Оптимальные методы табулирования физических полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-74

И. В. Бойков, А. И. Бойкова, Н. П. Кривулин, Г. И. Гринченков

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ТАБУЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Аннотация. Актуальность и цели. Физические поля различной природы, как правило, имеют сложную структуру, не поддающуюся аналитическому представлению. Решение многих задач техники и физики требует представления с высокой степенью точности информации о физических полях как стационарных, так и переменных. Под представлением физического поля в какой-нибудь области подразумевается равномерная аппроксимация поля с заданной точность в рассматриваемой области. Стандартные методы, основанные на аппроксимации полей по равноотстоящим узлам, приводят к значительным погрешностям. Поэтому актуальными являются задачи построения равномерной (в той или иной метрике) аппроксимации полей в заданной области. Второй актуальной задачей является построение оптимальных методов табулирования и передачи информации, позволяющих с заданной точностью восстанавливать поле. Решению этих двух задач посвящена данная статья. Материалы и методы. Для решения указанных задач предлагается метод, общий для физических полей любой природы, который заключается в следующем:

1) строятся алгоритмы равномерной аппроксимации полей в рассматриваемой области; 2) разрабатываются оптимальные методы табулирования информации о полях; 3) строится аппарат расшифровки таблиц, позволяющий с заранее заданной точностью восстановить физическое поле в заданной области. Для построения наилучшего равномерного приближения физического поля определяется функциональный класс, к которому принадлежит данное поле, вычисляются поперечники Колмогорова соответствующего класса функций и строятся сплайны, являющиеся оптимальным методом приближения. Затем с использованием информации о классе функций проводится табулирование физического поля. При табулировании физических полей естественно опираться на концепцию колмогоровской энтропии. Последним этапом является разработка аппарата восстановления с заданной точностью физического поля по результатам табулирования. Результаты. Предложены оптимальные по точности и памяти методы восстановления потенциальных полей различной природы: ньютоновского и кулоновского потенциалов, электростатических полей. Выводы. Результаты работы могут использоваться при разработке оптимальных методов получения и передачи информации о физических полях любой природы.

Ключевые слова: физическое поле, равномерная аппроксимация, оптимальные методы табулирования информации, поперечник, сплайн.

I. V. Boykov, A. I. Boykova, N. P. Krivulin, G. I. Grinchenkov OPTIMAL METHODS OF PHYSICAL FIELD TABULATION

Abstract. Background. Physical fields of various nature, as a rule, have a complex structure that is impossible to be represented analytically. Solution of many problems of physics and engineering requires high precision representation of information on on both constant and variable physical fields. Under the notion of a physical field in a certain range we understand uniform approximation of a field with

given accuracy in a range under investigation. Standard methods, based on field approximation by equidistant nodes, lead to significant errors. Therefore the problems of formation of uniform (in one or another metrics) approximation of fields in the given range are topical ones. The second topical problem is the development of optimal methods of information tabulation and transfer enabling to restore a field with the given accuracy. The article is devoted to solution the said problems. Materials and methods. To solve the said problems the authors suggest a method common for physical fields of any nature, which is based as follows: 1) building of algorithms of uniform approximation of fields in the range under investigation; 2) development of optimal methods of field information tabulation; 3) building of an apparatus of table decoding, enabling to restore a physical field in the given range with predetermined accuracy. In order to form thebest uniform approximation of a physical field it is necessary to determine a functional class, which the said field belong to, to calculate Kolmogorov widths of the corresponding function class and to build splines being an optimal method of approximation. After that, a physical field is tabulated using the information on the function class. Tabulation of physical fields is naturally based on the concept of Kolmogorov entropy. The last step is the development of an apparatus of restoration of a physical field with the given accuracy on the basis of tabulation results. Results. The authors suggest the methods, optimal in accuracy and memory, of restoration of potential fields of various nature: of Newtonian and Coulomb potentials, of electrostatic fields. Conclusions. The results of the study may be applied in development of optimal methods of acquisition and transfer of information on physical fields of various nature.

Key words: physical field, uniform approximation, optimal methods of information tabulation, width, spline.

Введение

Многие физические поля (поля силы тяжести, электрические и магнитные поля, поля напряжений в материалах в окрестности мест сварок, трещин и т.д.) имеют неоднородную структуру и моделируются различным математическим аппаратом. Известные методы восстановления физических полей не гарантируют равномерного представления поля во всей рассматриваемой области, оптимальную аппроксимацию поля и эффективный метод табулирования и передачи информации об исследуемом поле.

Для равномерной с точностью £ аппроксимации поля F(x) в области G, xе G, необходимо:

1) исследовать гладкость функции F (x);

2) разработать оптимальный по точности метод аппроксимации поля

F (x);

3) разработать оптимальный по памяти алгоритм табулирования поля;

4) разработать метод дешифровки таблиц, позволяющий с точностью £ восстанавливать поле в области G.

1. Классы функций

В этом разделе приведены классы функций, используемые в работе.

Определение 1.1. Класс Wr (M; a, b) состоит из функций, заданных на отрезке [a,b], непрерывных и имеющих непрерывные производные до

(г — 1) -го порядка включительно и кусочно-непрерывную производную г -го порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству | /(г) (х) |< М.

Определение 1.2. Класс С(М;В), В = [а1,Ь^;—;а/,Ь ], состоит из функций, заданных в области В, непрерывных и имеющих непрерывные частные производные до (г — 1)-го порядка включительно и кусочнонепрерывные частные производные г -го порядка, удовлетворяющие в этой

Э У (х)

Эх^1 •••дхр

Определение 1.3 [1, 2]. Пусть О = [-1,1/, I = 1,2,... Функция ф( хр.., Х{) принадлежит классу Qгy (О, М), если выполнены условия

области неравенству

< M, r = ri +-+ ri, l = 2,3,...

max

xeQ

3|v|9( x)/ dx^1 •••dxp

< M при 0 <| v |< r;

| 3|v|9( x)/ dx^1 ■■•dx^ |< M / (d (x, r))|v| r Z, x ей \ Г, при r <| v |< s,

где s = r + [y] +1, Y = [y] + |1, 0<ц< 1, Z = 1 —M- при y нецелом; s = r + y, Q = 0 при y целом, d(x,Г) - расстояние от точки x (x = (x1,...,xi)) до границы Г области й, вычисляемое по формуле

d(x,Г) = min1<i<l min(| 1 + xi |,11 - xi |).

Определение 1.4 [1, 2]. Пусть й = [-1,1/, l = 1,2,.., r = 1,2,...,

0 <y< 1. Функция ф( x1,., xi ) принадлежит классу BrY (й, M), если выполнены условия

max | d|v|9(x1,., xl) / dx^ ■ dx,1 |< M|v| | v ||v| при 0 <| v |< r;

лей

| 3|v|9(x1,.,xi)/3xp •••dxp |<M|v| | v||v| /(d(x,Г))^|—r—^Y при r <| v|<^.

2. Определения поперечников и энтропии

Ниже приводятся определения поперечников и £ -энтропии, используемые в работе. Пусть B — банахово пространство, X с B — компакт.

Определение 2.1. Пусть L - множество n -мерных линейных подпространств пространства B. Выражение

dn(X,B) = infsup inf || x — u ||,

Ln xeXueLn

где последний inf берется по всем подпространствам Ln размерности n, определяет n -поперечник Колмогорова.

В 1948 г. вышла из печати знаменитая работа К. Шеннона «Математическая теория связи», в которой понятие энтропии было

перенесено из статистической физики на теорию передачи информации [3]. В частности, К. Шеннон дал следующее определение энтропии дискретных множеств.

Определение 2.2 [3]. Пусть X — множество, состоящее из п элементов х1, х2,..., хп. Число Н (X ) = log2n называется энтропией множества X.

Энтропия Н (X) множества X определяет число двоичных разрядов, которыми необходимо располагать для того, чтобы можно было бы однозначно выделить из множества X каждый из его элементов. Невозможно представить элементы бесконечного множества двоичными числами

0,а1а2--ат с фиксированным числом разрядов т. Поэтому приходится прибегнуть к приближенному представлению элементов бесконечного множества с точностью е(е > 0).

Конечное множество S с В называется е -сетью для X, если для любого х е X найдется такой элемент 5 е S, что || х — 5 ||<е. Минимальную мощность е -сети обозначим Уе (X, В).

Конечная система ю замкнутых в компакте X множеств называется 2е -покрытием X, если объединение элементов этой системы совпадает с X, а диаметр каждого из них не превосходит 2е. Минимальную мощность 2е -покрытия обозначим Уе (X).

Конечное множество и с X называется е -различимым, если для любых двух элементов х1, х2 е и имеет место неравенство || х1 — х2 ||> е.

Определение 2.3. Пусть Е - компактное метрическое пространство, а а = (а1,..,а/) - его произвольное 2е-покрытие множествами (а^} из Е. Обозначим через N(Е) число элементов наиболее экономного, т.е. состоящего из наименьшего числа множеств (а^}, 2е-покрытия 5е(Е). Число Не (Е) = ^^е (Е) называется абсолютной е -энтропией пространства Е.

Связь между длиной таблицы элементов компакта X и его е -энтропией описывается следующим утверждением [4].

Теорема 2.1. Для того чтобы способ табулирования имел точность е, объем таблиц должен удовлетворять неравенству N > Не (X).

3. Табулирование информации о потенциальных полях

В данном разделе исследуются методы табулирования информации о потенциальных полях.

3.1. Гладкость потенциальных полей

Задачу определения гладкости физических полей продемонстрируем на примере гравитационных полей. Известно представление потенциальных полей в виде интеграла типа Коши. В случае, если плотность р(п) непрерывна, поле может быть представлено в виде интеграла [5]

= 1 г,с где с —Iггр(п) * ь = ЭО.

2га£ С — С1 п О ^

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.1 [6, 7]. Пусть Ь — гладкая кривая. Пусть функция р(П) е Жг(М). Тогда справедлива оценка

д sV (Z)

< c2ss!-

Г 1,О < s < r,

|d (Z, L)-s+r,

где й ( Ь) - расстояние от точки Z до границы Ь в области О.

В трехмерном случае потенциал, создаваемый тяготеющими массами плотности р(х,у, г), расположенными в области В е Л3, описывается формулой

Р(£, П, Z)d ^ п й Z

V (x,y, z) = Ш:

\2ч1/2 ’

В ((х — х)2 + (у — п)2 + (гЧ)2)1

где (х, у, г) - точка вне области В; (^, п, Z) - точка, пробегающая область В; р(^, п, Z) — плотность тела.

Теорема 3.2 [6, 7]. Пусть Г - гладкая поверхность, 5 = 51 + 52 + 53, 0 < 51 < 5, 7 = 1,2,3.

Пусть плотность р( х, у, г) ограничена и интегрируема. Тогда

справедлива оценка

д sV (x, y, z)

dxsldys2 dzs

< c2ss!

fl, О < s < 1,

(d(P, Г))-s+1, 1 < s <~,

где й(Р, Г) - расстояние от точки Р(х, у, г) до границы Г области В.

Пусть Г = ЭВ - гладкая ляпуновская поверхность, принадлежащая классу Ьк (В, X) (см. [8]), р(х,у, г) е С3^ (В), 0 < г < к.

Теорема 3.3 [6, 7]. Пусть Ге Ьк (В, X), р(х, у, г) е С3^ (В), 0 < г < к; 5 = 51 + 52 + 53, 0 < 5^ < 5, / = 1,2,3. Справедлива оценка

д sV (x, y, z)

dxsldys2 дzS

< c2s s!<

|1, О < s < k + 2,

[(d(P, Г))-s+k+2, k + 2 < s <«

где й(Р, Г) — расстояние от точки Р(х, у, г) до границы Г области В.

Из утверждений теорем 3.1-3.3 следует, что потенциальные поля, создаваемые тяготеющими массами, принадлежат классу функций Вг у (В,М). Отметим, что этому классу функций, наряду с потенциальными

полями тяготения, принадлежат многие другие физические поля.

Известно [1, 2], что класс функций Вгу(М, О) вложен в более общий

класс Qг у1 (О,М1), но с другими константами У1 и М1. Поэтому

представляет интерес исследование задачи табулирования более общего класса функций Qry (О,1).

В связи с этим актуальной является следующая задача.

Задача. Пусть в области О имеется поле, принадлежащее классу функций Qry (О,М). Пусть задано значение е(е> 0). Требуется построить

метод наилучшего равномерного приближения и наилучшего табулирования класса функции Qry (О,М) и построить алгоритм, позволяющий по

результатам табулирования восстановить произвольную функцию из класса Qr у (О,М) с точностью е.

3.2. Функции одной переменной

Оценим число узлов, необходимое и достаточное для восстановления функций из класса Qr у (О,М) с точностью е.

Теорема 3.4 [1, 2]. Пусть О = [—1,1]. Тогда справедлива оценка йп ^ ,т (О, М), С)=п—5.

Построим непрерывный сплайн (^), приближающий функции из

класса Qry(О,М) с точностью сп—5 и имеющий 2п5 — 2п +1 параметр. Для этого разделим сегмент [—1,1] на N = 2п частей точками tk = —1 + (к / п) и

Тк =1 — (к / п), к = 0,1, ...,п, где V = 5/(5 — у). Пусть Лк = [к ,кц],

*

Лк =[Тк+1,Тк], к = 0,1,..,п — 1. Сплайн /N(^ состоит из интерполяционных

*

полиномов Р5 (/, Лк), Р5 (/, Лк), к = 0,1,..,п — 1, которые строятся следующим образом. В сегменте [а,Ь] аппроксимируем функцию /(^) интерполяционным полиномом Р5 (/,[а, Ь]) степени (5 — 1), построенным по узлам Z^, I = 1,2,. .,5, являющимся образами узлов Zl,.,Z5 полинома Чебышева первого рода степени 5, полученными при отображении сегмента [Zl, Z 5 ] на сегмент [а, Ь].

В работах [1, 2] показано, что || / (^) — ^ (^) ||< с^‘5.

Теорема 3.5 [1, 2]. Пусть О = [—1,1], 1 < р <^. Справедлива оценка

н е ((2Г ,т (О,1)) = (1/е)1/5.

Укажем способ построения таблиц и построим алгоритм оптимального восстановления функций класса Qry (О,1) с точностью е. Ограничимся

рассмотрением класса функций Qry (О, М) при у целом числе.

Пусть О = [—1,1]. На сегменте [—1,1] введем узлы tk = —1 + (к / N)v, к = 0,1,...^, ^ =1 — ((2 N — к)/N)v, к = N +1,...,2 N, где V = 5/(5 — у).

Пусть Лк =[кА+1]Лк = tk+1 — tk, к = 0,1,..,2N — 1. Пусть в точке tN =0 заданы значения функции /(0) и ее производных /(к)(0) с точностью ек,

к = 0,1,..,5. Положим е к = N 5+к, к = 0,1,..., 5. В любой точке t сегмента Л N функция / ^) равна

/(0=/(0)+№.,+...+/^ +/!)Ш—/^5, 0<в<1. (1)

1! 5! 5!

Будем вычислять функцию / ^) в сегменте Л N по формуле

/ ^) = / (0) + ^ t + . + 25^ ?, (2)

1! 5!

где / (0) и /(к )(0) - значения / (0) и /(к )(0), вычисленные с точностью е0 и ек, к = 1,2, .,5, соответственно. Погрешность, которая возникает при переходе от формулы (1) к формуле (2), равна [2]

| ЛN/«)|< С0е0. (3)

В сегменте Л N

/ (к )(1 ) = / (к )(0) + / (к+‘)(0) t + ... + ^ + / (5І(вt) — /<5 )(0) ^.

1! (s -k)! (s -k)!

N

Будем вычислять функцию f(k)(t) в сегменте А N по формуле

f(k )(0 = tl-k (4)

i=k (l -k)!

Тогда погрешность восстановления функции f(k )(t) в сегменте Аn

равна

IА Nf(k )(t )l=lf(k )(t) - f(k )(t )|<

<-

1

f s ,,l-k 2l+vY\-s-k ^

Ns-k

v =k (l -k)! (s -k)!

= CN Єk, (5)

где через Ck обозначено выражение в скобках.

Таким образом, в точке tN+1 значения f(k)(tN+i) вычисляются

* * N

с точностью Cn£k, k = 0,...,s, где Cn = maxo<k<s Ck , т.е. происходит потеря

*

точности в Cn раз. Это означает, что информация, содержащаяся

* (k)

в [log2 Cn ] +1 последнем двоичном разряде каждого значения fy J(tN+1),

является недостоверной. Для того чтобы продолжить вычисления на сегменте Аn+1, нужно располагать значениями [log2 C^ ] +1 последних двоичных разрядов в числах f(k)(tN), k = 0,1,..., s.

Значения функции f (t) в сегменте Аn+i можно определить по формуле Тейлора

/^) = /+1) + / (^+/) (t — tN+1) + "• +

+/^Ш1« _,я^ + /(^+1 + в*,+1) — /(^+1V — N5. (6)

5! 5!

В сегменте Л N+1 значения / ^) будем вычислять по формуле

/О1) = /^N+1) + / (^+/) (t — tN+l) + "• + / ( ^+/) (t — tN+l)5, (7)

1! 5!

где

| /(tN+1) — 7(tN+1) |< е0, | /(к) (tN+1) — /(к) (tN+1) |< ек.

Возникающая погрешность оценивается неравенством

I А N+lf (t )1<Л

Ns

s vk 21+vY vs

у—+-

k=0k! s!

Ns

При получении оценок | Л N+1/О1 )|, I = 0,1,..., N — 2, полагаем е[) = 1

Ns

ek =—Ц-, k = 1,2,..., s, l = 0,1,...2N - 2. Значение f(k)(t) в сегменте А^1

Ns-k

равно

/(к^)= V /(')(^+1)(t — ^+1)}—к +

“к (7 — к )! ^

/(5)(^+1 +в1) —./(5^(1М+1) (t — { )5—к

(5 — к)! ^1 '

Вычислять функцию /(к) (t) в сегменте Л N+1 будем по формуле

/(к'«= £ )(t — ^'+1)И'. (8)

Як о—к)!

Погрешность оценивается неравенством

|Л N+/(к ^ )|=|/(к )(t) — /(к )(t )|< С

N+l 1

Ns-k

Таким образом, при задании значений /(к )^+1) с точностью ек

значения /(к^N+1+1) вычисляются с точностью С^+1 ек, т.е. происходит

потеря точности в ^2С^+1 раз. Это утверждение справедливо при I = N,N +1,...,2N — 2. Аналогичные оценки справедливы и для сегментов Лк, к = 1,..,N — 1.

На сегменте ^N—1,1] значения /(!) вычисляются по формуле

/(0=£2^—1)к, (9)

к=0 к!

имеющей погрешность | Л2N—1 /^) |=| /(t) — /^) |< с0.

Ns

Аналогичным образом вычисляется функция / (^ в сегментах

Л ^ 1, Л N—2,., Л0. Пусть С* =тах(тахСк ,сЦ,с0М ), где к = 0,1,. .,5,

к ,1

I — 1.

Таким образом, для восстановления функции /^) с точностью е требуется располагать значениями/(к)(0), к = 0,1,...,5, /(к)(±1), к = 0,1,...,г, вычисленными с точностью ек, и последним [log2 Ск ] +1 двоичным разрядом в числах /(к ), к = 0,1,..., г, I = 1,2,...,2N — 1. Общее число

двоичных разрядов, необходимых для построения е -сети, равно О

є

V У

Для того чтобы вычислить по формулам (2), (4), (7)-(9) значения функции / (0 с точностью е = в сегментах Л1, Л2,., Л 2 N—2, достаточно

N

выполнения соотношений

См р N = е = _1_ СМ р N = 1 = N к = 1 2 .

С0 е0 е 5 , Ск ек 5 к , к 1,2,.,5.

N5 ^5—к

Следовательно, нужно положить е/^ = -N, , к = 1,2,.,5.

С0 Ск

В узлах ±1 нужно запомнить значения функции / ^) с точностью е = —^, а

N

ее производных с точностью е к = еЫ5к/(5—т), к = 1,2,., г. Из этих оценок

1

следует, что Не^гу([—1,1],М)) < с^^5 .

Сравнивая эффективность описанного алгоритма со стандартными алгоритмами, построенными по равноотстоящим узлам, можно показать, что его использование позволяет уменьшить число разрядов памяти

в О (1/ е)5/(г 1)|^2е | раз.

3.3. Функции многих переменных

В этом разделе излагаются оптимальные методы восстановления многомерных физических полей, моделируемых классами функций Qr у (О,М),

О = [—1,1]1, I > 2. Известны следующие утверждения.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Теорема 3.6 [2]. Пусть О = [—1,1]1,I >2,V = 5 /(5 — у). Справедлива

оценка

^((О, M )) = A

є-(1 -1)/(s-T), v > l / (l -1),

„-l / s

|1пє

il / p

l / s

v < l / (l -1), -, v = l / (l - 1).

(10)

£

Теорема 3.7 [1, 2]. Пусть П = [-1,1]1,І >2,V = s /(я-у). Справедливы оценки

п-(-у)/(І-1), V > І / (І - 1), 7-і/І (ІП п)5/І, V = І / (І - 1),

dn ((. у (О,M),C)

(11)

-s/l

v < l / (l -1).

Построим сплайн / (,..., ґі ), реализующий оценку (11).

Обозначим через Ак множество точек х = (х1,..., хі ) из П, расстояние от которых до границы Г области П удовлетворяет неравенствам

(к / N У < d (х, Г) < ((к +1) / N У,

где V = 5 / (я -у).

В каждой области Ак разместим кубы Ак . , ребра которых равны

*1,...,*І

Ик =(к +1)/N)v -(к/N) и параллельны координатным осям. Воспользуемся этим разбиением. Построение сплайна начнем с куба А N - . В этом кубе функцию /(,...,ґі ) аппроксимируем интерполяционным полиномом

^ (t1,..., ґі ; АN-1) = ^...^ [/, АN-1].

Здесь Ря 5 [/, [аь&!;•••;щ,Ь ]] = р/1 [Р/2...[Рґ,[/,[а,Ьі ]]], •• -,[аь^]] через Рґ [/,[а.,Ьі]] обозначен многочлен Р5 [/,[а.,Ь. ]], построенный при доказательстве теоремы 2.1 и действующий по переменной ґ. , і = 1,2,..., І.

Перейдем к области А N-2. Эта область разбивается на кубы А

N—2 Ь,..^,,

причем разбиение происходит таким образом, чтобы вершины куба ЛN— 1 входили в число точек разбиения. В каждом из кубов Л^—2 полином

'1 V ,4

^ (Ґ1,...,ґі;АN 2 ) определяется формулой

fN (t1,...,tl;<...2 )= Ps,...,sf (t1,...,tl ),

где функция /(,...,tl) равна /(,...,Ц) во всех узлах интерполирования, кроме расположенных на гранях куба ЛN— 1. В этих узлах значения / (,..., tl) полагаются равными значениям полинома Р5 5 [ /, Л N—1 ].

Описанным образом проводится аппроксимация во всех областях Лг-при 1 > 0. Полученный при этом сплайн обозначим через ^ (,...,^).

Можно показать [1, 2], что сплайн ^ (,...,^) непрерывен в О и что справедлива оценка

-((—у)/(1—1), V > I / (I — 1),

II /(ь..-tl) — ^ (t1,...,tl )11с^ с<

n

_s/l ,„\s/l

n

n

- s/l

(lnn)s/l, v = l / (l -1), v < l / (l -1),

где V = 5 / (5 — у).

Следовательно, сплайн ^ (,...,tl) реализует оценку (11) и тем самым является оптимальным по порядку алгоритмом восстановления функций /е &.,у(О,М).

Выше было показано, что локальный сплайн ^ (,...,^) является оптимальным по порядку алгоритмом аппроксимации функций

/ (,..., ч )е а ,т(о,1).

Построим теперь оптимальный по порядку алгоритм табулирования информации о сплайне ^ (,...,tl). Для простоты изложения ограничимся двумерным случаем. Распространение полученного метода на l -мерные ( > 2) области можно провести по аналогии с рассуждениями, приведенными в [1, 2] .

Для того чтобы восстановить функцию / (t2 )е у (О,1) в области О с точностью £, нужно располагать значениями этой функции в узлах сплайна ^ (^, t2) с точностью

*

є =•

X

s

где Х5 - константа Лебега по 5 узлам интерполяционного полинома Р5 (/ ,[—1,1]). Построение таблицы начнем с области Л N—1. Обозначим вершины квадрата Л N—1 через N—1, 1 = 1,2,3,4. В вершине A‘_N—1 запомним значение функций / (1, Х2) с точностью £о и значение частных производных к -го порядка, к = 1,2,...,5, с точностью £к. Связь между константами *

£ ,£о,£к, к = 1,2,...,5, будет установлена ниже.

є

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион В области Л N—1 функция / (1, Х2) равна

/(x1, х2 ) = /(Л1,N—1) +11 #(Л1,N—1) + ... + ^^ /(Л1,N—1)

+~( /(Л1, Л—1 + 0( х — Л1, N—1) ) — (Л1, Л—1)),

+

(12)

где ^/ — функционал к -го порядка от функции /(х),х = (Х1,Х2),0<0< 1.

При построении таблицы функцию / (Х1, Х2) в области Л N—1 аппроксимируем отрезком ряда Тейлора

7(хЪх2 ) = 7(Л1,N—1) +1!$(Л1,N—1) +... + ^'/(Л1,N—1 ) (13)

где через / (1N—1) обозначено значение / (ЛlN—1), вычисленное с точностью £о, а через ёк/ (1N—1) обозначено значение дифференциала к -го порядка, к = 1,2,...,5, в котором значения частных производных к -го порядка в точке Л1 N— 1 вычислены с точностью £к .

Оценим погрешность, возникающую при аппроксимации функции / (х1, х2) в области Л N—1 отрезком ряда Тейлора / (1, х2). Очевидно,

f (хЪх2) _ f (х1,х2 ) < f (A1,N-1) _ f (■f,N-1)

+^ тгdk'f ( A1,N-1 ) _ dkf ( A1,N-1)

k=1 k!

+

<є0 + ^ jf-k^N-1 + s!M k=1

Э Sf

dxSl, dxS2

hN-1.

Здесь - число слагаемых в дифференциале й

M

Э Sf

Эх^1 Эх^2

V х1 х2

= max max

1<S1+S2 <s хє An_1

д sf (х)

Эх^1 Эх^2 х1 х2

Положим £ к = £о / ^—1 - £о N, к = 1,2,..., 5.

В результате имеем

|/txl, х2) — 7 tx‘, х2)££о + с, £ к!+£| N-_ I INI <

s. є0 2 f N YY f v4S

k=1

- cs є0

V

S 1 ^ 2 + Е1

Г1 к I

к=1 у

+ є0 - 4csє0.

Из этого неравенства можно сделать следующий вывод: для того чтобы в области А N-1 функцию / (1, х2) аппроксимировать отрезком ряда Тейло-

* * ра (9) с точностью £ , нужно положить £о = £ /4с5 .

Аналогичным образом частные производные

дУ (xb x2 ) 1

,1 - V - s,v = Vl + V2,

0 < Уг- < д, аппроксимируем отрезком рядов Тейлора.

Для определенности представим

д/(хЪх2 ) = д/(А1,N-1 ) + Л 1_^к {ё/(■х1,N-1 ) ^ Эх1 Эх1 Т^к!

к=1

3xi

(14)

Рассмотрим квадрат АN* * с вершинами в точках Aj n-2, i = 1, . ,4.

г1 ,г2

Будем считать, что точки А N-2 и А N-2 лежат на стороне общей для

N-2 г112

квадратов А N-1 и А* * . Для того чтобы вычислять значения функции

/ (х1, Х2) в узлах полинома РДД1 /, А'**2 I

V г1 г2 )

*

с точностью є* по формулам ана-

логичным формулам (13) и (14), нужно располагать значениями функции / (х1, х2 ) и ее частных производных в точке А1 N-2 с точностью £о . Применение формулы (13) и формул, аналогичных (14), позволяет вычислить эти значения с точностью 4сД£о. Это означает, что необходима дополнительная

информация о значениях функций / (1, х2) и ее частных производных. Нетрудно видеть, что по формулам (13) и (14) нельзя достоверно восстановить [1о§2 4сД ] +1 последний двоичный разряд. Таким образом, в точке Al_N-l

нужно дополнительно запомнить [0(^2 4сД)] разрядов.

Располагая этой информацией, в квадрате А^-2 функцию / (х1, х2)

j1 j2

аппроксимируем отрезком ряда Тейлора

f (x1, x2 )= f ( A1, N-2 ) + Jj df ( A1, N-2 ) + ... + SIdSf ( A1, N -2 ) . (15)

sI

Частные производные аппроксимируем формулами, аналогичными д/ (х1, х2)_д/ (А1, N - 2) , Д 1 ~к { а/ (А1, N-2 )

dx

dx

• + Y — с

к=1к 1

dx

(16)

Аналогично проводится аппроксимация во всех областях А**,

г1 і2

к = 1,2....,N — 2.

Рассмотрим квадрат Ак* * с вершинами в точках Аі к , і = 1,2,3,4,

г1 і2

к = 1,2,...,N — 2. Предположим, что точки А\к и А2к лежат на стороне, общей с областями Ак* * и Ак+1. Предположим также, что в точке А^к значе-

г1 г2

ния функции /(%!, %2) и ее частных производных до 5 -го порядка известны с точностью Є к , к = 0,1,..., 5 .

Функцию / (х1, Х2) в области Ак** будем аппроксимировать отрезком

j1 j2

ряда Тейлора

f (x1,x2 ) = f (A1,k ) + Jj df (Xl,k ) +... + —dSf (A1,k ) .

SI

(17)

Оценим погрешность такой аппроксимации. Очевидно,

7 (x1, х2 ) — 7 (x1, х2 )|^| 7 (А1, к ) — 7 (А1, к )| + Е1 ^ 7 А к ) — (А1, к)

l =1

+

1

+—

sI

dsf (Al, к +0(x - Al, к))-dsf (Al, к)

S ~

<єо +Е iTelhk + ~M

l=1

SI

d Sf

dx^1, dxSl V X1 X2

l

hk <

к + N

l

+-

1

<є0

S

і+Е-

v ы lI,

+ s IV N

V

S - 2 Г к YY Г v(k + 0)

f s > 1 + £“

v ЫlI,

+ sI V N

N

v-1 Y

-

N

/

Nv

2 1

<3csє0 + T S <4cs 4

sI NS

Аналогичным образом аппроксимируем частные производные функции /(х1,х2) в области Ак.

Таким образом, для аппроксимации функции / (1, х2) в области Ак* *

г1 г2

нужно в каждом узле аппроксимации запомнить [0(^2 4сД)] двоичных разрядов.

Осталось построить алгоритм аппроксимации функции / (1, х2) в об-

0

ЛI

ластях А

'1,'2

Отличие от предыдущего случая заключается только в том, что используются производные до г-го порядка, и поэтому на подробном построении не останавливаемся.

Таким образом, для построения описанного выше алгоритма нужно запомнить с точностью £к,к = 0,1,...,5, значения функции /(х1,х2), ее частных производных до 5 -го порядка в точке А\ N-1 и значения функции /(х1, х2) и ее частных производных до г -го порядка в точке (—1,—1), а также (а + 1)[^2(4С5)] + 1 двоичных разрядов в каждом узле интерполяции. Здесь а - число частных производных 5 -го порядка. В общей сложности нужно запомнить число двоичных разрядов, выражаемых правой частью формулы (17). Используя результаты работы [2], можно показать, что изложенный алгоритм является оптимальным по порядку по точности и памяти.

Реализация метода

Остановимся на вопросе реализации изложенного выше метода восстановления информации о потенциальных полях в случае, когда по техническим причинам невозможно измерить значение производных до достаточно высокого порядка. Для определенности ограничимся рассмотрением класса функций Qry (М, О), О = [—1,1]. Класс функций

Qry(М,О), О = [—1,1/, I = 2,3,..., исследуется аналогично, но технически более сложно.

Пусть /(х)е Qry(1,О), О = [—1,1]. Пусть £>0 - достаточно малое число. Требуется определить число N(£) узлов хк, хк е — -2,-2

к = 1,2,(£), необходимое для вычисления с точностью £ значений

производных /(1) (0), ] = 1, 2, .., 5, и построить алгоритм вычисления.

Отобразим N узлов полинома Чебышева первого рода с сегмента [—1,1] на сегмент [—1/2,1/2] и по полученным узлам построим

интерполяционный полином (N — 1)-го порядка LN (/(х)). Оценим норму

||f (x) - Ln (f (x))|

C

11

_2,2

. Так как f (x) є Qry(1,Q), Q = [-1,1], то на

сегменте

ln N

f (x) є WS (2y). Следовательно, ||f (x) - Ln (f (x))||

C

11

_2,2

< С----, где С — константа, не зависящая от N.

N

Для оценки

f (X) - Ln (f (X)( j)

C

11

_2,2

j = 1, 2,..., s, воспользуемся

следующим утверждением.

Лемма 1 [9]. Для любой функции Сг ([а,Ь]), г > 0, существует алгебраический полином Qn степени п > 4г + 5 такой, что

f (i)( X) - Qni)( X)

< const

-v/x - a 4b - x

(r ) yjx - a-sjb - X

/ = 0,1,..,г, хе [а,Ь], где ^) - модуль непрерывности функции /(х), положительная константа не зависит от п, / и х.

Из леммы следует существование полинома QN—1( х),

1 1

аппроксимирующего функцию f (x) на сегменте щего неравенствам

2 2

и удовлетворяю-

f (i)( X) - QN—l( X)

(i)

Тогда

(f (x) - Ln(f (x))) = (f (x) - Qn-i + Ln(Qn-l - f (x)))'

< const I 1

n

i = 0,1,2,.,s.

.0')

<

<

f (i)(x) - QN—1(x)

+

(Ln (Qn-l( x) - f (x)))

(i)

= R1 + R2

Из леммы 1 следует оценка

Rl =\\f(i)(X)-qN—l(x)\\< C-L-, i = 0,1,.,s.

N

(18)

(19)

Для оценки ^2 воспользуемся следующим утверждением.

Неравенство Бернштейна. Если полином Рп (х) = а0 + а^ +-------+ апхп

степени не выше п на сегменте [а, Ь] удовлетворяет неравенству | Рп (х)|< М, то на интервале (а, Ь) имеем

\fn (x)\<-

Mn

((х — а)(Ь — х))1/2

Применим это неравенство к полиному LN 1(х) — /(х)). Тогда на

сегменте [—1/4,1/4] имеем

\(Ln (Qn-i(x) - f (x)))\<

4c ln N

N

S-l •

Аналогично, на сегменте [-1/8,1/8] имеем

I (Ln (Qn-l (x) — f (x)))(2) \<

4 • 8 • с ln N

N

s-2

Повторяя этот процесс (5 — 1) раз, имеем

1/т / ч п ччч(5—1) 1^ 4• 8-16•...• 25с 1пN

I (LN ^—1(х) — /(х)))(5 1) |<---------- --------------------------. (20)

N

Из неравенств (18)-(20) следует, что

f (i)(0) - ( Ln (f (x)))(i)

ct ln N

<—-------, i = 0,1,.,5-1.

x=0 Ns 1

Из этого неравенства следует, что для достижения точности £ = £0 N при вычислении производных /()(0), ■ = 0,1,.,5 — 1, достаточно взять

1 ^1/5 ( 1 ''I/5

ln—

e j V e,

(i)(

+1. Пользуясь этим методом, удается восстановить

с нужной точностью значения /() (0), ■ = 0,1,., 5 — 1.

Значение /(5)(0) восстанавливается с погрешностью с 1п N и, следовательно, не может быть использовано.

Таким образом, несмотря на то, что /(х) е Qry(1,0), О = [—1,1], при

восстановлении функций /(х) нужно рассматривать ее как функцию из класса Qr у—1(1,0) и, следовательно, погрешность восстановления имеет

Г 1 ^

порядок 0 ------- .

IN )

Замечание. Нетрудно видеть, что в случае /(х) е Вг у (М,О) возможно

восстановление производных любого конечного порядка описанным выше методом.

Список литературы

1. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 1. - С. 25-33.

2. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. - 236 с.

3. Шеннон, К. Статистическая теория передачи электрических сигналов / К. Шеннон // Теория передачи электрических сигналов при наличии помех : сб. ст. - М. : Изд-во иностр. лит., 1953. - С. 181-215.

4. Колмогоров, А. Н. Избранные труды. Математика и механика / А. Н. Колмогоров. - М. : Наука, 1985. - 470 с.

5. Жданов, М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей / М. С. Жданов. - М. : Наука, 1984. - 327 с.

6. Бойков, И. В. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей I / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. - 1998. - № 8. -С. 70-78.

7. Бойков, И. В. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей II / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. -2001. - № 12. -С. 78-89.

8. Гюнтер, Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики I Н. М. Гюнтер. - М. і ГИТТЛ, 1953. - 415 с.

9. Гопенгауз, И. Е. К теореме А. Ф. Тимана о приближении функций многочленами на конечном отрезке I И. Е. Гопенгауз II Математические заметки. - 19б7. -Т. 1, № 2. - С. 173-178.

References

1. Boykov I. V. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 199S, vol. 3S, no. 1, pp. 25-33.

2. Boykov I. V. Optimal’nye metody priblizheniya funktsiy i vychisleniya integralov [Optimal methods of function approximation and integral calculation]. Penza: Izd-vo PenzGU, 2007, 23б p.

3. Shennon K. Teoriya peredachi elektricheskikh signalov pri nalichii pomekh: sb. St. [Theory of electrical signals transfer in presence of noise: collected papers]. Мoscow: Izd-vo inostr. lit., 1953, pp. 181-215.

4. Kolmogorov A. N. Izbrannye trudy. Matematika i mekhanika [Selected works. Mathematics and mechanics]. Мoscow: Nauka, 19S5, 470 p.

5. Zhdanov М. S. Analogi integrala tipa Koshi v teorii geofizicheskikh poley [Analogues of integrals of Cauchy type in the theory of geophysical fields]. Мoscow: Nauka, 19S4, 327 p.

6. Boykov I. V., Boykova A. I. Izvestiya RAN. Fizika Zemli [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Physics of the Earth]. 199S, no. S, pp. 70-78.

7. Boykov I. V., Boykova A. I. Izvestiya RAN. Fizika Zemli [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Physics of the Earth]. 2001, no. 12, pp. 78-89.

S. Gyunter N. М. Teoriya potentsiala i ee primenenie k osnovnym zadacham mate-maticheskoy fiziki [Potential theory and application thereof to basic problems of mathematical physics]. Мoscow: GITTL, 1953, 415 p.

9. Gopengauz I. E. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 19б7, vol. 1, no. 2, pp. 173-178.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Е-таП: [email protected]

Бойкова Алла Ильинична кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Е-шаП: [email protected]

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Boykova Alla Il'inichna Candidate of physical and mathematical sciences, senior staff scientist, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Кривулин Николай Петрович

кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Е-таЛ: [email protected]

Гринченков Григорий Игоревич

аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Е-таП: [email protected]

Krivulin Nikolay Petrovich

Candidate of engineering sciences, associate

professor, sub-department of higher

and applied mathematics, Penza State

University (40 Krasnaya street, Penza,

Russia)

Grinchenkov Grigoriy Igorevich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 51-74 Бойков, И. В.

Оптимальные методы табулирования физических полей / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, Н. П. Кривулин, Г. И. Гринченков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2013. - № 4 (28). -С. 43-61.