступа: http://ta.mql4.com/ гы/еШ ott_wave_theory.

Коновалов А.А. Экогеосистемы: Закономерности развития и распределения, выбор модели // Природа России. 2006 [Электрон. ресурс]. Режим доступа: www.biodat/doc/lib/ index.htm.

Коновалов А.А. К теории прочности мерзлго грунта // Криосфера Земли. 2009. Т. XIII, 1. С. 31-39.

Коновалов А.А., Арефьев С.П. О деформационной модели развития геосистем (на примере радиального роста древесных растений) // Вестн. экологии, лесоведения и ландшафтоведения. 2008. № 9. С. 18-36.

Коновалов А.А., Иванов С.Н. Климат, фитопродуктивность и палиноспектры: связи, распределение и методика палеореконструкций. Новосибирск: Гео, 2007. 13о с.

Коновалов А.А., Казанцева М.Н. К обобщению наблюдений за параметрами древесных растений // Вестн. ТюмГУ. 2009. Вып. 3. С. 200-208.

Ландшейдт Т. Космическая функция Золотого сечения [Электрон. ресурс]. Режим доступа: http://astrologic.ru/library/golden.htm.

Орлова В.В. Западная Сибирь. Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 360 с.

Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984. 265 с.

Стахов А.П. Роль «Золотого Сечения» и «Математики Гармонии» в преодолении «стратегических ошибок» в развитии математики // Академия Тринитаризма. М., Эл № 77-6567, публ. 14688, 12.01.2008.

Физико-географический атлас мира. Л.: Гидрометеоиздат, 1964. 275 с.

Философский словарь. М.: Госполитиздат, 1981. 445 с.

Шавлов А.В. Лед при структурных превращениях. Новосибирск: Наука, 1996. 188 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ИПОС СО РАН, г. Тюмень

А.А. Коnovalov

OPTIMUM CORRELATIONS OF ECOGEOSYSTEMS COMPONENTS AND THEIR CHARACTERISTICS

For describing a vital cycle of ecogeosystems the author uses two sequences connected with each other — Generalized Golden Section (GGS) sequence and Fibonacci sequence. The article demonstrates the essential difference between those: the exponent of a power for GGS equation being equal to the number of ecogeosystem components, while the ordinal number of each member of the Fibonacci sequence — to the number of the cycles covered by this. The article quotes examples of applying these sequences under analyzing ecogeosystems.

Ecogeosystems, water, ice, Generalized Golden Section, Fibonacci sequence.